euve de Mathématiques

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1 Terminales S 4h00 le 23 mars 2012 Devoir Surveillé Epre euve de Mathématiques Les exercices peuvent être traités dans l ordre de votre choix à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le barème est donné à titre indicatif. La qualité de la présentation et de la rédaction sera prise en compte. L usage de la calculatrice est autorisé. Autorisation de sortie 1 heure avant la fin de l épreuve. Exercice 1 : (5 points) Partie A : Le Nombre d Or On note. le nombre. / 0 1 A B 1 A C1 A 1 A Il y a une infinité de racines imbriquées. 1. Déterminer. 4 en fonction de.. 2. Résoudre l équation 7 4 F 7 F 1 / 0. En déduire la valeur exacte de... est appelé le Nombre d Or ou la Divine Proportion. On le retrouvee en mathématique mais aussi dans le domaine de l art : architecture (la pyramide de Khéops, le Parthénon d Athènes ), la peinture (la Joconde ) etc La valeur approchée du Nombre d Or est : 1,618 Partie B : La suite de Fibonacc ci et les lapins crétins Leonardo Fibonacci publia en 1202 le problème ci-dessous sur la reproduction des lapins. Ce problème conduisit à l étude de la suite dite de Fibonacci. «Partant d un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu après deux mois» Voici le schéma de production des lapins : Couple de lapins venant de naître : Couple de lapins adultes et capable de produire à la fin du mois : A.MAGNE-TS-DS5-1/5

2 1 ier mois 2 ième mois 3 ième mois 4 ième mois 5 ième mois 6 ième mois 1. Soit M N correspondant au nombre de mois écoulés. A l aide du schéma précédent, donnez le nombre de couples de lapins pour M = 1, puis pour M = 2, M = 3, M = 4, M = 5, M = 6 et M = On considère la suite 'S T ) définie pour tout M N S par : U V = S 4 = 1 X S TW4 = S TWV + S T On considère la suite 'Y T ) dézinie pour tout M N par : Y T = S TWV a) Calculer S [, S \, S ], S^, S _, S`, S a et S Vb. b) Démontrer que la suite 'S T ) est strictement positive et croissante. Pour montrer l hérédité de la démonstration par récurrence, il faudra supposer que la propriété est vraie pour le rang M et M + 1. c) Démontrer que la suite 'Y T ) est strictement positive. d) Recopier et compléter le tableau suivant : M S T Y T = S TWV S T S T Valeur approchée de Y T e) Conjecturez la limite de la suite 'Y T ). f) Démontrer que la suite 'Y T ) vérifie la relation de récurrence : Y TWV = Y T g) Sachant que la suite 'Y T ) est convergente, déduire de la question précédente la limite l de la suite 'Y T ). A.MAGNE-TS-DS5-2/5

3 Exercice 2 : (5 points) On considère la fonction f définie par : f(7) / gh F g ih g h A g ih 1. Déterminer le domaine de définition j k de f. 2. Montrer que pour tout réel 7 de j k, on a : f(7) / g4h F 1 g 4h A 1 3. Calculer : lim f(7) h Wm Que pouvez-vous en déduire sur la courbe o k représentant la fonction f? 4. Etudier la parité de cette fonction et en déduire sa limite en F. Quelles conséquences graphiques pouvez-vous en tirer? 5. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur R. Soit s / ( t ; vw, xw ) un repère orthonormé d unité le centimètre. 6. Déterminer l équation de la tangente y à o k au point d abscisse Tracer o k et T dans le repère s. Remarque : Cette fonction f s appelle la «tangente hyperbolique» et est notée zh. 8. Vérifier que pour tout réel 7, 1 zh 4 '7) = zh '7). A.MAGNE-TS-DS5-3/5

4 Exercice 3 : (5 points) (Uniquement pour ceux qui n ont pas choisi la Spécialité) Le plan complexe ~ est rapporté à un repère orthonormal direct (t ; Sw, Yw ), unité graphique 2 cm. On désigne par et les points d affixes respectives 1 et 4. L application f associe à tout point d affixe ƒ de ~, distinct de, le point d affixe ƒ définie par : ƒ / ƒ F 4 ƒ F 1 1. Soit le point d affixe 2. Déterminer l affixe de / f( ). 2. Démontrer que f admet deux points invariants et. (On notera I celui d ordonnée positive) Placer les points,, et. 3. On pose ƒ / 7 A ˆ et ƒ / 7 A ˆ avec 7, ˆ, 7, ˆ réels. a) Déterminer 7 et ˆ en fonction de 7 et ˆ. b) Déterminer l ensemble E des points d affixe ƒ tels que ƒ soit réel. c) Déterminer et construire l ensemble F des points d affixe ƒ tels que ƒ soit imaginaire pur. 4. Donner une interprétation géométrique de ƒ, ƒ F 4, ƒ F 1. En déduire l ensemble Œ des points d affixe ƒ tels que ƒ / 1. Construire Œ. A.MAGNE-TS-DS5-4/5

5 Exercice 4 : (5 points) Partie A : Restitution Organisée de Connaissances On supposera connus les résultats suivants : pour tous réels 7 et ˆ g b / 1 et g h g / g hw 1. Démontrer que pour tout réel 7, on a : g ih / 1 g h 2. Démontrer que pour tout réel 7 et pour tout entier naturel M, (g h ) T / g Th Partie B On considère la suite (S T ) définie pour tout entier naturel M par : V g ith S T / 7 1 A gih 1. a) Montrer que S b A S V / 1. b) Calculer S V. En déduire S b. 2. Montrer que pour tout entier naturel M, S T a) Montrer que pour tout entier naturel M non nul : S TWV A S T / 1 F git M b) En déduire que pour tout entier naturel M non nul, b S T 1 F git M 4. Déterminer la limite de la suite (S T ). A.MAGNE-TS-DS5-5/5