1) Enoncé des exercices corrigés

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1 Cours de statistique des valeurs etrêmes séries d eercices ) Enoncé des eercices corrigés Eercice (Constante d une densité de probabilité) On considère la fonction f() = k ep ; R où k est une constante. Pour quelle valeur de k f dé nit-elle la densité de probabilité d une v.a.c. X? Eercice (espérance de vie d une population) On suppose que la durée de vie d un individu dans une population donnée est modélisée par une v.a.c. X dont la fonction densité de probabilité est donnée par k f() = ( ) si où k est une contante positive. si non. Déterminer la valeur de k.. Calculer la probabilité qu un individu meure entre 6 ans et 7 ans. 3. Quelle est l espérance de vie d un individu dans cette population? Eercice 3 (loi normale ) Dans une université on suppose que la variable "taille" (en centimètres) des étudiants suit une loi normale de moyenne 7 et de variance 64. Déterminer la proportion des étudiants a) dont la taille ecède 3 cm. b) mesurant moins de 6 cm. c) dont la taille est comprise entre cm et cm. Eercice 4 (fonction caractéristique d une eponentielle) Soit X une variable aléatoire réelle dont la densité de probabilité est dé nie par f() = ke jj ; R où k est une constante.

2 a) Déterminer la valeur de k. b) Calculer l espérance mathématique E(X) et la variance V(X) c) Construire la fonction caractéristique de X. Eercice (densités marginales eponentielles) Soit (X; Y ) le couple de variables aléatoires réelles de fonction densité conjointe f XY (; y) = e y avec < < y. Déterminer les fonctions densités marginales f X et f Y. Déterminer les fonctions de répartition marginales F X et F Y 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Eercice 6 (construction d une copule) Déterminer les distributions marginales F() et G(y) associées à la distribution H(,y) puis construire la copule C(u,v) associée à H par le théorème de Sklar. ( + )(e >< y ) sur [ ; ] [; +] a) H(; y) = + e y > e y sur ]; +[[; +[ ailleurs n b) H (; y) = ep h( + y) + y io ; c) H (; y) = [ + e + e y + ( ) e y ] ; [ ; ] Eercice 7 (générateur archimédien) En supposant que la fonction ' suivant est un générateur archimédien construire la copule C associée ( t) a) ' (t) = ln t b) ' (t) = ln ( t) avec [; +[ c) ' (t) = ln( ln t) avec ]; ] d) ' (t) = ln t ; ]; ].

3 e) ' (t) = (t ) avec [; +[ f) ' (t) = arcsin( t ) avec ]; ] Eercice (copule de distribution etrême) Construire la copule C (u; v) associée à la distribution G (; y) n h io y. G ( ; ) = ep y + y y y +y ; [; ]. G ; ( ; ) = ep (y + y ) ; + 3 < 3. G ; ( ; ) = ep 4y + y y y fy ( + ) + y ( + )g (y + y ) y + y 39 = ; ; ]; ] ; ; + 4. G ; ( ; ) = ep y q y ( q) ; < et < où q = q(y ; y ; ; ) est la solution de l équation ( )y ( q) ( )y q = 9 <. G ; ( ; ) = ep y + y + (y y ) = ; Eercice 9 (tau de Kendall). Calculer le tau de Kendall associé à la copule C de Gumbel-Morgenstern C (u; v) = uv + uv( v)( ). Déterminer en fonction de son générateur ' l epression du tau de Kendall d une copule archimédienne. 3. Déterminer en fonction de ses dérivées du tau de Kendall d une copule singulière ou présentant à la fois une composante singulière et une composante absolument continue. Eercice ( rho de Spearman) Calculer le rho de Spearman associé à la copule C dans les cas suivants. C (u; v) = uv + uv( v)( ) copule de Gumbel-Morgensternon. C ; = M + ( ) + W; membre de la famille de Fréchet 3. u C ; (u; v) = v si u v uv si u v ; famille de Marshall-Olkin 3

4 ) Correction des eercices Eercice f() = k ep ; R où k est une constante R; f() =) k car R; ep > donc il faut que k soit positive Il su t de véri er la condition R + f()d = h R i + f()d R h = k + R i + f()f(y)d dy = k R h + R + ep ( + y ) i d dyen faisant le changement de variables = r cos et y = r h sin et utilisant la formule R i + de changement de variables d une intégrale on obtient f()d R h = k R + r ep r k R d R + r ep r dr = k [] ep r + =) k = =) k = p Par suite f() = p ep densité de loi normale standard ou centrée réduite. Eercice ; R; fonction ) Valeur de k f densite =) R; f() R; ( ) =) k donc k doit être positive. Il reste à véri er la condition R + f()d = R + f()d = k R ( ) d = k R ( )d = k k + = k Or R + k9 f()d = =) = soit k = 3 9 et donc par suite on a 3 3 f() = 9 ( ) si si non ) La probabilité qu un individu meure entre 6 ans et 7 ans est p = P (6 X 7) = R 7 f()d = k R ( ) 7 d = k =) p = ( ) ( ) = ; 6 Conclusion,6% de la population meurre entre 6 et 7 ans. 3) L espérance de vie est E (X) = R + f()d 4

