Notion de fonction. Représentez dans le repère orthogonal les points d abscisse x pour le montant des ventes et d ordonnée y pour le salaire.

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1 Notion de fonction I Approche : Différentes epressions d une fonction 1 Etude d un tableau : Une entreprise rémunère ses salariés de la façon suivante : fie pourcentage sur le montant des ventes. Montant des ventes ( en F) Salaire ( en F ) Représentez dans le repère orthogonal les points d abscisse pour le montant des ventes et d ordonnée y pour le salaire. Salaire ( F) Montant des ventes ( F ) Reliez ces points, sontils alignés?si oui, donnez l équation de la droite obtenue.....

2 2 Etude d une formule : Le coût de production d un produit est donné par la relation : C ( ) = 2 ² Pour [0 ; 25 ], calculez : C ( 0 ) ; : C ( 5 ) ; : C ( 10 ) ; : C ( 15 ) ; : C ( 20 ) ; : C ( 25 ). Représentez graphiquement le fonction C. 3 Etude d une représentation graphique : La courbe cicontre représente les variations du nombre d actifs en France, occupés à temps partiel, en fonction de la date, durant les 20 dernières années. Tout point de la courbe admet : une abscisse (.. ) et une seule. une ordonnée ( ) et une seule.

3 II Définition : D une manière générale, on dit que f est une sur un intervalle I de R, si à tout nombre appartenant à I correspond un nombre réel uniq ue, noté f ( ). Si désigne un nombre de l ensemble de départ, le nombre de l ensemble d arrivée, qui lui est associé par la fonction f est noté f ( ). Le nombre est du nombre f ( ). Le nombre f ( ) est. Du nombre par la fonction f. On écrit : f : α f ( ) Dans un repère orthogonal, l ensemble des points ayant pour coordonnées (, f ( ) ), avec élément de l ensemble de départ, est la de la fonction f. On dit que y = f ( ) est l équation de la courbe. La représentation graphique d une fonction f donne plusieurs renseignements : y M est l ordonnée du point M C est l image par f de M y d y M M C f est la courbe représentative de la fonction f [c,d] est l ensemble des valeurs prises par la fonction f a M b M est l abscisse du point M c [a,b] est l intervalle d étude de la fonction f

4 III Eercice d application : On place un capital de F à intérêts simples pendant m mois à 6% l an. 1 Eprimez l intérêts I et la valeur acquise A en fonction de la durée de placement m 2 Représentez graphiquement I et A dans deu repères différents pour m compris entre 0 et 12 mois. Remarques :

5 IV Variations d une fonction : 1 Eemple : Le coût de production y d un objet d une série dépend du nombre d objets fabriqués dans la série. Une entreprise utilise la courbe ci dessous : Intervalle de définition : I = [,.] f ( ) Nombre d objets Dans l intervalle [ 5; 20 [, que fait y quand augmente? Dans l intervalle [ 20; 50 [, que fait y quand augmente? 2 Généralités : Considérons la représentation graphique suivante : f ( )

6 a Définitions : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les nombres 1 et 2 appartenant à I : 1 2 entraîne f ( 1 ) f ( 2 ). Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les nombres 1 et 2 appartenant à I : 1 2 entraîne f ( 1 ) f ( 2 ). Si pur une fonction f, les valeurs de f ( ) ne changent pas pour tout appartenant à I, on dit que la fonction f est constante sur I. b Tableau de variation : Le sens de variation d une fonction est souvent résumé dans un tableau. Dans l eemple, on a : a b c d f ( ) 3 Tau de variation : Soit une fonction f définie sur un intervalle I et deu valeurs 1 et 2 ( 1 2 ) appartenant à cet intervalle. On appelle tau de variation entre 1 et 2, le rapport Si Si Si f( 2 1 f( ) f( 2 1 f( ) f( ) f( 1) 2 1) 2 1) f( > 0, la fonction f est croissante sur un intervalle I. 2 ) f( 1) 2 < 0, la fonction f est décroissante sur un intervalle I. = 0, la fonction f est constante sur un intervalle I. 4 Eercices : 1 Soit f la fonction définie telle que : R R α ² + 2 Calculer le tau de variation : entre 2 et 5 entre 1 et 2 2 La courbe cidessous représente la consommation d oygène ( V O 2 ) au cours d un eercice sportif et la période de récupération qui le suit. Donnez le tableau de variation de V O 2 ( en L/min ) en fonction du temps t (en min ). V O t ( min )

