Chapitre 1.11 Le théorème de Gauss

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1 hapitr 1.11 L théorè Gauss L flu L flu st un granur scalair corrsponant à un granur phsiqu éalué sur un surfac ultiplié par la surfac n qustion. Notation athéatiqu : flu Unité (ètr : [ ] X où X : unité granur phsiqu La ill Toronto put êtr consiéré co étant un flu iobilir. Epl : Flu iobilir On put éalur l flu iobilir un ill n ultipliant la hautur s éifics (granur phsiqu n par la surfac qu ils occupnt au sol n. L flu iobilir aura co unité l. Situation : L flu iobilir un cartir. Un cartir st constitué un éific un hautur h 5, un éific un hautur h 75 t un éific un hautur h 1. La suprfici s éifics st illustré sur l schéa ci-contr. On ésir éalur l flu iobilir c cartir. 1 1 : 5 : 75 : 1 Éaluons l flu iobilir s éifics, t. Puisqu la hautur s éifics st constant sur tout la surfac, l flu sra uniqunt l prouit la hautur ac la surfac : h ( 5( 1 1,5 1 h ( 75(, 1 h ( 1( 1, 1 L flu iobilir total u cartir sra la so s flu éalués iniiullnt : i + + i ( 1,5 1 + ( 1 + ( 1,5 1 éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag 1 Not cours réigé par : Sion Véina

2 L flu élctriqu L flu élctriqu st un scalair corrsponant au oul u chap élctriqu prpniculair E éalué sur un surfac ultiplié par l air la surfac. Puisqu l chap élctriqu E st ctoril, il faut éfinir la surfac ctorillnt à l ai un noral à la surfac afin ffctur un prouit scalair transforant ainsi l prouit u chap élctriqu E ac la surfac n scalair : Flu élctriqu lorsqu E st constant sur la surfac plan Flu élctriqu lorsqu E st arbitrair sur la surfac E ± Ecos appl : θ E ( θ E E cos( θ E E + E + E E E où : L flu élctriqu ( N / : Flu élctriqu infinitésial éalué sur un surfac infinitésial ( N / E : hap élctriqu éalué sur la surfac ou (N/ E : Moul u chap élctriqu prpniculair à la surfac (N/ ( E E cos( θ : Surfac sur laqull l flu élctriqu st éalué ( : ir la surfac sur laqull l flu élctriqu st éalué ( : Élént surfac infinitésial sur laqull on éalu l flu élctriqu ( θ : ngl ntr l chap élctriqu E t l ctur surfac onntions : Flu élctriqu positif Fu élctriqu négatif Flu élctriqu nul E > θ < 9 E < θ > 9 E θ 9 E θ E θ E θ > < Lorsqu un surfac st fré (for un olu fré, l oration u ctur surfac po toujours rs l tériur u olu foré par la surfac. éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag Not cours réigé par : Sion Véina 4 5 1

3 Situation 1 : L flu élctriqu ans un chap élctriqu unifor. Un crcau circulair n plastiqu 5 c raon st placé ans un chap élctriqu unifor 8 N/. L plan u crcau fait un angl α o ac l oration u chap élctriqu. On ésir calculr la alur absolu u flu élctriqu qui trars l crcau. Éaluons la surfac total u crcau : π π (,5,7854 présntons la situation : E : hap élctriqu unifor ( E 8 N/ : Surfac u crcau (,7854 α : ngl ntr E t l plan u crcau ( α θ : ngl ntr E t la noral u crcau α θ E Éaluons l flu élctriqu à partir l prssion ac chap élctriqu constant : E E cos( θ (Prouit scalair : cos( θ E cos( 9 α (placr θ 9 α ( 8(,7854 cos( 9 ( (placr alurs nuériqus 14 N / (Éalur Situation : L flu à trars un sphèr ntourant un bill chargé. Un ptit bill port un charg q 8µ. On ésir éalur l flu élctriqu à trars un surfac sphériqu raon cntré sur la bill, pour (a t (b 4. q rˆ 4π Puisqu l chap élctriqu n st pas constant, éaluons l flu élctriqu à partir l égral E ˆ (harg ponctull : E k rˆ r r k r k rˆ (Distanc r constant : r ( r k ˆ (Factorisr constant éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag Not cours réigé par : Sion Véina

