Exercices de rentrée MPSI-PCSI

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1 Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 07-08

2 Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint-Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement au programme de mathématiques de terminale (voire de première Il est en effet inutile de commencer le programme de classes préparatoires avant la rentrée Par contre, il est indispensable de consolider les acquis du lycée Ce sont des exercices de mathématiques qui ont pour objectif d être à la fois utiles pour les mathématiques et la physique Certains exercices sont constitués de calculs extrêmement basiques mais sur lesquels les étudiants ont l habitude de faire des erreurs D autres exercices utilisent des notions plus compliquées Les exercices doivent être traités sans utiliser la calculatrice En effet, la calculatrice sera interdite à la majorité des devoirs de mathématiques, il faut donc s habituer à effectuer les calculs basiques sans utiliser cet outil Les notions concernant le calcul vectoriel seront utiles pour les sciences de l ingénieur et pour la physique Les rappels de cours contiennent également des compléments de cours accessibles aux élèves de terminale et qui permettront de démarrer plus facilement l année dans ces dicsiplines Les exercices sont précédés de rappels de cours qui concernent uniquement les domaines utiles pour le programme de mathématiques de MPSI et de PCSI Les exercices sont classés en quatre catégories : Les exercices d échauffement : il s agit d exercices basiques qui doivent être traités en respectant l indication de temps afin d acquérir plus de rapidité dans la résolution Ces exercices doivent être parfaitement maîtrisés Il peut donc être profitable de les recommencer en cas d erreur ou de non respect de la durée indiquée Les exercices corrigés : ils sont accompagnés d une correction rédigée Il ne faut pas vérifier uniquement la validité du résultat obtenu, mais également la manière de rédiger afin de commencer à repérer les différences entre la rédaction demandée au lycée et celle demandée en MPSI ou en PCSI Les exercices à préparer : ils sont accompagnés d indications et ce sont les exercices sur lesquels il faut accentuer ses recherches, quitte à ne pas travailler les exercices supplémentaires Les exercices supplémentaires : ils sont également accompagnés d indications et sont destinés aux élèves qui ont assez de temps pour les travailler Il est indispensable de se remettre au travail avant la rentrée afin d être prêt à démarrer directement au rythme d une classe préparatoire Il est donc vivement conseillé de travailler les exercices de cette feuille au moins deux semaines avant la rentrée, et en cas de difficultés, de consulter les rappels de cours, son cours ou un livre afin de combler ses lacunes Cependant il n est pas obligatoire de réussir à faire tous les exercices, le but de cette feuille est, principalement, d aborder sereinement la rentrée Il est recommandé de conserver une trace de son travail (par exemple de garder ses brouillons

3 Table des matières I Rappels de cours 3 Nombres complexes 4 Suites 7 3 Fonctions 4 Intégration 7 5 Calcul vectoriel 0 II Exercices 6 6 Résolution d équations et d inéquations 7 7 Puissances et suites géométriques 3 8 Récurrences 35 9 Géométrie plane et trigonométrie 39 0 Dérivation et intégration 44 Formules de trigonométrie 47 Fonctions cosinus et sinus 50 3 Nombres complexes 53 4 Calcul vectoriel 56 III Indications et corrections 58 5 Indications et solutions 59 6 Corrections 69

4 Première partie Rappels de cours 3

5 Chapitre Nombres complexes Définition On appelle ensemble des nombres complexes et on note C l ensemble des nombres qui s écrivent sous la forme z = x + i y avec x et y deux réels et où i est tel que i = Plus précisément, tout nombre complexe s écrit de manière unique sous la forme z = x + i y avec x, y R Cette écriture est appelée écriture algébrique de z x est appelé partie réelle de z, noté Re(z et y est appelé partie imaginaire de z et noté Im(z L ensemble des nombres complexes est muni de deux opérations (l addition et la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que celles sur R Ainsi, si z = x + i y et z = x + i y avec x, y, x, y quatre réels alors : z + z = (x + x + i (y + y z z = (x + i y(x + i y = (xx y y + i (x y + x y Proposition Soient z, z C On a : z = z si et seulement si ( Re(z = Re(z et Im(z = Im(z Interprétation géométrique des nombres complexes On munit le plan d un repère orthonormé direct (O, u, v A tout point M de coordonnées (x, y (resp à tout vecteur w tel que w = x u + y v avec x, y R, on associe le nombre complexe z = x + i y On dit que z est l affixe de M (resp de w et M (resp w est appelé image de z On note M(z (resp ( w (z y Im z M(z v 0 u Re z x Pour tout point A(a et B(b du plan, l affixe du vecteur AB est b a Définition Soit z un nombre complexe de forme algébrique x + i y avec x et y deux réels On appelle conjugué de z, et on note z le nombre complexe x i y Remarque Si M est le point d affixe z, le point M d affixe z est symétrique de M par rapport à l axe des abscisses 4

6 Proposition Soient z, z deux nombres complexes Alors : z = z z + z = z + z z z = z z Si de plus, z 0, on a : ( z z = z z Définition Soit le nombre complexe z de forme algébrique x + i y, avec x et y deux réels On appelle module de z et on note z le réel positif z = x + y Interprétation géométrique du module : Si on note M(z ou w (z alors z = OM = OM ou z = w Si A(a et B(b sont deux points du plan alors b a = AB = AB Proposition Soient z, z deux nombres complexes Alors : z = 0 z = 0 z = zz ; z = z zz = z z Si de plus z 0 : z z = z z ; z = z z Remarque Pour calculer l inverse d un nombre complexe z, ou simplifier une expression du type z z on multipliera toujours numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur Définition - Proposition Soit z un nombre complexe non nul, alors il existe r > 0 et θ un réel tels que z = r (cos(θ + i sin(θ On a alors : r = z Cette écriture est appelée forme trigonométrique Définition Soit z un nombre complexe non nul On appelle argument de z et on note arg(z tout réel θ tel que z = z (cos(θ + i sin(θ Proposition Soient z et z deux nombres complexes non nuls Soit n un entier relatif z = z { z = z arg(z = arg(z [π] ( arg(z = arg(z [π] ; arg( z = π + arg(z [π] ; arg z arg(zz = arg(z + arg(z [π] ; = arg(z [π] ( z arg z = arg(z arg(z [π] ; arg(z n = n arg(z [π] 5

