associe le point M' d'affixe z'=.

Transcription

1 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics Exrcic 1: L plan complx st muni d'un rpèr orthonormé dirct (O,OA,OB ) t I l miliu d [AB]. On considèr l'application f d P\{I} dans P qui à tout point M d'affix z 1 i z² i associ l point M' d'affix z'=. z (1 i ) 1) a) montrr qu A t B sont ls suls points invariants par f. b) précisr ls affixs ds antécédnts d I par f. 1 i z' i z i ) a) soit z \{ 1, }. Montrr qu z' 1 z 1. b) n déduir qu pour tout MP\{A,B,I} on a BM ' AM ' BM AM t qu ( AM ',BM ' ) ( AM,BM )[ ]. c) sur qul nsmbl s déplac l pont M' lorsqu M s déplac sur l crcl d diamètr [AB] privé d A t B. 3) soit la médiatric d [AB]. On suppos qu M st un point d \{I}. a) vérifir qu M'. b) construir l point M à l'aid d'un point M d \{I}. Exrcic : 1) résoudr dans l'équation (E): z²-(cos +i)z+1+sin +icos =0; [0, ]. ) l plan complx P st rapporté à un rpèr orthonormé dirct ( O, i, j ) ; soit A t B ls points d'affixs rspctivs z A = i t z B = i+ i ; I l miliu d [AB] a) détrminr l'nsmbl ds points ds points B t I lorsqu décrit [0, ]. b) écrir z B sous form xponntill. c) détrminr pour qu O, A t B soint alignés. 3) détrminr l'affix du point C pour qu OACB soit un rctangl. Exrcic 3: Soit un rél d ]0, [ t (E) l'équation: (1-i)z²-(1+ i )z+(1+i)(1+ i )²=0 1) a) résoudr dans l'équation (E). b) écrir chacun ds solutions d (E) sous form xponntill Pag 1

2 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics ) l plan P st muni d'un rpèr orthonormé ( O, i, j ), on désign par M 1 t M ls points d'affixs rspctivs i i z1 1 t z i( 1 ). Détrminr t construir l'nsmbl ds points M 1 t M lorsqu décrit ]0, [. 3) a) montrr qu OM 1 M st un triangl rctangl t isocèl n O. b) soit B l point d'affix i. Détrminr l rél pour qu OM 1 BM soit un carré. Exrcic 4: L plan P st rapporté à un rpèr orthonormé dirct ( O, i, j ). on considèr ls points A t B d'affixs rspctivs i t 1 i. Soit f l'application d P dans P qui à tout point M d'affix a associ l point M' d'affix z'=(1-i)z-1. 1) a) vérifir qu f admt un sul point invariant qu l'on précisra. 1 i b) on pos z= ; ], [. Détrminr la form xponntill d z'. ) a) on suppos qu M B; montrr qu arg z' ( i,bm )[ ]. 4 b) n déduir l'nsmbl E={M(z); z' IR* - }. 3) on suppos qu MA. a) montrr qu l triangl AMM' st rctangl t isocèl. b) on s donn un point M d'affix z (zi) déduir un construction géométriqu d chacun ds points : M' tl qu z'= (1-i)z-1. M'' d'affix z''=(1+i) z -1 Exrcic 5: 1) résoudr dans l'équation (E): z²-iz-1+ i =0 ; ], [. ) Dans l plan rapporté à un rpèr orthonormé dirct ( O, i, j ), on considèr ls points A, M' t M'' d'affixs rspctivs i, z'=i+i i t z''=i-i i. a) montrr qu z'' itg( ). z' b) Montrr qu pour ], [, OM'AM'' st un rctangl. c) Détrminr pour qu OM'AM'' soit un carré. d) Détrminr l'nsmbl ds points M' lorsqu décrit ], [ Pag

3 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics Exrcic 6: l plan complx st rapporté à un rpèr orthonormé dirct (O, u,v ). On considèr pour tout ]0, [, l équation (E ) : z²-i i z-4(1-i) i =0. 1/ résoudr dans C l équation (E ). / on considèr ls points M t M d affixs rspctivs i t (1-i) i t l point N imag d M par la rotation d cntr O t d angl. a/ montrr qu pour tout ]0, [, M appartint à un crcl qu l on précisra. b/ détrminr l affix n du point N. c/ montrr qu OM NM st un parallélogramm. d/ n déduir un construction du point M a partir d M. 3/ a/ détrminr n fonction d l modul t un argumnt d (1-i) i. b/ détrminr l nsmbl ds points M lorsqu vari dans ]0, [. 4/ Soit (E ) : ( z-1) 3 =(-+i) i z 3. a/ détrminr ls racins cubiqus du nombr complx (-+i) i. b/ soit x]0,[\{} ; montrr l équivalnc : z1 ix x z (1 i cot g( ) z 4 c/ n déduir ls solutions d l équation (E ). Exrcic 7: l plan complx st rapporté à un rpèr orthonormé dirct(o, u,v ) Pag 3, on désign par A t K ls points d affixs rspctivs 1 t 1+i t I t J ls affixs d i t i. 1/ l crcl d cntr O t d rayon 1, soit N un point d distinct d I t J ; on not ( u, ON) t[]. a/ qull st la natur du triangl INJ? b/ montrr qu pour tout tir\ { k,kz} l nombr it it i st i imaginair pur. / on désign par l crcl d cntr A t d rayon 1, soit r la rotation d cntr O t d angl. a/ tracr t son imag par r. b/ on not M =r(m), ou M un point du plan ; xprimr l affix z d M n fonction d l affix z d M. c/ déduir l antécédnt H d K par r.

