Chapitre : Trigonométrie

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1 I Vocabulaire hapitre : Trigonométrie [] est l hpoténuse [] est le côté adjacent à l angle [] est le côté opposé à l angle Définitions : Dans un triangle rectangle, on définit le inus (), le sinus (sin) et la tangente (tan) par les formules suivantes : adjacent opposé = sin = tan = opposé hpoténuse hpoténuse adjacent Eemples : propos à la figure ci-dessus, on a : ( ) = sin ( ) = tan ( ) = Pour calculer le inus, sinus ou tangente d un angle, on utilise les touches, sin et tan de la calculatrice. Eemple : sin ( 0 ) = 0,5 La calculatrice permet aussi de trouver la mesure d un angle dont on connaît la valeur du inus, sinus ou tangente grâce au touches : ou arc, sin ou arcsin, tan ou arctan. Eemple : arcsin( 0,5 ) = 0. Remarques : - moen mnémotechnique pour retenir les formules : ST (S pour sinus, pour adjacent, pour hpoténuse ) - comme l hpoténuse est le plus grand côté, le inus et le sinus sont des nombres inférieurs à car c est le résultat d une division d un nombre par un nombre plus grand. - on a les formules suivantes : sin = tan et ² + sin² = II pplications a ) alcul de mesure d angle n considère la figure suivante : Question : calculer la mesure de l angle au degré près. Réponse : Dans le triangle rectangle en, on a : sin ( ) = = donc = arcsin( ) 4,8 cm opp cm hp on fait sin avec opp et hp car sin = opp hp b ) alcul de longueur n considère la figure suivante : Question : alculer à 0, près. Réponse : Dans le triangle rectangle en, on a : n a : tan( ) = tan( 40 ) donc = Donc =,4 cm tan ( 40 ) cm opp adj 40 on fait tan avec opp et adj car tan = opp adj

2 Eercice : Résous ces équations a ) 8 = 7 5 b ) 9 = 7 8 c ) = d ) 4 5 = 6 e ) 7 = 9 Eercice : omplète les trois tableau ci-dessous en arrondissant les résultats à 0,0 près () 0,5 0,78 sin() 0,5 0, tan() Eercice : alcule au degré près les mesures des angles indiqués. F 5 G J E 5 I 4,5, N 8 5 P Eercice 4 : RST est un triangle tel que : RS = 8 cm, RST = 0 et ST = cm. alcule l aire du triangle RST. Eercice 5 : En utilisant les formules = adj opp et sin =, prouve les formules suivantes: hp hp tan = sin et ² + sin² = Eercice 6 : n considère la figure suivante. cm a ) alculer en valeur eacte b ) alculer la mesure de l angle. b ) En déduire des valeurs eactes de (45), sin(45) et tan(45)

3 Eercices pour préparer le contrôle (calculatrice indispensable) Eercice : est un triangle rectangle en et les longueurs sont indiquées en centimètre. Dans chacun des cas suivants, détermine la grandeur indiquée arrondie au diième. a ) = 7 ; = 0 ; = b ) = 5 ; = 5 c ) = 9 ; = ; = d ) = ; = 75 = = e ) = 64 ; = 4 f ) = 4 ; = 8 = = Eercice : a ) Détermine la mesure des angles au degré près du triangle tel que : = 49,6 cm ; = 9 cm ; = 05,4 cm. b ) alcule à 0, cm près du triangle tel que : = 4 et = 56 et = 7 cm. Eercice : À propos de cette figure, on va calculer de deu façons différentes. ) a ) Démontrer que = 5 cm b ) Prouve que = 7 5 cm puis calcule à 0, près. 8 Indication : écrire le sinus dans deu triangles. ) a ) Détermine la mesure de au degré près. b ) alcule à 0, près et retrouve le résultat de ) b). 7 cm 7 cm = 8 cm Remarque : Lors de ce contrôle, tu devras utiliser : Pthagore et sa réciproque, la somme des mesures des angles d un triangle fait 80 E : a ) sin = = 7 0 donc = arcsin( 7 0 ) 44,4 c ) = = 9 donc = arc( 9 ) 66,96 e ) tan = = donc = arctan( 4 4 orrection partielle des eercices pour préparer le contrôle b ) tan = donc = tan = 5,0 cm sin 5 d ) = donc = = 85,00 cm 75 ) 56,7 f ) sin = donc = sin = 4 sin 8,66 cm E : a ) ² = ² + ² = 09,6 donc est rectangle en d après le théorème réciproque de Pthagore. = arc( 49,6 ) 6 et 80 ( ) 8 remarque : on peut utiliser aussi sin ou tan. 05,4 b ) rectangle en car = 80 (4 + 56) = 90. n peut utiliser ( ) ou sin( ) et on trouve,5 cm e : ) a ) Pthagore dans rectangle en. b ) dans les triangles rectangle en et rectangle en on a : sin ( ) = = 8 cm = donc 5 8 = 7 5 donc =,4 cm 7 8 ) a ) dans rectangle en : = = 7 8 donc = arc( 7 8 ) 9 b ) dans rectangle en : sin = donc 7 sin 9,9,4 cm

