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1 Fonctions réelles de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50

2 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables On muni le plan d un repère orthonormé direct (O; ı, j ). () Fonctions réelles de deux variables 2 / 50

3 Plan 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 3 / 50

4 Définition Soit A une partie de R 2. On appelle fonction réelle de deux variables sur A une application f : A R. (x, y) f (x, y) () Fonctions réelles de deux variables 4 / 50

5 Remarque: On peut voir f (x, y) comme l altitude du point de coordonnées (x, y) dans R 2 et donc représenter f par la surface {(x, y, f (x, y)), (x, y) A}. Ci-dessous la représentation graphique de la fonction définie sur R 2 par qui est une paraboloïde. f (x, y) = 1 + x 2 + y 2 = 1 + (x, y) 2 () Fonctions réelles de deux variables 5 / 50

6 Notation: Soit (α, β) A un point fixé de A. Les applications f (α, ) : y f (α, y) et f (,β) : x f (x, β) sont appelées les applications partielles associées à f au point (α, β). Chacune de ces deux fonctions a son propre ensemble de définition. Exemple: On considère le domaine A = {(x, y) R 2, x 2 y 2 0} et la fonction f définie sur A par f (x, y) = x 2 y 2. Au point de coordonnées (2, 1), les applications partielles sont f (2,y) = 4 y 2, qui est définie sur [ 2, 2], et f (x,1) = x 2 1, qui est définie sur ], 1[ ]1, + [. Au point (0, 0), les applications partielles sont f (0,y) = y 2, qui est définie uniquement pour y = 0, et f (x,0) = x 2 = x, qui est défini sur R. () Fonctions réelles de deux variables 6 / 50

7 Limite et continuité des fonctions réelles de deux variables Définition Soit A une partie de R 2, f une application de A dans R et a A (ou sur la frontière de A ). On dit que f tend vers l R en a ou admet l pour limite en a si et seulement si ε > 0, η > 0, u A, u a η = f (u) l ε. Le réel l est alors unique et on le note l = lim a f ou l = lim u a f (u). Définition Soit A une partie de R 2, f une fonction définie sur A et a A. On dit que f est continue en a si et seulement si f admet une limite en a (qui est alors nécessairement f (a)). () Fonctions réelles de deux variables 7 / 50

8 Proposition Soit A une partie de R 2 et a A. Soit f : A R. S il existe deux réels k 0 et α > 0 tels que alors f est continue en a. u A {a}, f (u) f (a) k u a α Remarque: Pour démontrer la continuité d une fonction de deux variables en (0, 0), on se sert souvent des inégalités suivantes, valables pour tous réels x, y : x (x, y), y (x, y), x 2 (x, y) 2, y 2 (x, y) 2 et xy (x, y) 2, qui ont bien sûr leur pendant dans R 3. () Fonctions réelles de deux variables 8 / 50

9 Exercice 1 Montrer que f : R 2 R (x, y) est continue au point (0, 0). 3x 2 + xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) () Fonctions réelles de deux variables 9 / 50

10 Proposition Si f et g sont deux fonctions définies sur une partie A de R 2 et continues en a A, alors les fonctions f + g et fg sont continues en a. Si de plus g(a) 0, alors f /g est définie au voisinage de a et continue en a. Définition Soit A une partie de R 2. On dit qu une fonction de 2 variables est continue sur A si et seulement si elle est continue en tout point de A. On note C(A, R) l ensemble des fonctions continues sur A. Exemple: Les fonctions affines de la forme f : (x, y) ax + by + c sont continues sur R 2. () Fonctions réelles de deux variables 10 / 50

11 Définition Soit f une fonction reélle de deux variables définie sur une partie A de R 2. On dit que f est bornée sur A si et seulement si il existe un nombre réel M 0 tel que (x, y) A, f (x, y) M. Proposition Toute fonction f continue sur une partie fermée bornée A de R 2 est bornée sur A. De plus,il existe a et b dans R 2 tels que f (a) et f (b) sont respectivement le plus petit et le plus grand élément de f (A). Remarque: Une partie fermée de R 2 est une partie qui contient son bord. () Fonctions réelles de deux variables 11 / 50

12 Plan 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 12 / 50

13 Dérivée suivant un vecteur, dérivées partielles Définition Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction de deux variables définie sur U. Soit a U et v un vecteur non nul de R 2. On dit que f est dérivable en a suivant le vecteur v si et seulement si D v f (a) = lim t 0 f (a + t v ) f (a) t existe et est un nombre réel. D v f (a) est alors le nombre dérivé de f en a suivant v. () Fonctions réelles de deux variables 13 / 50