4 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics 3/ dans ctt qustion M distinct d H t K d affix z, on not ( u, AM ) []. a/ vérifir qu z=1+ i. b/ montrr qu z' (1 i) i i i z(1 i) i Pag 4 i c/ montrr qu M, K t M sont alignés. d/ n déduir un construction d M connaissant M. Exrcic 8: f st l application du plan dans l plan qui à tout point M d affix z associ l point M d affix z tl qu z = 1/ dtrminr ls points invariants par f. /a/ démontrr qu cos i -1= i. b/ prouvr qu pour z cos on a: z' z' z² 1 z cos i i i z ( )² i z, ]0, [, z cos. M ' B MB c/ n déduir qu ( M ' B, M ' A) ( MB, MA) t M ' A MA avc A( i ) t B( -i ). 3/ a/ montrr qu si M appartint au crcl d diamètr [AB] alors M appartint au sgmnt [AB]. b/ l crcl coup la droit ds abscisss (O, 1) n E t F; montrr qu f(e)=f(f)=a * B. 4/ montrr qu si M appartint à un crcl d cntr I t passant par A t B alors ls points A, B, M t I sont sur un mêm crcl ou alignés. Exrcic 9: pour tout zc on pos P(z)=1+z+z²+z 3 +z 4 +z 5 +z / montrr qu pour tout zc\{1} on a P(z)= z 7 1 z. / détrminr ls racins sptièm d l unité dans C; n déduir ls solutions d l équation P(z)=0. 3/ montrr qu pour tout zc ; P(z)= 4 6 ( z ² cos z 1)( z ² cos z 1)( z ² cos z 1) / montrr qu P(z)=0 signifi Z z1 z n déduir qu cos 8x 3 +4x²-4x-1=0 Z 3 +Z²-Z-1=0 ; cos 4 t cos 6 sont racins d l équation (E):

5 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics i 5/ on pos w= 7. a/ montrr qu pour tout zc on a P(z)=(z-w)(z-w²)(z-w 3 )(z-w 4 )(z-w 5 )(zw 6 ). b/ n déduir qu (1-w)(1-w²)(1-w 3 )(1-w 4 )(1-w 5 )(1-w 6 )=7. c/ n utilisant un calcul d moduls, montrr qu : sin sin sin sin sin sin Exrcic 10 : soit l équation (E) : z²-(1+icos)z+icos=0 ; ou ]0, [. 1/a) résoudr dans C l équation (E). b) on not z 1 =1+i i t z =1+i -i ; écrir z 1 t z sous form xponntill. /a) détrminr chacun ds nsmbls ds points M 1 t M d affixs z 1 t z lorsqu décrit ]0, [ Pag 5 b) soit I l miliu d [M 1 M ] ; qul st l nsmbl décrit par I lorsqu décrit ]0, [? 3/ soit l application r : P P ; M(z) M (z ) tl qu z = i z+isin -i. a) caractérisr l application r. b) montrr qu M =r(m 1 ). c) détrminr alors la natur du triangl AM 1 M ou A(1). détrminr pour qu AM 1 M soit rctangl isocèl. 4/a) montrr qu lorsqu vari sur]0, [ la droit (M 1 M ) a un dirction fix. b) n déduir pour qu OAM M 1 soit un losang. Exrcic 11: L plan st rapporté à un rpèr orthonormé dirct ( O,u,v ). Soit l équation (E) : z 3 =i(z-1) 3. 1/ montrr qu si z st solution d (E) alors z = z-1. A qull nsmbl appartint alors M l imag d z? / on pos arg(z)=[]. a) montrr qu si M(z) alors arg(z)+arg(z-1)=[]. b) pour qulls valurs d, z st solution d (E)? 3/a) construir dans l plan ls imags ds solutions d (E).

6 L.S.El Riadh Nombrs Complxs Mr Zribi 4 èm Maths Exrcics b) déduir la form xponntill d cs solutions. Exrcic 1: soit IR t l équation (E) : i z²- i z+1=0. 1/ résoudr (E) t mttr ss solutions sous form xponntill. / on pos z 1 = i(-- ) 3 t z = i(-+ 3 ) ; M 1 t M ls points d affixs z 1 t z. i a) vérifir qu z1 z. b) détrminr dans chacun ds cas suivants : i/ M 1 t M sont symétriqus par rapport à l ax ds abscisss. ii/ M 1 t M sont symétriqus par rapport à l ax ds ordonnés. c) st-il possibl qu M 1 t M soint symétriqu par rapport à l origin. n n n n 3/ on pos pour nin* : S n = z1 z1 t S n = z z. a) calculr n fonction d n t : S n t S n. b) vérifir qu si n=3p, pin* alors S n =S n. S n n n c) montrr qu 0. lim n S ' Pag 6