4 Devoir : les valeurs remarquables en trigonométrie Le but est de compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs eactes : calculatrice interdite! ( ) sin ( ) tan ( ) I Pour remplir les colonnes = 0 et = 60, on considère la figure suivante où figure un triangle rectangle dont l hpoténuse est deu fois plus grand qu un de ses côtés : ) prouver que I est équilatéral ) en déduire les mesures des angles et. I ) prouver que = cm cm 4 ) en déduire les valeurs eactes de : (0), (60), sin(0), (60), tan(0), tan(60) Remarque : les opérations «²» et étant contraires l une de l autre, on comprend facilement que : ( ) ² = =. insi, = = qui est la valeur remarquable retenue (on n aime pas trop les dénominateurs avec des racines carrées) II Pour remplir la colonne = 45, on considère la figure suivante formée par un triangle rectangle et isocèle. ) prouver que = cm cm ) calculer les mesures des angles et. ) en déduire les valeurs eactes de : (45), sin(45), tan(45) III le cercle trigonométrique Dans un repère, le cerce de centre et de raon comme celui tracé ci-dessous s appelle le cercle trigonométrique. onsidérons le point du cercle de la figure ci-dessous. ) epliquer pourquoi le point a pour coordonnées : ( ( ) ; sin ( ) ) n peut redéfinir le inus et le sinus qui correspondent au coordonnées du point sur le cercle trigonométrique. ) a ) en considérant = 0 et les coordonnées du point, trouver les valeurs de ( 0 ) et sin ( 0 ). b ) En utilisant la formule tan = sin, trouve tan( 0 ) ) trouve ( 90 ) et sin ( 90 ) en considérant = ) a ) En considérant = 80, trouver les valeurs de (80) et sin(80). b ) complète les formules : ( 90 + ) = ( 90 + ) = 0,5

5 orrection du devoir I ) et ) est un point du cercle de diamètre [] car le triangle est rectangle en. Donc I = I = I = = cm. Le triangle I est donc équilatéral et ses angles font donc 60 insi, = 60. Dans le triangle on a : = 80 ( ) = 0 ) J utilise le théorème de Pthagore dans le triangle rectangle en. n a ² = ² + ² donc ² = ² ² = ² ² =. D où, = cm. 4 ) Dans le triangle rectangle en on a : ( ) = et ( ) = = sin ( ) donc ( 0 ) = = sin ( 60 ). = sin ( ) donc ( 60 ) = = sin ( 0 ) n a aussi : tan ( ) = donc tan ( 60) = et tan ( ) = donc tan ( 0 ) = = II ) est le théorème de Pthagore! ) le triangle est isocèle en donc = = ) n trouve les valeurs du tableau en considérant par eemple ( ), sin ( ) et tan ( ). III ) n considère le point de la figure. Les coordonnées de sont donc ( ; ) r ( ) = et sin ( ) =. Puisque =, on a : ( ) = et sin ( ) = d où ( ( ) ; sin ( )) ) a ) cas = 0 : ( ; 0 ) donc ( 0 ) = et sin ( 0 ) = 0 b ) tan ( 0 ) = sin(0) (0) = 0 = 0 ) cas = 90 : ( 0 ; ) donc ( 90 ) = 0 et sin ( 90 ) = 4 ) a ) cas = 80 : ( ; 0 ) donc ( 80 ) = et sin ( 80 ) = ( ) 0 sin ( ) 0 tan ( ) 0 = 45 b ) n considère la figure ci-dessous où l on cherche les coordonnées de N ( ( 90 + ) ; sin ( 90 + )) Il faut donc trouver et N car N ( ; N ) n peut remarquer que les triangles N et sont superposables car = N = 80 ( 90 + ) = 90 et donc N = 80 ( ) =. insi, = N et que = donc N ( ; ) donc N ( sin ( ) ; ( )) n trouve donc que ( 90 + ) = sin ( ) et sin ( 90 + ) = ( ) N