7 Remarque Soit z un nombre complexe : Re(z = z cos(arg(z ; Im(z = z sin(arg(z Ces relations permettent de faire le lien entre la forme algébrique et la forme trigonométrique d un nombre complexe Interprétation géométrique de l argument : Si on note M(z le point du plan d affixe z, alors arg(z représente une mesure de l angle orienté ( u, OM Définition Soit θ un réel On note e iθ le nombre complexe défini par e iθ = cosθ + i sinθ Soit z un nombre complexe non nul dont un argument est θ, on appelle forme exponentielle de z l écriture z = z e iθ Proposition Soient θ, θ deux réels et n Z Formule de Moivre : e iθ = e iθ ; e iθ e iθ = e i (θ+θ ; e iθ = e iθ ; (e iθ n = e inθ e iθ e iθ = e i (θ θ Proposition (Résolution d une équation du second degré à coefficients réels Soit az + bz + c = 0 une équation d inconnue z C à coefficients réels a,b,c avec a 0 On appelle discriminant de l équation et on note le nombre b 4ac Si = 0, l équation admet une unique solution réelle, appelée racine double : z 0 = b a Si > 0, l équation admet deux solutions réelles : z = b a et z = b + a Si < 0, l équation admet pour solution deux complexes conjugués : z = b i a et z = b + i a Le trinôme az + bz + c peut alors se factoriser sous la forme : az + bz + c = a(z z (z z, z, z étant les solutions (distinctes ou confondues de az + bz + c = 0 Remarque Toute fonction du second degré f : x ax +bx +c avec a R, b,c R peut s écrire sous la forme : [( f (x = a x + b ] b 4ac a 4a Cette écriture est appelée forme canonique 6

8 Chapitre Suites Principe de récurrence Proposition Soit P une propriété dépendant d un entier n N Si on a : P (0 est vraie, pour tout n N, si P (n est vraie, alors P (n +, est vraie alors : pour tout n N, P (n est vraie Propriétés globales Notation : Une suite de nombres réels ou complexes est notée (u n n N On peut également noter (u n sans autre précision Il ne faut pas confondre (u n et u n : (u n désigne une suite, l indice n est alors muet et n a donc pas besoin d être défini ; u n désigne un des termes de la suite, l indice n n est pas muet et doit être défini au préalable Définition Soit (u n une suite réelle On dit que la suite (u n est croissante si et seulement si : pour tout n N, u n+ u n On dit que la suite (u n est décroissante si et seulement si : pour tout n N, u n+ u n On dit que la suite (u n est strictement croissante si et seulement si : pour tout n N, u n+ > u n On dit que la suite (u n est strictement décroissante si et seulement si : pour tout n N, u n+ < u n 7

9 Une suite n est pas toujours monotone, autrement dit, il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes Pour montrer qu une propriété est vraie pour toutes les suites, il ne suffit donc pas de traiter le cas des suites croissantes et le cas des suites décroissantes Définition Soit (u n une suite réelle On dit que : (u n est majorée si et seulement si : (u n est minorée si et seulement si : il existe M R tel que, pour tout n N, u n M, il existe m R tel que, pour tout n N, u n m, (u n est bornée si et seulement si (u n est majorée et minorée, c est-à-dire si et seulement si : il existe m, M R tels que, pour tout n N, m u n M Les réels m et/ou M ne doivent pas dépendre de n Définition Soit (u n une suite à valeurs dans R Soit q R, on dit que (u n est une suite géométrique de raison q si et seulement si : pour tout n N, u n+ = qu n Soit r R, on dit que (u n est une suite arithmétique de raison r si et seulement si : pour tout n N, u n+ = u n + r La raison d une suite géométrique ou arithmétique ne dépend pas de n Proposition Soit (u n une suite à valeurs dans R Soit q R, soit (u n une suite géométrique de raison q, on a : pour tout n [[ 0,+ [[,u n = q n u 0, et : pour tout n 0 [[ 0,+ [[,pour tout n n 0, u n = q n n 0 u n0 Soit r R, soit (u n une suite arithmétique de raison r, on a : pour tout n [[ 0,+ [[,u n = u 0 + nr, et : pour tout n 0 [[ 0,+ [[,pour tout n n 0, u n = u n0 + (n n 0 r Proposition Soit n N, Soient n N, q R, n(n n = + q + + q n = { q n+ q si q, n + si q = 8

10 3 Propriétés asymptotiques Notation : On parle de la convergence ou de la divergence d une suite, on écrira donc (u n converge/diverge sans oublier les parenthèses Lorsqu on a prouvé qu elle existait, la limite d une suite est notée lim u n ou limu n n + Théorème Soit (u n une suite réelle Si (u n est croissante et majorée, alors (u n est convergente Si (u n est décroissante et minorée, alors (u n est convergente Théorème Soient (u n,(v n et (w n des suites réelles Si : pour tout n N, u n v n w n et si limu n = lim w n = l avec l R, alors : lim v n = l Si : pour tout n N, u n v n et si limu n = +, alors : lim v n = + Si : pour tout n N, v n w n et si lim w n =, alors : lim v n = Les tableaux ci-dessous résument les opérations sur les limites connues Soient (u n et (v n des suites à valeurs réelles Soient λ,l,l R lim(u n + v n limu n = l limu n = + limu n = lim v n = l l + l + lim v n = forme indéterminée lim v n = forme indéterminée lim(λu n limu n = l limu n = + limu n = λ > 0 λl + λ < 0 λl + λ = lim(u n v n limu n = l 0 limu n = 0 limu n = + limu n = lim v n = l 0 ll 0 + si l > 0 si l > 0 si l < 0 + si l < 0 lim v n = forme indéterminée forme indéterminée lim v n = + + si l > 0 si l < 0 forme indéterminée + lim v n = si l > 0 + si l < 0 forme indéterminée + lim u n v n limu n = l 0 limu n = 0 limu n = + limu n = lim v n = l 0 l + si l > 0 si l > 0 l 0 si l < 0 + si l < 0 lim v n = 0 ± ( forme indéterminée ± ( ± ( lim v n = forme indéterminée forme indéterminée lim v n = 0 0 forme indéterminée forme indéterminée 9

11 ( La règle des signes donne le signe de la limite du quotient On ne donne ici que les résultats propres aux suites, on peut également utiliser les limites de fonctions pour calculer des limites de suites Proposition Soit q R, si q <, alors lim n + qn = 0, si q =, alors lim n + qn =, si q >, alors lim n + qn = +, si q, alors (q n n a pas de limite 0

12 Chapitre 3 Fonctions 3 Limites de fonctions Soit a R {+, } Soient λ,l,l R On considère, dans les tableaux suivants, deux fonctions f et g telles que les limites données aient un sens On suppose que g est définie sur I lim lim(f(x + g(x x a lim f (x = l x a lim f (x = + x a lim x a l + l + lim x a lim x a f (x = x a g (x = forme indéterminée g (x = forme indéterminée lim (λf(x x a lim lim f (x = l x a lim f (x = + x a λ > 0 λl + λ < 0 λl + λ = f (x = x a lim (f(xg(x x a lim f (x = l 0 x a lim f (x = 0 x a lim g (x = l 0 ll 0 x a lim x a lim f (x = + lim x a + si l > 0 si l < 0 f (x = x a si l > 0 + si l < 0 g (x = forme indéterminée forme indéterminée lim g (x = + + si l > 0 x a si l < 0 lim g (x = si l > 0 x a + si l < 0 forme indéterminée + forme indéterminée +

