Ch.11!SUITES_ partie 2

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1 1 Ch11!SUITES_ partie 1ere S Nous allons nous intéresser dans ce chapitre à deux types de suites : les suites arithmétiques et les suites géométriques I Suite arithmétique A introduction définition Une suite arithmétique! un premier terme u 0 ou u p est définie par :! une relation de récurrence : +1 = + r Le nombre r est appelé «la raison» de la suite Exemple Soit ( ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison r = 1 4 u 0 = 1 Alors la suite ( ) est définie par : +1 = + 1 n 4 Déterminons les trois premiers termes de cette suite :! u 0 = 1! u = = 3 4 u = u = = 4 = 1 Toute suite premier terme u 0 = b de terme général = an + b où a et b sont deux réels, est une suite arithmétique de raison a et de exercice 1 Démontrer cette B méthodes Pour montrer qu une suite ( ) est arithmétique, on peut : méthode 1 " montrer que la différence +1 est toujours constante (cette constante est alors la raison) méthode " méthode 3 " exprimer +1 en fonction de et retrouver la formule de récurrence déterminer deux réels a et b tels que = an + b Pour montrer qu une suite n est pas arithmétique, on détermine les trois premiers termes u 0 ; u 1 ; u de la suite puis on démontre que u u 1 u 1 u 0 exercice! Montrer avec la méthode 1 que la suite! Montrer avec la méthode que la suite! Montrer avec la méthode 3 que la suite définie pour tout n par : = n 1 est arithmétique définie pour tout n par : = n + 3 est arithmétique définie pour tout n par : = 3n +1 est arithmétique

2 ! La suite ( ) définie par = n est- elle arithmétique? C formule explicite 1 er cas : le premier terme est u 0 on peut écrire les égalités suivantes à l aide de la relation de récurrence (ci- contre) Lorsqu on additionne les n égalités, les termes u 1 ; u ; u 3 ; ; 1 s éliminent Il ne reste que le premier terme u 0 et le dernier nd cas : le premier terme est u p on écrit les relations de u p+1 à ; on obtient alors n p termes, d où la relation : + ( n p)r Soit une suite arithmétique de raison r :! si le premier terme est u 0 alors la suite est définie de manière explicite par : + nr, n ;! n et p, on a la relation : + ( n p)r exercice 3 Soit une suite arithmétique On sait que u 5 = 15 et u 16 = 48 a) Calculer la raison et le premier terme de cette suite b) En déduire en fonction de n c) Pour quelle valeur de n, a- t- on = 17? D somme de termes d une suite arithmétique " cas particulier : somme des n premiers entiers naturels L objectif est le suivant : on souhaite calculer la somme = n On utilise une astuce, en écrivant cette somme dans l ordre croissant puis dans l ordre décroissant et en additionnant ces deux lignes : + n ( n +1) + + ( n +1) = n( n +1) = n 1 = n + n 1 = n +1 = n n +1

3 3 " nd cas : somme des premiers termes Soit une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r Calculons S S + u 0 + r + u 0 + r + + u 0 + nr = ( n +1)u 0 + r( n) = ( n +1)u 0 + r n n +1 = ( n +1) u 0 + nr = ( n +1) = n +1 u 0 + nr u 0 + u 0 + nr = n +1 u 0 + " 3 eme cas : somme des termes u p exercice 4 Démontrer que si est une suite arithmétique de raison r, alors la somme S des n p +1 termes est donnée par la formule : S = n p +1 u p + : bilan Soit une suite arithmétique de raison r :! la somme des n premiers entiers naturels : n = n n +1! la somme des ( n +1) premiers termes d une suite arithmétique ( ) : u 0 = ( n +1) u + u 0 n! la somme de termes d une suite arithmétique : u p = n p +1 u p +! À retenir : somme de termes d une suite arithmétique ( ) : S = nombre de termes 1er terme + dernier terme exercice 5 Les questions suivantes sont indépendantes 1) Calculer «à la main» : (en moins d une minute!) ) Soit ( ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 3 et de raison r = 1 Calculer la somme des 5 premiers termes

