Pronostic pour la Maintenance

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1 Pronostic pour la Maintenance surveillance, pronostic et maintenance conditionnelle Mitra Fouladirad Troyes University of Technology 15/05/14

2 Plan 1 Formalisation 2 Pronostic pour la maintenance 3 La mise en place du concept de pronostic

3 Pronostic Prévision du comportement futur et de la durée de vie d un système Objectif principal : calculer la durée de vie résiduel (RUL) en prenant compte des données de surveillance Abondance des méthodes d estimation de la durée de vie résiduelle, Très peu de travaux considèrent cette quantité pour la prise de décision de maintenance. Quantité pas proprement définie, dans le sens où il existe plusieurs définitions possibles de la durée de vie résiduelle. Point important : surveillance donc données bruitées Filtrage

4 Formalisation X t l état du système à l instant t X = (X t ) t R+ à valeurs dans l espace de probabilité (E, ε). Une partition de l espace E = U Ū, définissant la zone utile U Quantité d intérêt pour le pronostic : le temps restant avant de sortir de la zone U, i.e. the Remaining Useful Life : RUL t = inf{s t, X s / U} t (1)

5 RUL et surveillance Figure: Illustration du concept de pronostic pour différents types d observation

6 Formalisation en présence d observations bruitées Le système est inspecté aux instants t k, k N, Y tk observation à t k, X tk l état du système à t k Y i = g i (X ti ) + ɛ i ; RUL tk la variable aléatoire représentant la durée de vie résiduelle à l instant t k, On s intersse à la loi de la RUL L(RUL tk Y 1 = y 1,, Y n = y n ). (2) Distribution de la RUL : F RULtk (h) = P(RUL tk < h) = P(X tk +h Ū Y t 1,..., Y tk )

7 RUL Figure: Estimation de la densité de la RUL avec des observations bruitées

8 Calcul de la loi de RUL Division du calcul en deux parties si le processus X = (X t ) t>0 est Markovien : P(RUL t > s Y 1 = y 1 Y n = y n ) = R x (s)µ y1, y n (t)(dx). Première partie : fiabilité La fiabilité du système à l instant t, avec l état initial x : R x (t) = P x (X(s) U s t) Deuxième partie : loi conditionnelle (filtrage) La loi conditionnelle de X t pour t > t n considérant Y 1 = y 1,, Y n = y n : µ y1, y n (t) = L(X t Y 1 = y 1, Y n = y n ). E

9 L utilité pour la maintenance Politique basée sur la moyenne de la RUL Politique basée sur la fonction de répartition de la RUL Prise en compte des conditions d utilisation

10 Politique de maintenance basée sur la moyenne de la RUL x k état estimé à t k Politique I τ m seuil de remplacement préventif, à chaque instant d inspection t k, si x k Ū, remplacement corrective, si x k U et E(RUL tk ) τ m, remplacement préventive, si x k U et E(RUL tk ) > τ m, report de décision à t k+1. Politique II A l instant d inspection t k, si x k U, la durée avant le prochain remplacement préventif est E(RUL tk ), si x k Ū, le système est remplacé correctivement.

11 Politique basée sur les quantiles de la RUL Politique I Soit P [0, 1], à chaque instant d inspection t k, si x k Ū, remplacement corrective, si x k U et F RULtk ( t) P, remplacement préventive, si x k U et F RULtk ( t) < P, décision reportée à l instant t k+1. Politique II Pour une probabilité fixée a, à l instant t k, si x k U, la durée avant le prochain remplacement préventif est Q a (t k ), quantile de la RUL(t k ), tel que P(RUL(t k ) Q a (t k )) < a. si x k Ū, remplacement corrective.

12 Les éléments nécessaires Indicateur de dégradation ou de santé Caractère Markovien de la variable représentant l état du système (pour appliquer la division de calcul de la loi de RUL) Méthode de filtrage si les observations sont bruitées : en-ligne ou hors ligne.