13 f(x lim x a g(x lim g (x = l 0 x a lim f (x = l 0 x a lim f (x = 0 x a l l 0 lim g (x = 0 ± ( forme x a indéterminée lim x a lim x a lim f (x = + lim x a + si l > 0 si l < 0 ± ( f (x = x a si l > 0 + si l < 0 ± ( g (x = forme indéterminée forme indéterminée g (x = 0 0 forme indéterminée forme indéterminée ( La règle des signes donne le signe de la limite du quotient Proposition Composition des limites Soit a, b, c R {+, } Soient f et g des fonctions telles que les limites suivantes aient un sens Si lim f (x = b et si lim g (x = c, alors : x a x b lim g (f (x = c x a Proposition Soit n N, lim x 0 + x = +, lim x 0 x =, x = +, lim x + lim x + xn = +, { + si n est pair, lim x xn = si n est impair Proposition Proposition lim exp(x = +, lim x + exp(x = 0 x lim ln(x = +, lim x + ln(x = x 0 Remarque On rappelle que, par définition, si f est dérivable en a, alors : f (x f (a lim = f (a x a x a Ce résultat permet d obtenir des limites qui sont des formes indéterminées du type " 0 0 " Il est souvent appliqué avec a = 0 Proposition sin(x ln( + x exp(x lim =, lim =, lim = x 0 x x 0 x x 0 x

14 Proposition Proposition exp(x lim = +, lim x exp(x = 0 x + x x ln(x lim = 0, lim x ln(x = 0 x + x x 0 Théorème Soit a R {+, } Soient f, g,h des fonctions définies sur un intervalle I et telles que les limites suivantes aient un sens Soit l R Si : pour tout x I, f (x g (x h(x et si : lim x a f (x = lim x a h(x = l, alors : lim g (x = l x a Si : pour tout x I, f (x g (x et si : lim x a f (x = +, alors : lim g (x = + x a Si : pour tout x I, g (x h(x et si : lim x a h(x =, alors : 3 Fonctions usuelles 3 Sinus et cosinus lim g (x = x a Définition Soit x R et (O, i, j un repère orthonormé direct On note M le point du cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon tel que l angle orienté ( i, OM a pour mesure x radians On note alors (cos x,sin x les coordonnées de M dans le repère (O, i, j On appelle cosinus la fonction x cos(x et sinus la fonction x sin(x x sin x cos x On admet que cette définition géométrique permet de bien définir cos et sin et qu elles vérifient les propositions suivantes : 3

15 Proposition La fonction cos est définie sur R, π-périodique (c est-à-dire pour tout x R, cos(x + π = cos(x, paire (c est-à-dire pour tout x R, cos( x = cos(x, dérivable sur R et cos = sin La fonction sin est définie sur R, π-périodique (c est-à-dire pour tout x R, sin(x+π = sin(x, impaire (c est-à-dire pour tout x R, sin( x = sin(x, dérivable sur R et sin = cos Leurs variations sur [0,π] sont données par : x (sin (x sin Proposition 0 0 π π x (cos (x cos 0 π 0 0 π 0 Pour tout x R, Pour tout a,b R, cos x + sin x = cos(a + b = cos(acos(b sin(asin(b, cos(a b = cos(acos(b + sin(asin(b, sin(a + b = sin(acos(b + cos(asin(b, sin(a b = sin(acos(b cos(asin(b Le tableau suivant donne les valeurs usuelles à connaître : x 0 cos(x sin(x 0 π 6 3 π 4 π 3 π π Exponentielle Définition On appelle fonction exponentielle l unique fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut en 0 Proposition exp est dérivable sur R et exp = exp, pour tout x R, exp(x > 0 et exp est strictement croissante sur R Pour x R, on peut utiliser les notations exp(x ou e x qui signifient la même chose Cependant, lorsque l on parle de la fonction exponentielle, on doit utiliser la notation exp 4

16 La courbe représentative de la fonction exp est : y y = exp(x e x 0 + (exp (x + x exp 0 e + Proposition Si u est dérivable sur R, alors la fonction g : x exp(u(x est dérivable sur R et, pour tout x R, g (x = u (xexp(u(x Proposition Pour tout a,b R, exp(a + b = exp(aexp(b Pour tout a R, exp( a = exp(a Pour tout a,b R, exp(a b = exp(a exp(b Pour tout a R et n Z, exp(na = (exp(a n 33 Logarithme Définition s annule en On appelle logarithme népérien et on note ln l unique primitive de x x sur R + qui Proposition ln est dérivable sur R + et, pour tout x R +, ln (x =, ln est strictement croissante x sur R + La courbe représentative de la fonction ln est : y y = ln(x 0 e x x (ln (x ln 0 e Proposition Soient a,b R +, on a : ln(ab = ln(a + ln(b, ( a ln = ln(a ln(b, ln b ( a = ln(a 5

17 Proposition Soient a R + et b R, on a : ln(a = b si et seulement si a = exp(b Remarque On en déduit que ln( = 0 et ln(e = 6

18 Chapitre 4 Intégration 4 Primitives Définition Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que pour tout x I, F (x = f (x Proposition Deux primitives d une même fonction sur un intervalle diffèrent d une constante Proposition Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle Primitives usuelles Fonction f une primitive de f sur l intervalle x x n, n N x x n, n Z \ N et n x x x xn+ n + x xn+ n + x ln(x R ],0[ ou ]0,+ [ ]0,+ [ x exp(λx, λ 0 x λ exp(λx R x cos(λx, λ 0 x sin(λx, λ 0 x sin(λx λ x cos(λx λ R R 7

19 Primitives de quelques fonctions composées Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I de R et n un entier relatif différent de Fonction f x u (x(u(x n x u (xe u(x une primitive de f x (u(xn+ n + x e u(x Si de plus, u est strictement positive sur I : x u (x u(x x u (x u(x x ln(u(x x u(x 4 Intégrale Définition Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I Soit F une primitive de f sur I On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel noté Remarque b a f (tdt = F (b F (a La définition ne dépend pas de la primitive choisie La différence F (b F (a est souvent notée sous la forme condensée b [ ] b f (tdt = F (t a a b a f (tdt et défini par : [ F (t ] b a On écrit alors Interprétation géométrique : Soient a,b deux réels tels que a < b Soit f une fonction continue sur [a,b] Notons C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i, j b a f (xdx est égal à l aire algébrique de la partie du plan délimitée par la courbe C, l axe des abscisses et les droites d équations x = a et x = b y C a b x 8

20 Proposition Soient a, b deux réels tels que a < b Soit f une fonction continue sur [a,b] La fonction F définie sur [a,b] par F (x = en a x a f (td t est l unique primitive de f sur [a, b] s annulant Proposition (Linéarité de l intégrale Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et λ, µ deux réels b a b (λf + µg (tdt = λ f (tdt + µ a b a g (tdt Proposition (Relation de Chasles Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a, b, c trois réels de I Alors : b a c b f (tdt = f (tdt + f (tdt a c Proposition Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b deux réels b Positivité de l intégrale : si a b et si pour tout t [a, b], f (t 0 alors, f (tdt 0 a b Croissance de l intégrale : si a b et si pour tout t [a,b], f (t g (t alors, f (tdt a b a g (tdt Définition Soit f une fonction continue sur I et soient a, b deux réels distincts de I On appelle valeur moyenne de f le réel défini par : µ = b f (tdt b a a 9