14 Exercice 2 Soit a = (1, 1), v = (1, 2) et f : R 2 R. (x, y) x 2 y 3 Montrer que f est dérivable en a suivant v et calculer D v f (a). () Fonctions réelles de deux variables 14 / 50

15 Définition Soit U un ouvert de R 2, f : U R et a = (α, β) U. On appelle dérivées partielles (premières) de f en a = (α, β) les dérivées de f en a suivant les vecteurs e 1 = (1, 0) et e 2 = (0, 1) : f f (α + t, β) f (α, β) (a) = lim x t 0 t dérivée partielle suivant x f f (α, β + t) f (α, β) (a) = lim y t 0 t dérivée partielle suivant y Par définition, une fonction f admet des dérivées partielles premières en a = (α, β) si et seulement si ses applications partielles f (α,.) et f (., β) en a sont dérivables en β et α respectivement. On a dans ce cas : f x (a) = ( f (., β) ) f (α) et y (a) = ( f (α,.) ) (β). () Fonctions réelles de deux variables 15 / 50

16 Exemples: 1 Soit θ : R + R + R (x, y) arctan( y x ) et a = (α, β) R + R +. 2 Soit r : R 2 R (x, y) x 2 + y 2. 3 Soit f : R 2 R. { x 2 (x, y) y si y 0 0 si y = 0 en (0, 0) dans toutes les directions.. Calculer les dérivées de f Remarque: Dans ce dernier exemple, on voit que f admet des dérivées en (0, 0) suivant toutes les directions bien qu elle ne soit pas continue en 0 (car f (x, x 2 ) = 1 pour tout x R ). Ainsi l existence de dérivées même dans toutes les directions n assure pas la continuité. Pour définir une notion de dérivabilité qui implique la continuité il va falloir demander un peu plus que l existence des dérivées directionnelles. () Fonctions réelles de deux variables 16 / 50

17 Fonctions de classe C 1. Définition Soit U un ouvert de R 2. Une fonction f : U R est dite de classe C 1 sur U si et seulement si elle admet des dérivées partielles en tout point de U et si les fonctions dérivées partielles D i (f ) : a D i (f )(a) sont continues sur U. On note C 1 (U) ou C 1 (U, R) l ensemble des fonctions de classe C 1 sur U. Exemple: La fonction θ définie plus haut est de classe C 1 sur R + R +. () Fonctions réelles de deux variables 17 / 50

18 Remarque: Si f est de classe C 1 sur un ouvert U de R 2 alors elle est continue sur U. La somme, le produit et la différence de deux fonctions C 1 (U) est aussi C 1 (U). Le quotient de deux fonctions de classe C 1 sur U est de classe C 1 si le dénominateur ne s annule pas. () Fonctions réelles de deux variables 18 / 50

19 Théorème Soit f une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R 2. Pour tout point a = (α, β) U fixé, on a f ((x, y)) = f (a) + (x α) f f (a) + (y β) (a) + o( (x, y) a ) x y On dit que f admet un développement limité à l ordre 1 en a. Remarque: Ce théorème s interprète géométriquement : la surface définie par f a un plan tangent en a dont l équation est z = f (a) + (x α) f f (a) + (y β) x y (a). () Fonctions réelles de deux variables 19 / 50

20 Exercice 3 écrire le développement limité à l ordre 1 en (0, 0) de f : (x, y) cos(y) 1 x. En déduire une équation du plan tangent en (0, 0) à la surface représentant f. () Fonctions réelles de deux variables 20 / 50

21 Gradient Définition Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction de classe C 1 (U). Soit a U. On appelle gradient de f en a et l on note grad (f )(a) le vecteur ( f f ) grad (f )(a) = (a), x y (a). On appelle gradient de f la fonction grad (f ) : U R 2. a grad (f )(a) Exercice 4 Expliciter le gradient de la fonction f : R 2 R. (x, y) x 2 y 3 () Fonctions réelles de deux variables 21 / 50

22 Théorème Soit f et g deux fonctions de classe C 1 sur un ouvert U de R 2 et λ R. Les fonctions f + g, fg, λf sont de classe C 1 sur U et l on a : et grad (f + g) = grad (f ) + grad (g), grad (fg) = f grad (g) + g. grad (f ). De plus, si f ne s annule pas sur U, on a ( 1 grad f ) = grad (f ) f 2 grad (λf ) = λ grad (f ) () Fonctions réelles de deux variables 22 / 50