4 4 3) Soit la suite définie pour tout n par : = 6n 1 est arithmétique préciser sa suite et sa raison a / Justifier que la suite b / Calculer S = u 9 +u u II Suite géométrique A introduction définition Une suite géométrique est définie par :! un premier terme ou! une relation de récurrence : +1 = q Le nombre q est appelé «la raison» de la suite Exemple Soit u 0 la suite géométrique définie par son premier terme u 0 = 3 et sa raison q = u Alors la suite est définie par : 0 = 3 +1 = : Déterminons les trois premiers termes de la suite u p! u 0 = 3! u 1 = u 0 = 3 = 6! u = u 1 = 6 = 1 B méthode " Pour montrer qu une suite est géométrique, on montre que le rapport de deux termes consécutifs est constant c est- à- dire que : n, on a : +1 " Pour montrer qu une suite = q n est pas géométrique, on calcule trois termes consécutifs, en général les trois premiers termes u 0, u 1, u de la suite et on montre que u u 1 u 1 u 0 Exemples! Montrer que la suite ( ) définie pour tout entier naturel n, par : = 3 n+ est géométrique Préciser alors son premier terme et sa raison v 0 = v n+1 = 1+ 3v n Justifier soigneusement la réponse! La suite ( v n ) définie par pour tout entier naturel n est- elle géométrique? C formule explicite 1 er cas : le premier terme est u 0 on sait que u 1 q Alors u = u 1 q q ; on a encore : u 3 = u q q q q 3 Pour obtenir en partant de u 0, on aura multiplié n fois par q On en déduit que : q n nd cas : le premier terme est u p pour obtenir à partir de u p, on multiplie n p fois par q On en déduit que : q n p

5 5 Soit une suite géométrique de raison q :! si le premier terme est u 0 alors la suite est définie de manière explicite par : q n! si le premier terme est u p alors la suite est définie de manière explicite par : q n p exercice 6 Les questions suivantes sont indépendantes 1) On considère une suite géométrique définie par : = 1 Déterminer la nature de cette suite et calculer u 100 la suite géométrique de premier terme v 1 = 1 et de raison q = Calculer le 0 ème terme de cette suite ) Soit v n n D somme de termes d une suite géométrique " cas particulier : somme des n +1premières puissances de q : On souhaite calculer la somme = 1+ q + q + + q n L astuce est la suivante : on calcule q : 1+ qn+1 Ce qui revient à dire que : = " nd cas : somme des n +1 premiers termes = 1+ q + q + + q n q = q + q + + q n + q n+1 ( ) = 1+ q n+1 on souhaite calculer à présent la somme S des n +1 premiers termes de terme u 0 et de raison q S + u + u 0 q + u 0 q + + u 0 q n 1+ q + q + + q n n+1, suite géométrique de 1 er " 3 eme cas : somme des termes u p exercice 7 Soit ( ) une suite géométrique de raison q Démontrer que : S = u P n p+1

6 6 : bilan Soit une suite géométrique de raison q : 1! la somme des n +1 premières puissances de q est : 1+ q + q + + q n qn+1 = n+1! la somme des ( n +1) premiers termes d une suite géométrique ( ) est : u 0 p+1 n! la somme de termes d une suite géométrique : u p! À retenir : somme de termes d une suite géométrique ( ) : de termes nombre S = premier terme exercice 8 1) Calculer «à la main» (en moins de minutes!) : ) Même question (en moins de 3 minutes!) : ) La suite est de raison q On sait que u 4 = 10 et u 6 = 0 a / Déterminer q et u 0 b / Calculer S = u 50 + u E comportement à l infini des termes d une suite géométrique Pour étudier le comportement des termes d une suite géométrique, lorsque n devient de plus en plus grand, il suffit de s intéresser au comportement de q n On admet le théorème suivant : Soit q un réel On a les limites suivantes :! si q > 1, alors lim q n = +! si q = 1, alors lim q n = 1! si 1< q < 1, alors lim q n = 0! si q 1, alors lim q n exercice 9 n existe pas Soit ( ) et ( v n ) les suites définies pour tout n par : a) Montrer que la suite v n a 0 = 0 et v a n+1 = 0,3a n + 0,3 n = 3 7 est géométrique On précisera le premier terme et la raison b) En déduire l expression de v n, puis celle de, en fonction de n c) Déterminer la limite de lorsque n tend vers +