CHAPITRE 2 : Géométrie plane

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1 CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs Somme de deux vecteurs Relation de Chasles Règle du parallélogramme Vecteurs dans un repère Coordonnées d un vecteur dans une base Base du plan Coordonnées d un vecteur dans une base Coordonnées d un point dans un repère Repère Coordonnées d un point dans un repère Lien coordonnées de points coordonnées de vecteurs Milieu d un segment Définition vectorielle Coordonnées du milieu Norme d un vecteur Définition et formule Définition Formule de calcul de la norme d un vecteur à partir de ses coordonnées Norme de Vecteurs colinéaires Définition Application : droites parallèles et points alignés Vecteurs colinéaires dans un repère Construction de Equations de droites Vecteur directeur Différents types d équation de droite Equation réduite Equation cartésienne générale

2 CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs Deux vecteurs sont égaux s ils ont : La même longueur, la même direction et le même sens Exemples : Les vecteurs et ont : la même longueur? la même direction? (c est à dire colinéaires) le même sens? sont égaux? 2

3 2 Somme de deux vecteurs 2.1 Relation de Chasles 1 Soit et trois points du plan. Remarque : En général, 2.2 Règle du parallélogramme Dans le parallélogramme, la relation de Chasles permet d écrire : Mais comme est un parallélogramme alors. Donc : 1 Michel Chasles mathématicien français (Épernon Paris 1880). Ses travaux de géométrie supérieure marquent un retour à la géométrie pure. 3

4 3 Vecteurs dans un repère 3.1 Coordonnées d un vecteur dans une base Base du plan Une base des vecteurs du plan est constitué de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : où A, B et C sont trois points non alignés. A j O i B C Coordonnées d un vecteur dans une base Lorsque, on dit que est le couple de coordonnées du vecteur dans la base On peut écrire Donc le vecteur dans la base. On peut écrire Donc le vecteur dans la base. 3.2 Coordonnées d un point dans un repère Repère Un repère du plan est un triplet constitué d un point origine et de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : où A, B et C sont trois points non alignés. 4

5 3.2.2 Coordonnées d un point dans un repère Lorsque, on dit que est le couple de coordonnées du point M dans le repère On peut écrire Donc le point dans le repère. On peut écrire Donc le point dans le repère Lien coordonnées de points coordonnées de vecteurs Si et dans un repère alors les coordonnées du vecteur AB sont 4 Milieu d un segment A I 4.1 Définition vectorielle I m AB ( I est le milieu de AB ) IB IA 0 (définition vectorielle du milieu) Pour tout point M du plan: MA MB 2 MI (Propriété fondamentale) 4.2 Coordonnées du milieu Si et dans un repère alors les coordonnées du milieu de sont B Soit et. Déterminer les coordonnées du milieu de 5

6 5 Norme d un vecteur 5.1 Définition et formule Définition Soit un vecteur, et deux points du plan tels que. On appelle norme du vecteur, que l on note, la longueur du segment. On a donc. Propriétés : Pour tout vecteur, est un réel positif Formule de calcul de la norme d un vecteur à partir de ses coordonnées Si dans un repère orthonormé du plan,, alors Dans le repère orthonormé on donne les points et. 1. Calculer les coordonnées du vecteur. 2. En déduire la norme puis la distance 5.2 Norme de Pour tout vecteur et pour tout réel : 1. En reprenant les données de l exemple précédent, calculer les coordonnées du vecteur 2. Vérifier que 6

7 6 Vecteurs colinéaires 6.1 Définition Deux vecteurs non nuls et sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel tel que, c'est-à-dire s ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Les vecteurs et sont colinéaires car il existe le réel tel que 6.2 Application : droites parallèles et points alignés Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires, si et seulement si, les droites et sont parallèles. Dans un repère on donne les points. Montrer que les droites et sont parallèles. 7

8 Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires, si et seulement si, les points sont alignés. Dans un repère on donne les points. Le point appartient-il à la droite? 6.3 Vecteurs colinéaires dans un repère Condition de colinéarité Dans un repère quelconque, deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si : Dans un repère on donne les points. Monter, en utilisant la condition de colinéarité que les droites et sont parallèles. 6.4 Construction de La construction repose sur les propriétés : et sont colinéaires et Si alors et sont de même sens. Si alors et sont de sens contraires. Construire un représentant d origine de et un représentant d origine de. On trace parallèlement à la droite support de passant par de façon à ce que : et a le même sens que On trace parallèlement à la droite support de passant par de façon à ce que : et a le sens opposé à celui de 8

9 7 Equations de droites 7.1 Vecteur directeur Définition : On appelle vecteur directeur d une droite, tout vecteur non nul dont la direction est celle de. Ainsi, si et sont deux points distincts de, les vecteurs directeurs de sont les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur Les vecteurs, et. sont des vecteurs directeurs de la droite 7.2 Différents types d équation de droite Equation réduite Soit une droite du plan. Si n est pas parallèle à l axe alors a une équation réduite de la forme est un réel appelé coefficient directeur de la droite est un réel appelé ordonnée à l origine de la droite Un vecteur directeur de est Coefficient directeur Ordonnée à l origine est la droite de coefficient directeur et d ordonnée à l origine 9

10 7.2.2 Equation cartésienne2 générale Cependant, certaines droites n ont pas d équation réduite. Ce sont les droites parallèles à l axe qui n ont ni ordonnée à l origine ni coefficient directeur. Si est parallèle à l axe alors a une équation réduite de la forme avec Un vecteur directeur de est est l ensemble des points du plan dont l abscisse De façon générale, toute droite avec. a une équation où, et sont des réels Ce type d équation est appelé équation cartésienne générale (ou simplement équation cartésienne). Réciproquement, l ensemble des points du plan tels que sont des réels avec est une droite du plan. où, et Exemples : La droite d équation réduite forme La droite a pour équation cartésienne de la avec d équation réduite a pour équation cartésienne de la forme avec Un vecteur directeur de est. Cette remarque permet d obtenir directement des vecteurs directeurs et donc de savoir si deux droites sont parallèles, d après leurs équations. 2 Cartésienne : relatif à la philosophie, aux œuvres de Descartes Descartes (René), philosophe, mathématicien et physicien français (La Haye, Indre-et-Loire, Stockholm 1650). 10