38 Questions de plus : éléments de correction

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1 38 Questions de plus : éléments de correction Attention, ce document vous donne uniquement les réponses et quelques explications ; pour les éléments de rédaction à rajouter, merci de vous reporter à ce qui a été fait en classe En utilisant la règle du produit nul on trouve deux solutions : -2 et +3 (attention, il y a des calculs à écrire, il faut montrer clairement que l on résout 4x+8 = 0 et 2x 6 = L équation : (2x+5)+(4x+3) = 0 ne comporte pas de produit nul, attention! Pour la résoudre il suffit de modifier un peu l écriture en supprimant les parenthèses (ce qui est licite ici) : on obtient 2x+5+4x+3 = 0 puis en réduisant : 6 x+8 = 0 d où 6x = -8 et x= -8/6 (ou -4/3 en simplifiant) 103. En remplaçant x par 8 dans l expression (4x 32)(7x+5) on trouve : (4 8-32) (7 8+5) = 0 50 = 0, donc 8 est bien une solution de l équation ; on trouve l autre solution en appliquant la règle du produit nul, et on trouve -5/ (3x+5)²+(3x+5)(5 2x) = (3x+5)[ (3x+5)+(5 2x)] = (3x+5) [3x x] = (3x+5) (x+10) et donc pour résoudre l équation : (3x+5)²+(3x+5)(5 2x) = 0 il suffit d écrire à la place : (3x+5) (x+10) = 0, qui se résout avec la règle du produit nul, et qui donne pour solutions -5/3 et L expression 4x² 25 peut s écrire : (2x)² 5², et, en utilisant l identité remarquable y² z² = (yz)(y+z), on obtient : 4x² 25 = (2x 5)(2x+5) et donc l équation 4x² 25 = 0 se ramène à : (2x 5)(2x+5) = 0, puis en appliquant la règle du produit nul, on obtient les solutions 2,5 et -2, Il est exact que les équations : (4x+7)(-2x+8) = 0 et : (x 4)(12x+21)(2 0,5x) = 0 ont exactement les mêmes solutions car, pour la première, on obtient les solutions -7/4 et +4 (appliquer la règle du produit nul et expliquer!) et pour la deuxième, la règle du produit nul conduit à trois équations, qui devraient donner trois solutions, mais deux d entre elles sont identiques : on trouve 4 ; -21/12 = -7/4 et 2/0,5 = 4 donc deux solutions au final : 4 et -7/4 comme pour la première équation! 107. On développe avec l identité (a+b)²=a²+2ab+b² pour la première partie et avec la simple distributivité pour la deuxième :

2 (3x+5)² 9x(x 4) = (3x)² + 2 3x 5+5² 9x x 9x (-4) = 9x² + 30x x² + 36x = 66 x + 25 Pour résoudre l équation : (3x+5)² 9x(x 4) = 0 il suffit donc de résoudre : 66 x + 25 = 0 et l on trouve : x = -25/ f est une fonction linéaire car elle est écrite sous la forme : f(x) = k x (avec k = -2,5) Mais c est aussi une fonction affine! En effet, toute fonction linéaire est une fonction affine. On peut aussi s en rendre compte en remarquant que l expression f(x) = -2,5 x est bien de la forme : f(x) = a x+b avec a = -2,5 et b = En considérant toujours la fonction f(x) = -2,5 x : l image de 4 par la fonction f est : -2,5 4 = -10. L image de -30 est : f (-30) = -2,5 (-30) = 75 L image de est -2,5 5/3 = -5/2 5/3 = -25/ Pour trouver l antécédent de 0,25 je peux : diviser 0,25 par le coefficient de la fonction (-2,5) ou bien partir de l équation -2,5 x = 0,25, ce qui donnera le même calcul. On trouve donc -1/10 (ou -0,1) : l antécédent de 0,25 est -0,1 (on pourra vérifier que l image de -0,1 est 0,25 L antécédent de est : 3/4 (-2,5) = 3/4 (-5/2) = 3/4 (-2)/5 = -6/20 = -3/10 (ou -0,3) 111. g est la fonction affine définie par : g(x) = -2x+3. Pour trouver l antécédent de 8 par g on pose l équation : -2x+3 = 8 ; ce qui donne -2x = 5 puis x= 5/-2 = -2, Pour déterminer si le point M de coordonnées (3,5 ; -3) appartient-il à la courbe représentative de g il faut vérifier si -3 est l image de 3,5 par la fonction g définie par g(x) = -2x+3 : -2 3,5 + 3 = = -4 On trouve -4 et pas -3 donc le point M (3,5 ;-3) n appartient pas à la courbe de g.