4 plaçons l ctur surfac infinitésial l oration t l oul : k r ˆ k r ˆ ( r ˆ par un prssion séparant (Oration surfac raial : rˆ k (Prouit scalair : r ˆ rˆ 1 k ( 4π (ir un sphèr : 4π k (Siplifir (placr 1/ 4π k π 4 On réalis qu l flu élctriqu qui trars la sphèr n qustion épn uniqunt la charg à l ériur la sphèr t n épn n aucun cas la taill la sphèr. insi, nous pouons réponr à la qustion (a t (b siultanént : L théorè Gauss ( ( 8, ,5 1 N / (a t (b L théorè Gauss prt affirr qu l flu élctriqu suré sur un surfac fré qulconqu st proportionnl à la charg élctriqu s trouant à l ériur la surfac n qustion. théorè st un réécritur prttant illustrr qu un charg élctrostatiqu génèr un chap élctriqu coulobin t qu un istribution chargs génèr un chap élctriqu total rspctant l princip suprposition ctoril : où ( sf ( sf : Flu élctriqu total sur la surfac fré ( N / : harg élctriqu à l ériur la surfac fré ( : onstant élctriqu, 8,85 1 N ( 1/ 4π k fin illustrr qu l calcul u flu élctriqu s ffctu sur un surfac fré, on utilis la notation un égral oubl ac un crcl (c qui fr l parcours égration : ( sf E éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag 4 Not cours réigé par : Sion Véina

5 Pru : (n construction L chap élctriqu généré par un charg ponctull st la for : k E rˆ r hargs à l tériur la surfac Gauss hargs à l ériur la surfac Gauss L flu élctriqu ntrant nécssit pu surfac ac un chap élctriqu fort. L flu élctriqu sortant nécssit baucoup surfac ac un chap élctriqu faibl. Puisqu l augntation la surfac s ffctu au rth où l oul u chap élctriqu iinu, la so s flu st null t nous aons : car ( sf L flu élctriqu suré sur un ptit surfac Gauss nécssit pu surfac ac un chap élctriqu fort. L flu élctriqu suré sur un gran surfac Gauss nécssit baucoup surfac ac un chap élctriqu faibl. Puisqu l augntation la surfac s ffctu au rth où l oul u chap élctriqu iinu, l flu total n épn pas la surfac, car l nsbl s ligns chap sont toujours captés : ( sf Situation : La charg stèr. Un charg stèr a été rouit à l ériur un cub ètr côté. L flu élctriqu a été éalué sur ls si facs u cub : 1 1 N /, 5 N /, N /, 4 1 N /, 5 1 N /, N /. On ésir éalur la charg total à l ériur u cub. Éaluons l flu élctriqu total sur la surfac fré u cub : i 1 i ( 1 + ( 5 + ( + ( 1 + ( 1 + ( 15 N / c l théorè Gauss, on put éalur la charg à l ériur : 1 ( 15( 8,85 1 1, 1 1 éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag 5 Not cours réigé par : Sion Véina

6 Situation : L chap élctriqu un TIU. On ésir éontrr, à l ai u théorè Gauss, qu l oul u chap élctriqu à un istanc un TIU portant un nsité linéiqu charg λ st k λ E onsiérons un surfac Gauss fré autour notr tig for clinriqu touchant au po P situé à un istanc la tig. On constant trois sctions surfac : isqu gauch G, isqu roit D t un clinr Ls u isqus étant parallèl au chap élctriqu généré par la tig possè un flu élctriqu nul : ( Disqu E cos( 9 Éaluons l flu élctriqu sur la surfac un clinr raon t hautur L cntré sur la tig infini : E (hap raial clinriqu : E E rˆ rˆ (Surfac raial clinriqu : rˆ ( E rˆ ( E rˆ E (Prouit scalair : r ˆ rˆ 1 E (Moul u chap E constant sur la surfac E( π L (Surfac clinr : π L π LE Éaluons la charg à l ériur u clinr hautur H : λ L ppliquons l théorè Gauss afin éalur l chap élctriqu à un istanc la tig : ( sf ( π ( λl LE (placr ( sf t λ E (Isolr E π kλ 1 E (placr 4π k éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag Not cours réigé par : Sion Véina

7 Situation 4 : L chap élctriqu un PPIU. On ésir éontrr, à l ai u théorè Gauss, qu l oul u chap élctriqu généré par un PPIU portant un nsité surfaciqu charg σ st σ E onsiérons un surfac Gauss fré autour notr plaqu for clinriqu raon touchant au po P situé à un istanc notr plaqu. On constant trois sctions surfac : isqu u haut H, isqu u bas t un clinr L clinr étant parallèl au chap élctriqu généré par la plaqu possè un flu élctriqu nul : ( linr E cos( 9 Éaluons l flu élctriqu sur la surfac u isqu u haut : E (hap prpniculair plaqu : E E k k (Surfac plan : k E (Prouit scalair : k k 1 ( E k ( E k E (Moul u chap E constant sur la surfac Eπ (Surfac isqu : π Puisqu l flu élctriqu sur l isqu u bas st intiqu au flu élctriqu u isqu u haut par sétri, nous aons l flu élctriqu total suiant sur la surfac fré : ( sf Eπ Éaluons la charg à l ériur u clinr raon : σ σ π ppliquons l théorè Gauss afin éalur l chap élctriqu généré par la plaqu : ( sf ( ( σ π π E (placr ( sf t σ E (Isolr E éférnc : Marc Séguin, Phsiqu XXI Volu Pag 7 Not cours réigé par : Sion Véina

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