1 Théorème de l angle inscrit

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1 Université Claude ernard Lon I CPES de Mathématiques : Oral nnée Théorème de l angle inscrit, etc. 0 Prérequis On se place dans un plan affine orienté P. angles de vecteurs, de droites ; relation de Chasles ; 1 effet d une smétrie axiale sur un angle de vecteurs, ou, ce qui est équivalent, le fait que les angles non principaux d un triangle isocèle sont égaux modulo orientation convenable ; caractérisation d un demi-plan par une inéquation linéaire ; orientation d une base par le signe du déterminant dans une base de référence dite directe. Remarque : la notation, CD désignera l angle des vecteurs et CD, sauf dans 2 b, où elle désignera la base. 2 1 Théorème de l angle inscrit a ngle inscrit Théorème Soit C un cercle de centre O, et deux points distincts de C, T un point distinct de sur la tangente à C en. lors : i pour M C \ {,}, on a : 2 M, M = O, O mod [2π] ; ii O, O = 2 T, mod [2π]. Démonstration. i On a : O, O = O, M+ M, M+ M, O mod [2π]. Or, vu que les triangles OM et OM sont isocèles, on a : O, M = OM, M mod [2π] et M, O = M, OM mod [2π]. Une nouvelle application de la relation de Chasles donne i. ii Soit I le milieu de []. Comme OI est la bissectrice de O, O, on peut écrire : O, O = 2 O, OI = 2 O, T + 2 T, + 2, OI mod [2π]. En remarquant que les angles O, T et, OI sont droits, on obtient : 2 O, T + 2, OI = επ + ε π = 0 mod [2π], pour ε,ε { 1,1} convenables. On peut conclure. Remarque a Etant donné un angle α, l ensemble des points T tels que T, = α mod [2π] est une droite passant par privée de. C est si et seulement si α = 0 mod [π]. insi, la relation ii caractérise la tangente à C en. b Inversement, étant donné deux points distincts et et une droite T contenant et distincte de, il existe un unique cercle C passant par et et tangent à T. Unicité : son centre est unique, car c est l intersection de la perpendiculaire à T passant par et de la médiatrice de []. Existence : l hpothèse T entraîne que la perpendiculaire à T n est pas parallèle à la médiatrice de [] : ces droites se coupent en un point O, et le cercle de centre O et de raon O convient. Cette remarque est la clé de la réciproque ii i du théorème de cocclicité ci-dessous. 1 On peut se passer de mesures des angles si on remplace α R par α un angle fixé, égalité modulo 2π par égalité d angles de vecteurs, etc. 2 Ce n est pas très heureux, mais j ai la flemme de rajouter des chapeaux à tous les angles. 1

2 b Cocclicité Il s agit essentiellement de démontrer une réciproque au théorème précédent. Théorème Soit,, C, D quatre points distincts. Il est équivalent de dire : i,, C, D sont coccliques ou alignés ; ii C, C = D, D mod [π]. Remarque La formulation coclicique ou alignés me semble préférable à mettre non alignés dans les hpothèses voir compléments. Démonstration. i ii : Si les points sont alignés, l égalité des angles est évidente. Supposons les quatre points sur un même cercle C de centre O. D après le théorème de l angle inscrit, que l on applique deux fois, on a : 2 C, C = O, O = 2 D, D mod [2π]. ii i : Inversement, supposons ii satisfaite et les quatre points non alignés. On peut affirmer que, et C ne sont pas alignés, sinon, d après ii, D serait sur la même droite. De même,, et D ne sont pas alignés. Soit alors C 1 resp. C 2 le cercle circonscrit au triangle C resp. D et O 1 resp. O 2 son centre. On veut montrer que C 1 = C 2, ce qui entraînera la cocclicité de,, C, D. Soit T i un point de la tangente à C i en, distinct de i = 1,2. D après le théorème de l angle inscrit, on a : T 1, = C, C mod [π] et T2, = D, D mod [π], ce qui prouve que, T 1 et T 2 sont alignés. Les cercles C 1 et C 2 ont une tangente commune et deux points communs, donc ils sont égaux remarque b ci-dessus. 2 rcs capables modulo π et 2π a Modulo π. Proposition Soit, deux points distincts et α R. On note { Γ = M P \ {,}, M, } M = α mod [π]. i Si α = 0 mod [π], alors Γ = \ {,} ; ii Si α 0 mod [π], alors Γ est le cercle C passant par et et tangent à T privé des points et, où T est un point distinct de tel que T, = α mod [π]. Remarque L existence et l unicité du cercle C a été vue dans la remarque b de 1 a. Démonstration. ii Pour M C \ {,}, on a par le théorème de 1 a : M, M = α mod [π]. Inversement, fixons M 0 C\{,}, un point de référence. Pour M Γ, on a : M, M = α = M 0, M 0 mod [π], ce qui montre que,, M 0 et M sont coccliques, i.e. que M C. b Interlude : demi-plans Dans le plan euclidien orienté P, on fixe deux points distincts et. La droite délimite deux demi-plans que l on veut reconnaître en termes d angles. Il semble difficile de se passer d un peu d algèbre linéaire si on ne veut pas pipoter. 3 Lemme Soit M P \. Les conditions suivantes sont équivalentes, et caractérisent l appartenance de M à l un des demi-plans de frontière : i la base, M est directe ; ii la base M, M est directe. 3 Je suis preneur d une démonstration qui ne parle ni de coordonnées, ni de trigonométrie... 2