3 113. Ce que Laura affirme est faux car on est en présence d une fonction qui n est pas une fonction linéaire : on peut dire que : «la courbe représentative de g est une droite» (car g est une fonction affine) mais cette droite ne passe pas par l origine Simplifions d abord les expressions de ces fonctions : f 1 (x) =(4 x 3)+(4 x 2) = 4 x x 2 = 8 x 5 ; on est en présence d une fonction affine ; f 2 (x) = (4x 3)(4x 2) = 16 x² 8 x 12x+6 = 16 x² 20 x + 6 ; cette expression ne peut pas se mettre sous la forme a x + b. Ce n est pas une fonction affine (et donc pas une fonction linéaire) f 3 (x) = (4 x 3) (4x 2) = 4 x 3 4x + 2 = -1 ; le «x» a disparu de l expression de la fonction mais on est bien en présence d une fonction affine! En effet on peut écrire f 3 (x) = a x +b avec a=0 et b =-1 On peut également parler de fonction constante ; les fonctions constantes font partie de la famille des fonctions affines. f 4 (x) = 2(x+5) 10 = 2 x = 2 x ; on est en présence d une fonction linéaire (et donc affine car toute fonction linéaire est une fonction affine) 115. Si la fonction linéaire h est telle que 9 a pour image 15, alors le coefficient de cette fonction est : 15/9 = 5/3 (on peut aussi le trouver en écrivant h(9) = 15 à partir de l expression h(x) = kx qui donne k 9 =15) L expression de la fonction h est donc : h (x) = 5/3 x 116. Plus difficile! Si f est telle que : f(4) = 3 et f(6) = 10 alors f peut s écrire sous la forme f (x ) = ax + b et le coefficient a de la fonction f est égal à : (10 3) / (6 4) = 7/2 = 3,5 Donc l expression de f est de la forme f (x) = 3,5x + b Pour trouver, il suffit maintenant de remplacer x par 4 en réutilisant le fait que l image de 4 est 3 : 3 = 3,5 4 + b 3 = 14 + b b = 3 14

4 b = -11 Conclusion : l expression de la fonction f est f(x) = 3,5x C 1 C 2 C 3 C 4 La courbe C4 passe par le point de coordonnées (0 ;-1), ce qui permet d affirmer que pour la fonction représentée l image de 0 est -1 On peut l associer à la fonction : x La courbe C1 est la seule droite qui passe par l origine donc c est la seule que l on peut associer à la fonction linéaire x 0,25x Pour la fonction : x 0,25x +2, on peut par exemple calculer l image de 0 : on trouve 2, donc la seule courbe qui peut correspondre est C La courbe qui reste est la courbe C 2 qui correspond à une fonction constante. Par cette fonction, l image de tout nombre est égale à 1. Donc l expression de cette fonction est : x Pour dessiner les courbes des fonctions : x 0,5x et : x 2x 2 il suffit de se donner des nombres et de trouver leurs images. Pour la première, qui est une fonction linéaire, l image de 0 est 0 ; l image de 4 est 2 ; sur le dessin elle a été dessinée en rouge. Pour la deuxième, l image de 0 est -2 ; l image de 4 est 2 ; on a dessiné la courbe en bleu dans le même repère.