21 Chapitre 5 Calcul vectoriel 5 Bipoint et vecteur 5 Bipoint Soit E, espace affine euclidien de dimension 3, en pratique l espace physique qui nous entoure On appelle bipoint tout couple ordonné de points de E Le bipoint (A,B (voir figure 5(a est défini par : son origine, par exemple le point A ; son support, soit la droite (D passant par les points A et B ; son sens, par exemple de A vers B ; et sa norme, soit la distance l entre les points A et B Deux bipoints non nuls sont dits équipollents s ils ont des supports parallèles, un même sens et une même norme Par ailleurs, le bipoint (A, A est appelé «bipoint nul» 5 Vecteur L ensemble des bipoints équipollents au bipoint (A, B constitue une classe d équivalence appelée vecteur et notée de manière standardisée avec une flèche : AB = X Le vecteur X représenté par un bipoint désigne (voir figure 5(b : une direction,celle de la droite (D, passant par les points A et B ; un sens, de A vers B ou de B vers A, indiqué par la flèche ; une norme, notée X et correspondant à la distance entre les points A et B Deux vecteurs X = AB et Y = CD sont égaux si et seulement si les bipoints (A,B et (C,D associés sont équipollents : voir figure 5 0

22 B (D B (D X X Origine Extrémité A D A (a Bipoint C Y = X (b Vecteur associé à un bipoint FIGURE 5 Bipoint et vecteur 5 Repérage des vecteurs 5 Base de l espace vectoriel On appelle «base de l espace vectoriel E» tout triplet de vecteurs b ( x, y, z linéairement indépendants tel que tout vecteur X de E puisse s écrire de façon unique X = x x + y y + z z (avec (x, y, z R 3 dans la base b 5 Base orthonormée directe Une base b ( x, y, z est dite orthonormée si ses vecteurs : sont orthogonaux deux à deux : on aura donc x y, y z et z x ; de norme égale à : on aura donc x = y = z = La base orthonormée sera dite directe si les trois vecteurs ordonnés définissant la base vérifient la structure de la figure 5, avec l ordre des doigts pouce / index / majeur correspondant à l ordre des vecteurs x y x y z z FIGURE 5 Position des vecteurs d une base visualisée par les doigts de la main droite Dans la suite de ce document, les bases sont toutes supposés orthonormées directes Aucun des trois vecteurs ne peut être exprimé comme combinaison linéaire des deux autres

23 53 Repère orthonormée direct de l espace affine Un repère R de l espace affine E est constitué par l association d un point origine du repère O et d une base orthonormée directe b ( x, y, z de l espace vectoriel réel E associé à E Ce repère est le plus souvent noté R (O; x, y, z (d autres notations existent mais elles sont beaucoup plus rares 54 Composantes d un vecteur dans une base Définition On appelle «composantes d un vecteur X dans une base b ( x, y, z» les trois scalaires x, y et z tels que X = x x + y y + z z Remarque : dans une base orthonormée (cas d étude le plus classique, les composantes correspondent aux projections vectorielles x, y et z du vecteur sur les directions x, y et z associées aux trois vecteurs de la base x Les composantes seront généralement notées sous forme de données verticales : X y z b Exemple y π 6 z = z y π 6 x x Pour un vecteur X = x + 3 y + z 3 3 X 3 et X b b x = cos En effet, y = sin z = FIGURE 53 Mise en évidence de la nécessité d indication de la base z ( π 6 x + sin ( π x + cos 6 ( π 6 y = ( 3 x + y ( π y = 6 ( x + 3 y Utilisation des composantes pour déterminer la norme d un vecteur La norme d un vecteur correspond à sa «longueur», donc à la distance entre son origine et son extrémité : cette grandeur est donc indépendante de la base de définition des composantesla norme d un vecteur X se détermine, dans une base orthonormée directe, par la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes : X = x + y + z 55 Coordonnées d un point dans un repère Les coordonnées x, y et z d un point M dans un repère R (O; x, y, z sont les composantes du vecteur position OM dans la base b ( x, y, z associée au repère R

24 56 Définition d une rotation plane On désigne par rotation plane le passage d une base à une autre qui ne nécessite qu une seule orientation autour d un des vecteurs de la base de départ On la représente généralement à l aide d une figure plane telle que celle de la figure 54 y ϕ y z = z ϕ x x FIGURE 54 Figure de calcul associée à une rotation plane 53 Opérations mathématiques 53 Produit scalaire Définition Le produit scalaire de deux vecteurs A et B de l espace vectoriel E est défini par : ( ( A, B E A B = A B A cos, B R Par cette définition, la norme du vecteur A peut se déterminer par le produit scalaire de ce vecteur avec lui-même : A = A A Propriétés Commutativité Le produit scalaire est symétrique : ( A, B R A B = B A Distributivité et linéarité Le produit scalaire est distributif et linéaire (ou bilinéaire : (λ,µ R et ( A, B, C E 3 A (λ B + µ C = λ A B + µ A C Condition de nullité du produit scalaire Le produit scalaire A B = 0 dans les cas suivants : un des deux vecteurs est nul : A = 0 ou B = 0 ; les deux vecteurs sont orthogonaux : A B 3

25 Expression analytique Si A = α x +α y +α 3 z et B = β x +β y +β 3 z avec b ( x, y, z une base orthonormée directe, alors 3 A B = α α + α β + α 3 β 3 = α i β i Attention, il faut nécessairement que les deux vecteurs soient exprimés dans la même base (ici, b ( x, y, z pour que l expression précédente ait du sens 53 Produit vectoriel Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs de l espace vectoriel E est une application bilinéaire et antisymétrique, notée ( A, B E A B = A B A sin(, B n où n est le vecteur unitaire normal au plan généré par les vecteurs A et B Le vecteur A B est donc perpendiculaire à la fois au vecteur A et au vecteur B, les trois vecteurs formant alors une base directe telle que représentée sur la figure 55 A B i= n θ B n = A FIGURE 55 Position du vecteur déterminé par le produit vectoriel Propriétés Commutativité Le produit vectoriel est anticommutatif : ( A, B R A B = B A Distributivité et linéarité Le produit vectoriel est distributif et linéaire (ou bilinéaire : (λ,µ R et ( A, B, C E 3 A (λ B + µ C = λ A B + µ A C L aspect direct peut se vérifier avec la «règle des trois doigts» : voir figure 5 4

