GENERALITE SUR LES FONCTIONS

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1 1 GENERALITE SUR LES FONCTIONS I) ACTIVITES Activité 1: Température en fonction de l heure Un appareil a permis de relever la température dans un abri, de manière continue, de 6 heures à 22 heures. Les points notés par une croix indiquent des relevés exacts. 1. Donner la température à 8 heures et à 14 heures. A quelle(s) heure(s) la température est-elle de 5 C? de 2 C? 2. Sur quelle(s) plage(s) horaire(s) la température est-elle croissante? décroissante? 3. A quelle heure la température est-elle maximale? minimale? Quelles sont les températures extrêmes? 4. a) Sur quelle(s) plage(s) horaire(s) la température est-elle strictement inférieure à 5 C? b) Sur quelle plage horaire la température est-elle supérieure ou égale à 6 C? c) Sur quelle(s) plage(s) horaire(s) la température est-elle négative? Activité 2 : Soit ABCD un rectangle AB = 5cm et AD = 3cm; M un point qui part de A et se déplace sur le rectangle ABCD, soit x la distance que M a parcourue et f(x) la distance CM. 1. Compléter le tableau suivant : x f(x) 2. Considérons M 1 et M 2 deux points sur le segment [AB] tels que AM 1 = x 1 ; AM 2 = x 2 et x 1 x 2 comparer f(x 1 ) et f(x 2 ). 3. faite la même chose si : M 1 et M 2 deux points sur le segment [BC] M 1 et M 2 deux points sur le segment [CD] M 1 et M 2 deux points sur le segment [DA] 4. Exprimer en fonction de x l expression de f(x) (discuter les cas où M [AB] ; M [BC] ; M [CD] et M [DA]) 5. Quelle est la valeur maximale que peut prendre f(x) ; Quelle est la valeur minimale que peut prendre f(x) ; 6. Dresser un tableau pour faire apparaitre les variation de f(x). Activité 3 : Pour quelles valeurs de x les fonctions suivantes sont-elles définies : f(x) = 3x 2 10, g(x) = 2x2 +1 x 1 II) GENERALITES 1) Définitions et vocabulaire, h(x) = 2x 2 x 1, k(x) = cosx+sinx 2sinx Ensemble de définition d une fonction

2 2 On dit qu on a défini une fonction f d une variable réel si on associe à tout nombre réel au plus une image dans R Vocabulaire : Soient x un réel et f une fonction si f(x) existe le réel y = f(x) s appelle l image de x par la fonction f. le réel x s appelle l antécédent y par la fonction f. Soit f une fonction, l ensemble des réels qui ont une image par la fonction f s appelle ensemble de définition de f et on le note par D f. D f = {x R; f(x) R} Exemple : L ensemble de définition d une fonction polynôme P(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n est R. Une fonction rationnelle h(x) = P(x) est définie pour x qui vérifie Q(x) 0 Q(x) 1.2 Egalité de deux fonctions. Activité : Comparer les fonctions f et g dans les cas suivant : f(x) = x 1 x 2 1 f(x) = 3 2 x x+3 f(x) = 1 sin 2 x g(x) = 1 x+1 g(x) = x+9 x²+3x g(x) = cosx On dit que deux fonctions f et g sont égaux si elles ont le même ensemble de définition D et que pour tout x dans D on a f(x) = g(x). 1.3 Graphe d une fonction Activité : Considérons la fonction f définie par ; f(x) = x2 4 x 2 1. Déterminer l ensemble de définition de f 2. Déterminer les ordonnées des points A et B de la courbe C f d abscisses respectives 0 et Déterminer (s ils existent) les abscisses des points de la courbe C f qui ont pour ordonnées les points (0,2), D( 4,6), E(4, 6) appartiennent ils à la courbe C f. 5. Ecrire f(x) sans valeur absolue et tracer la courbe C f dans la plan muni d un repère orthonormé. Soit f une fonction numérique dont l ensemble de définition est D f. La représentation graphique (ou le graphe) de la fonction f est l ensemble des points M(x, y) tels que x D f et y = f(x) on le note par : C f M(x, y) C f { x D f y = f(x) Remarque : Une courbe C dans le plan est la courbe d une fonction numérique à variable réel si : Chaque parallèle à l axe des ordonnées coupe la courbe C en un point au plus. Exercice : Parmi les courbes suivantes déterminer celle qui sont des courbes d une fonction à variable réel