5 E (X) = R + f()d = k R 3 ( ) d = k R [ ] d = " # 6 k = k =) E (X) = k 6 Or k = 3 9 par suite E (X) = = Conclusion L espérance de vie est de ans dans cette population. Eercice 3 On note X la variable Taille, avec X réduite associée à X, on a X = X 7 N(7; 64). Soit X la variable centrée N(; ) de fonction de répartition. On calcule la proportion des étudiants dont la taille dépasse 3 cm. p = P (X > X ) = P > = P (X > ) = P (X ) = (; 43) = ; 7 = ; 7% Conclusion On a,7% des étudiants de cette université mesurent plus de 3 cm ou on peut estimer que, dans cette université, 476 (,7% de 3) étudiants environ mesurent plus de 3 cm.. La proportion p des étudiants dont la taille est inférieure à 6 cm est p = X P (X < 6) =P < = p(x < ) = ( ; ) = (; ) =) p = P (X < 6 = 943 = 7 Environ % des étudiants de cette université mesurent moins de 6 cm soit 37 étudiants (,6% de 3) environ p" = P ( < X < ) = P < X 7 < = P (; 63 < X < ; ) = (; ) (; 63) =,944,737 =,7. Environ 6% des étudiants mesurent entre cm et cm. On peut estimer à environ 476 (,7% de 3) le nombre d étudiants de cette université mesurant entre cm et cm. Eercice 4 f() = ke jj ; R où k est une constante =) f() = ke jj = ke si ke si a) R + f()d = =) = R ke d + R + ke d = k =) soit k =

6 b) E (X) = R e d = ( f() est une fonction impaire e d + R + à intégrer sur un domaine fermé et centrée); V (X) = E (X ) [E (X)] = R e d + R + e = c) Soit ' X (t) la fonction caractéristique de X. On a ' X (t) = E (e it ) = +t (intégration deu fois par parties) Eercice Dans cet eercice, il faut bien prendre garde au fait que la densité jointe fx,y (, y) du couple (X, Y ) dépend de l ordre des variables. En e et, il y a la condition < y qui est imposée dans la dé nition. ) Pour, la densité jointe est nulle, donc celle de X aussi. Prenons > et calculons la densité marginale de X f X () = R + f XY (; y)dy = R + e y dy = e R + e y dy = e ; > C est la loi eponentielle de paramètre. De même on a f X () = R + f XY (; y)d = R + e y d = e y ( e y ) ; y ) Les fonctions de répartition. Pour tout réel > on a F X () = P (X ) = R f X(t)dt = e De même F Y (y) = P (Y y) = R y f y(s)ds = ( e y ) 3 ) Déterminons la probabilité conjointe P (X ; Y y) = R R y f XY (s; t)dsdt Comme le suggère l énoncé, il faut tenir compte des deu cas où y et > y. Cette distinction provient du fait qu il y ait un ordre imposé dans les variables de la densité jointe. Commençons par supposer que s t, puisque est compris entre et t, on peut séparer le premier signe intégral en deu parties Pour y. on véri e que P (X ; Y y) = R y R y e y dsdt = ( e y ) Pour > y on établit que P (X ; Y y) = R R y e y dsdt = ( e ) ( e y + e ) On a F X () F Y (y) 6= F XY (; y) donc les deu variables ne sont pas indépendantes. Eercice 6 ( + )(e >< y ) sur [ ; ] [; +]. Pour la distribution H(; y) = + e y > e y sur ]; +[[; +[ On ailleurs véri e que F (u) = u et G (u) = ln( v) Par conséquent la copule uv associée est telle que C(u; v) = ; u; v I u + v uv 6