26 Condition de nullité du produit vectoriel Le produit vectoriel A B = 0 dans les cas suivants : un des deux vecteurs est nul : A = 0 ou B = 0 ; les deux vecteurs sont colinéaires : k R / A = k B Expression analytique Si A = α x +α y +α 3 z et B = β x +β y +β 3 z avec b ( x, y, z une base orthonormée directe, alors X = A B a comme composantes : x = y = ( A B ( A B ( A z = B x = α β α 3 β 3 y = α 3 β 3 α β z = α β α β soit α β 3 α 3 β A B : α 3 β α β 3 α β α β Les composantes sont donc obtenues par le calcul du déterminant des termes complémentaires à la composante (composantes sur x et y pour la composante selon z par exemple b Moyen mnémotechnique Dans une base b ( x, y, z orthonormée directe (tous les vecteurs sont de norme unitaire et orthogonaux deux à deux, on a (noter la simple permutation circulaire : x y = z y z = x z x = y et x z = y y x = z z y = Les produits vectoriels entre les trois vecteurs d une base orthonormée directe peuvent alors se déterminer par le dessin de la figure 56 où apparaissent les vecteurs de la base b répétés cycliquement : Sens : z y = x Sens + x y z x y Sens x Sens + : z x = y FIGURE 56 Calcul des produits vectoriels entre vecteurs d une même base orthonormée directe En prenant trois vecteurs consécutifs, et en lisant de gauche à droite : les deux premiers vecteurs forment le produit vectoriel, le troisième donne le résultat avec un signe + (voir exemple sur la figure 56; de droite à gauche : les deux premiers vecteurs forment le produit vectoriel, le troisième donne le résultat avec un signe (voir exemple sur la figure 56 5

27 Deuxième partie Exercices 6

28 Chapitre 6 Résolution d équations et d inéquations Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Nombres réels Suites de nombres réels Equations différentielles Echauffement : 0 minutes Soient a,b R tels que a b Résoudre l équation d inconnue x R : x + b = a Résoudre les inéquations suivantes d inconnue x R : (a x + 4 3, (b 3 x > 5, (c x 5 < 3, (d 3 4x 7 3 Résoudre les équations suivantes d inconnue x C : (a x 4x + 4 = 0, (b 3x x + = 0, (c x x + = 0 INDICATIONS P 59 7

29 Déterminer, en justifiant la réponse, les courbes qui correspondent aux valeurs : i a =, b = 4, c =, 8 Exercice corrigé (a Résoudre l équation d inconnue x R : (b Résoudre l inéquation d inconnue x R : (c Résoudre l équation d inconnue x R : Soient a,b,c R tels que a 0 Soit : 3x + 6x 3 = 7 6 3x + 6x ( 3x + 6 6x 3 f : R R x ax + bx + c (a Montrer que la courbe représentative de f admet un extremum (c est-à-dire un maximum ou un minimum au point d abscisse x = b a (b Déterminer lim f (x et lim f (x x + x On étudiera différents cas en fonction du signe de a (c On considère les courbes suivantes :

30 ii a =, b = 4, c =, iii a =, b =, c =, iv a =, b =, c =, v a =, b =, c = CORRECTION P 69 Exercice à préparer Soient a,b,c,d R tels que a 0 et d 0 On considère l équation d inconnue x R : (a x(d x bc = 0 (a Donner une condition sur a, b, c, d pour que cette équation admette deux racines réelles distinctes (b On considère l équation d inconnue x R : ( x( x 6 = 0 Montrer que cette équation admet deux racines distinctes et déterminer ses racines que l on notera r et r avec r > r On pose : x 0 =, y 0 =, (c Montrer que, pour tout n N, pour tout n N, x n+ = x n 3y n, y n+ = x n + y n, pour tout n N, X n = x n y n, Y n = x n + 3y n X n = r n et Y n = 7r n (d En déduire, pour n N, les valeurs de x n et de y n en fonction de n Soient a,b,c R tels que a 0 On considère l équation d inconnue x R : ax + bx + c = 0 (a Donner une condition sur a,b,c pour que cette équation admette au moins une racine r R On suppose dorénavant que cette condition est vérifiée (b On pose : f : R R x e r x Sans calculer r, montrer que, pour tout x R : (c On pose : a f (x + b f (x + c f (x = 0 g : R R x xe r x Quelle relation a,b,c doivent-ils vérifier pour que, pour tout x R : INDICATIONS P 59 ag (x + bg (x + cg (x = 0 9

31 Exercice supplémentaire On considère l équation (E d inconnue x R : (a Montrer que est solution de (E x 3 8x + 7x 0 = 0 (E (b Montrer qu il existe trois réels a,b,c tels que, pour tout x R, et déterminer leurs valeurs (c Résoudre l équation (E (d Soit r une racine de (E On pose Montrer que, pour tout x R : On considère l équation (E d inconnue x C : x 3 8x + 7x 0 = (x (ax + bx + c, f : R R x e r x f (x 8f (x + 7f (x 0f (x = 0 x 4x + 5 = 0 (E (a Résoudre l équation (E (b On pose et Montrer que, pour tout x R, g : R R x cos(xe x, h : R R x sin(xe x g (x 4g (x + 5g (x = 0 et h (x 4h (x + 5h(x = 0 INDICATIONS P 60 30

32 Chapitre 7 Puissances et suites géométriques Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Suites de nombres réels Echauffement : 30 minutes Simplifier (sans utiliser la calculatrice les expressions suivantes : a = , b = ( 7, c = + 8 ( 5, d = Soient x R, y R Simplifier les expressions suivantes : A = x 5 (x 3 (x y9, B = y 7, C = y 9 + ( y 4 ( y 0 y 7 + y (y ±, D = ( y On considère les suites suivantes : { u0 =, pour tout n N, u n+ = u n, { v =, pour tout n N, v n+ = 3 v n Exprimer u n en fonction de n N et v n en fonction de n N 4 On considère les suites suivantes : pour tout n N, u n = + e n, pour tout n N, v n = n + Montrer que les suites (u n n N et (v n n N sont croissantes INDICATIONS P 60 3

33 Exercice corrigé Soit x R On veut montrer les résultats connus suivants : si x <, alors lim n + xn = 0, si x >, alors lim n + xn = +, si x =, alors lim n + xn =, si x, alors la suite (x n n N n a pas de limite en + On pose, pour tout n N, u n = x n Si x =, montrer que lim n + u n = Si x =, montrer que la suite (u n n N n a pas de limite en + 3 On suppose, dans cette question, que x < (a Montrer que la suite ( u n n N est décroissante (b Montrer que la suite ( u n n N est minorée (c Montrer que la suite ( u n n N converge On pose l = lim n + u n (d Supposer que l 0 et obtenir une contradiction (e Montrer que lim u n = 0 n + 4 On suppose, dans cette question, que x > (a Montrer que la suite ( u n n N est croissante (b On suppose, dans cette question, que x > i Montrer que, pour tout n N, u n n(x + On pourra étudier la fonction définie, pour tout x [,+ [, par f (x = x n n(x ii Montrer que lim u n = + n + (c On suppose, dans cette question, que x < i Montrer que lim n + u n = + ii En raisonnant par l absurde, montrer que la suite (u n n N n a pas de limite en + CORRECTION P 7 Exercice à préparer Les questions de cet exercice sont indépendantes (a Montrer que, pour tout n N, n 3 n + 4 n = 4 n ( + n ( 3 4 n 3