23 Théorème Soit U un ouvert de R 2 et f : U R. Si f est de classe C 1 sur U, alors f admet en tout point a de U une dérivée suivant tout vecteur v = (h, k) et D v f (a) = h. f f (a) + k. (a) = grad (f )(a) v. x y De plus, dans ce cas, la fonction ϕ v d une variable réelle t admet un d.l. à l ordre 1 en 0 : f (a + tv) = f (a) + D v f (a)t + o(t). () Fonctions réelles de deux variables 23 / 50

24 Interprétation géométrique du gradient Soit U est un ouvert de R 2. On considère f : U R une fonction de classe C 1 sur U. Soit k réel fixé. On considère la ligne de niveau k de f : E k = { (x, y) U, f (x, y) = k } Sur la ligne de niveau E k, f est constante. Si on note v le vecteur directeur de la ligne de niveau en un point a de cette ligne, on a alors D v f (a) = 0 Comme D v f (a) = grad (f )(a) v, on a grad (f )(a) v = 0 et donc le vecteur grad (f )(a) est orthogonal à v. En tout point, le gradient est orthogonal aux lignes de niveau. () Fonctions réelles de deux variables 24 / 50

25 Différentielle Définition Soit U un ouvert de R 2, f C 1 (U, R), et a U. L application df a : R 2 R v D v f (a) = est une forme grad (f )(a) v linéaire sur R 2, représentée dans les bases canoniques par la matrice ligne J = grad (f )(a). Cette application df a s appelle la différentielle de f en a. () Fonctions réelles de deux variables 25 / 50

26 Remarque: On a l habitude de noter dx et dy les deux formes linéaires coordonnées : On a donc dx : (x, y) x et dy : (x, y) y. df a = f f (a)dx + x y (a)dy Ce qui signifie qu en un point v = (h, k) R 2, on a df a (v) = f f (a)h + x y (a)k On note aussi sans préciser le point a : df = f f dx + x y dy. Exercice 5 Exprimer la différentielle en tout point de la fonction f : (x, y) x 2 y 3. () Fonctions réelles de deux variables 26 / 50

27 Cas des fonctions composées Théorème (fonction d une seule variable) Soit U un ouvert de R 2 et f : U R. Soit I un intervalle de R et u et v deux fonctions réelles définies sur I telles que : t I, (u(t), v(t)) U. On note g l application réelle définie sur I par : t I, g(t) = f (u(t), v(t)). Si u et v sont de classe C 1 sur I et si f est de classe C 1 sur U, alors g est de classe C 1 sur I et on a : t I, g (t) = f ( ) u(t), v(t) u (t) + f ( ) u(t), v(t) v (t) x y ( = grad (f ) ( u(t), v(t) )) (u (t), v (t) ). () Fonctions réelles de deux variables 27 / 50

28 Exemple: Si U est un pays et f la température en chaque point de ce pays. On considère un point M(t) (voiture) qui se déplace dans U et avec les coordonnées (u(t), v(t)). Ainsi la fonction g : I R t f ( u(t), v(t) ) est la variation de la température au cours d un voyage. La dérivée de g est donnée par : ( t I, g (t) = grad (f ) ( u(t), v(t) )) (u (t), v (t) ). Le vecteur ( u (t), v (t) ) est le vecteur vitesse de la voiture donc la dérivée de la température au cours du voyage est le produit scalaire du gradient du champ de températures par le vecteur vitesse du mobile. En valeur absolue, g (t) est d autant plus grand que le vecteur vitesse est dans la direction du gradient. Cela signifie que la variation de température est plus grande lorsque le mobile suit le vecteur gradient. () Fonctions réelles de deux variables 28 / 50

29 Composée d une fonction de deux variables Soit A et B deux ouverts de R 2 et soit u : A R (x, y) u(x, y) f : B R. (u, v) f (u, v) et v : A R. (x, y) v(x, y) On suppose que (x, y) A, ( u(x, y), v(x, y) ) B. g : A R. (x, y) f ( u(x, y), v(x, y) ) On pose () Fonctions réelles de deux variables 29 / 50

30 Théorème Si u et v sont de classe C 1 sur A et f de classe C 1 sur B, alors g est de classe C 1 sur A et l on a (x, y) A, g f ( ) u (x, y) = u(x, y), v(x, y) (x, y) x u x et (x, y) A, + f v + f v ( ) v u(x, y), v(x, y) (x, y) x g f ( ) u (x, y) = u(x, y), v(x, y) (x, y) y u y ( ) v u(x, y), v(x, y) (x, y). y () Fonctions réelles de deux variables 30 / 50

