Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire

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1 Produit scalaire 1ère STI2D I - Expressions et propriétés du produit scalaire 1 Définitions Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, noté u v, est le nombre, u v = u. u.cos ( u, v. u v θ u v = u. u. cosθ Si, et sont trois points du plan, alors : = cos( Exemple : 2 1 O u 1 v 2 u v = 2 2 cos π 4 = 6 Propriétés Si les vecteurs u et v sont colinéaires de même sens, alors u v = u. v. Si les vecteurs u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u v = u. v. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u v u v = 0 ttention : la différence du produit entre nombres réels, on n a donc pas u v = 0 u = 0 ou v = 0! Définition et notation : Pour tout vecteur u, on note u 2 = u u = u 2. u 2 est le carré scalaire du vecteur u. 2 Propriétés du produit scalaire Propriété Pour tous vecteurs u, v, w et pour tout nombre réel k : u v = v u u ( v + w = u v + u w (k u v = u (k v = k u v Exemples : 2 u ( v w = 2 u v 6 u w ( u + v 2 = ( u v 2 = ( u v ( u + v = Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 1/8

2 Exercice 1 est un triangle équilatéral de côté 4 cm. I est le milieu de []. alculer les produits scalaires : a b I c I I I Exercice 2 D est un carré de côté 2 cm de centre O. alculer les produits scalaires : a D b c D d O D D O Exercice Dans le triangle ci-contre, H est le projeté orthogonal de sur la droite (. On donne de plus = 2, = 4, et = π. a alculer H. b I c Déterminer et H. d Que remarque-t-on? 2 π H Projection orthogonale Propriété Soit et D deux vecteurs, et et D les projetés othogonaux de et D sur la droite (; alors D = D. D D = D D Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 2/8

3 Soit deux vecteurs et et H la projection orthogonale du point sur la droite (. Si et H ont le même sens : Si et H ont un sens contraire : = = H H Exercice 4 est un triangle isocèle de sommet tel que = 2, 5 cm et = cm. I est le milieu de []. Exprimer le produit scalaire de deux manières différentes, et en déduire la valeur de l angle  à 0, 1 degré près. 4 Propriétés du produit scalaire I 5 Produit scalaire et coordonnées Propriété Soit dans un repère orhonormal 0; i, j les vecteurs u(x; y et v(x ; y, alors Exercice 5 Dans un repère orthonormal u v = xx + yy 0; i, j, calculer le produit scalaire u v dans chacun des cas suivants, et en déduire une valeur de l angle ( u, v à 0, 1 degré près. ( a u(1; 2 et v(6; 5 b u( 2; 4 et v ; 1 c u( 2; 2 et v( 2; 1 2 II - pplications du produit scalaire 1 Equation de droites Exercice 6 Le plan est rapporté à un RON O; i, j. On considère les points (1; 1, (;, ( 4; 4, D(2; 1, E(17; 12 et F(5; Montrer que (//(D. 2. Montrer que ( (EF.. Déterminer l équation de la droite d perpendiculaire à ( et passant par l origine du repère. 4. Déterminer de deux méthodes différentes l équation de la médiatrice de []. Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S /8

4 Propriété 1. Dans un RON, une droite a pour vecteur normal n(a; b si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Démonstration: 2. Une droite a pour vecteur directeur u(a; b si et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme bx ay + c = Soit d une droite de vecteur normal n(a; b, (x ; y d et M(x; y d. On a alors, M u = 0 a(x x +b(y y = 0 ax+by+c = 0, avec c = ax +by. 2. Soit d une droite de vecteur directeur u(a; b, (x ; y d et M(x; y d. On a alors, M et u colinéaires (x x b (y y a = 0 bx ay+c = 0, avec c = bx ay 2 aractérisation d un cercle Le cercle de centre I(x 0 ; y 0 et de rayon r est l ensemble des points M(x; y du plan tels que OM 2 = r 2. On a OM(x x 0 ; y y 0, et donc, dans un RON O; i, j, OM 2 = OM 2 = (x x (y y 0 2, d où Propriété Dans un RON centre I(x 0 ; y 0 est O; i, j, l équation du cercle de (x x (y y 0 2 = r 2. O x i 0 Exemple : L équation (x 2 + (y = 12 est l équation du cercle de centre I(; 2 et de rayon r = 12 = 2. y 0 j M(x; y Exercice 7 Le point (1; 2 appartient-il au cercle d équation : x 2 + y 2 4x 2y + = 0? e point appartient-il à la droite d d équation y = 2x? Déterminer les coordonnées des points d intersection de d et de. Propriété Le cercle de diamètre [] est l ensemble des points M tels que M M = 0 : M M M = 0. Exemple : Soit le cercle de diamètre [] avec ( 1; et (4; 5. Soit M(x; y un point de, alors M ;, et ( M ; M M = 0..., d où Remarque : Tout cercle a donc une équation de la forme x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (polynçome du second degré à deux variables. Par contre, une équation de cette forme n est pas nécessairement celle d un cercle. Exercice 8 Déterminer une équation du cercle : Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 4/8