3 3 2) Parité d une fonction 2.1 Activités et définition Activités 1: Considérons la fonction f définie par f(x) = 2 x 1 2x Déterminer l ensemble de définition de la fonction f 2. Montrer que pour tout x dans D f on a : f( x) = f(x) Activité 2 : Considérons la fonction g définie par g(x) = 2cosx sinx 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction g 2. Montrer que pour tout x dans D g on a : g( x) = g(x) Définitions : Soit f une fonction dont l ensemble de définition D f On dit que la fonction f est paire si elle vérifie les deux conditions suivantes : Pour tout x dans D f on a : x D f Pour tout x dans D f ; f( x) = f(x) On dit que la fonction f est impaire si elle vérifie les deux conditions suivantes : Pour tout x dans D f on a : x D f Pour tout x dans D f ; f( x) = f(x) Exercices : Etudier la parité des fonctions suivantes : f(x) = 2x4 +x 2 3 x 1 ; g(x) = 2x 2 8 ; h(x) = x3 +x x 3 k(x) = 3cosx sin 2 x Interprétation géométrique Activité 1 : Soit M(x, y) un point du plan P muni d un repère orthonormé R(O, i, j ) placer les points M (x, y) et M"( x, y) dans le repère R, que pouvez-vous constatez? Activité 2 : Soient f une fonction définie par f(x) = x Déterminer D f et montrer que f est une fonction paire. 2. Ecrire f(x) sans valeur absolue et tracer sa courbe C f 3. Que remarquez-vous? Propriété : Le plan est muni d un repère orthonormé R(O, i, j ) La courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées (figure1) La courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport au point O(0, 0) (figure2)

4 4 Exercice : Démontrer la propriété précédente. Exercice 1: Compléter la courbe ci-contre pour 1. Avoir la courbe d une fonction paire 2. Avoir la courbe d une fonction impaire Exercice 2 : Soit la fonction définie sur R par f(x) = x2 + x x 1. Déterminer D f et montrer que la fonction f est impaire 2. Construire la courbe représentative de la fonction f. 3) Variations d une fonction 3.1 Sens de variation d une fonction. Activités : Exercice 1 : Soit f la fonction définie par f(x) = 2x+1 x 1 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f 2. Soient a et b deux éléments de l intervalle ]1, + [ ; montrer que si a < b alors f(a) > f(b). 3. Montrer qu on a la même propriété pour deux éléments de l intervalle ], 1[ Exercice 2 : Soit g la fonction définie par g(x) = x 2 4x Soient a et b deux éléments de l intervalle ]2, + [ ; montrer que si a < b alors f(a) < f(b). 2. Soient a et b deux éléments de l intervalle ], 2[ ; montrer que si a < b alors f(a) > f(b). Soit f une fonction dont l ensemble de définition D f et I un intervalle dans D f On dit que f est croissante sur I si : pour tout a et b dans, si a b alors f(a) f(b) On dit que f est strictement croissante sur I si : pour tout a et b dans, si a < b alors f(a) < f(b) On dit que f est décroissante sur I si : pour tout a et b dans, si a b alors f(a) f(b) On dit que f est strictement décroissante sur I si : pour tout a et b dans, si a < b alors f(a) > f(b).

5 5 Remarque : Une fonction croissante sur un intervalle I conserve l ordre Une fonction décroissante sur un intervalle I inverse l ordre Exercices : 1. Montrer que : f(x) = 3x + 1 est strictement décroissante sur R 2. Soit g(x) = x 2 + 4, Montrer que g est strictement croissante sur [0, + [ et strictement décroissante sur ], 0] Interprétation géométrique : La courbe d une fonction croissante monte (de la gauche vers la droite) Lorsque les valeurs de x augmentent celles de f(x) augmentent aussi La courbe d une fonction décroissante décent (de la gauche vers la droite) Lorsque les valeurs de x augmentent celles de f(x) démunies Soit f une fonction dont le domaine de définition D f, I un intervalle dans D f On dit que f est monotone sur l intervalle I si elle est croissante ou bien décroissante sur I On dit que f est strictement monotone sur l intervalle I si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante sur I. Remarque : Sur la figure ci-contre f n est pas monotone sur [ 1,2] Mais on peut partager l intervalle [ 1,2] en intervalles où f est monotone sur [ 1,0] on a f est croissante sur 0,1] on a f est décroissante sur [1,2] on a f est croissante 3.2 Taux de variations d une fonction Soit f une fonction dont le domaine de définition D f, I un intervalle dans D f, a et b deux éléments distincts de I Le réel f(a) f(b) a b s appelle le taux de variation de la fonction f entre a et b Exercice : Soit f(x) = 2x 3 x ; calculer le taux de variation de f entre 1 et 2 Propriétés : Soit f une fonction dont le domaine de définition D f, I un intervalle dans D f, f est croissante sur l intervalle I si et seulement si pour tous a et b distincts de I on f(a) f(b) a b f est strictement croissante sur l intervalle I si et seulement si pour tous a et b distincts de I on f(a) f(b) a b 0 > 0