31 Théorème Avec les notations définies plus haut, on obtient au point a A, et pour tout vecteur ω = (h, k) : ( f ( ) u f ( ) v ) dg a (ω) = u(a), v(a) (a) + u(a), v(a) u x v x (a) h + ( f ( ) u f ( ) v ) u(a), v(a) (a) + u(a), v(a) u y v y (a) k qu on écrit abusivement dg = ( f u u x + f v v ) ( f u dx + x u y + f v v ) dy. y () Fonctions réelles de deux variables 31 / 50

32 Exemple: Calcul du gradient et de la différentielle en coordonnées polaires. On pose f : R 2 R, (x, y) f (x, y) On considère x : R 2 R (r, θ) r cos(θ), y : R 2 R. (r, θ) r sin(θ) g : R 2 R. (r, θ) f ( x(r, θ), y(r, θ) ) = f ( r cos(θ), r sin(θ) ) () Fonctions réelles de deux variables 32 / 50

33 On a et g f cos θ) (r, θ) = (x, y) (r + f sin θ) (x, y) (r r x r y r = f f (r cos θ, r sin θ) cos θ + (r cos θ, r sin θ) sin θ x y g f cos θ) (r, θ) = (x, y) (r + f sin θ) (x, y) (r θ x θ y θ = f f (r cos θ, r sin θ)( r sin θ) + (r cos θ, r sin θ)(r cos θ) x y La différentielle est donc ( dg = cos θ f x + sin θ f y ) ( dx + r sin θ f x ) f + r cos θ dy y () Fonctions réelles de deux variables 33 / 50

34 Dérivées partielles secondes Définition Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction de classe C 1 sur U. Soit a U. Si la fonction dérivée partielle f admet des dérivées partielles au x point a, on les note : ( f ) (a) = 2 f x x x 2 (a) et ( f ) (a) = y x 2 f y x (a) De même, si la fonction dérivée partielle f admet des dérivées y partielles au point a, on les note : ( f ) (a) = x y 2 f x y (a) et ( f ) (a) = 2 f y y y 2 (a) () Fonctions réelles de deux variables 34 / 50

35 Remarque: Les dérivées partielles dérivées secondes croisées. 2 f x y, 2 f y x sont également appelées Exemple: Déterminer les dérivées partielles secondes de la fonction f : R 2 R (x, y) exp(x sin(y)). () Fonctions réelles de deux variables 35 / 50

36 Définition Une fonction définie sur un ouvert U de R 2 est de classe C 2 sur U si et seulement si elle admet des dérivées secondes en tout point et si ses quatre fonctions dérivées partielles secondes sont continues sur U. L ensemble des fonctions réelles de classe C 2 sur U est noté C 2 (U, R). C est un R espace vectoriel. () Fonctions réelles de deux variables 36 / 50

37 Théorème (de Schwarz) Soit U un ouvert de R 2. Si f : U R est de classe C 2 sur U alors en tout point a U, on a 2 f x y (a) = 2 f y x (a) Attention : Si les dérivées partielles secondes d une fonction f existent mais ne sont pas continues ce résultat n est plus valable. () Fonctions réelles de deux variables 37 / 50

38 Théorème (Formule de Taylor-Young à l ordre 2) Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction de classe C 2 sur U. La fonction f admet un développement limité d ordre 2 en tout point a U : f (a + v) = f (a) + ph + qk avec p = f f (a), q = x y (a), r = 2 f x 2 (a), s = (notations de Monge). ( rh 2 + 2shk + tk 2) + o( v 2 ), 2 f x y (a) et t = 2 f y 2 (a) () Fonctions réelles de deux variables 38 / 50

39 Exemple: Donner un développement limité à l ordre 2 en (0, 0) de la fonction f : R 2 R. (x, y) e x sin(y) On calcule f (0, 0) = 1, p = sin(y)e x sin y = 0; q = cos(y)e x sin y = 0; r = sin 2 (y)e x sin y = 0; s = cos(y)e x sin y + x sin(y) cos(y)e x sin y = 1; t = x sin(y)e x sin y + x 2 cos 2 (y)e x sin y = 0 Pour tout vecteur v = (h, k), on a donc f ((0, 0) + (h, k)) = 1 + 2hk + o( v 2 ) () Fonctions réelles de deux variables 39 / 50

40 Plan 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 40 / 50

41 Notation: Soit a R 2 et r un réel strictement positif, on note B(a, r) le disque centré en a et de rayon r, sans son bord. Définition Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction réelle de deux variables. Soit a U. On dit que : f présente un maximum local en a lorsqu il existe B(a, r) telle que v B(a, r), f (v) f (a). f présente un minimum local en a lorsqu il existe B(a, r) telle que v B(a, r), f (v) f (a). f présente un maximum global en a lorsque v U, f (v) f (a). f présente un minimum global en a lorsque v U, f (v) f (a). f présente un extremum local en a lorsque f admet en a un minimum local ou un maximum local. f présente un extremum global en a lorsque f admet en a un minimum global ou un maximum global. () Fonctions réelles de deux variables 41 / 50

