Concours Fesic/Puissance 11

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1 Terminale S mai 0 Concours Fesic/Puissance Calculatrice interdite ; traiter eercices sur les 6 en h 30 ; répondre par Vrai ou Fau sans justification + si bonne réponse, si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d point pour un eercice entièrement juste Eercice n l : Bases en Analyse Les questions sont indépendantes a Soit R, la dérivée de est e b lim = + + e e e Soit f une fonction définie sur ] 0; + [ telle que, pour tout > 0 : f ( ) c f ( ) lim = 0 + Soit ( w n ) la suite définie, pour tout entier naturel n non nul, par d La suite ( w n ) converge vers 0 Eercice n : Bases en Géométrie Les questions sont indépendantes u n = ln n Soit (P) et (Q) les plans d'équations respectives (P) : + y + z = et (Q) : + y z = 0 a L 'intersection des plans (P) et (Q) a pour équation + z = = t + 3 Soit (D) la droite dont une représentation paramétrique est y = t avec t R z = b (D) est perpendiculaire au plan (R) d'équation y + z = 0 c Sur le graphique ci-contre, nous avons tracé les courbes représentatives des fonctions f : L aire A du domaine hachuré est égale à g: et ( ) 9 A = unités d'aire d La courbe représentative de la fonction f définie sur ] ; + [ + 3 par f ( ) = ln admet une asymptote horizontale d'équation y = ln Eercice n 3 : Lecture graphique f est une fonction définie et dérivable sur [ 3 ; 5] de courbe représentative (C) On donne ci-dessous la courbe ( Γ ) représentative de sa fonction dérivée f ' Terminale S F Laroche Concours Fesic/Puissance mai 0

2 a (C) admet une tangente horizontale en = 0 b f admet un minimum relatif en = c La fonction f est strictement décroissante sur [0 ; 5] d Les tangentes à (C) au points d'abscisses sont parallèles 3 et Eercice n : Suite définie par un algorithme Soit n N, on considère la suite ( u n ) où u n est le réel affiché par l algorithme ci-contre lorsque l'utilisateur entre la valeur de n a u 3 = b Pour tout entier naturel n, un+ = un + n + c La suite ( u n ) est strictement croissante d Pour tout entier naturel n, u = n + n VARIABLES u EST_DU_TYPE NOMBRE 3 n EST_DU_TYPE NOMBRE k EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 LIRE n 7 U PREND_LA_VALEUR 8 k PREND_LA_VALEUR 0 9 TANT_QUE (k<n) FAIRE 0 DEBUT_TANT_QUE k PREND_LA_VALEUR k+ U PREND_LA_VALEUR U+*(k-l)+l 3 FIN_TANT_QUE AFFICHER U 5 FIN_ALGORITHME Eercice n 5 : Bases sur les complees Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; u, v) On considère les nombres complees z ( 6 ) i( 6 ) a z = i b z = c arg( z ) [ π ] π i d z e = 5π = 6 = + + et z = + i 3 + i Eercice n 6 Bases de logique Le plan complee est muni du repère orthonormé direct ( O; u, v) et y sont deu nombres réels et z est le nombre complee + iy a La négation de la proposition : «0 et y 0» est la proposition «< 0 et y < 0» b Si = y alors ( z ) π arg = modulo π c La réciproque de la proposition précédente est vraie Terminale S F Laroche Concours Fesic/Puissance mai 0

3 d On suppose z 0 Si Eercice n 7 : Calculs de limites a La fonction sin( ) b c ( ) ( ) cos + lim = + cos + e + 3 lim = 0 + ( ) ln + d lim = 0 z =, alors = 0 ou y = 0 z n a pas de limite lorsque tend vers + Eercice n 8 : Calculs d'intégrales a 3 5 d = Soit f la fonction définie sur ] 0; + [ par f ( ) = b La fonction F définie sur ] 0; + [ par F ( ) c e+ = t t dt e + + ( + ) ln = + est une primitive de f d = 0 e e d e e Eercice n 9 : Transformation complee Le plan complee est rapporté à un repère orthonormal direct ( O; u, v) Soit f la transformation du plan complee qui, à tout point M d'affie z, associe le point M d'affie z ( ) a L'image, par f, du point B d'affie est le point C d'affie 3+i b Le point A d'affie i est le seul point invariant par f c L'image, par f, de l ae des réels est la droite (BC) ' = + i z + d Soit D le point d'affie Pour tout point M distinct de A et de D, le triangle DMM est isocèle en M Eercice n 0 : Loi normale Dans tout l'eercice, on suppose T une variable aléatoire qui suit la loi normale ( µ, σ ) deu entiers naturels La densité de probabilité de cette loi, notée f, est représentée ci-dessous par la courbe (C) N avec µ et σ On suppose que (C) admet la droite = 5 comme ae de symétrie et que l'aire du domaine A (représentée en gris) est environ égale à 0,68 a µ = 5 et σ = b L'aire du domaine A, représentée ci-dessous, est environ égale à 0,8 Terminale S 3 F Laroche Concours Fesic/Puissance mai 0