3 Remarque Rappelons qu une orientation est le choix d une base ı, j du plan vectoriel P. lors, une base u,v de P est directe SSI det ı, j u,v > 0 SSI det ı, j u,v > 0 pour toute autre base directe ı, j. En termes d angles, la base u,v est directe SSI la mesure principale de l angle u,v est comprise entre 0 et π ; ceci est encore équivalent à la positivité du sinus de l angle u,v. Cependant, on veut se passer des mesures d angles et de la fonction sin. Démonstration. Fixons un repère orthogonal direct,, x j de P. Notons les coordonnées de M dans ce repère. On calcule les coordonnées des vecteurs, M, M et M dans ce repère : insi : i det 1 0, 1 x 0 x M, x M, 1 x M x 1 x > 0 > 0 det On doit pouvoir passer le lemme suivant sous silence :. > 0 ii. Lemme Soit,, M, M quatre points, M /. Si, M = α mod [2π], et si, M = α + π mod [2π] ou, M = α mod [2π], alors M et M sont dans des demi-plans de frontière différents. Démonstration. Considérons l image de la demi-droite [M par la smétrie de centre resp. d axe : elle contient M et elle est contenue dans l autre demi-plan que M. c Modulo 2π. Proposition Soit, deux points distincts et α R. On note { Γ = M P \ {,}, M, } M = α mod [2π]. i Si α = 0 mod [2π], alors Γ = \ [,] ; ii Si α = π mod [2π], alors Γ = [] \ {,} ; iii Soit α 0 mod [π], et C le cercle passant par et et tangent à T, où T est un point distinct de tel que T, = α mod [2π]. lors Γ est l intersection de C et du demi-plan ouvert de frontière ne contenant pas T. Démonstration. iii Soit M Γ. On a : M, M = α mod [π], donc M C. D autre part, M est dans le même demi-plan que tout point T tel que, T = α mod [2π] premier lemme de l interlude, donc dans l autre demi-plan que T deuxième lemme de l interlude. Inversement, supposons que M soit dans l autre demi-plan que T et que M C. lors, on a : M, M = α mod [2π] ou M, M = α + π mod [2π]. Sachant que, T = α mod [2π], M est dans le même demi-plan que T tel que, T = α mod [2π] deuxième lemme de l interlude. Donc M, M = α mod [2π], ce qui montre que M Γ. 3

4 3 Compléments a Faisceaux de cercles Soit. Considérons la famille formée d une droite et des cercles privés de et Γ α = {M P \ {,}, M, M = α mod [π]}, α [0,π[. Cette famille est l ensemble des lignes de niveaux de la fonction M M, M mod [π]. Elle réalise donc une partition de P \ {,}, on l appelle faisceau de cercles à points-bases. Il est intéressant de mettre famille en rapport avec l ensemble des lignes de niveau de la fonction M M M M P \{,}. En effet, on sait que les lignes de niveau de cette fonction forment une famille de cercles à laquelle il faut ajouter la médiatrice de []. La propriété remarquable est que si on prend une ligne dans chaque famille, elles se coupent en deux points où leurs tangentes respectives sont orthogonales cf. ci-dessous. m a Mm M m b b irapport, homographies et inversions On identifie le plan P au plan complexe C. Pour P P, on notera p C son affixe. Remarquons que la mesure de l angle M, M mod [2π] est un argument du nombre complexe m a m b. Etant donné quatre points distincts,, C, D, on définit leur birapport [a,b,c,d] = c a c b /d a d b. Le théorème de cocclicité s énonce alors ainsi : quatre points sont coccliques ou alignés si et seulement si le birapport de leurs affixes est réel. Ceci incite à introduire la classe des cercles-droites : une partie de P est un cercle-droite si c est un cercle ou une droite... Considérons alors une homographie 4 h : m αm+β γm+δ, où α,β,γ,δ R sont tels que αδ βγ 0. Or, on vérifie facilement que le birapport est invariant par une homographie : [a,b,c,d] = [ha, hb, hc, hd]. On en déduit immédiatement que l image d un cercle-droite par une homographie est un cercle-droite. pplication : par l homographie m m a m b, les lignes de niveau de M M, M et M M M s envoient respectivement sur les droites passant par l origine et les cercles centrés en l origine, lesquels se coupent à angle droit. Comme elle est holomorphe sa différentielle est une similitude, l homographie réciproque z zb a z 1 envoie donc ces droites et ces cercles sur des cercles qui se coupent à angle droit! Considérons à présent une inversion de centre Ω et de rapport k 0 : à M on associe le point M ΩM tel que ΩM ΩM = k. On vérifie que m = ω + k. Par suite : l image d un m ω cercle droite par une inversion est un cercle-droite. Ca peut être utile... 4 On définit h : C { } C { }, en posant naturellement αm+β γm+δ = si m = δ γ 4 et α +β γ +δ = α γ.

