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1 Table des matières 1 Justifier que (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique 2 2 Utilisation d une suite auxiliaire Déterminer la forme explicite de (w n ) 4 Variations de la suite (u n ) 4 5 Recherche de la limite de u n 5 Page 1/5 MATHS-LYCEE.FR-terminale S

2 Suites arithmético-géométriques (u n+1 = au n + b) 1 Justifier que (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique Méthode : Justifier q une telle suite n est pas arithmétique ni géométrique On peut calculer u 0, u 1 et u 2 Vérifier que u 1 u 0 u 2 u 1 pour justifier qu elle n est pas arithmétique. Vérifier u 2 u 1 u 1 u 0 pour justifier qu elle n est pas géométrique. Exemple 1 : Suite u n+1 = au n + b On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n+1 = 1 u n + 4 et u 0 = et la suite (w n ) est définie pour tout entier naturel n par w n = u n 6. Montrer que (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. u 0 = u 1 = 1 u = = 5 u 2 = 1 u = = 17 u 1 u 0 = 5 = 2 et u 2 u 1 = 17 5 = 2 La différence de deux termes consécutifs n est pas constante donc la suite (u n ) n est pas arithmétique. 17 u 1 = 5 u 0 et u 2 = u 1 5 = Le quotient de deux termes consécutifs n est pas constant donc la suite (u n ) n est pas géométrique. Page 2/5 MATHS-LYCEE.FR-terminale S

3 2 Utilisation d une suite auxiliaire Méthode : Montrer que (w n ) est géométrique On exprime w n+1 en fonction de u n+1 Remplacer u n+1 par son expression en fonction de u n c est à dire au n + b Factoriser par a Vérifier que w n+1 = aw n Exemple 2 : Montrer que (w n ) est géométrique Rappel : w n = u n 6 et u n+1 = 1 u n + 4 Montrer que (w n ) est une suite géométrique. exercices d applications ex ex Pour tout entier naturel n, on a : w n = u n 6 donc w n+1 = u n+1 6 w n+1 = u n+1 6 = 1 u n (on remplace u n+1 par 1 u n + 4) = 1 u n 2 (on factorise par le coefficient de u n ) = 1 (u n 6) = 1 w n (on remplace u n 6 par w n ) donc la suite (w n ) est géométrique de raison q = 1. Déterminer la forme explicite de (w n ) Méthode : Déterminer la forme explicite de (u n ) Calculer w 0 (ou w 1 si n 1) en prenant n = 0 dans la relation liant w n et u n Donner la forme explicite de (w n ) suite géométrique. Rappel : w n = w 0 q n et w n = w 1 q n 1 On a w n = u n + k donc u n = w n k Page /5 MATHS-LYCEE.FR-terminale S

4 Exemple : Forme explicite de (u n ) Rappel : w n = u n 6 et u n+1 = 1 u n + 4 et u 0 = Exprimer w n puis u n en fonction de n. exercice d application ex ex On a w n = u n 6 donc pour n = 0 : w 0 = u 0 6 = 6 = La suite (w n ) est géométrique de raison q = 1 et premier terme w 0 = Pour tout entier naturel ( ) n, on a : n 1 w n = w 0 q n = = 1 n w n = u n 6 u n = w n + 6 donc u n = w n + 6 = 1 n + 6 = 6 1 n u n = 6 1 n 4 Variations de la suite (u n ) Exemple 4 : Variations de la suite (u n ) Rappel : u n = 6 1 n Etudier les variations de la suite (u n ). exercice d application ex Pour tout entier naturel n, on a : u n+1 u n = 1 u n + 4 u n = 1 u n + 4 u n = 2 u n + 4 = 2 (6 1 n ) + 4 = n + 4 Page 4/5 MATHS-LYCEE.FR-terminale S

5 = n + 4 = 2 1 n 1 n > 0 donc u n+1 u n > 0 donc la suite (u n ) est strictement croissante. 5 Recherche de la limite de u n Méthode : Limite de la suite (u n ) Déterminer la limite de w n en utilisant la raison de (w n ) Rappel : Si la raison q de (w n ) est comprise entre 1 et 1, w n 0 En déduire la limite de u n = w n + k Exemple 5 : Limite de u n Etudier la limite de la suite (u n ) de l exemple 4. exercice d application ex La suite (w n ) est géométrique de raison q = 1 et 1 < q < 1 donc lim w n = 0 u n = w n + 6 donc par somme lim u n = 6 lim u n = 6 Page 5/5 MATHS-LYCEE.FR-terminale S