Chapitre 11 Compléments de géométrie

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1 Chapitre 11 Compléments de géométrie A) Triangles, angles 1) Théorème de Thalès et triangles semblables Dans ces deux configurations (triangles de sommet A et triangles de sommet D), si (d1) // (d), on peut appliquer le théorème de Thalès, à savoir : AG = AC AH = GH (triangles de sommet A) et DI DE = DJ DF = IJ EF On dit que ces triangles ont leurs côtés proportionnels. Réciproquement, Si dans une de ces deux configurations on a DI DE = DJ DF = IJ EF, Alors les droites (d1) et (d) sont parallèles. (triangles de sommet D) AG = AC AH = GH Le théorème de Thalès s applique aussi aux triangles semblables, c est à dire qui ont leurs angles égaux deux à deux, sans recourir au parallélisme. Et réciproquement, deux triangles qui ont leurs côtés proportionnels sont semblables. Exemples : a) Dans la figure ci-dessous, on a (d1) // (d), = et AC = 5. Si AD =,5 et CE =, que valent AE et BD? ou Page 1/7

2 b)dans la figure ci-dessous, on a A B = 9, = 7 et AC = 4. Si ED = 1, que valent FE et FD? ) Triangles rectangles a) Le théorème de Pythagore et sa réciproque Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (théorème de Pythagore). Si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le grand côté est son hypoténuse (réciproque du théorème de Pythagore, vraie aussi). En résumé : Un triangle est rectangle si et seulement si le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. b) Trigonométrie Dans un triangle C rectangle en A, on a côté adjacent cos( B)= hypoténuse = BA tan( B)= côté adjacent = AC sin( B)= hypoténuse = AC cotan( B)= 1 adjacent =côté tan( B) = AC Page /7

3 c) Cercles Un triangle est rectangle si et seulement si un de ses côtés est le diamètre du cercle circonscrit : ce côté est alors l hypoténuse. d) Exemples Calculer Calculer cos(ĉ) et sin(ĉ ) Calculer IA 3) Formules pour les triangles quelconques Soit C un triangle, avec a =, b = AC et c =. Formules d Al Kashi : a² = b² + c² - b c cos(â) b² = a² + c² - a c cos( B) c² = a² + b² - a b cos(ĉ) Formule des trois sinus : Soit S l aire du triangle C, on aura : ab c S = a b sin( Â)= sin( B) = c sin(ĉ ) 4) Angles inscrits, angles au centre Soit C un cercle de centre O, A et B et C trois points de C. L angle inscrit BAC est égal à la moitié de l angle au centre BOC, et ceci dans les deux configurations ci-dessous. Page 3/7

4 Bien entendu, changer la position du point A sur le cercle entre B et C ne changera pas la valeur de l angle Â. B) Géométrie analytique 1) Repères, coordonnées Dans le plan, étant donné un repère (O, i, j ) chaque point est repéré par deux réels, son abscisse x et son ordonnée y, tels que : OM = x i + y j On note alors M(x ;y). Dans l espace, on prend un repère O, i, j, k ) et chaque point aura trois coordonnées x, y et z tels que OM = x i + y j+ z k Exemples : On note alors M(x ;y ;z). ) Calculs sur les coordonnées a) Milieu et barycentre Soit A(a 1 ; a ; a 3 ) et B(b 1 ; b ; b 3 ) Le milieu I du segment [] sera I ( a 1 + b 1 ; a + b ; a 3 + b 3 ). Page 4/7