7 n. Pour tout réel ; la distribution bivariée H (; y) = ep h( + y) + y io dé nie sur [; +[ [; +[ admet pour marges F () = G() = ep( ); [; +[ soit u [; [; n F (u) = G (u) = ln u La copule associée est telle ( que C (u; v) = uv ep ln u) + ( ln v) o ; ; c est la copule de Galambos. 3. Pour tout réel [; ] ; H (; y) = [ + e + e y + ( n ) e y ] associée est C (u; v) = u+v +( u) ( v) ep ; Eercice 7 ( t) a) ' (t) = ln t! C (u; v) =, la copule ln ( u) + ( ln v) uv ; [ ; ] ( u)( v) o ; b) ' (t) = ln ( t) avec [; +[! C (u; v) = ( u) + ( v) ( u) c) ' (t) = ln( ln t) avec ]; ]! C (u; v) = uv ep( ln u ln v) d) ' (t) = ln t uv! C (u; v) = ; ]; ]. [ + ( u )( v )] h e) ' (t) = (t ) avec [; +[! C (u; v) = + u ) + (v i f) ' (t) = arcsin( t ) avec ]; ]! C (u; v) = ( u ) p ( v ) ( v ) p Eercice Copule C associée à la distribution G (; y) n. G ( ; ) = ep. G ; ( ; ) = ep (y + y ) h io y y + y y ~u~v y +y ; [; ] ;copule C (u; v) = uvep ~u + ~v ; + 3 / copule C (u; v) = uvep < 3. G ; ( ; ) = ep ( C ; (u; v) = uvep 4y + y (~u +~v ) y y fy ( + ) + y ( + )g avec ; + (y + y ) ~u~v ) y + y 7 ~u ( + ) + ~v ( + ) (~u~v) 39 = avec ; ]; ] copule ;

8 4. G ; ( ; ) = ep y q y ( q) avec < ; < et q = q(y ; y ; ; ) solution de ( )y ( q) ( )y q = copule C ; (u; v) = ep ~uq + ~v( q) 9 <. G ; ( ; ) = ep y + y + (y y ) = h ; copule C ; (u; v) = ep ~u + ~v + Eercice 9 ) Calculer le tau de Kendall associé à la copule C de Gumbel- Morgenstern C (u; v) = uv + uv( v)( ) Solution c = 9 En e et u; v I; C (u; v) = uv + (u u )(v v ) C (u; v) = + ( u)( =) C (u; C (u; v) = [uv + (u u )(v v )] [ + ( u)( = v + Z (u Z u )(v v ) + ( u)( v) + uv + (u 3u + u 3 )(v 3v + v 3 d où 4 + = 9 C (u; C (u; v) I ) Solution c = + 4 R '(t) 3) Solution c = 4 R R Eercice ' @C(u;v) i) C (u; v) = uv +uv( v)( )! = (copule de Gumbel-Morgensternon) 3 ii) C ; = M + ( ) + W;! ; = ( membre de la famille de Fréchet). iii) C ; (u; v) = de Marshall-Olkin) u v si u v uv si u v! ; = 4 (famille +

9 3) Séries d eercices non corrigés Eercice Soient X et X deu variables aléatoires indépendantes de lois Gamma respectives X (s; ) et (r; ) On pose Y = X + X et Y = X + X a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y ; Y ) b) En déduire les lois marginales de Y et Y c) Les variables Y et Y sont-elles indépendantes? Eercice Soient X et X deu variables aléatoires indépendantes de lois normales standard N(,) On pose Y = X + X et Y = X X a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y ; Y ) b) En déduire les lois marginales de Y et Y c) Les variables Y et Y sont-elles indépendantes? Eercice3 Soient X et X deu variables aléatoires indépendantes de lois uniformes sur les intervalles [; ] et [ ; ] On pose Y = X + X et Y = X X a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y ; Y ) b) En déduire les lois marginales de Y et Y c) Les variables Y et Y sont-elles indépendantes? Eercice4 Soient X et Y deu variables aléatoires indépendantes de lois Gamma respectives (a; ) et (b; ) avec a > et b > 9

10 a) On pose L = X Montrer que L suit une loi beta de seconde espèce de paramètres Y z a a et b dont la fonction densité associée est f L (z) = B(a; b) ( + z) ; z > Z a+b + a Z d + avec B(a; b) = ( + ) = a ( ) b d a+b b) On pose T = L Montrer que T suit une loi beta de première espèce de + L paramètres a et b dont la fonction densité est f T (t) = B(a; b) ta ( t) b ; t [; ] Eercice a) Etablir que toute combinaison convee des copules usuelles W; ; W est aussi une copule iesi et sont des nombres réels dans [; ] tels que + ; alors la fonction C dé nie de I dans I par u; v I; C ; (u; v) = M(u; v)+( - )(u; v) + W (u; v) est une copule. b) Application Déterminer la copule dé nie par [ ; ]; u; v I C (u; v) = (+) M(u; v) + ( )(u; v) + ( ) W (u; v) C est la copule de Mardia.