Méthodes d Analyse multifractale pour la classification de signaux et d images Stéphane Jaffard

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1 Méthodes d Analyse multifractale pour la classification de signaux et d images Stéphane Jaffard Université Paris Est Créteil (France) Collaboration avec: Patrice Abry CNRS, Laboratoire de Physique, ENS Lyon Herwig Wendt CNRS IRIT, Toulouse Séminaire de Mathématiques Appliquées Collège de France 27 janvier 2012

2 Signaux et images partout irréguliers Jet turbulence Eulerian velocity signal (ChavarriaBaudetCiliberto95) = 3.2 ms temps (s) Turbulence pleinement développée Trafic internet!&( 567!689!&"!&'!&%!&$!&#!!!&#!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./01234

3 f

4 Niveaux de gris f752 Canal rougey f752 Canal Saturation y f

5 Niveaux de gris Canal rougey Canal Saturation y La nature, les sciences et les arts fournissent de nombreux exemples de fonctions rugueuses

6 La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0

7 La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0 Définition utilisée en traitement du signal f (x + δ) f (x) p dx = δ ζ f (p)+o(1) quand δ 0 Autosimilarité en moyenne dans la limite des petites échelles

8 La fonction d échelle ζ f (p) (N. Kolmogorov 1941) Définition heuristique f (x + δ) f (x) p dx δ ζ f (p) quand δ 0 Définition utilisée en traitement du signal f (x + δ) f (x) p dx = δ ζ f (p)+o(1) quand δ 0 Autosimilarité en moyenne dans la limite des petites échelles Définition mathématique générale ( log ζ f (p) = lim inf δ 0 ) f (x + δ) f (x) p dx log( δ )

9 Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp FBM d exposant H = 1/3

10 Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp FBM d exposant H = 1/3 Fonction d échelle du FBM : p > 0, ζ f (p) = Hp

11 Fonction d échelle du FBM B H (x) est l unique processus gaussien centré tel que E( B H (x) B H (y) 2 ) = x y 2H Donc B H (x + δ) B H (x) δ H B H (x + δ) B H (x) p dx δ Hp FBM d exposant H = 1/3 Fonction d échelle du FBM : p > 0, ζ f (p) = Hp La fonction d échelle de la turbulence est strictement concave

12 Fonction d échelle et espaces fonctionnels Espaces de Lipschitz Soient s (0, 1), et p [1, [ f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tels que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp

13 Fonction d échelle et espaces fonctionnels Espaces de Lipschitz Soient s (0, 1), et p [1, [ f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tels que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Si ζ f (p) < p, ζ f (p) = sup{s : f Lip(s/p, L p )}

14 Bases d ondelettes sur R Une base d ondelettes sur R est engendrée par une fonction ψ régulières et bien localisées telle que les 2 j/2 ψ(2 j x k), j Z, k Z forment une base orthonormée de L 2 (R) Ondelettes de Daubechies

15 Bases d ondelettes en dimension 2 Une base d ondelettes sur R 2 est de la forme 2 j ψ i (2 j x k), i = 1, 2, 3, j Z, k Z d où les ψ i sont trois fonctions régulières et bien localisées ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )ϕ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = ϕ(x 1 )θ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )θ(x 2 )

16 Bases d ondelettes en dimension 2 Une base d ondelettes sur R 2 est de la forme 2 j ψ i (2 j x k), i = 1, 2, 3, j Z, k Z d où les ψ i sont trois fonctions régulières et bien localisées ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )ϕ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = ϕ(x 1 )θ(x 2 ) ψ 1 (x 1, x 2 ) = θ(x 1 )θ(x 2 ) Moments nuls si α 1 + α 2 N ψ(x 1, x 2 )x α 1 1 x α 2 2 dx 1dx 2 = 0

17 Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ kd 2 j 2 j, k [ d j

18 Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ kd 2 j 2 j, k [ d j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k)

19 Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ kd 2 j 2 j, k [ d j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx

20 Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ kd 2 j 2 j, k [ d j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx Cubes dyadiques à l échelle j : Λ j = {λ : λ = 2 j }

