Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme.

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1 Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. F.Gaudon 9 août 2005 Table des matières 1 Définition, convergence 2 2 Propriétés de la somme 3 3 Développement en série entière 5 1

2 On désigne par K le corps des réels ou celui des complexes. 1 Définition, convergence On appelle série entière toute série f n de fonctions définies de C dans C par f n (z) = a n z n où (a n ) n est une suite de K. Soit (a n ) n une suite de K. L ensemble des réels r positifs ou nuls pour lesquels la suite (a n r n ) n est bornée est non vide car il contient 0. Sa borne supérieure R, éventuellement infinie, est appelée rayon de convergence de la série entière a nz n. Exemple : Le rayon de convergence de n!zn est R = 0 Celui de zn est R = 1. zn n! a pour rayon de convergence R = +. Soit a nz n une série entière, et soit R son rayon de convergence. Si z 0 < R, alors la série entière a nz0 n est absolument convergente donc convergente. Si z 0 > R, alors la suite (a n z0 n ) n n est pas bornée donc ne converge pas vers 0 et a nz0 n diverge. Si 0 < R < R, notons D(0; R ) le disque fermé dans C de centre O et de rayon R. Alors a nz n converge uniformément dans D(O; R ). On a a n z n 0 a n ( z0 R ) n R n pour z 0 < R < R. De ce fait, ( a n R n ) n est bornée. Soit M = sup n { a n R n }. Alors, a n z0 n M( z0 R ) n. Comme z0 R < 1, la série n ( z0 R ) n converge et par comparaison, n a nz n 0 aussi. clair Soit R tel que R < R < R et ( a n R n ) n bornée. Soit M = sup n { a n R n }. Alors n N a n z n a n R n a n R n ( R R ) n M( R R ) n. 2

3 En supposant R 0, {z C / z < R} est appelé disque ouvert de convergence de a nz n. Remarque : Il se peut qu une série entière a nz n ne soit pas normalement convergente sur son disque ouvert de convergence. C est le cas par exemple pour la série entière zn. Le rayon de convergence R est donné par : 1 R = lim sup n an Règle de D Alembert : Soit a nz n une série entière et soit R son rayon de convergence. On suppose que les coefficients a n sont non nuls à partir d un certain rang. Si lim n an+1 a n = λ R + {+ }, alors R = 1 λ (avec R = + si λ = 0 et R = 0 si λ = + ). 2 Propriétés de la somme La somme S : z S(z) = a nz n est continue sur le disque ouvert de convergence. Soit z 0 D(O; R) et R > 0 tel que z 0 < R < R. Alors n a nz n converge normalement sur D(O; R ) donc, z n k=0 a kz k étant continue pour tout entier n sur D(O; R ), sa somme l est aussi d où S est continue sur D(O; R ) et donc en particulier en z 0. Soient a nz n et b nz n deux séries entières de rayons R > 0 et R > 0. On suppose que les sommes de ces deux séries coïncident sur un voisinage de 0. Alors ces deux séries sont identiques : n N a n = b n. Sinon NN / a N b N. Soit alors N le plus petit tel. Il existe r > 0 tel que r < R, r < R et les deux sommes coîncident sur D(O; R). On a alors : a n z n = z N n N N 1 a n z n N + a n z n 3 n=0

4 et b n z n = z N n N N 1 b n z n N + b n z n Comme les deux séries sont égales et n N 1 a n = b n alors pour tout z D(O; r), on a n N a nz n N = n N b nz n N. En particulier, pour z = 0 on obtient a N = b N d où une contradiction. Conséquences : n=0 La somme S(z) de la série entière a nz n est une fonction paire (resp. impaire) ssi les a n de rang impair (resp. pair) sont nuls. Si n a nz n est paire, n a nz n = n a n( z) n pour tout n donc n N a n = ( 1) n a n et en particulier k N a 2k+1 = ( 1)a 2k+1 ce qui implique a 2k+1 = 0. Soit a nt n une série entière réelle, de rayon de convergence R > 0 et de somme S(t). S est indéfiniment dérivable sur ] R; R[ et : t ] R; R[, S (k) (t) = n k n(n 1)... (n k + 1)a n t n k Si [a; b] ] R; R[ alors : b a S(t)dt = b a n t n+1 dt a Lemme : Pour toute série entière A(z) = a nz n de rayon de convergence R, les séries entières suivantes ont aussi pour rayon de convergence R : A (z) = na n z n 1 k N A (k) (z) = n k n(n 1)... (n k + 1)a n z n k et B(z) = a n z n n + 1 Preuve du lemme : Preuve du théorème : 4

5 Soit 0 < R < R. S converge en 0, S N est dérivable sur D(O; R ) et z n! (n k)! a nz n k converge normalement sur D(O; R ) donc par le théorème de dérivation pour les suites de fonctions, S est dérivable sur D(O; R ) et S (t) = n 1 na nt n 1. Par récurrence on montre le résultat à l ordre k. Conséquence du téorème d intégration des suites de fonctions. Conséquence : Soit a nt n une série entière réelle de rayon de convergence R > 0 et de somme S(t). Pour tout entier n, le coefficient a n est égal à 1 n! Sn (0). clair 3 Développement en série entière Soit f une application définie sur un ouvert Ω de R et à valeurs dans R. On dit que f est développable en série entière en un point t 0 de Ω s il existe une série entière a nt n et un réel ρ > 0 tels que : t ]t 0 ρ; t 0 + ρ[, f(z) = a n (t t 0 ) n Soit Ω un ouvert de R contenant 0 et f infiniment dérivable sur Ω. La série entière + 1!n f (n) (0)t n est appelée série de Taylor de f en 0. Si f est développable en série entière au voisinage de 0, alors f est de classe C à l origine et la série entière égale à f au voisinage de 0 est nécessairement la série de Taylor de f. Autrement dit, f (n) (0) r > 0, t ] r; r[, f(t) = t n n! Découle directement de la conséquence 2. 5

6 Remarque : Même si f est de classe C au voisinage de 0, et même si la série de Taylor de f a un rayon de convergence strictement positif, on ne peut affirmer que f est développable en série entière en 0. Considérer f : x exp( 1 x 2 ). Soit Ω un ouvert de R contenant 0 et f une application de Ω dans R. On suppose que f est de classe C au voisinage de 0 et que : r > 0, p N x ] r; r[ f (p) (x) M Alors f est développable en série entière en 0 avec un rayon de convergence au moins égal à r. D après la formule de Taylor-Young à l ordre n puisque f est de classe C n et n + 1 fois dérivable sur ] ρ; ρ[ où 0 < ρ < r on a : donc t ] ρ; ρ[ c ] ρ; ρ[ f(t) t ] ρ; ρ[ f(t) n k=0 n k=0 f (k) (0) k! t k f (n+1) (c) (2ρ) n+1 (n + 1)! f (k) (0) t k M k! (n + 1)! (2ρ)n+1 ce qui montre que lorsque n tend vers + la série de Taylor de f converge vers f pour tout t dans ] ρ; ρ[ et par suite dans ] r; r[. 6