5 Le barycentre de A et B affectés des poids m et n sera B ( m a 1 + nb 1 m+ n (Le milieu est le barycentre de A et B affectés du poids 1 tous les deux). b) Coordonnées des vecteurs ; m a + nb m+ n Soit A(a 1 ; a ; a 3 ) et B(b 1 ; b ; b 3 ), on a alors (b 1 a 1 ; b a ; b 3 a 3 ). ; m a 3 + nb 3 m+ n ). On a aussi OA(a 1 ; a ; a 3 ) et OB(b1 ; b ; b 3 ) Exemples : Soit A(3 ; - ; 1), B( ; -1 ; 4) et C(- ; 1 ; 4) Trouver les coordonnées de I milieu de [], puis de, AI, IC et IB. 3) Colinéarité, parallélisme, alignement a) Définition Deux vecteurs u et v b) Propriétés sont colinéaires quand u=k v avec k réel. I) () // (CD) <=> et CD colinéaires II) A, B, C alignés <=> et AC colinéaires III) Soit u (x ;y) et v (x ;y ) : u et v colinéaires <=> xy x y = 0 IV) Soit u (x ;y ;z) e v (x ;y ;z ) : u et v colinéaires <=> k R tel que x = k x et y = k y et z = k z c) Exemples Prouver que u ( ;3 ;1) et v (6 ;9 ;3) sont colinéaires Soit A( ;1), B(6 ;) et C(10 ;3) prouver que A, B et C sont alignés. Soit D(4 ;1) et E(8 ;) prouver que () // (DE) Prouver que u (4 ;1) et v (-8 ;-) sont colinéaires 4) Aires et volumes a) Triangle Si b = base et h = hauteur, S= b h. b) Trapèze (b+ B) Si b = petite base, B = grande base et h = hauteur, S= h. c) Disque Si R = rayon, on aura S = π R² Page 5/7

6 d) Secteur angulaire Si α est l angle en radian, on aura S = α R² /. d) Volume des Cylindres, prismes Avec B = aire de la base et h = hauteur, on aura V = B x h. e) Volume des Pyramides Avec B = aire de la base et h = hauteur, on aura V = B x h / 3. f) Volume du Tronc de pyramide Avec B = aire d une base, b = aire de l autre base et h = hauteur, on aura V = h 3 ( B+ B b+ b). g) Volume du Cône Avec R = rayon de la base et h = hauteur, on aura V = π R² / 3 h) Volume du Tronc de cône Avec R = rayon de la base, r = rayon de la petite base et h = hauteur, on a V =π h 3 (R + R r+ r ). i) Sphère Aire A=4π R Volume V = 4 3 π R 3 j) Exercices Retrouver la formule du tronc de cône à l aide de celle du cône. Retrouver toutes ces formules par les intégrales. Page 6/7

7 Compléments de géométrie Fiche de révision Triangles semblables (mêmes angles, généralise Thalès et le théorème des milieux) : C et DEF sont semblables DE = AC DF = EF Triangles rectangles : Pythagore : C est rectangle en A = + AC C est rectangle en A A est sur le cercle de diamètre [] Trigonométrie : dans un triangle C rectangle en A, on a côté adjacent cos( B)= hypoténuse = BA sin( B)= hypoténuse = AC tan( B)= côté adjacent = AC Triangles quelconques : Formules d Al Kashi a² = b² + c² - b c cos(â) b² = a² + c² - a c cos( B) c² = a² + b² - a b cos(ĉ) Formule des trois sinus Si S est l aire du triangle C, on aura : a b c S = a b sin( Â)= sin( B) = c sin(ĉ ) Angles et cercle de centre O : cotan( B)= 1 adjacent =côté tan( B) = AC Unangle inscrit C est égal à la moitié de l angle au centre AOC Milieu I de [] avec A(a 1 ; a ) et B(b 1 ; b ) : Vecteurs : I ( a 1 +b 1 ; a +b ; a 3 +b 3 ) Si A(a 1 ; a ) et B(b 1 ; b ), on aura (b 1 a 1 ; b a 1 ) () // (CD) <=> et CD colinéaires A, B, C alignés <=> et AC colinéaires Soit u(x ; y) et v(x ; y ): u et v colinéaires <=> x y x y = 0 u et v orthogonaux <=> x x + y y = 0 Page 7/7