21 Notations pour les ondelettes sur R d Cubes dyadiques : Si k = (k 1,...k d ), λ = [ k1 2 j, k [ [ kd 2 j 2 j, k [ d j Ondelettes : ψ λ (x) = ψ i (2 j x k) Coefficients d ondelette : c λ = 2 dj f (x)ψ i (2 j x k)dx Cubes dyadiques à l échelle j : Λ j = {λ : λ = 2 j } Décomposition en ondelettes de f : f (x) = c λ ψ λ (x) j λ Λ j

22 Calcul de coefficients d ondelette 2D

23 Calcul de coefficients d ondelette 2D

24 Calcul de coefficients d ondelette 2D

25 Calcul de coefficients d ondelette 2D

26 Calcul de coefficients d ondelette 2D

27 Calcul de coefficients d ondelette 2D

28 Calcul de coefficients d ondelette 2D

29 Calcul de coefficients d ondelette 2D

30 Autosimilarité : Cas déterministe Fonction de Weierstrass-Mandelbrot W α (x) = + 2 αj sin(2 j x) 0 < α < 1

31 Autosimilarité : Cas déterministe Fonction de Weierstrass-Mandelbrot W α (x) = + 2 αj sin(2 j x) 0 < α < 1 Autosimilarité exacte : W α (2x) = + 2 αj sin(2 j+1 x) = + 2 α(l 1) sin(2 l x) = 2 α W α (x) C j,k = W α (x) 2 j ψ(2 j x k)dx = 2 α C j 1,k

32 Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire FBM d exposant H = 1/

33 Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire FBM d exposant H = 1/ B H (ax) L = a H B H (x)

34 Autosimilarité statistique Mouvement Brownien Fractionnaire FBM d exposant H = 1/ B H (ax) L = a H B H (x) Les 2 Hj C j,k ont la même loi

35 Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp

36 Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj

37 Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj B s+ε p Lip(s, L p ) B s ε p

38 Espaces fonctionnels et ondelettes Soit p 1 et s 0 ; f Lip(s, L p ) si f L p et si C > 0 tel que δ > 0, f (x + δ) f (x) p dx C δ sp Espaces de Besov p > 0 et s R, f B s p j, 2 dj k c j,k p C 2 spj B s+ε p Lip(s, L p ) B s ε p ζ f (p) = sup {s : f Lip(s/p, L p )} { } = sup s : f B s/p p

39 La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ).

40 La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ). Elle coincide avec la fonction d échelle de Kolmogorov si p 1

41 La fonction d échelle ondelettes Si S p,j = 2 dj La fonction d échelle ondelettes est p > 0 λ Λ j c λ p, ζ f (p) = lim inf j + log(s p,j ) log(2 j ). Elle coincide avec la fonction d échelle de Kolmogorov si p 1 Elle est définie par une régression log-log à travers les échelles

42 Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α

43 Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α

44 Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α L exposant de Hölder uniforme de f est H min f = sup { } α : f C α (R d )

45 Exposant de Hölder uniforme Espaces C α : Soit α (0, 1) ; f C α (R d ) si C, x, y : f (x) f (y) x y α α R, C α = B α L exposant de Hölder uniforme de f est H min f = sup { } α : f C α (R d ) Calcul numérique : Soit ω j = sup c λ alors H min log(ω j ) f = lim inf λ Λ j j + log(2 j )

46 p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n

47 p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n Définition : Soient p 1 et s 0 ; f appartient à V s p si C a, h ]0, 1], h n f a ((n + 1)h) f a (nh) p C h sp

48 p-variation (d = 1) On note f a (x) = f (x a). La fonction f a une p-variation finie si C, a, h ]0, 1], f a ((n + 1)h) f a (nh) p C n Définition : Soient p 1 et s 0 ; f appartient à V s p si C a, h ]0, 1], h n f a ((n + 1)h) f a (nh) p C h sp Proposition : Si f appartient à V s p, alors : f est localement bornée f Lip(s, L p )

49 Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0)

50 Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0) Si ζ f (1) > 1, f BV Si ζ f (2) > 0, f L 2 Si Hf min > 0, f est continue Si Hf min < 0, f n est pas localement bornée Si Hf min < 0 ou si ζ f (p) < 1, alors la p-variation de f n est pasfinie Si ζ f (p) > 1, alors la p-variation de f est finie