7 V Addition d une constante Multiplication par une constante : 1 Addition d une constante : a Eemple : Soient les fonctions f ( ) = 4 ² et g ( ) = 4 ² + 3, étudions le tau de variations de ces fonctions sur l intervalle [0, 10 ] Que constateton? b Retenons : 2 Multiplication par une constante : a Eemple : Soient les fonctions f, g et h définies telles que : f ( ) = 4 ² g ( ) = 2 f ( ) h ( ) = 2 f ( ) soit :. soit :. Etudions le tau de variation de ces fonctions sur l intervalle [ 0, 10 ]. Que constateton?

8 b Retenons : 3 eercices : On désigne par f la fonction linéaire définie par f ( ) = 3. Tracer la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé. a En déduire la courbe représentative des fonctions g et h définies par : g ( ) = h ( ) = 3 1 b En déduire la courbe représentative de la fonction k définie par : k ( ) = 3

9 VI Fonction affine et applications : 1 Rappels : Les nombres a et b étant donnés, on appelle fonction affine la fonction f, qui au nombre réel fait correspondre le nombre a + b. On a : R R α a + b La représentation graphique de la fonction affine f ( ) = a + b est une droite d équation : y = a + b Quels que soient 1 et 2, le tau de variation de la fonction affine f ( ) = a + b est tel que : Le tau de variation est... On en déduit que : Si a < 0, la fonction affine est Si a > 0, la fonction affine est Propriétés : Deu droites sont parallèles, si et seulement si,.. Deu droites sont perpendiculaires, si et seulement si,.. 2 Détermination de l équation d un e droite : a On connaît le coefficient directeur et un point de la droite : Déterminer l équation d une droite sachant que : a = 2 la droite passe par le point ( 2, 1 ) Equation y = a + b : D une manière générale : Si l équation de la droite est telle que : y = a + b et si M ( 0, y 0 ) appartient à la droite alors : y 0 = a 0 + b soit : b = y 0 a 0

10 b On connaît 2 points de la droite : D une manière générale : Soient M 1 ( 1, y 1 ) et M 2 ( 2, y 2 ) deu points de la droite D d équation y = a + b. On a : Application : Déterminer l équation de la droite passant par les points A ( 1 ;5 ) et B ( 2 ; 7 ) Détermination du coefficient directeur : Détermination de l ordonnée à l origine : L équation de la droite est : 3 Equation générale d une droite de plan : L équation générale d une droite de plan est telle que : a + b y + c = 0 avec a, b, et c sont des nombres donnés, où a et b ne peuvent être nuls ensemble. 1 er Cas : a = 0 et b On a alors soit. La droite est parallèle à l ae des abscisses 2 ème Cas : a 0 et b = 0

11 4 Applications : A l aide de la fonction affine, on peut résoudre de nombreu problèmes : Résolution graphique d un système d équations du 1 er degré à 2 inconnues Formation des pri Intérêts simples Seuil de rentabilité Nous aborderons ces différents thèmes à l aide d eercices d application. Eercice 1 : Le salaire mensuel d un représentant comprend : un fie de F Une commission égale à 10% sur le montant des ventes réalisées. a Si y est la rémunération mensuelle et le montant des ventes réalisées, eprimez y en fonction de. b Représentez graphiquement la fonction obtenue pour variant de 0 à F Echelle : abs : 1 cm F ; ord : 1 cm F. c Déterminez graphiquement : le montant des ventes pour une rémunération mensuelle de F. la rémunération mensuelle correspondant à un montant des ventes de F. d Vérifiez ces résultats par le calcul. Eercice 2 : Un capital de F est placé à 12 % le 1er juillet ; un 2 ème capital de F est placé à 10%le 13 juillet. a On désigne par la durée de placement en jours, eprimez en fonction de les intérêts y 1 et y 2 de chaque placement. b Représentez graphiquement les fonctions obtenues dans un même repère pour variant de 0 à 180 jours. Echelle : abs : 1 cm 10 jours ; ord : 1 cm 200 F. c Déterminez graphiquement la date à laquelle les deu capitau rapportent le même intérêt. d Vérifiez ces résultats par le calcul.