Polynômes du second degré

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1 Polynômes du second degré Eercices corrigés Déterminer la forme canonique d un polynôme du second degré Déterminer la forme canonique des polynômes suivants : P() = Q() = Forme canonique de P On fait apparaitre une identité remarquable : P() = 4+7 = } } 4+7 = ( ) +3 Identité Conclusion : P() = ( ) + 3. Forme canonique de Q On utilise les propriétés de la parabole : L abscisse du sommet est ( 9) 3 = 3 L ordonnée du sommet est Q ( ( 3 ) = 3 3 ) = 9 4 Conclusion : Q() = 3 ( 3 ) 9 4 Résoudre une équation Résoudre les équations suivantes : (E ) : = 0 (E ) : = 0 (E 3 ) : = 0. Résolution de (E ) : = ( 5) 4 ( 3) = = 49 > 0 donc l équation admet les deu solutions α et α suivantes : α = ( 5) + 49 ( 3) α = ( 5) 49 ( 3) Conclusion : S = = = 5 7 ; 3 = 6 = 3 }. Résolution de (E ) : = ( 4) 4 4 = 6 6 = 0 = 0 donc l équation admet l unique solution : α = ( 4) 4 = 4 8 = } Conclusion : S = 3. Résolution de (E 3 ) : = ( 5) 4 7 = 5 56 = 3 < 0 donc l équation n admet pas de solution. Conclusion : S 3 = 3 Factoriser une epression du second degré Factoriser les polynômes suivants : f () = g () = h() = Première L-ES 05/06

2 . Factorisation de f = = = > 0 donc f admet les deu racines α et α suivantes : α = α = 7 4 = = 7 Conclusion : f () = 4 8 = 3 4 = ( + 3 ) ( + ) 4. Factorisation de g = 8 4 ( ) ( 8) = = 0 = 0 donc g admet l unique racine : α = 8 ( ) = 8 4 = Conclusion : g () = ( ) 3. Factorisation de h = 5 4 ( 3) ( 8) = 5 96 = 7 < 0 donc on ne peut pas factoriser h 4 d une epression du second degré - Inéquations Résoudre les inéquations suivantes : (I ) : (I ) : < 0 (I 3 ) : 36 + > 0. Résolution de (I ) On pose f () = = ( 7) 4 0 = = 9 > 0 donc f admet les deu racines α et α suivantes : α = ( 7) + 9 α = ( 7) 9 = = 7 3 = 5 = Le coefficient de est positif () donc le tableau de signe de f est donné par : de f () 5 + Conclusion : S = [;5] Résolution de (I ) On pose g () = = ( 8) 4 ( 5) 3 = = 34 > 0 donc f admet les deu racines α et α suivantes : α = ( 8) + 34 ( 5) α = ( 8) 34 ( 5) = = 3 5 = = Le coefficient de est négatif ( 5) donc le tableau de signe de g est donné par : de f () Conclusion : S = ] ; [ ];+ [ 3. Résolution de (I 3 ) On pose h() = 36 + = ( ) 4 36 = = 0 = 0 donc h admet l unique racine α = ( ) 36 = 6 Le coefficient de est positif (36) donc le tableau de signe de h est donné par : de f () Conclusion : S 3 = ] ; [ ] 6 ;+ [ Résoudre l inéquation suivante : (I ) : ( + 4)( 5) < 0 Première L-ES 05/06

3 (I ) f () g () < 0 avec f () = + 4 et g () = 5. Il suffit donc d étudier le signe de f et g. D une part f est une fonction affine de coefficient directeur négatif et qui s annule en. D autre part g est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient de est positif. = ( ) 4 ( 5) = 64 > 0 donc g admet les deu racines α et α suivantes : α = ( ) + 64 α = ( ) 64 = + 8 = 8 = 5 = 3 Tout ceci permet de dresser le tableau ci-dessous : de f () de g () de f () g () Conclusion : S = ] 3;[ ]5;+ [ 5 Faire le lien avec la représentation graphique Déterminer l epression des fonctions polynômes du second degré représentées cidessous : C f C g 5. Epression de f f est un polynôme du second degré. L epression de f en fonction de est donc, en utilisant la forme canonique : f () = a ( α) + β. Par lecture graphique, on voit que le sommet de la parabole a pour coordonnées (; 5). On en déduit : α = et β = 5. Ainsi f () = a ( ) 5 Par lecture graphique, on a aussi f (0) =. On en déduit : a (0 ) 5 = soit 4a 5 = donc 4a = 4 et donc a =. Conclusion : f () = ( ) 5. Epression de g On peut utiliser la méthode précédente. Il est aussi possible d utiliser la méthode suivante : La parabole représentant g coupe deu fois l ae des abscisses donc g admet deu racines. L e- Première L-ES 05/06 3

