Sciences et Technologies de l Agronomie et du Vivant Métropole, Antilles Guyane, La Réunion juin 2010 Correction

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1 Sciences et Technologies de l Agronomie et du Vivant Métropole, Antilles Guyane, La Réunion juin 00 Correction A. P. M. E. P. Exercice Les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions. 6 points Sur l étagère d un magasin, il y a 0 paquets de sucre cristallisé parmi lesquels ont un poids insuffisant. Une cliente, désireuse de faire des confitures, prend au hasard paquets de sucre sur cette étagère. ( ) 0. Elle a 0 choix possibles. Nous choisissons paquets parmi 0 soit = 0.. Calculons les probabilités des événements suivants : A : «Les paquets ont un poids satisfaisant». Elle choisit paquets parmi les 6 qui ont un poids satisfaisant ( 6) = 560. Par conséquent p(a)= = 8 57 B : «Au moins l un des paquets a un poids insuffisant». A est l événement contraire de B par conséquent p(b)= p(a) P(B)= 8 57 = Soit X la variable aléatoire égale au nombre de paquets ayant un poids satisfaisant parmi les trois paquets achetés. a. Les valeurs prises par X sont 0,, ou. b. Déterminons la loi de probabilité de X. X=0 les trois paquets ont un poids insuffisant : ( ) 0 = 85. X= paquet a un poids satisfaisant et deux, un poids insuffisant : X= paquets ont un poids satisfaisant et un, un poids insuffisant : X= les trois paquets ont un poids satisfaisant : c. Calculons l espérance de X. ( 6 ) ( ) 0 ( 6 = ) ( ) 0 E(X )= = 5 = 8 9. Exercice QCM La courbe C f donnée dans le document représente une fonction f dérivable sur l ensemble des nombres réelsr. La droite D est asymptote à C f en et tangente à C f au point d abscisse. La droite T est tangente à C f au point d abscisse 0. Les courbes, et représentent trois fonctions définies surr. Le QCM est donné en annexe A. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. points Exercice Soient la fonction numérique g définie sur l intervalle ] ; + [ par 0 points g (x)=x + x+ et C g la courbe représentative de g dans un repère orthogonal (, ı, j ).

2 n prendra pour unités graphiques : cm pour une unité sur l axe des abscisses ; cm pour une unité sur l axe des ordonnées.. a. Déterminons la limite en de g lim g (x)= lim x + lim x x x x+ = ( 9)+(+ )=+. Par conséquent, la droite d équation x = est asymptote à la courbe représentative de g. b. Déterminons la limite en + de g. lim g (x)= lim x + lim x + x + x + x+ =+ +0=+. Nous pouvons remarquer que la droite d équation y = x est asymptote à C g lorsque x tend vers +.. a. Déterminons g (x) pour tout x de l intervalle ] ; + [. g (x)= (x+ ) = (x+ ) (x+ ) = ( (x+ ) ) (x+ +)(x+ ) (x+ )(x+ ) (x+ ) = (x+ ) = (x+ ) or (x+ )(x+ 6)= ((x+ )) ((x+ ))=(x+ )(x+ ). Par conséquent g (x)= b. g (x+ ) (x) est du signe de (x+ ) sur ] ; + [, car > 0 sur cet intervalle. (x+ ) x+ >0 si et seulement si x>. par conséquent si < x<, g (x)<0 et si x>, g (x)>0. c. Si pour tout x I, f (x)>0 alors f est strictement croissante sur I. g (x)>0 sur ] ; + [ par conséquent g est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout x I, f (x)<0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I. g (x)<0 sur ] ; [ par conséquent g est strictement décroissante sur cet intervalle. Dressons le tableau de variations de g sur ] ; + [. x + g + Variations de g + + g ( )= ( ) + + = =. Déterminons une équation de la tangente T à la courbe C g au point d abscisse 0. (x+ 6)(x+ ) (x+ ). L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est y = f (a)(x a)+ f (a). g (0)= g (0)= (0+) =. Une équation de la tangente T à C g au point d abscisse 0 est y = x+.. a. Le tableau de valeurs est complété sur l annexe A. b. La courbe C g, la tangente T et les asymptotes d équations x= ou y = x sont tracées ci-dessous. 5. Soit H la fonction définie sur ] ; + [ par H(x)=ln(x+ ). a. Déterminons H (x) pour tout x de l intervalle ] ; + [. H (x)= u car la fonction dérivée de ln u est x+ u b. Déterminons une primitive G de g sur ] ; + [. G(x)=x x+ ln(x+ )+C te correction Métropole, Antilles Guyane, La Réunion juin 00

3 c. Calculons la valeur exacte de l aire A, exprimée en unités d aire, du domaine plan limité par la courbe C g, l axe des abscisses et les droites d équation x= 0 et x=. A = 0 g (x)dx= G() G(0)=8 +ln() ln =6+ln en effet ln ln =(ln ln )= ( ln ( )) = ln. L unité d aire a pour valeur cm, la valeur de A est approximativement de 6, cm. y 0 C g (T) 6 5 A,5,0,5,0 0,5 0,5,0,5,0,5,0 x correction Métropole, Antilles Guyane, La Réunion juin 00

4 ANNEXE A Exercice : QCM Une réponse exacte rapporte point. Une réponse inexacte enlève 0, 5 point. L absence de réponse n enlève et n ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Cocher, pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n est demandée.. La limite de la fonction f (représentée dans le document ) en est : +. Une équation de la tangente T au point d abscisse 0 est : y = x+ y = x+ y = x+. f () est égal à : 0. Quelle est, parmi les trois courbes données dans le document, celle qui représente la fonction dérivée de f? Courbe Courbe Courbe La courbe ne convient pas car le point ( ; 0) n appartient pas à cette courbe. La courbe ne convient pas car sur ] ; [, la fonction dérivée est positive or f est décroissante sur cet intervalle. Exercice x,75,5 0 0,5,5,5 g (x) 8,6, 6, 8 9,9 Les valeurs numériques de g (x) sont arrondies à 0 près. correction Métropole, Antilles Guyane, La Réunion juin 00

5 Exercice DCUMENT Représentation graphique de f Courbe Courbe 5 Courbe correction Métropole, Antilles Guyane, La Réunion 5 juin 00