13 Construction d indicateur de dégradation : exemple illustratif Les données PHM composants 24 capteurs 3 conditions opérationnelles séries temporelles Deux ensembles de données ensemble d apprentissage : données jusqu à la panne ensemble test : données jusqu à un instant avant la panne

14 Construction de l indicateur de dégradation Les étapes Sélection des capteurs Distinction des modes opérationnels Analyse en composantes principales Proposition d un indicateur de dégradation Projections de panne dans l espace de 2-D des PCs Pourcentage des PCs OP OP OP PC PC1 Pourcentage (%) PCs Figure: Les 6 modes opérationnels et ACP par mode

15 Construction de l indicateur de de gradation Projections de panne dans l espace de 2-D en mode k (Pk ) 1905 k Pi,j (Projection a l instant j du composant i dans l espace de panne en mode k) 1910 k Di,j = 1915 k distance(pi,j ;P k ) Disperk PC Barycentre Lieu de panne en mode i PC1 Indicateur de de gradation du composant 1 Indicateur de de gradation pour tous les composants Indicateur de de gradation 3 Indicateur de de gradation Temps Temps

16 Modélisation de l indicateur de dégradation Processus stochastiques Dégradation non monotone : processus Wiener avec dérive Dégradation monotone bruitée : processus Gamma non-homogène avec bruit gaussien Avantages Comparaison avec d autres modèles (déterministes ou aléatoires) Critère : pronostic, pénalité sur la prédiction tardive de défaillance Mise en avant de la modélisation stochastique pour le pronostic

17 Pronostic La loi de la RUL F RULtk (h) = P(RUL tk < h) = P(X tk +h > L Y t1,..., Y tk ) = F α((tk +h) b t b k ),β (L x). µ Yt1,...,Y tk (t k ) dx }{{}}{{} Fonction de survie de Gamma Loi conditionnelle de X tk Approximation par MCMC (Gibbs) F RULtk (h) = 1 Q Q 0 +Q q=q 0 +1 F α((tk +h) b t b k ),β (L x (q) k ) Q 0 nombre d itérations pour atteindre l état stationnaire et Q le nombre d itérations supplémentaires pour l estimation.

18 Indicateur de dégradation, état de santé du système Quel choix, pour quelle raison?

19 Etat du système et sa modélisation : exemple illustratif m x(t) m x 0 (t) Figure: Système d amortissement de véhicule X la hauteur de la masse (l habitacle), Ẋ sa vitesse. h le coefficient d amortissement, k la raideur du ressort.

20 Etat du système et sa modélisation : exemple illustratif Le fonctionnement dépend du profil de la route. Trois causes de dégradation dégradation due à l usure dégradation due aux conditions environnementales dégradation due aux conditions d utilisation Deux premières dégradations par chocs, arrivant selon deux processus de poisson (Ti u ) i N, (Ti ce ) i N d intensité respective λ u et λ ce. Les chocs modifient le coefficient d amortissement et la raideur selon une loi uniforme

21 Etat du système et sa modélisation : exemple illustratif le comportement du système à un instant t est résumé par : ( ) Ξ t = X(t), Ẋ(t), H(t), K(t), λ ce (t), A(t), Ω(t) λ ce (t), A(t), Ω(t) : covariables et rendent le processus Ξ = (Ξ t ) t R+ markovien. Entre les instants de saut X et Ẋ évoluent selon l équation différentielle et les autres composantes restent constant. Aux instants de saut H, K, λ ce, A, et Ω sont modifiés. Modélisation via un processus de Markov déterministe par morceaux ou PDMP

22 Etat du système et sa modélisation : exemple illustratif Nous identifions deux modes de défaillance, à savoir, des oscillations trop importantes par unité de temps, une position moyenne trop basse. La zone de défaillance, notée Ū, est l intersection de ces deux modes. Soient 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n t pro une suite d instants d observation où nous observons Y k = g k (Ξ tk ) + ɛ k. où ɛ k est le bruit de mesure, il est supposé gaussien et indépendant de Ξ tk Soit t pro l instant de pronostic, i.e. l instant d inspection où nous voulons estimer la RUL