4 pression de g en fonction de est donc de la forme g () = a( α )( α ). La parabole coupe l ae des abscisses au points d abscisses 3 et donc les racines de g sont 3 et. Ainsi g () = a( + 3)( + ) Le point S ( ; ) appartient à la parabole donc g ( ) =. On en déduit : a( +3)( +) = soit a ( ) = donc a = et donc a =. Conclusion : g () = ( + 3)( + ) Les quatre courbes ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions f, g, h et k définies par : f () = 4 + ; g () = 4 ; h() = 4 ; k() = 4 Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Justifier les réponses. 3 C 4 C C C Les coefficients de des fonctions f et g sont négatifs, leurs représentations graphiques sont donc des paraboles ouvertes vers le bas. C et C 3 sont donc les représentations graphiques de f et g et par suite C et C 4 sont les représentations graphiques de h et k. Le sommet de la parabole représentant f a pour abscisse = 4 et le sommet de la parabole représentant g 4 a pour abscisse = 4. 4 C est donc la représentation graphique de g et C 3 la représentation graphique de f L image de 4 par h est h(4) = = 6 et l image de 4 par k est k(4) = = 0. De plus, C passe par le point (4; 0) et C 4 passe par le point (4; 6). On en déduit : C est la représentation graphique de k et C 4 la représentation graphique de h 6 Résoudre des problèmes Trouver deu réels dont la somme est 4 et le produit 5. On appelle et y les deu réels cherchés. et y vérifient le système suivant : (S) : + y = 4 y = 5 Première L-ES 05/06 4

5 (S) y = 4 y = 4 y = 4 (4 ) = 5 4 = = 0 L équation (E) est une équation du second degré que l on peut donc résoudre : = 4 4 ( ) 5 = = 36 > 0 donc l équation admet les deu solutions α et α suivantes : α = ( ) = = α = 4 36 ( ) = 4 6 = 5 En revenant au système (S), on obtient donc : y = 4 y = 4 y = 4 ( ) y = 4 5 (S) ou ou = = 5 = = 5 Conclusion : Les deu réels cherchés sont et 5 (E) y = 5 y = = ou = 5 Trois nombres entiers relatifs consécutifs sont tels que si on ajoute à celui du milieu le carré du plus grand et le carré du plus petit, on obtient 30. Quels sont ces trois nombres? Soit l entier du milieu. Les deu autres sont alors et +. D après l énoncé, vérifie l équation : (E) : + ( + ) + ( ) = 30. (E) = = 0 L équation (E) est une équation du second degré que l on peut donc résoudre : = 4 ( 8) = + 4 = 5 > 0 donc l équation admet les deu solutions α et α suivantes : α = + 5 = 4 4 = 7 α = 5 = 6 4 = 4 L énoncé indique que les trois nombres sont des entiers. Le problème admet donc une unique solution et 4 est le nombre du milieu. Conclusion : Les trois nombres cherchés sont 5, 4 et 3.. On considère la fonction f définie sur R par f () = 0, ,6 0. a) Dresser le tableau de variations de f. b) Résoudre l inéquation f () > 0.. Une entreprise fabrique et vend des ordinateurs portables. Le coût de fabrication de ordinateurs est donné par la fonction C définie par C () = 0, ,4 + 0, ce coût est eprimé en milliers d euros. L entreprise produit entre 0 et 00 ordinateurs par jour et chaque ordinateur est vendu 000 euros. On suppose que toute la production est vendue. a) On note R() la recette, en milliers d euros, engendrée par la vente de ordinateurs. Eprimer R() en fonction de. b) Montrer que le bénéfice, en milliers d euros, est donné par la fonction B définie sur [0;00] par B() = f () = 0, ,6 0. c) En utilisant les résultats de la première question : déterminer le bénéfice maimum de l entreprise. déterminer la quantité d ordinateurs à fabriquer pour que le bénéfice de l entreprise soit positif ou nul. Première L-ES 05/06 5

6 . a) f est un polynôme du second degré dont le coefficient de est négatif et qui change de variations 0,6 en ( 0,005) = 60. On a de plus : f (60) = 0, , = = 8 On obtient donc le tableau : Variations de f b) Le discriminant de f est = 0,6 4 ( 0,005) ( 0) = 0,6. f admet donc les deu racines : (calculs à faire) α = 0 et α = 00 L ensemble des solutions de l inéquation est donc S = ]0;00[. a) Chaque ordinateur est vendu 000 euros donc millier d euros. La recette liée à la vente de ces ordinateurs est donc R() = = b) Le bénéfice est la différence entre les recettes et le coût de production donc : B() = R() C () = (0, ,4 + 0) = 0,005 0,4 0 = 0, ,6 0 B() = 0, ,6 0 = f () c) Le tableau de variations de f permet de voir que le bénéfice maimum de l entreprise est 8 milliers d euros obtenu par la production et la vente de 60 ordinateurs par jour. Le bénéfice sera positif ou nul lorsque f () > 0. La réponse à la question. permet d affirmer que le bénéfice sera positif ou nul pour une production journalière comprise entre 0 et 00 ordinateurs. Première L-ES 05/06 6