4 c L'aire du domaine A, représentée ci-dessous, est environ égale à 0,35 On admet, dans cette question, que P ( T [ µ σ ; µ + σ ] ) 0,95 d P ( T 9 ) 0,975 Eercice n : Nombres complees et géométrie Le plan complee est muni d un repère orthonormé direct (O ; u, v ) z À chaque point M d affïe z 0, on associe l unique point M d'affie z tel que : z ' = z a Enposant z = + iy, avec 0 ou y 0, et z ' = '+ iy ', on a : ' = y y et y ' = +y +y b M appartient à l ae des ordonnées si et seulement si M appartient à la droite d'équation y = privée de O c M est un point du cercle trigonométrique d M a pour affie si et seulement si z = i ou z = i Eercice n : Etude d'une fonction logarithme ( ) On considère la fonction f définie sur R par f ( ) = ln + + de courbe représentative (C) a f est croissante sur R b (C) admet une unique asymptote verticale Terminale S Concours Fesic/Puissance F Laroche mai 0

5 c Pour tout R, f ( ) 3 ln d Il eiste deu points de (C) ayant une tangente à (C) parallèle à la droite (D) d'équation y = ln7 Eercice n 3 : Étude d'une fonction eponentielle Soit f la fonction définie sur R par f ( ) = e + e On désigne par (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan a Pour tout réel, on a : f '( ) ( e )( e ) 3 f > b Pour tout réel, on a : ( ) = + c (C) admet l ae des abscisses comme asymptote horizontale en + d lim f ( ) = + Eercice n : Probabilités conditionnelles Un joueur effectue des parties successives d'un jeu vidéo La probabilité qu'il gagne la première partie est de 0, S'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,7 S'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,5 Pour tout entier naturel n non nul, on note : G n l'événement : «le joueur gagne la n ème partie» ; p n la probabilité de l'événement G n a p = 0,5 b Le joueur gagne la deuième partie La probabilité qu 'il ait perdu la première est 0,6 c Pour tout entier naturel n non nul, on a pn+ = pn 5 + Pour le d, on donne l'algorithme ci-dessous : Variables Algorithme p est un réel ; i, n sont des entiers donner la valeur de n p prend la valeur 0, pour i allant de à n fin pour afficher p p prend la valeur 0,*p+0,5 d Si on teste le programme pour n = 5 alors cet algorithme restitue la probabilité que le joueur gagne la cinquième partie Eercice n 5 : Différentes lois de probabilités Les quatre questions sont indépendantes a Soit t > 0 Si X suit une loi uniforme sur [0 ; t] telle que ( ) b Soit * n N Si X suit une loi binomiale ( n;0,3 ) c Si X suit une loi eponentielle de paramètre λ 0 P X < 5 = 0, alors t = 0 B d'espérance, alors n = 0 3 E =, alors ( X ) = 5000 Terminale S 5 F Laroche Concours Fesic/Puissance mai 0

6 d On considère A et B deu événements d'une même epérience aléatoire tels que P ( A ) 0 et ( ) Si P ( A ) = P ( B ), alors P( A ) = P ( B ) B A Eercice n 6 Repérage dans un cube P B 0 Dans le cube ABCDEFGH, d arête de longueur, on considère le repère orthonormé ( A ;AB,AD,AE ) On rappelle que : Le plan médiateur d'un segment est le plan passant par le milieu de ce segment tout en lui étant perpendiculaire Si M est un point de l'espace et (P) un plan de l'espace, on appelle distance du point M au plan (P) la plus petite distance d entre le point M et un point H du plan (P) a (GDF) est le plan médiateur du segment [EB] b Le plan (BEG) a pour équation : y + z = c I ; ; est le point d'intersection de la droite (DF) avec le plan (BEG) d La distance du point D au plan (BEG) est égale à 3 3 Terminale S 6 F Laroche Concours Fesic/Puissance mai 0