Ensemble des nombres complexes

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1 Ensemble des nombres complexes Affixe, module argument de Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct Définition - Représentation géométrique d un nombre complexe A tout nombre complexe, où sont réels, on associe le point appelé point image de Réciproquement, à tout point du plan complexe, on associe le nombre complexe appelé affixe du point Ce plan muni d un repère orthonormé direct est appelé plan complexe L axe des abscisses représente l axe des réels l axe des ordonnées représente l axe des imaginaires purs Définition Affixe d un vecteur De même qu à un point, on associe son affixe, à tout vecteur de coordonnées, on associe le nombre complexe appelé affixe de Proposition Si est l affixe du vecteur, alors pour tout réel, est l affixe du vecteur Si sont les affixes des vecteurs alors est l affixe du vecteur Soit trois points du plan dont les affixes sont, 1) Déterminer les affixes respectives des vecteurs, Vérifier que 2) Déterminer l affixe du point tel que soit un parallélogramme 3) Déterminer l affixe du point centre du parallélogramme Définition Module argument Soit un nombre complexe le point d affixe Le module de, noté est la distance, c est-à-dire le nombre réel positif ou nul Un argument du nombre complexe non nul, noté mesure de l angle orienté, est une Exemple Son module est Un argument de est N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 On pose Déterminer le module un argument de Remarques 1 2 Le réel 0 n a pas d argument car l angle n est pas défini si est en 3 Si est réel, c est-à-dire que alors son module Ainsi le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue Conséquences de la définition est un réel non nul Plus précisément : est un réel strictement positif est un réel strictement négatif est un imaginaire pur Propriétés 1) 2) 3) Forme trigonométrique d un nombre complexe Définition Tout nombre complexe non nul s écrit sous la forme avec Cte écriture est appelée forme trigonométrique d un nombre complexe Remarque Cte écriture perm de faire le lien entre la géométrie les nombres complexes, en interprétant les modules en termes de distances les arguments en termes d'angles orientés ; En eff, d où Déterminer le module un argument de Proposition Égalité de deux nombres complexes non nuls Soit, deux nombres complexes non nuls de formes trigonométriques respectives Alors, N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Proposition - Lien entre forme algébrique forme trigonométrique Soit un nombre complexe non nul Si est la forme trigonométrique de alors sa forme algébrique est avec Si est la forme algébrique de alors sa forme trigonométrique est avec est défini par 1) On détermine la forme algébrique de : D où 2) On détermine la forme trigonométrique de : d où D où 1) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe 2) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe de module d argument Étude de la fonction Notation exponentielle de la forme trigonométrique Soit la fonction définie sur à valeurs dans par a) Pour tous nombres réels, En eff, La fonction avec les formules d addition vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle b) La fonction est dérivable sur Les fonctions sont dérivables sur On adm que la fonction est aussi dérivable sur que Ainsi, pour tout nombre réel, On peut écrire Cte propriété est analogue à la dérivation de la fonction En eff, Ces analogies avec la fonction exponentielle ont amené à adopter l écriture suivante (due à Euler en 1748) : Définition Formule d Euler Pour tout réel θ, on pose Remarque est le nombre complexe de module 1 d argument N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 On en déduit que Remarque L égalité est appelée Identité d Euler C est une relation qui lie plusieurs constantes fondamentales des mathématiques : C est un cas particulier de la formule d Euler avec Théorème définition Tout nombre complexe non nul s écrit sous forme exponentielle où Réciproquement, si avec réels alors Propriétés Pour tous nombres réels pour tout entier naturel : 1 2 (Formule de Moivre) ) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe 2) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe Propriétés de calcul Pour tous nombres complexes, Produit, non nuls Inverse, Quotient, non nuls Puissance si Proposition- Inégalité triangulaire Pour tous nombres complexes, Cte inégalité exprime le fait que la somme des longueurs de deux côtés d un triangle est toujours supérieure à la longueur du troisième Si est l affixe de l affixe de alors 1) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de En déduire la valeur de Forme algébrique : N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Forme trigonométrique : On en déduit la forme trigonométrique : En identifiant les parties réelles imaginaires des écritures affines trigonométriques de on obtient : 2) Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe où d où donc On en déduit que s 1) Donner la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe 2) On donne Déterminer la forme algébrique puis trigonométrique de en déduire les valeurs exactes de 3) Soit Existe-t-il des entiers tels que soit réel si oui, lesquels? 4) Soit un nombre complexe différent de Montrer que Théorème Lien avec le plan complexe Application à la géométrie Si sont deux points d affixes respectives dans un repère orthonormé, alors a pour affixe De plus, si L affixe de est l affixe de est Il existe un unique point tel que a pour affixe a pour affixe On en déduit que Or, par définition donc Conséquence Si, sont quatre points deux à deux distincts d affixes respectives, dans un repère orthonormé, alors N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct soit les points d'affixes respectives, 1) Déterminer la forme exponentielle de 2) En déduire une mesure de l angle orienté en radian 3) Déterminer la nature du quadrilatère Théorème - Caractérisation d un cercle de la médiatrice d un segment sont deux points d affixes dans un repère orthonormé 1) Le point d affixe appartient au cercle de centre de rayon si, seulement si ce qui se traduit par 2) Le point d affixe appartient à la médiatrice du segment si, seulement si ce qui se traduit par 1) Soit un point du cercle de centre de rayon Soit son affixe Que vaut? 2) Déterminer l ensemble des points du plan d affixe tels que a) b) Formules d addition Pour tous réels, on a : Formules de duplication Pour tout réel, on a : Application à la trigonométrie Les formules permtent de rrouver les formules d addition de duplication en écrivant les membres de gauche les membres de droite des égalités sous forme trigonométrique : Proposition Pour tout réel, N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 Racines -ièmes de l unité Définition Si est un entier naturel non nul, on dit que le nombre complexe est une «racine -ième de l unité» si est solution de l équation Résolution dans de l équation a) Déterminer une racine évidente de l équation b) Justifier que l équation est équivalente à c) Résoudre puis écrire les solutions sous forme exponentielle d) On se place dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct On pose Démontrer que les trois points d affixe forment un triangle équilatéral dont le centre du cercle circonscrit est le point O Résolution dans de l équation a) On pose avec Justifier que b) Démontrer que l équation a exactement quatre solutions qui sont les puissances successives du nombre complexe Résolution dans de l équation pour Adapter la méthode exposée précédemment pour résoudre l équation ses solutions En déduire les solutions de l équation exprimer sous forme exponentielle Interprétation géométrique Les racines -ièmes de l unité sont les centre O de rayon 1 somms d un polygone régulier (convexe) inscrit dans le cercle de N Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7