5 1. 1 de centre ( ; 4 et de rayon 2; 2. 2 de centre ( 1; 1 passant par (; 2;. de diamètre [O] avec D(0; 2; 4. 4 de diamètre [EF] avec E(2; 1 et F( 4; 1; 5. 5 circonscrit au triangle OMN avec M( ; 2 et N(4; 6 (Indication : quelle est la nature du triangle OMN. Exercice 9 Dans un RON O; i, j, on donne les équations suivantes. Pour chacune d entre elle, dire s il s agit de l équation d un cercle, et si oui, préciser son centre et son rayon. 1. x 2 + y 2 2x + y + 5 = 0 2. x 2 + y 2 2x + 4y + 5 = 0. 2x 2 + 2y 2 4x 6y + 7 = x 2 + y 2 2x 2y 2 = 0 5. (x 1(x + (y + 2(y 1 = 0 6. x 2 + y 2 2x 4y + 7 = 0 Exercice Déterminer le centre et le rayon du cercle dont une équation dans le RON O; i, j x 2 + y 2 2x 2y 8 = Déterminer les coordonnées des points d intersection de ce cercle avec les axes du repère. Exercice 11 Déterminer l équation du cercle de centre ( 1; 4 et tangent à l axe des abscisses. Exercice 12 On donne le point (1; 2 et la droite d d équation x + 2y = 0. Démontrer que le cercle de centre passant par O est tangent à d. Formules trigonométriques est : Propriété (Formules d addition Pour tous nombres réels a et b, cos(a b = cos a cosb + sin a sin b cos(a + b = cos a cosb sin a sin b sin(a b = sin a cosb cosasin b sin(a + b = sin a cosb + cos a sin b Démonstration: Dans un RON (O; i, j, on considère les points et tels que : ( i, O = a, ( i, O = b On a alors les coordonnées : O(cosa, sin a et O(cosb, sin b, d où, O O = cosacosb + sin a sin b. On a de plus, d après la relation de hasles pour les angles orientés : ( O, O = ( O, i + ( i, O = a + b = b a. insi, on peut aussi écrire, O O = O O cos( O, O = cos(b a = cos( (b a = cos(a b d où la première formule. Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 5/8

6 ette formule étant vraie pour tous réels a et b, on peut aussi lappliquer aux réels a et b : cos(a ( b = cos a cos( b + sin a sin( b = cosacosb sin a sin b car cos( b = cosb et sin( b = sin b. On obtient la formule suivante en écrivant : ( π sin(a b = cos 2 (a b (( π = cos 2 a + b = cos ( π 2 a cos b sin = sin a cosb cos a sin b ( π 2 a sin b Propriété (Formules de duplication Pour tout réel a, cos 2a = cos 2 a sin 2 a et sin 2a = 2 sin a cosa = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a Démonstration: D après : cos(a+b = cos a cosb sin a sin b, on a, avec a = b, cos 2a = cos 2 a sin 2 a. De plus, pour tout a, cos 2 a + sin 2 a = 1, d où cos 2 a = 1 sin 2 a, et donc, cos 2a = 1 2 sin 2 a. De même, cos 2a = 2 cos 2 a 1. Exercice 1 1. On donne cos x =. alculer cos 2x. 2. En utilisant la valeur de cos π 6, déterminer les valeurs exactes de cos π 12, et de sin π 12. Exercice 14 On donne cosx = 1 et x [ π 2 ; 0 ]. 1. alculer sin x. 2. En déduire sin 2x et cos 2x. Exercice 15 En utilisant la valeur de cos π 4, déterminer les valeurs exactes de cos π 8 et de sin π 8. Exercice 16 a et b sont deux nombres de l intervalle 1. alculer les valeurs exactes de sin a et cosb. 2. alculer cos(2a + b et sin(2a + b. [ 0; π ] tels que cosa = et sin b = 1. III - Exercices Exercice Soit x [0; π] tel que cosx = 1. Déterminer sin x. 4 [ π ] 2. Soit x 2 ; π tel que sin x =. Déterminer cosx. 5 Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 6/8

7 Exercice 18 O; i, j est un RON direct. Soit et les points du cercle trigonométrique associés aux angles π 4 et π. 1. Quelle est la mesure de l angle ÂO? 2. a Quelles sont les coordonnées de et? b En déduire que O O =. 4. a Justifier que π O O = cos 12. b En déduire la valeur exacte de cos π 12, puis vérifier que sin π =. 4 Exercice 19 Dans les deux cas de figure ci-dessous, calculer la longueur O : O 8 O 4 Exercice 20 On considère un segment [], avec = 2 cm, de milieu I. Montrer que, pour tout point M du plan, M 2 M 2 = 2 IM. Exercice 21 Soit D un carré. On construit un rectangle PQR tel que : P et R sont sur les côtés [] et [D] P = DR. D 1. Justifier que : Q PR = Q ( R P 2. En déduire que les droites (Q et (PR sont perpendiculaires. R Q P Exercice 22 On se place dans un RON, dans lequel on considère le triangle avec ( 1; 2, (; 1 et (2; Déterminer une équation de la médiatrice de []. 2. Déterminer une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Exercice 2 Dans un RON, on donne Ω(2;. 1. Déterminer l équation du cercle de centre Ω et de rayon R = Démontrer que le point ( 2; 0 est un point du cercle.. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en au cercle. Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 7/8

8 Exercice 24 D est un rectangle tel que D = et = 5. E est le milieu de []. 1. alculer les longueurs et DE. 2. En exprimant chacun des vecteurs et DE en fonction des vecteurs et D, calculer le produit scalaire DE. (. En déduire la valeur de l angle θ = DE, en degré à 0, 01 près. D θ E Y. Morel - xymaths.free.fr Produit scalaire- 1ère S 8/8