Fonctions sinus et cosinus.

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1 . Rappels de trigonométrie... P. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus... p8. Compléments... p0 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

2 . Rappels de trigonométrie.. Définitions =i Et c est un cercle trigonométrique. OI OJ =j. O ; i, j est un repère orthonormé direct du plan. x est un nombre réel quelconque. On considère le point L tel que IL= x j L appartient à la droite passant par I et de vecteur directeur j, cette droite est tangente en I au cercle c. M est le point de C qui vient en coïncidence avec L lorsque l'on enroule la droite précédente sur le cercle c, donc x est une mesure en radians de l'angle i ; OM Le cosinus du nombre réel x que l'on note cos x est l'abscisse du point M dans le repère O ; i, j ou l'abscisse du point H dans le repère O ; i de la droite OI. Le sinus du nombre réel x que l'on note cos x est l'ordonnée du point M dans le repère O ; i, j ou l'abscisse du point H dans le repère O ; j de la droite OJ. On a donc : M cos x ;sin x H cos x ;0 K 0 ;sin x OM =cos x i+sin x j OH =cos x i OK =sin x j.. Valeurs remarquables Page

3 .. Propriétés Pour tout nombre réel x, on a : cos x cos x+sin x = sin x cos x+ =cos x sin x+ =sin x.. Angles associés a Angles opposés i ; OM = x+ k et i ; OM ' = x+ k. Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. cos x=cos x et sin x = sin x b Angles supplémentaires Les angles i ; OM et i ; OM ' sont supplémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle plat. Si i ; OM = x+ k alors i ; OM ' = x+ k. Page

4 Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. cos x= cos x et sin x= sin x c Angles dont la différence est l'angle plat Si i ; OM = x+ k alors i ; OM ' =+x+ k. Les points M et M' sont symétriques par rapport à O. cos +x= cos x et sin+ x= sin x d Angles complémentaires Les angles i ; OM et i ; OM ' sont complémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle droit positif. Si i ; OM = x+ k alors i ; OM ' = x + k. Les angles i ; OM et OM ' ; j sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos x =sin x et sin x =cos x Page

5 e Angles dont la différence est l'angle droit positif Si i ; OM = x+ k alors i ; OM ' = +x + k. Les angles i ; OM et j ; OM ' sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos + x = sin x et sin +x =cos x.5. Équations : cosx=cosa et sinx=sina a Remarque Pour tout nombre réel x, on a : cos x et sin x donc l'ensemble des solutions de l'équation cos x=k et sin x=k avec k strictement supérieur à ou strictement inférieur à - est l'ensemble vide. b cos x=cos a Nous avons vu que le fonction cosinus est continue et dérivable sur ℝ donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permet de conclure que si k [ ; alors il existe a ℝ tel que cos a=k. On obtient une valeur exacte de a lorsque k est une valeur remarquable ou son opposé pour cosinus. On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct O ; i, j i= OI i= OJ Page 5

6 On place le point Hcos a;0, puis on trace la perpendiculaire à OI en H. Cette droite coupe le cercle en deux points distincts lorsque cos a et cos a que l'on note M et M'. Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de i ; OM. Dans ce cas, a est une mesure de i ; OM '. a a Si était une mesure de i ; OM ' alors serait une mesure de i ; OM. Conclusion : { x = a+ k ou cos x=cos a x= a+ k k ℤ Exemple : Résoudre dans ℝ l'équation cos x=. On sait que cos =. x= + k cos x= ou x= + k { k ℤ Cas particuliers : cos x==cos 0 x=0+ k k ℤ cos x= =cos x=+ k k ℤ c sin x=cos a On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct O ; i, j i= OI i= OJ On place le point K0;sin a, puis on trace la perpendiculaire à OJ en K. Cette droite coupe le cercle en deux points distincts lorsque sin a et sin a que l'on note M et M'. Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de i ; OM. Dans ce cas, a est une mesure de i ; OM '. Si a était une mesure de i ; OM ' alors a serait une mesure de i ; OM. Page

7 Conclusion : { x = a+ k ou k ℤ sin x=sin a x= a+ k Exemple : Résoudre dans ℝ l'équation sin x=. donc sin = On sait que sin = x= + k ou sin x= x=+ + k { x= + k ou k ℤ 5 x= + k { k ℤ Cas particuliers : sin x==sin x= + k k ℤ sin x= =sin x= + k k ℤ.. Signe de cosinus et sinus sur [0;.7. Formules d'addition a et b sont deux nombres réels. cos a b=cos a cos b+sin a sin b cos a+b=cos a cos b sin a sin b sina b=sin a cos b cos a sin b sina+b=sin a cos b+cos a sin b Page 7

8 .8. Formules de duplication a un nombre réel. sin a= sin a cos a cos a=cos a sin a= cos a = sin a. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus.. Fonctions périodiques a Définition T est un réel strictement positif fixé. f est une fonction définie sur D. On dit que f est une fonction périodique de période T si et seulement si pour tout x D, on a x T D et x+t D et f x+t = f x. b On peut vérifier que pour tout n ℤ* et tout x D : f x+nt = f x c La représentation graphique d'une fonction périodique d'une fonction périodique de période T est globalement invariante par les translations de vecteurs directeurs V n=nt. i avec n ℤ*. Concrètement, si on obtient la courbe sur [O;T, on translate le «motif» sur [T;T puis sur [T;T... et sur [-T;0 puis [-T;-T ;... Propriétés des fonctions sinus et cosinus a sin : ℝ ℝ x sin x sin est définie, continue et dérivable sur ℝ. Pour tout x réel, sin x+ =sin x donc sin est périodique de période. Pour tout x réel, sin x = sin x donc sin est une fonction impaire. Pour tout x réel, sin ' x =cos x b cos : ℝ ℝ x cos x cos est définie, continue et dérivable sur ℝ. Pour tout x réel, cos x+ =cos x donc cos est périodique de période. Pour tout x réel, cos x=cos x donc sin est une fonction paire. Pour tout x réel, cos ' x= sin x Page 8