51 Utilisation de ζ f (p) et H min f Validation d hypothèses fonctionnelles { } ζ f (p) = sup s : p B s/p, p (p > 0) Si ζ f (1) > 1, f BV Si ζ f (2) > 0, f L 2 Si Hf min > 0, f est continue Si Hf min < 0, f n est pas localement bornée Si Hf min < 0 ou si ζ f (p) < 1, alors la p-variation de f n est pasfinie Si ζ f (p) > 1, alors la p-variation de f est finie Motivations : Y. Gousseau, J.-M. Morel : Are natural images of bounded variation? (2001) Modèles à sauts et à variation quadratique finie en finance

52 Exposant de Hölder uniforme 567!689!&(!&"!&'!&%!&$!&#!!!&#!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./ H min Données fournies par Vivienne Investissement

53 Classification basée sur l exposant de Hölder uniforme Rythme cardiaque : Patient en bonne santé 1100 RR Interval! human RRI (ms) Time (min) 6.5 h min LogScale! wtype j:[2!6] H min f = 0.06 log 2 sup [d(j,.)] j

54 Classification basée sur l exposant de Hölder uniforme Anomalie de rythme cardiaque 1200 RR Interval! human! patient RRI (ms) Time (min) 7 h min LogScale 6.5! wtype 0 j:[2!6] H min f = 0.55 log 2 sup [d(j,.)] j

55 8 9 ζ(2) = j h min = j

56 DWT fonction de structure log 2 S(j,q=1) j 1 = 4 j 2 = 7 ζ(q=1) = j DWT fonction d echelle ζ(q) ζ(q=1) = q

57 1 c DWT fonction de structure log 2 S(j,q=1) j 1 = 3 j 2 = 6 ζ(q=1) = j DWT fonction d echelle ζ(q) ζ(q=1) = q

58 Coefficients dominants Si λ est un cube dyadique, 3λ est le cube de même centre et trois fois plus large. Soit f une fonction bornée ; les coefficient dominant de f sont les quantités d λ = sup c λ λ 3λ... 2 j d λ = sup λ 3 λ c λ c(j, k) 2 j+1 λ 3 λ 2 j+2...

59 Calcul de coefficients dominants 2D Les coefficients dominants permettent d estimer l exposant de Hölder ponctuel

60 Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j

61 Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j Fonction d échelle dominante : p R, η f (p) = lim inf j + log(t p,j ) log(2 j )

62 Spectre de Legendre Λ j désigne l ensemble des cubes dyadiques d échelle 2 j. T p,j = 2 dj λ Λ j d λ p 2 ηf (p)j Fonction d échelle dominante : Spectre de Legendre p R, η f (p) = lim inf j + L f (H) = inf p R (d + Hp η f (p)) log(t p,j ) log(2 j ) Théorème : Soit D f (H) la dimension de Hausdorff de l ensemble des points où l exposant de Hölder de f vaut H. Si f C ε (R d ), alors D f (H) L f (H)

63 Régressions log-log Comportements en loi de puissance : Condition préliminaire pour le calcul de fonctions d échelle

64 Régressions log-log Comportements en loi de puissance : Condition préliminaire pour le calcul de fonctions d échelle!&(!&"!&' 567! Q=1 LWT (q) LogScale, q=2!&% 12 wtype 0 j:[4 13]!&$ 14!&# 16!!!&# 18!!&$! "!! #!!! #"!! $!!! $"!! %!!! )*+,-./ j données fournies par Vivienne Investissement

65 Monohölderianité vs. Multifractalité 70 = 3.2 ms temps (s) trafic Internet

66 Monohölderianité vs. Multifractalité 70 = 3.2 ms temps (s) trafic Internet 3 2 1!(q) 0!1!2!3!5!4!3!2! q Fonction d échelle dominante données de http ://mawi.wide.ad.jp/mawi/

67 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W W>0

68 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W>0 i=1

69 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 i=2

70 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=3

71 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=6...