34 (b Montrer que : lim n + n 3 n + 4 n = + (a Montrer que, pour tout n N, (b Montrer que, pour tout n N, (6 n 3 n = 6 ( n n 3 n 5 36 n 3 n = 6 (5 n n 3 n (c En déduire : 3 Déterminer : (6 n 3 n lim n n 3 n ( n + 7 n 3 n lim n + 4 n + 6 n+ 4 On définit la suite : { u0 =, pour tout n N, u n+ = n +n+ (n+ + u n (a Montrer que, pour tout n N, 0 u n+ u n (b Montrer que, pour tout n N, 0 u n n+ (c En déduire la limite de la suite (u n n N INDICATIONS P 60 Exercice supplémentaire Montrer que, pour tout n N, pour tout x > 0 : x n = e n ln x Montrer que : ln( + x lim = x 0 x On pourra utiliser la définition du nombre dérivé et remarquer que : ln(+x x 3 Soit a ],+ [ = ln(+x ln(+0 x 0 (a Montrer que : (b Montrer que : lim ( n ln + a = a n + n ( lim + a n = e a n + n 33

35 Remarque : on a lim + a = et pourtant, en général, n + n lim n + 4 Trouver une suite (u n n N telle que lim u n = et lim n + n + un n = + 5 Trouver une suite (v n n N telle que lim v n = et lim n + n + vn n = 0 INDICATIONS P 6 ( + a n n 34

36 Chapitre 8 Récurrences Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Raisonnements de début d année Avertissement La compréhension des raisonnements par récurrence signifie que l on sait faire le raisonnement mais également que l on sait quand le faire Toutes les questions de ce paragraphe ne se traitent donc pas par récurrence, c est à vous de voir si c est le cas ou non Notation Soit n N, soit f une fonction Si elle existe, on note f (n la dérivée n-ième de f Par convention, on pose f (0 = f On a donc : f (0 = f, f ( = f, f ( = f, f (3 = f, Echauffement : 30 minutes On pose, pour tout n N, Montrer que, pour tout n N, u n u n = + cos(πn + (a Soit n N, montrer que si n est pair, alors n est pair et que si n est impair, alors n est impair (b On pose u 0 N et, pour tout n N, u n+ = u n + u n Montrer que, pour tout n N, u n est un entier pair 35

37 3 Soit f : R R, x e 3x Montrer que, pour tout n N, f (n : R R, x 3 n e 3x 4 Soit f : R R, x x cos(πx (a Montrer que, pour tout n N, f (n f (n + (b Montrer que f n est pas croissante INDICATIONS P 6 Exercice corrigé On pose : v 0 = et, pour tout n N, v n+ = (n + v n (a Montrer que, pour tout n N, v n 0 (b Montrer que la suite (v n n N est croissante (c Montrer que, pour tout n N, v n n (d En déduire lim v n n + (e Montrer que, pour tout n N, v n = 3 n Pour n N, v n est appelée la factorielle de n et on note, pour n N : On pose, pour tout n N : (avec la convention 0 0 = et n! = v n = 3 n f n : R R x xn e x x n e x u n = dx = 0 n! n! (a Soit n N, exprimer f n en fonction de f n et de f n (b Soit n N, calculer 0 f n (xdx (c Calculer u 0 (d Montrer que, pour tout n N : 0 u n = u n en! (e Montrer que la suite (u n n N est décroissante (f Montrer que, pour tout n N, u n 0 (g En déduire que la suite (u n n N converge (h Montrer que, pour tout n N : (i En déduire la limite de la suite (u n n N CORRECTION P 73 u n n! f n (xdx 36

38 Exercice à préparer On pose : f : R R x xe 3x Montrer que, pour tout n N : f (n : R R x 3 n xe 3x + n3 n e 3x (a Etudier les variations de f (b Montrer que f ( 3 > 3 On pose u 0 R et, pour tout n N, u n+ = f (u n 3 Que peut-on dire de la suite (u n n N lorsque u 0 = 0? On justifiera la réponse 4 Montrer que si la suite (u n n N converge vers l R, alors l = 0 5 On suppose dans cette question que u 0 ]0,+ [ (a Montrer que, pour tout n N, u n ]0,+ [ (b Montrer que la suite (u n n N est croissante (c Montrer que, pour tout n N, u n u 0 (d Montrer que lim u n = + n + 6 On suppose dans cette question que u 0 [ 3,0[ (a Montrer que, pour tout n N, u n [ 3,0[ (b Montrer que, pour tout x [ 3,0[, f (x x 0 (c En déduire que la suite (u n n N est croissante (d Montrer que lim u n = 0 n + 7 On suppose dans cette question que u 0 ], 3 [ (a Montrer que u [ 3,0[ (b En déduire la limite de la suite (u n n N INDICATIONS P 6 Exercice supplémentaire On pose : (a Etudier les variations de f f : [0,] R x ln(x + + +ln (b Montrer, sans utiliser la calculatrice, que 0 f ( f (0 (c Montrer que, pour tout x [0,], on a f (x [0,] 37

39 On pose u 0 = 0 et, pour tout n N, u n+ = f (u n (a Montrer que cette suite est bien définie (b Montrer que, pour tout n N, u n u n+ (c Donner les valeurs exactes, puis, en utilisant la calculatrice, des valeurs arrondies à 0 près de u 0, u, u et u 3 (d Montrer que la suite (u n n N est croissante (e Montrer que la suite (u n+ n N est décroissante (f La suite (u n n N est-elle monotone? INDICATIONS P 6 38

40 Chapitre 9 Géométrie plane et trigonométrie Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Cours de physique (optique, Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct R = (O, i, j Sauf mention du contraire, les coordonnées des points seront données dans ce repère et les coordonnées des vecteurs dans la base ( i, j Echauffement : 5 minutes Simplifier (sans utiliser la calculatrice : 0, + 0,3 (0, +,6 0,4 0, a =, b =, c = 0, 0,9,6,3, d = 0 (0, + 0,3 Soit A le point de coordonnées (,, soit B le point d ordonnée, d abscisse strictement inférieure à et tel que AB = triangle ABC soit rectangle en A et tel que BC = (a Représenter les points A, B et C sur une figure 5 (b Calculer l abscisse de B (c Calculer la longueur AC (d Soit θ l angle formé par les vecteurs B A et BC Calculer le cosinus et le sinus de θ En déduire la valeur de θ INDICATIONS P 6 Soit C le point d abscisse strictement supérieure à, tel que le

