TS Exercices sur la fonction exponentielle (2)

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1 TS Ercics sur la onction ponntill () Dans ls rcics à, on dmand d détrminr ls nsmbls d déinition d t d dérivabilité d puis d calculr la dérivé d. Lundi Délia El Chatr (TS) Ercic sur ls ponntills () Écrir un corrigé n utilisant ls dérivés (ll voulait parlr ds its? J n sais pas). : : : 0 0 Dans ls rcics à 9, on dmand d détrminr la it d n +. Dans l cas d transormations d écritur, bin précisr pour qulls valurs d cs transormations d écritur sont valabls. : 5 : 5 6 : 7 : 8 : 9 : C quotint st l tau d accroissmnt d la onction ponntill ntr 0 t. Or la onction ponntill st dérivabl n 0. Donc la it n 0 d c tau st l nombr dérivé d la onction ponntill n 0. Or p' p. Donc On considèr la onction :. Détrminr la it d n. On considèr la onction : t l on not C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr orthonormé O, i, j. ) Étudir l sns d variation d (on détaillra l sign d ' ) t ls its d. Calculr l trmum d (valur act). ) Démontrr qu C admt un asymptot obliqu. ) Démontrr qu C admt un branch paraboliqu d dirction Oy n +. ) Fair un ptit tablau d valurs puis tracr C t n prnant cm pour unité graphiqu. Tracr la tangnt horizontal ainsi qu la tangnt T au point A d absciss 0 après avoir chrché son équation réduit. Bin mttr ls pointillés pour ls coordonnés du point corrspondant au minimum (n absciss t n ordonné avc ls valurs acts sur ls as). Vériir sur la calculatric graphiqu.

2 : Corrigé D = \ { } ; st dérivabl sur D n tant qu composé d onction dérivabls. D ' Solution détaillé : 7 () ist si t sulmnt si 0 D = \ { } si t sulmnt si st dérivabl sur D n tant qu composé d onction dérivabls. On pos u( ). D '( ) u '( ) u ( ) ( ) ( ) (ormul d dérivation d un onction du typ u *) ( ) 7 : : D = * ; ' Solution détaillé : ist si t sulmnt si D = * st dérivabl sur D * 0 si t sulmnt si si t sulmnt si 0 si t sulmnt si 0 : Solution détaillé : ' 0 donc D = (ormul dérivation d un quotint) * C st un cas particulir d la ormul d dérivation d un composé v u ' u ' v ' u v u' u ' v ' u On l appliqu ici avc u( ) t v( ). qui s écrit : st dérivabl sur. ' L idé pour ls its st toujours s ramnr à ds its d réérnc avc ponntill pur. : D = ; pas un onction rationnll. pour tout rél 0 ; on n put pas appliqur la règl sur ls monôms car n st

3 Solution détaillé : D = donc n +, on rncontr un F.I. du typ. * (it d réérnc, croissanc comparé) 5 5 : donc par it d un produit. On n déduit qu : 0. Il n y a aucun autr méthod satisaisant. 6 : D = ; Solution détaillé : D = 5 pour tout rél 0 ; 0. donc n +, on rncontr un F.I. du typ. D = ; ; 5 ; 0. Méthod : On ctu un changmnt d variabl. On prnd l posant d l ponntill comm nouvll variabl :. Solution détaillé : D = * 5 donc n +, on rncontr un F.I. du typ «0». 0 On pos d où. ( + ) ( ) 0 donc (it d réérnc, croissanc comparé) donc par it d un somm Autr méthod pas satisaisant proposé par Digo Blétry l mardi --0 : On pos d où. ( + ) ( )

4 0 donc par it d un quotint 0 Autr méthod pas satisaisant proposé par Digo Blétry l mardi --0 : 7 : D = * ; Solution détaillé : D = * Au numératur, on rncontr un F.I. du typ. Pour tout rél 0, on a :. (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm 0. Autr démonstration : à évitr (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm 8 : D = + ; 0 (changmnt d variabl ; on a donc : Solution détaillé : ist si t sulmnt si 0. D = + En +, on rncontr un orm indétrminé du typ «0». On pos donc ( + ) ( ) (it d réérnc) donc 0. ; 6 ). 9 : D = + ; 0 ) (pas d changmnt d variabl ; air la réécritur 0 pour Autr açon d air :

5 Solution détaillé : D = + En +, on rncontr un orm indétrminé du typ «0». * (it d réérnc) donc donc par it d un produit 0. Autr démonstration possibl (mais à évitr) : On pos. ( + ) ( ) donc 0. Idé : 0 théorèm ds gndarms 0 : D = ; 0 (changmnt d variabl Solution détaillé : D = ) ; ( drnièrs ligns pas orcémnt utils, on put s arrêtr à la lign ) 0 Rmarqus : (it d réérnc) donc 0.. Pour la in, on put aussi écrir (mais c n st pas très util) : 0 donc par it d un quotint 0.. On put aussi posr. Ls calculs sont un pu plus longs (la démarch st un pu maladroit). : ) D = st dérivabl sur comm somm d onctions dérivabls sur. ' Il aut résoudr du inéquations t un équation. En, on rncontr un orm indétrminé du typ «0». On pos. ( ) ( )

6 Rappl : ln ln a a Ordr plus logiqu? : 0 () () ln ln ln ln 0 () 0 () () ln ln ln ln 0 () 0 () () ln ln ln ln 0 En +, on rncontr un orm indétrminé du typ. Ecrir. pour 0 puis évntullmnt changmnt d variabl pour détrminr * (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm. ln st strictmnt décroissant sur l intrvall ; t strictmnt croissant sur l intrvall ln ;. ln 7 ln (l calcul du minimum global n st pas très diicil ; il nécssit d bin utilisr ls règls). Calcul du minimum global : ln ln ln ln ln ln ln ln ln 6 ln 7 Sign d Variations d ln + ' ln 7 * Avc l changmnt d variabl =. donc par it d un produit En, pas d changmnt d variabl. 0 donc par it d un somm Ls its d n + t n sont égals à +. ) Démontrons qu la courb C admt un asymptot obliqu... On obsrv l prssion d (méthod pour démontrr qu un courb admt un asymptot quand ctt asymptot n st pas donné) : parti ain 0 parti qui tnd vrs 0 lorsqu tnd vrs On n déduit qu la courb C admt la droit d'équation y pour asymptot obliqu n. N.B. : Il st inutil d écrir qu. L étud d la branch inini n + sra ait à la qustion suivant.

7 ) Démontrons qu la courb C admt un branch paraboliqu d dirction (Oy) n +. On appliqu la méthod du cours pour démontrr qu un courb admt un branch paraboliqu. On étudi. * Pour détrminr, il y a possibilités : - changmnt d variabl ; - réécritur. On trouv :. donc. On n déduit qu C admt un branch paraboliqu d dirction Oy n +. ) Un équation d T s écrit : y ' On calcul séparémnt 0 t Donc T a pour équation y. On pourra rmarqur qu T. ln 0, ln, ' 0. ln C admt un branch paraboliqu d dirction (Oy) n +. j O i C ln , 9, 55,6 0

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