6 6 f est décroissante sur l intervalle I si et seulement si pour tous a et b distincts de I on f(a) f(b) a b f est strictement décroissante sur l intervalle I si et seulement si pour tous a et b distincts de I on f(a) f(b) a b 0 < 0 Pour la preuve : il suffit d utiliser la définition. Exercices : 1. Soit f(x) = 2x 2 4x + 1 étudier la monotonie de la fonction f sur I 1 =], 1] et sur I 2 = [1, + [ puis résumer votre étude sur un tableau (Tableau de variation) 2. Soit g(x) = 2x+1 x 3 étudier la monotonie de la fonction g sur J 1 =], 3[ et sur J 2 =]3, + [ puis dresser un tableau de variation. 3.3 Monotonie et parité d une fonction Activité : Soit f la fonction de la courbe C f ci-contre 1. Que peux-tu dire de la fonction f? 2. Quelle est la monotonie de f sur [ 2, 1] et sur [1,2] 3. Quelle est la monotonie de f sur [ 1,0] et sur [0,1] 4. Conclure. Propriété : Soit f une fonction paire dont le domaine de définition est D f, I un intervalle dans D f R +, et I son symétrique par rapport à 0. si f est croissante sur I alors elle est décroissante sur I si f est décroissante sur I alors elle est croissante sur I Soit f une fonction impaire dont le domaine de définition est D f, I un intervalle dans D f R +, et I son symétrique par rapport à 0. si f est croissante sur I alors elle est décroissante sur I si f est décroissante sur I alors elle est croissante sur I Preuve : On suppose que f est paire : soit I un intervalle dans D f R +, et I son symétrique par rapport à 0. Soient a et b deux éléments de I alors il existe a et b dans I tels que a = a et b = b T fi = f(a ) f(b ) a b = f( a) f( b) ( a) ( b) = f(a) f(b) (a b) (car f est paire) = T fi Exercice 1: Soit la fonction f définie par : f(x) = 1+x² 1. Déterminer D f et montrer que f est une fonction impaire 3x 2. Etudier la monotonie de la fonction f sur les intervalles [0,1] et sur [1, + [ 3. En déduire la monotonie de f sur les intervalles [ 1,0] et ], 1] Exercice 2 : Compléter le tableau ci-dessous sachant que la fonction g est paire.

7 7 x g(x) ) Extremums d une fonction 4.1 Extremums absolus Activité 1 : Soit f(x) = x 2 2x + 3 ; Montrer que pout tout x dans R, on a f(x) f(1) Activité 2 : Soit g(x) = 1 ; Montrer que pout tout x dans R, on a g(x) g(0) x 2 +1 Soit f une fonction dont l ensemble de définition est D f. On dit que la fonction f admet un maximum absolu en a si pour tout x dans D f on a : f(x) f(a) On dit que la fonction f admet un minimum absolu en a si pour tout x dans D f on a : f(x) f(a) Un extremum absolu est un minimum absolu ou un maximum absolu. 4.2 Extremums relatifs Activité Soit f la fonction définie par f(x) = x + 1 x 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f et étudier sa parité. 2. Etudier les variations de la fonction f sur ]0, + [ 3. Dresser le tableau de f sur R 4. Montrer que pour tout x dans ]0, + [ on a f(x) f(1) Soit f une fonction dont l ensemble de définition est D f. On dit que f admet un maximum relatif en a s il existe un intervalle ouvert I qui contient a tel que pour tout x dans I on a f(x) f(a) On dit que f admet un minimum relatif en a s il existe un intervalle ouvert I qui contient a tel que pour tout x dans I on a f(x) f(a) un extremum relatif est un minimum relatif ou un maximum relatif Propriété : Soit f une fonction dont l ensemble de définition est D f, a, b et c trois éléments de D f tels que a < b < c Si f est croissante sur [a, b] et décroissante sur [b, c] alors f admet un maximum relatif en b Si f est décroissante sur [a, b] et croissante sur [b, c] alors f admet un minimum relatif en b f admet un maximum relatif en b admet un minimum relatif en b Interprétation géométrique : Sur la figure ci-contre on a : f admet un maximum relatif en α et admet un minimum relatif en β