5 120. Pour la baisse de 2%, le coefficient de la fonction linéaire associée est : (1 2/100) = 0,98 donc la fonction cherchée s écrit f(x) = 0,98 x. Pour la hausse de 3%, le coefficient est : 1+3/100 = 1,03 et la fonction cherchée s écrit f(x) = 1,03x 121. Le nombre de chiens en 2012 peut être estimé à : 0, = Plus dur! Sachant qu il y avait 7,4 millions de chats en 2012, pour retrouver leur nombre en 2010, il n y a qu une seule façon de faire : diviser le nombre de 2012 par le coefficient 1,03 On trouve environ chats pour l année / ,95% d animaux abandonnées (presque 1%) 124. Difficile, attention! Attention à ne pas répondre trop vite : 5%, car ce serait faux, les pourcentages ne s ajoutent pas. Prenez des exemples pour vous en persuader (partez par exemple d une population de chats qui augmente de 3% puis de 2%, vous verrez qu au final elle n augmente pas de 500 chats mais de 506 Entre 2010 et 2014, la population a été multipliée par : 1,03 1,02 = 1,0506. Ce qui correspond à pourcentage d augmentation de 5,06% 125. Premier cas : le plan est plus proche du centre que la mesure du rayon (3cm<4cm) donc la section de la sphère est un cercle, de rayon inférieur à celui de la sphère. Deuxième cas : le plan passe par O ; dans ce cas la section de la sphère est un grand cercle, c'est-àdire un cercle de rayon 4 cm. Troisième cas : le plan est à la distance OH = 4 cm, dans ce cas le plan et la sphère ont un seul point commun : le point H. La section de la sphère par le plan est le point H. (On dit que le plan est tangent à la sphère) HA² = 4² 3² = 16 9 = 7 (à rédiger avec le théorème de Pythagore) donc HA = racine de 7 2,65 cm L aire d un disque est égale à π R² soit ici 7π cm² (vérifiez!) 127. Dans le deuxième cas, le cercle de section est un grand cercle donc de même rayon que la sphère (4 cm) et donc de diamètre 8cm. Le périmètre d un cercle de diamètre D est égal à π D, donc ici à : 7π cm L aire d une sphère de rayon R est égale à 4πR² ; ici on trouve donc 64π cm².

6 129. Le volume d une boule de rayon R est égal à 4/3 π R 3 256/3 π cm Dans le triangle ABC rectangle en A, on peut utiliser les formules de trigonométrie ; en particulier sin C = coté opposé à C/hypoténuse = AB/BC d où AB = BC sin C = 5,4 sin 68 5 cm 131. La somme des angles d un triangle est égale à 180 donc ABC = 180 ( ) = Première façon: cos C = AC/BC d où AC = BC cosc = 5,4 cos 68 2,02 cm Deuxième façon : avec le théorème de Pythagore AC² = BC² AB² = 5,4² (5,4 sin(68))² 4,09. D où en prenant la racine carré : AC 2,02 cm Troisième façon : avec l angle B et la formule du sinus : sin(22) = AC/5,4 d où AC = 5,4 sin(22) 2,02 cm Quatrième façon : avec la tangente de l angle B : tan 22 = AC/AB d où AC = AB tan22 2,02 cm 133. (Faites le dessin) IJK rectangle en J, tel que IJ = 7 cm et JK = 3 cm Tan IKJ = coté opposé /cote adj = IJ/JK = 7/3 donc IKJ = arctan (7/3) 66, Dans le triangle GIH rectangle en G, on peut calculer : cos GIH = IG/IH = 4,2/5,1 et donc GIH = arccos (4,2/5,1) 34,6 : 135. (à rédiger ) sin MNP = 2,2/3,2 et MNP = arcsin(2,2/3,2) 43,4

7 136. (à rédiger) HLK = arctan (260/90) (à rédiger : ) tan HKL = 95/260 donc HKL 20 Or on sait que dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la bissectrice de l angle au sommet, ce qui permet de justifier que LKH = HKJ et donc que LKJ = 2 LKH (à rédiger) tan 23 = BC/60 donc BC = 60 tan(23) 25,4 m La hauteur de l arbre est donc égale à : 1,7 m + 25,4 m soit 27,1 m (environ)