41 Exercice corrigé Soit A un point du plan de coordonnées (x A, y A Soit B un point du plan de coordonnées (x B, y B tel que x A x B Soit u un vecteur du plan de coordonnées (x 0, y 0 tel que x 0 0 (a Montrer que la droite (AB est bien définie et n est pas verticale On peut donc considérer a,b R tels que la droite (AB ait pour équation : y = ax + b (b Montrer que : (c Montrer que : a = y A y B x A x B b = x A y B x B y A x A x B Soit D la droite passant par A et dirigée par u (a Montrer que la droite D est bien définie et n est pas verticale On peut donc considérer a,b R tels que la droite (AB ait pour équation : y = ax + b (b Montrer que : (c Montrer que : a = y 0 x 0 b = x 0y A x A y 0 x 0 3 Soit D la droite passant par A et dirigée par u (a Montrer qu on peut se ramener au cas où x 0 > 0 (b Soit θ ] π, π [ l angle orienté ( i, u Faire une figure en indiquant θ On dit que θ est l angle entre l axe des abscisses et D (c Donner une formule reliant cosθ, sinθ et la pente de D 4 Applications : (a Calculer la pente de la droite D, l équation réduite de la droite D et l angle θ entre l axe des abscisses et D, dans les cas suivants : i D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, et dirigée par le vecteur u de coordonnées ( 3,3, ii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3, et dirigée par le vecteur u de coordonnées ( 3,, iii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3 et le point B de coordonnées ( 8,3,, 5 iv D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3,0 et le point B de coordonnées ( 3,6 (b Donner l équation réduite de la droite D et un vecteur directeur de la droite D dans les cas suivants : i D est la droite passant par le point A de coordonnées (, et faisant un angle θ = π 4 avec l axe des abscisses, 40

42 On a alors : AD AB = AE DE = AC BC (a Traduire vectoriellement les hypothèses suivantes : i D est un point de la droite (AB, ii E est un point de la droite (AC, iii (DE et (BC sont parallèles (b Soient a,b R Montrer que si a AB + b AC = 0, alors a = b = 0 (c Conclure (d On considère la configuration suivante : 4 ii D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3,6 et faisant un angle θ = π 6 avec l axe des abscisses CORRECTION P 75 Exercice à préparer Preuve vectorielle du théorème de Thalès On rappelle l énoncé du théorème de Thalès (vu au collège et utile pour la physique de prépa : soient A,B,C trois points du plan deux à deux distincts et non alignés, soit D un point de la droite (AB, soit E un point de la droite (AC On suppose que les droites (DE et (BC sont parallèles

43 Montrer que : Soient A,B,C trois points du plan F A F O = OA OA (a Soit G l unique point du plan tel que : OG = 3 ( OA + OB + OC i Montrer que : G A + GB + GC = 0 ii Soit M un point du plan Montrer que : (b Soit I le milieu du segment [AB] M A + MB + MC = 3MG i Montrer que : GI + GC = 0 ii Montrer que G appartient à la droite (IC (c Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC, c est-à-dire que G est l intersection des médianes du triangle ABC INDICATIONS P 63 Exercice supplémentaire On considère un second repère orthonormé direct du plan R = (O, I, J tel que l angle entre i et I soit égal à θ ] π, π [ Soit u un vecteur de norme faisant un angle α ] π, π [ avec i 4

44 (a Déterminer l affixe de u dans la base ( i, j (b Déterminer les coordonnées de u dans la base ( i, j (c Déterminer l affixe de u dans la base ( I, J (d Déterminer les coordonnées de u dans la base ( I, J On considère le vecteur v de coordonnées (3, 3 dans la base ( i, j (a Déterminer la norme de v (b Déterminer l angle entre i et v 3 On considère, dans cette question, que α = π 3 (a Déterminer les coordonnées de u dans la base ( i, j (b Déterminer l angle formé par i et u + v INDICATIONS P 63 43

45 Chapitre 0 Dérivation et intégration Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Etude de fonctions Fonctions usuelles Primitives Echauffement : 0 minutes (a Soient x, y R Exprimer en fonction de e x et e y les quantités suivantes : a = e x y, b = e x + e x, c = e3x + e y x e x+y + e y 3x (b Soient x, y R + Exprimer en fonction de ln(x et ln(y les quantités suivantes : ( a = ln(x y 5, b = ln x + e ln(y+ x, c = ln(y e ln x ( (x + ln x e (c Dire pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont un sens et les simplifier : a = ln (3 e x, b = ln ( (e x + e x e x (e x + e 3x, c = e ln(x4 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f : R R x x 4, g : R + R x ln(xe x, h : R R x e 3x ln(x + INDICATIONS P 63 44

46 Exercice corrigé On pose : f : R R { x x si x x 7 x + 4 si x > (a Etudier les variations de f sur ],] et sur ],+ [, ses limites en ± et tracer la courbe représentative de f (b Soit x R + Calculer : x 0 f (tdt (a Déterminer a, b R, tels que, pour tout x R \ {, } : x x 6 x = + a x + + b x (b En déduire la valeur de : 3 (a On pose : Calculer la dérivée de f (b En déduire la valeur de : 5 I = 3 x x 6 x dx f : R + R x x ln x J = e x ln x dx CORRECTION P 77 Exercice à préparer On pose : f : R R x e (x / si x x+ si < x < (x si x (a Etudier les variations de f sur ],], sur ],[ et sur ],+ [, ses limites en ± et tracer la courbe représentative de f (b Soit x R + Calculer : x 0 f (tdt (a Déterminer a, b, c R, tels que, pour tout x R \ {} : x 3x + 3 (x 3 = a x + b (x + c (x 3 45

47 (b En déduire la valeur de : 5 x 3x + 3 I = 3 (x 3 dx 3 (a On pose : f : R + R x e(x x Calculer la dérivée de f et la dérivée seconde de f (b En déduire la valeur de : INDICATIONS P 64 J = e (x (x dx x 3 Exercice supplémentaire (a Montrer que, pour tout x R +, ex + e x (b Montrer que, pour tout y [,+ [ : 0 < y y y + y (c Soit y [, + [, résoudre l équation d inconnue X [, + [ : X + X = y (d Soit y [,+ [, résoudre l équation d inconnue x R + : e x + e x = y On pose : (a Calculer la dérivée de f (b En déduire la valeur de : (c Calculer : f : ],+ [ R x ln(x + x 3 I = t dt lim x x t dt INDICATIONS P 64 46

48 Chapitre Formules de trigonométrie Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Nombres complexes Echauffement : 0 minutes (a Simplifier : π 3 π 4 (b En déduire les valeurs de cos π et sin π (a Simplifier : π 3 + π 4 (b En déduire les valeurs de cos 7π 7π et sin 3 Soit θ R (a Résoudre l équation d inconnue x R : x x + sin θ = 0 (E On pensera à utiliser la relation, valable pour tout x R, cos x+sin x = afin de simplifier le discriminant (b Déterminer les solutions de (E dans les cas particuliers : θ = 0, θ = π 3, θ = π 3, θ = π 6 INDICATIONS P 65 Exercice corrigé Soit θ R 47