42 Remarque: Graphiquement, la fonction f admet un extremum local en a si la surface représentant f reste localement en dessous ou au dessus du plan d équation z = f (a). () Fonctions réelles de deux variables 42 / 50

43 Cas d une fonction de classe C 1 Proposition Soit U un ouvert de R 2, f : U R une fonction réelle de classe C 1 sur U et a U. Si f présente un extremum local en a, alors son gradient en a est nul Remarque: Autrement dit, pour que f présente un extremum local en a, il est nécessaire (mais non suffisant) que ses dérivées partielles f f et x y s annulent en ce point. () Fonctions réelles de deux variables 43 / 50

44 Attention : Le gradient de f peut s annuler en un point qui n est pas un extremum local. Il se peut par exemple que l une des dérivées partielles admette en ce point un maximum local et l autre un minimum local et donc que f n admette pas d extremum local en ce point. C est le cas pour la fonction (x, y) x 2 y (représentée ci-dessous) dont le graphe est en forme de selle à cheval : en (0, 0), le gradient s annule sans que la surface ne présente d extremum local. () Fonctions réelles de deux variables 44 / 50

45 Définition Soit f : U R une fonction réelle définie sur un ouvert U de R 2. Un point où les deux dérivées partielles de f sont nulles s appelle un point critique de f. Un point critique n est pas toujours un extremum local mais un extremum local se situe toujours en un point critique. Exercice 6 Soit f (x, y) = x 2 + y 2 2x 4y. étudier les éventuels extrema de f. () Fonctions réelles de deux variables 45 / 50

46 Cas d une fonction de classe C 2 Soit U un ouvert de R 2 et f : U R une fonction de classe C 2 sur U. Soit a un point critique de f. écrivons la formule de Taylor-Young à l ordre 2 en a avec les notations de Monge : pour tout v = (h, k) R, on a f (a + v) f (a) = 1 2 ( rh 2 + 2shk + tk 2) + o( v 2 ). Ainsi, localement, lorsque v est proche de 0, le signe de f (a + v) f (a) est celui de rh 2 + 2shk + tk 2. () Fonctions réelles de deux variables 46 / 50

47 Si r 0, on a en factorisant : ( rh 2 + 2shk + tk 2 = r h s r hk + t ( (h r k2) s = r r k) 2 s 2 rt r 2 k 2) }{{} ( ) donc le signe de f (a + v) f (a) dépend de celui de s 2 rt. si s 2 rt < 0, la quantité ( ) est positive et alors a est un extremum local de f. Plus précisément : si r > 0, on a f (a + v) f (a) > 0. Donc a est un minimum local de f. si r < 0, on a f (a + v) f (a) < 0. Donc a est un maximum local de f. si s 2 rt > 0, le signe de f (a + v) f (a) varie selon les valeurs de h et k. Donc a n est pas un extremum de f mais un point col. si s 2 rt = 0, alors pour h = s r k (correspondant à une direction pour v), le polynôme s annule et tout dépend alors du signe du petit o. On ne peut pas conclure. () Fonctions réelles de deux variables 47 / 50

48 Exemples: Etude des points critiques de la fonction f définie sur R 2 par f : (x, y) xy. Les dérivées partielles sont f f x = y et x = x. Donc le seul point critique est le point (0, 0). On calcule les dérivées secondes en (0, 0) : r = 2 f = 0, s = 2 f x 2 x y = 1 et t = 2 f = 0. Donc s 2 rt = 1 > 0, c est un point col. y 2 () Fonctions réelles de deux variables 48 / 50

49 Etude des points critiques de la fonction f définie sur R 2 par f : (x, y) x 2 + y 2. Les dérivées partielles sont f f x = 2x et x = 2y. Donc le seul point critique est le point (0, 0). On calcule les dérivées secondes r = 2 f = 2, s = 2 f x 2 x y = 0 et t = 2 f = 2. Donc s 2 rt = 4 < 0, donc c est un extremum local. y 2 Comme r > 0, (0, 0) est un minimum local. () Fonctions réelles de deux variables 49 / 50

50 Remarque: Les points selles ne sont pas les seuls points cols : par exemple, voici le graphe de la fonction (x, y) xy(x y)(x + y) qui présente en (0, 0) un point col d ordre 4. () Fonctions réelles de deux variables 50 / 50

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