5 4 pplications plus standards a Smétrique de l orthocentre Le smétrique de l orthocentre d un triangle non aplati par rapport à un côté appartient au cercle circonscrit. La figure explique le calcul suivant : H, H C = H, HC mod [π] = H, HC mod [π] =, C mod [π] = C, mod [π] =, C mod [π]. C H C b Droites de Simpson et Steiner c Coordonnées polaires source : Mégamaths On fixe un repère orthonormé O, i, j. On cherche une formule pour exprimer les coordonnées polaires d un point M, aant pour coordonnées cartésiennes x,. ien sûr, ρ = x ne pose pas de problème. Si x > 0, on a : θ = arctan/x. Mais pour x = 1 et = 1, par exemple, cette formule donnera θ = π/4, alors qu on voudrait θ = 3π/4. Rappelons qu il n existe pas de fonction continue x, θ définie sur le plan privé seulement de l origine cf. analse complexe : pas de logarithme holomorphe sur C. Ici, on donne une formule pour M hors de la demi-droite = 0, x 0. On a : θ = i, OM = 2i, KM mod [2π] par le théorème de l angle M inscrit. Comme l abscisse de KM est x+ρ 0, la mesure principale α de i, KM est comprise entre π/2 et π/2, d où : α = arctan tan α. K j Par suite : ρ O i θ = 2arctan x + ρ = 2arctan H x + x d Un exercice classique Deux cercles se coupent en et, deux droites contiennent respectivement et, on note les autres intersections P, P, Q, Q comme sur la figure. lors PQ P Q. Si, par exemple, P = Q, on remplace PQ par la tangente en P. P P Q P P Q Démonstration. On veut montrer que l angle PQ, P Q est plat. On a : Q PQ, P Q = PQ, P + P, P }{{} =0 mod [π]! = Q, +, Q mod [π] + P, P Q mod [π] bête Chasles cocclicité, deux fois = 0 mod [π] Chasles et alignement. 5

6 5 Configuration de Miquel a On donne 4 droites du plan en position générale : deux d entre elles ne sont jamais confondues, trois d entre elles ne sont jamais concourantes. En les prenant 2 par 2, elles définissent 4 2 = 6 points d intersection. En prenant les droites 3 par 3, on définit 4 3 = 4 triangles 5 : les 4 cercles circonscrits à ces triangles sont concourants. b On nomme. Proposition Soit 1, 2, 3, 4 des droites en position générale. Pour i,j {1,2,3,4}, distincts, on note ij l intersection de i et j. Pour i,j,k {1,2,3,4}, tous distincts, on note Γ ijk le cercle circonscrit au triangle ij jk ik. lors, les quatre cercles Γ 234, Γ 134, Γ 124 et Γ 123 sont concourants. Le point de concours de ces quatre cercles est souvent appelé point de Miquel du quadrilatère complet K Démonstration. On choisit deux cercles, par exemple Γ 123 et Γ 124. Ils ont un point commun, 12, donc ils en ont un deuxième, qu on appelle K. Par smétrie entre les smboles 1 et 2 dans les données, il suffit de montrer que K appartient à Γ 234. Idée Le cercle Γ 234 contient les deux points 23 et 24, qui appartiennent aussi aux deux cercles sélectionnés au début. On va montrer que K 23, K 24 = 34 23, Pour cela, il est naturel d introduire K 12, car 12 appartient aux deux cercles Γ 123 et Γ 124. K 23, K 24 = K 23, K 12 + K 12, K 24 Chasles = 13 23, K 12, K 24 23, 12,K, 13 Γ 123 = 13 23, , , 24,K, 14 Γ 124 = 13 23, , 13, 14 alignés = 34 23, , 23, 34 et 14, 24, 34 alignés c Variante de cette construction : au lieu de partir de 4 droites, on part de 4 cercles qui concourent en un point. On suppose que les intersections de 2 cercles sont bien définies. La conclusion est la même. C est en fait la même construction, car une inversion aant pour centre le point de concours des 4 cercles, les transforme en 4 droites en position générale. 5 Ces triangles ne peuvent pas être aplatis : pourquoi? 6