49 (a Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de cos(π θ en fonction de cosθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (b Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de sin(π + θ en fonction de sinθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (c Déterminer, en utilisant les questions précédentes, les valeurs de cos π 3 et de sin 7π 6 (d Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de cos ( π θ en fonction de sinθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (e Déterminer à partir du cercle trigonométrique l expression de sin ( π θ en fonction de cosθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu (a Résoudre l équation d inconnue x R : cos x = sinθ (b Soit x R, montrer que : cos x + sin x = ( cos x π 4 (c Résoudre l équation d inconnue x R : cos x + sin x = sinθ Préciser le résultat obtenu dans le cas particulier θ = 3π 4 (d Résoudre l équation d inconnue x R : cos x + sin x = cosθ + sinθ CORRECTION P 78 Exercice à préparer Soit θ R (a Exprimer cos(θ en fonction de cosθ (b Exprimer cos(3θ en fonction de cosθ (c Exprimer sin(3θ en fonction de cosθ et sinθ (d Exprimer cos(5θ en fonction de cosθ Posons a = cos π 0 (a Montrer que a > 0 (b Montrer que : 6a 4 0a + 5 = 0 3 Résoudre (sans utiliser la calculatrice, l équation d inconnue x R : 6x 0x + 5 = 0 48

50 4 (a Montrer que a > (b Montrer (sans utiliser la calculatrice que : (c Déterminer la valeur de a Déterminer les valeurs de sin π 0, cos π 5 et sin π 5 8 < INDICATIONS P 65 Exercice supplémentaire On pose, pour tout n N, ( π ( π u n = cos n et v n = sin n Calculer u 0,u,u, v 0, v et v (a Montrer que, pour tout n N, un + u n+ = On fera attention à bien étudier le signe avant de conclure (b Montrer que, pour tout n N, v n v n+ = ( vn + (c Calculer u 3 et v 3 3 Montrer que, pour tout n N, (u n + v n = 4v n+ 4 Montrer que, pour tout n, u n v n = ( ( n + π cos n 5 Montrer que, pour tout n N, (u n + i v n n+ = INDICATIONS P 66 49

51 Chapitre Fonctions cosinus et sinus Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Fonctions usuelles Cours de physique (signaux physiques, Complément Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors : x cos(u(x est dérivable sur I et a pour dérivée x u (x sin(u(x, x sin(u(x est dérivable sur I et a pour dérivée x u (x cos(u(x Echauffement : 5 minutes Simplifier les expressions suivantes : Résoudre l inéquation d inconnue x R : ( π A = π ( π π, 3 B = π 5 + 3π 4 π 5 3π 0 x + π 3 < π 3 Résoudre l inéquation d inconnue x R : 0 < 3x + π 6 3π 50

52 4 Calculer la dérivée des fonctions suivantes : INDICATIONS P 67 f : x cos(x + sin(3x, f : x cos(x sin(3x ( x f 3 : x (cos x 7, f 4 : x sin π Exercice corrigé Soit f : R R x cos ( x + π 3 (a Calculer f (0, f ( π 6, f ( π 3 et f ( π 6 (b Calculer f et en déduire les variations de f sur l intervalle [ π 3, 5π ] 3 (c Tracer la courbe représentative de f sur l intervalle [ π 3, 5π ] 3 (d En utilisant la périodicité de la fonction f, tracer la courbe représentative de f sur l intervalle [ 3π,3π] (e Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction cos Comment passe-t-on de la courbe représentative de cos à celle de f? Soit g : R R x cos(x (a Calculer g (0, g ( π 4 et g ( π (b Calculer g et en déduire les variations de g sur l intervalle [0,π] (c Tracer la courbe représentative de g sur l intervalle [0,π] (d Montrer que, pour tout x R, g (x + π = g (x (e En déduire la courbe représentative de g sur l intervalle [ 3π,3π] CORRECTION P 8 Exercice à préparer Soit f : R R x cos ( 5x + π 4 (a Montrer que, pour tout x R, f ( x + π 5 = f (x (b Comment pourra-t-on, à partir de la courbe représentative de f sur [ 0, π 5 courbe représentative de f sur [ π, π]? Calculer f (0, f ( ( π 5 et f π 5 3 Calculer f et en déduire les variations de f sur l intervalle [ π 0, 7π 0 ] 4 Tracer la courbe représentative de f sur [ π 0, 7π 0 ] puis sur [ π,π] INDICATIONS P 67 ], obtenir la 5

53 Exercice supplémentaire Soient ω R, ϕ [0,π] f : R R Soit t cos ( ωt + ϕ On suppose que la courbe représentative de f est la suivante : La droite représentée sur cette figure est la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 Le but de cet exercice est de déterminer, par lecture graphique, les valeurs de ω et ϕ (a Calculer f (0 puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f (0 (b En déduire la valeur de ϕ Première méthode pour la détermination de ω (a Calculer f (0 puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f (0 (b En déduire la valeur de ω 3 Seconde méthode pour la détermination de ω (a Montrer que, pour tout t R, f ( t + π ω = f (t (b Donner, avec la précision permise par le graphique, une valeur de de T telle que, pour tout t R, on ait f (t +T = f (t (c En déduire la valeur de ω INDICATIONS P 67 5

54 Chapitre 3 Nombres complexes Notions utilisées dans le(s chapitre(s: Nombres complexes Echauffement : 40 minutes Simplifier les quantités suivantes : a = 4+3i i i, b = +i i, c = 4 + 3i +i i d = ( i ( + 3 i, e = i i 7+4i Calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le module des nombres complexes suivants : z = ( + i (3 8i, z = 3 Calculer le module des nombres complexes suivants : 3 i ( i, z 3 = ( 3 i 6 z = ( + i 4, z = ( 8 i 7, z 3 = + i a où a,b R, (a,b (0,0 b + i a 4 Déterminer un argument des nombres complexes suivants : INDICATIONS P 67 z = ( i 7, z = 3 i ( + i 5, z 3 = ( + i 3( + i 3, z 4 = i ( 3 + i 5, 53

55 Exercice corrigé (a Soit θ R Montrer que : (b Soient p, q R i Montrer que : e iθ + e iθ = cosθ et eiθ e iθ = sinθ i e i p + e i q = e i p+q cos ii Déterminer une formule analogue pour e i p e i q (c Soient p, q R Calculer e i p + e i q et e i p e i q On pose z = e i π 4 + e i π et z = e i π 4 e i π (a Calculer z et z en fonction de cos ( π et sin ( π (b Déterminer un argument de z et de z 3π i 3 On pose z 3 = e 5 + e i π 3π 5 i et z 4 = e 5 e i π 5 (a Calculer z 3 et z 4 en fonction de cos ( ( 8π 5 et sin 8π 5 (b Déterminer un argument de z 3 et de z 4 4 Soient p, q ] π,π] (a Montrer que π < p q < π (b Montrer que e i p + e i q a pour argument : p + q si p q [ π,π], p + q + π sinon (c Montrer que e i p e i q a pour argument : p + q + π si p q [0,π[, p + q + 3π sinon CORRECTION P 83 ( p q Exercice à préparer On pose z 0 = + i Calculer z 0, z3 0 et z4 0 On donnera les réponses sous forme algébrique et sous forme exponentielle On considère l équation d inconnue z C : z 4 6z 3 + 8z 4z + 6 = 0 (E 54