23 Pronostic : exemple illustratif P(RUL(t pro ) > τ Y 1 = y 1,..., Y n = y n ) = R ξ (τ)µ y1,...,y n (dξ), R 7 R ξ (t) = P(Ξ s U, s t) est la fiabilité à l instant t avec loi initiale δ ξ, la masse de Dirac au point ξ R 7, avec U la zone de bon fonctionnement µ y1,...,y n la densité conditionnelle de Ξ sachant les observations Y 1 = y 1,..., Y n = y n. Séparation les évènements passés (influants sur la loi conditionnelle) et les suppositions sur les conditions de missions futures (influants le calcul de fiabilité). R ξ peut être calculée par les méthodes de calcul propres aux PDMP (Kalashnikov, Cocozza). Calcul de la loi conditionnelle par une méthode récursive avec intégration au fur et à mesure des observations.

24 Pronostic : exemple illustratif P tp+1 t p le noyau de transition de Ξ entre t p et t p+1 ν p, la densité conditionnelle de Ξ sachant les observations Y 1 = y 1,..., Y p 1 = y p 1 ν p, la densité conditionnelle de Ξ sachant les observations Y 1 = y 1,..., Y p = y p. ν p (dξ) = µ y1,...,y p 1 (dξ), ν p (dξ) = µ y1,...,y p (dξ). Notons φ p la densité de la loi de Gauss associée au bruit ɛ p = Y p g p (Ξ tp ) alors ν p se calcule de la manière suivante à partir de ν p : ν p (dξ) = φ p(y p g p (ξ))ν p (dξ) φ R 7 p (y p g p (v))dν p (dξ) ν p+1 (dξ) = P tp+1 t p (y, dξ) ν p (dy) E

25 Pronostic Introduisons δ ξ la masse de Dirac associée à ξ R 7. L approximation utilisant N particules est résumée comme suit. Etape 1. Simulation de N valeurs de Ξ t1, notées ξ1, 1..., ξ1 N, afin d obtenir ν N 1 = 1 N N j=1 δ ξ j 1, mesure empirique, approximation de ν 1 Etape 2. Calcul de la constante de normalisation pour avoir ν 1 N. Etape 3. Simulation de N valeurs de Ξ t2 t 1 avec la loi initial ν 1 N, afin d obtenir ν N 2 = 1 N N j=1 δ ξ j 2, mesure empirique, approximation de ν 2 Etape 4. Calcul de la constante de normalisation pour avoir ν N 2. Etape 5. Simulation de N valeurs de Ξ t t,...

26 Pronostic La densité ν p est approchée par la mesure empirique νp N = 1 N N j=1 δ ξp j. Les densités ˆν p sont approchées de la manière suivante : N φ ν p N p (y p g p (ξp)) j = p j δ ξ j p où p j = N l=1 φ p(y p g p (ξp)). (3) l j=1

27 Pronostic Figure: Une trajectoire de la hauteur de la masse X (droite) et une trajectoire de indicateurs de dégradation H et K (gauche) Temps de sortie de la zone utile U : unités de temps.

28 Pronostic Histogramme de la durée de vie résiduelle du système à l instant initial t 0 = 0 (la fiabilité à t 0 ) pour différentes conditions de mission possibles. Figure: L histogramme de la RUL pour des condition fixées (droite), pour des conditions variables (gauche)

29 Pronostic pour la maintenance Politique I : basée sur la moyenne Politique II : basée sur un quantile Politique III :basée sur l état estimé Dégradation selon un processus Gamma avec bruit gaussien Politique I II III paramètres optimaux ( t, τ m)=(4.8,5.7) ( t, P )=(4.8,0.18) ( t, A)=(2.4,11.4) C Table: Coûts moyens à long terme optimaux, pour X t Γ(t 3/2, 2), C d = 2.5C c = 5C p = 50C i. Figure: Evaluation du coût moyen optimal

30 Pronostic pour la maintenance Figure: Variation du coût moyen à long terme des trois politiques pour l intervalle d inter-inspection optimal (gauche), en fonction de t pour les valeurs optimales de τ m, P et A (droite).

31 Merci pour votre attention