8 8 4) Positions relatives de deux courbes de fonctions. Soient f et g deux fonctions définie sur le même ensemble D On dit que f est supérieure ou égale à g sur D si pour tout x dans D ; on a f(x) g(x) on écrit f g On dit que f est inférieure ou égale à g sur D si pour tout x dans D ; on a f(x) g(x) on écrit f g Exemple Sur la figure ci-contre on a : f g sur ], a] [b, c] f g sur [a, b] [c, + [

9 Exercice 1 : Déterminer les ensembles de définitions des fonctions suivantes : f(x) = x2 +4 2x 2 +x 3 g(x) = 3x+1 x 2 +x h(x) = 2x + 1 3x k(x) = tanx sinx+1 Exercice 2 : Soit f(x) = 3x montrer que f admet un minimum absolu qu il faut déterminer. Soit g(x) = 3x 2 + x + 1 montrer que g admet un minimum absolu qu il faut déterminer Soit h(x) = 4 montrer queh admet un maximum x 2 +1 absolu en 0 EXERCICES SUR GENERALITES DES FONCTIONS Exercice 6 : Soit la fonction f définie par : { f(x) = x2 + 2x si x 0 f(x) = 2x + 1 si x > 0 1. Déterminer ( 2), f(1), f(0) et f(10) 2. Etudier les variations de f sur ]0, + [ sur ], 1[ et sur [ 1,0] 3.Dresser le tableau de variation de f sur R. 4. Déterminer les extremums relatifs de la fonction f. Exercice 7 : Soit f la fonction définie sur [0, + [ par la courbe cidessous et paire. 9 Exercice 3 : Soit la fonction f définie par f(x) = x 3 3x 1. Montrer que la fonction f est impaire 2. Montrer que le taux de variation de f entre a et b est T f = a 2 + b 2 + ab 3 3. Etudier les variations de f sur [0,1] et sur [1, + [ 4. Dresser le tableau de variation de f sur R 5. Déterminer les extremums de la fonction f. Exercice 4 : Soit f la fonction définie par : f (x) = x x 4x 1. Etudier la parité de la fonction f. 2. Montrer que le taux d accroissement de f est T f = x + y Etudier les variations de la fonction sur [0,2] et sur [2, + [ 4. Dresser la tableau de variation de f sur R. et déterminer les extremums de la fonction f. 5. Etudier les positions relatives de la courbe C f et la droite (D) y = 2x 1. Compléter la courbe de la fonction f 2. Donner l expression de f sur [0,1] et sur [1, + [ 3. Donner l expression de f sur [ 1,0] et sur ], 0] 4. Dresser le tableau de variation de f sur R. 5. Déterminer les extremums relatifs et absolus de la fonction. Exercice 8 : Soit f la fonction définie par : f(x) = 2x + 4 x 1. Ecrire une expression de f sur des intervalles de R sans utiliser la valeur absolue. 2. Représenter la courbe représentative de la fonction f 3. Dresser le tableau de variation de f. 4. tracer dans le même repère la courbe de la fonction g(x) = x Déterminer l intersection de la courbe C f et C g 6. Etudier les positions relatives de C f et C g. Exercice 5 : Considérons la fonction g définie par : g(x) = 1. Déterminer D g étudier la parité de g. x x Montrer que le taux d accroissement de g entre a et b ab+1 est (a 2 1)(b 2 1) 3. En déduire les variations de g sur [0,1[ et sur ]1, + [ 4. Dresser le tableau de variation de g sur R. 5. La fonction g admet-elle des extremums relatifs?

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