72 Réfutation de modèles Cascade multiplicative P(W) W 11 W 12 W W 21 W 22 W 23 W 24 W>0 W 31 W 32 W33 W 34 W 35 W36 W 37 W 38 i=

73 Processus construits à partir de cascades Une cascade est une mesure : Elle n est pas appropriée pour modéliser des signaux oscillants Si F(t) est la fonction de répartition de la mesure, on peut considérer le FBM en temps multifractal X(t) = B H (F(t)) proposé par Calvet, Fisher et Mandelbrot en modélisation financière

74 Réfutation de modèles (travail en collaboration avec Bruno Lashermes) Jet turbulence Eulerian velocity signal (ChavarriaBaudetCiliberto95) modèle de cascade log-normal vs. log-poisson 1 D(h) h

75 p-oscillation Soit f une fonction localement bornée. Si A est un intervalle, l oscillation du premier ordre de f sur A est Os f (A) = sup f inf f A A

76 p-oscillation Soit f une fonction localement bornée. Si A est un intervalle, l oscillation du premier ordre de f sur A est Os f (A) = sup f inf f A A Définition : Soit p 1 ; f appartient à V s p si C j 2 dj λ Λ j (Os f (3λ)) p C2 spj Définition : f a une p-oscillation finie si C j 0 (Os f (3λ)) p C λ Λ j Donc, si f V d/p p, alors f a une p-oscillation finie

77 p-oscillation Espaces O s p : Soit f localement bornée, f O s p(r d ) si 2 dj λ Λ j d λ p C 2 spj Theorem : Soit p 1 ; alors ε > 0 C ε V s p O s p V s+ε p

78 p-oscillation Espaces O s p : Soit f localement bornée, f O s p(r d ) si 2 dj λ Λ j d λ p C 2 spj Theorem : Soit p 1 ; alors ε > 0 C ε V s p O s p V s+ε p Corollaire : Soit f C ε pour un ε > 0. Alors Si η f (p) > 1, f a une p-oscillation finie Si η f (p) < 1, la p-oscillation de f n est pas bornée

79 Taux de change USD-Euro : Juin 2003-juin EUR USD EUR USD Price h min Time (Day) Regression log-log pour la détermination de H min f Scale (Hour) 5 EUR USD ! f (2) = EUR USD log 2 S(j,2) D Scale (Hour) Détermination de η f (2) h Spectre de Legendre

80 Taux de change USD-Euro : juin 2006-juin EUR USD EUR USD Price 1.3 h min Time (Day) Regression log-log pour la détermination de H min f Scale (Hour) 5 EUR USD ! f (2) = EUR USD log 2 S(j,2) D Scale (Hour) Détermination de η f (2) h Spectre de Legendre

81 Taux de change USD-Euro Estimations sur une année avec décallages de 3 mois 1.5 EUR USD #+& /01!023! (2) f 1!, -!. # "+&!""#!""!!""$!""%!""&!""'!""(!"")!""*!"#" ζ f (2) η f (2) (fonction d échelle ondelette) (fonction d échelle dominante)

82 Analyse Multifractale de peintures : Défi Van Gogh (en collaboration avec D. Rockmore) %"( $!(!+,-!$!./!! % $"( * $!"(! Van Gogh (f415) Arles -Saint Rémy!!"(!"# $ $"% $"& $"' $"# % )

83 Van Gogh 2.5 2!4!RGB!1!CH0!j=[3,7] D h

84 2.5 2!5!RGB!1!CH0!j=[3,7] D Inconnu h

85 2.5 3!13!RGB!1!CH0!j=[3,7] D ! h Inconnu

86 Défi : date Période parisienne - Période Arles Saint Rémy - inconnue Canaux : Rouge vs. Saturation 0.7 h min! h min ; j=[1,4]/[1,4]! RGB 0/1! CH 2/ h min ! !0.2! h min

87 Défi : date Période parisienne - Période Arles Saint Rémy - inconnue Canaux : Rouge vs. Saturation 0.7 h min! h min ; j=[1,4]/[1,4]! RGB 0/1! CH 2/ h min ! !0.2! h min

88 Peinture originale et copie : Charlotte Caspers

89 Peinture originale et copie : Charlotte Caspers

90 Peinture originale et copie : Charlotte Caspers Charlotte Charlotte ζ(q) 5 D(h) 1 10 Original Copy 0.5 Original Copy q h

91 scale ζ(q) scale ζ(q) q D(h) 15 q D(h) c 1 = 0.51 c 2 = h = 0.64 m h c 1 = 0.87 c 2 = h = 0.28 m h

92 1 c c c 0.1 h min c c 9

93 misclassification [Brueghel, Forgery]: [0.29, 0] misclassification [Brueghel, Forgery]: [0.13, 0] 0