La fonction exponentielle

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1 La fonction exponentielle Table des matières I Introduction de la fonction exponentielle Théorème Démonstration a) Une première propriété b) Unicité : Démonstration exigible s algébriques a) s : b) Démonstration : Nouvelle notation II Etude de la fonction exponentielle 3 Signe et variation : Résolution d équation ou d inéquation Limites aux bornes : Démonstration exigible Tableau de variations : Représentation graphique : Les limites de référence : Dérivation de e u

2 I Introduction de la fonction exponentielle Théorème Il existe une unique fonction f définie et dérivable surrtelle que : f = f et f (0)= Démonstration L existence sera admise, mais la démonstration de l unicité est exigible. a) Une première propriété Nous allons tout d abord prouver qu une fonction qui vérifie f = f et f (0)= ne s annule pas surr: On considère la fonction Φ définie sur R par Φ(x) = f (x) f ( x) Montrons que la fonction Φ est constante : La fonction Φ est le produit de deux fonctions dérivables surr, elle est donc elle-même dérivable surret pour tout réel x : Φ (x)=... Φ (x)=... Φ (x)=... La fonction Φ est donc constante donc, pour tout x R, Φ(x)=Φ(0) Φ(x)=... Φ(x)=... car f (0)= On en déduit que, pour tout x R, f (x) f ( x)=... La fonction f ne peut pas s annuler (sinon le produit serait nul et il ne vaudrait pas ). b) Unicité : Démonstration exigible On considère deux fonctions f et g qui vérifient : f = f et f (0)= et g = g et g (0)= Considérons la fonction Ψ définie sur R par Ψ(x) = f ( x) g (x) Démontrons que cette fonction est constante. Cette fonction est le produit de deux fonctions dérivables surr, elle est donc elle-même... sur R et pour tout réel x : Ψ (x)=... Ψ (x)=... Ψ (x)=... La fonction Ψ est donc... donc, pour tout x R, Cours Page /6

3 Ψ(x)=... Ψ(x)=... Ψ(x)=... On en déduit que pour tout réel x, f ( x) g (x)=... f ( x) f (x) g (x)=... g (x)=... car f ( x) f (x)=... Définition On a donc montré qu il n existe qu une seule fonction telle que f = f et f (0)= c est la fonction exponentielle que l on notera exp. On a donc les propriétés suivantes : exp = exp et exp(0)= Pour tout réel x, exp(x) exp( x) = a et b étant deux réels, si h(x)=exp(ax+ b) alors h (x)= a exp(ax+ b) 3 s algébriques a) s : Pour tous réels a et b et tout entier relatif n, on a : exp( a) = exp(a) () exp(a+ b)=exp(a) exp(b) () exp(a b)= exp(a) exp(b) (3) exp(na)= ( exp(a) ) n (4) b) Démonstration : () Nous avons prouvé, dans la section précédente, que pour tout réel a En divisant par exp(a) qui ne s annule jamais On obtient : exp( a)= exp(a) exp(a) exp( a)= Cours Page /6

4 () Soit a un réel fixé, on considère la fonction f définie sur R par f (x) = exp(a + x) exp( x) Démontrons que cette fonction est constante. Cette fonction est le produit de deux fonctions dérivables surr, elle est donc elle-même dérivable surret pour tout réel x : f (x)=... f (x)=... La fonction f est donc... donc, pour tout x R, f (x)=... f (x)=... f (x)=... exp(a+ x) exp( x)=... exp(a+ x)=... (3) exp(a b)=exp(a+ ( b)) =... d après la propriété () =... d après la propriété () =... (4) On prouve la propriété par récurrence : 4 Nouvelle notation D après les propriétés du paragraphe précédent on peut remarquer que la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés algébriques que les puissances. De plus, pour tout entier relatif n, exp(n)=exp(n )= ( exp() ) n = e n e désigne le réel exp(), Désormais, exp(x) sera noté, pour tout réel x Avec cette nouvelle notation, les propriétés algébriques seront plus facile à retenir : e a = e a e a+b = e a e b e a b = ea e b e na = (e a ) n II Etude de la fonction exponentielle Signe et variation : ( ) Remarquons que pour tout réel x, = e x = Or un carré est toujours positif et comme on a prouvé que la fonction exponentielle ne s annule jamais on en déduit : Pour tout réel x : est strictement positif. Cours Page 3/6

5 Nous avons vu que exp = exp donc La fonction exponentielle est strictement croissante surr Résolution d équation ou d inéquation La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tout réel a et b, on a les équivalences suivantes : e a < e b a< b e a e b a b e a = e b a= b Ces propriétés permettent de résoudre des équations ou inéquations : Résoudre : > () + =0 () + 0 (3) 3 Limites aux bornes : Démonstration exigible lim x + ex =+ lim x ex = 0 Démonstration de la limite en+ Démonstration exigible On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par f (x)= x Etudier les variations de la fonction f et en déduire que, pour tous réels x 0, x puis conclure. La fonction f est la différence de deux fonctions dérivables surr, elle est donc dérivable surret pour tout x [0 ; + [ : f (x)=... Or l exponentielle est croissante donc pour tout x [0 ; + [ : e 0... On peut en déduire que f (x) est toujours... donc que f est... sur [0 ; + [. Comme de plus f (0)=..., f ne prend que des valeurs positives. On en déduit l inégalité : pour tout x [0 ; + [ :... Or lim x =... donc lim x + x + ex =... Pour la deuxième limite, il suffit de poser X= x, on a donc = e X = Or lorsqu tend vers, X tend vers... donc lim x ex = lim X... =... car ex lim X... ex =... Cours Page 4/6

6 4 Tableau de variations : On en déduit le tableau de variations suivant : x + exp (x) + exp(x) 5 Représentation graphique : Les limites de référence : Limites à l infini : Ces limites montrent que, à l infini, l exponentielle d l emporte sur x. lim =+ () x + x lim x x ex = 0 () Limites en 0 : lim = (3) x 0 x Démonstration : Limite () : On considère la fonction g définie sur ]0 ; + [ par g (x)= x Etudier les variations de g et en déduire que, pour tous réels x > 0, x x puis conclure. Cours Page 5/6

7 La fonction g est la différence de deux fonctions... surr, elle est donc... surret pour tout x ]0 ; + [ : g (x)=... Or nous avons vu dans le paragraphe 3, au cours de la démonstration que f (x)= x ne prend que des valeurs... On en déduit que g (x) est toujours... donc que g est... sur ]0 ; + [. Comme de plus g (0)=..., g ne prend que des valeurs... On en déduit l inégalité : pour tout x ]0 ; + [ :... d où pour tout x ]0 ; + [ : Limite () : Il suffit de poser X= x, on a donc x... Or lim x + x =... donc lim x + x =... Limite (3) : Pour tout réel x non nul, ex x 7 Dérivation de e u = ex e 0 x 0 or la fonction exponentielle est dérivable en 0 donc lim = exp (0)=exp(0)= x 0 x Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction e u est dérivable sur I et ( e u ) = u e u Cours Page 6/6