9 .. Tableaux de variations de sin et cos sur [0; a On a aussi sin =0. b =0. On a aussi cos =cos.. Représentations graphiques a Sinus sur [0 ; Sinus sur ℝ On complète la courbe en effectuant les translations précédentes. Page 9

10 Remarques : La courbe représentative de sin sur ℝ se nomme sinusoïde. sin est une fonction impaire donc l'origine est un centre de symétrie de la courbe. On peut vérifier que la droite d'équation y=x est tangente à la courbe à l'origine. b Cosinus sur [0 ; Cosinus sur ℝ On complète la courbe en effectuant les translations précédentes. Remarques : Pour tout nombre réel x, on a cos x=sin x et la courbe représentative de cos est aussi une sinusoïde. cos est une fonction paire donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe.. Compléments.. Inéquations trigonométriques a Résoudre dans ℝ : cos x Pour tout nombre réel x, on a : cos x donc s=ℝ. b Résoudre dans ℝ : sin x < donc s=. c Résoudre dans ℝ : cos x On considère un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct O ; i, j i= OI i= OJ Page 0

11 OH 0= i. On place sur l'axe des abscisses le point H 0 tel que On note M et M les points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses et du cercle trigonométrique. i ; OM =x + k i ; OM =x + k cos x =cos x = Soit M un point du cercle trigonométrique et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. i ; OM =x+ k On détermine une mesure de i ; OM, puis la mesure de i ; OM dans le sens direct et dans le même tour de cercle. Si on choisit x = alors il faut choisir x =. 7 9 Si on choisissait x = alors x = cos x + k x + k ; 7 ; 9 k ℤ s= + k ; + k =, Remarque : Si on demande l'ensemble des solutions de l'inéquation appartenant à [0 ; alors on doit déterminer : s [0 ;. 7 ; On obtient : 0 ; [ [ [ [ [ Page

12 d Résoudre dans ℝ : cos x+ On pose X = x+ et on considère l'inéquation cos X. On considère un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct O ; i, j i= OI i= OJ OH 0= i. On place sur l'axe des abscisses le point H 0 tel que On note M et M les points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses et du cercle trigonométrique. i ; OM = X + k i ; OM = X + k cos X =cos X = Soit M un point du cercle trigonométrique et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. i ; OM = X + k et X =. cos X + k X + k X = x+ Or, + k x+ + k + k x + k 7 + k x + k 7 + k x + k 7 + k, k ℤ s= + k ; X = [ Page

13 Remarque : Si on demande l'ensemble des solutions de l'inéquation appartenant à [0 ; alors on doit déterminer : s [0 ;. ; 7 ; 9 7 ; On obtient : [ [ [ e Résoudre dans ℝ : sin x+ On pose X = x+ et on considère l'inéquation sin X. On considère un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct O ; i, j i= OI i= OJ OK 0= j. On place sur l'axe des abscisses le point K 0 tel que On note M et M les points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des ordonnées et du cercle trigonométrique. i ; OM = X + k i ; OM = X + k sin X =sin X = Soit M un point du cercle trigonométrique et K son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. i ; OM = X + k 7 et X =. 7 sin X + k X + k Or, X = x+ 7 + k x+ + k 7 + k x + k X = Page

14 5 + k x + k k 5 k x k ; 5 + k k ℤ s= +, 8 Remarque : Si on demande l'ensemble des solutions de l'inéquation appartenant à [0 ; alors on doit déterminer : s [0 ; ; ; ; On obtient : 0 ; [ [ [ [ [.. Étude de fonctions trigonométriques a Remarque : On se propose de donner des exemples d'études de fonctions du type : f x =a cos ω x+ϕ ou g x=a sin ω x+ϕ avec a et ω deux nombres réels strictement positifs donnés et ϕ nombre réel. Pour tout x réel : f x+ ω =a cos ω x+ ω +ϕ=a cosω x+ ù +ϕ+a cos ω x+ϕ= f x De même, g x+ ω =g x Donc, f et g sont deux fonctions périodiques de période. ω b Exemple : f x = cos x+ =. On étudie f sur un intervalle de période d'amplitude. On choisit [0 ;. Puis on obtiendra la courbe représentative sur ℝ. f est périodique de période T = f est dérivable sur ℝ. f ' x= sin x+ X = x+ On pose. sin X 0 0+ k X + k, k ℤ f ' x 0 0+ k x+ + k + k x + k + k x 5 + k [ [ s= 0 ; 5 ; Page

15 Tableau de variations sur [O ; : f 0= cos = = f 5 f = et f =. Courbe représentative sur I =[ 0 ;. Courbe représentative sur ℝ : c Exemple : g x= sin x g est périodique de période T =. On étudie g sur un intervalle de période d'amplitude. Puis on obtiendra la courbe. On choisit [0 ; Page 5

16 représentative sur ℝ. g est dérivable sur ℝ. g ' x = cos x On pose X = x. cos X 0 + k X + k, k ℤ g ' x 0 + k x + k + + k x + + k k k x [ s= 0 ; [ 5 5 ; 9 9 Tableau de variations sur [0 ; g 0= sin = Courbe représentative sur [0 ; : g = g = sin = g 59 = sin =. Page

17 Courbe représentative sur ℝ : Page 7