Feuille de TD n o 23. Développements limités, études de fonctions

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1 Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Feuille de TD n o 3. Développements limités, études de fonctions πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ Eercice 1 Preuve de Taylor-Young 1. Pourquoi on peut primitiver un DL. Soit h une fonction dérivable sur un voisinage de 0 telle que h possède un DL n 1 (0) : n 1 h () = a k k + o( n 1 ) Montrer qu'alors h possède le DL n (0) suivant : n 1 k+1 h() = h(0) + a k k o(n ).. En déduire par récurrence que pour tout n N et pour toute fonction f dérivable n fois en 0, n f (k) (0) f() = k + o( n ). k! Eercice Lien entre dérivabilité et eistence de DL. Soit f une fonction continue au voisinage de 0 et en Rappeler pourquoi l'équivalence suivante a lieu (cours) : (f possède un DL 1 (0) ) (f est dérivable en 0). Parmi les deu implications réciproques suivantes, l'une seulement est vraie. Laquelle? Indice : étudier la fonction 3 sin(1/) (f est fois dérivable en 0) (f admet un DL (0) ) (fadmet un DL (0) ) (f est fois dérivable en 0) 3. Pourquoi on ne peut pas dériver un DL. En étudiant l'eemple de la fonction sin(1/), vérier que l'implication suivante est fausse en général : ( ) ( ) n n g() = a k k + o( n ) g () = ka k k 1 + o( n 1 ) 1 k=1

2 Calculs de développements limités, limites Eercice 3 DL de ch et sh 1. Rappeler le DL n (0) de la fonction e.. En déduire (a) le DL n (0) de la fonction ch() = e +e, (b) le DL n+1 (0) de la fonction sh() = e e. Eercice 4 DL de tan 1. Donner un DL 1 (0) de la fonction tan().. Rappeler l'epression de tan (). 3. En déduire un DL 3 (0) de la fonction tan(). Eercice 5 DL de arctan 1. Rappeler le DL n (0) de la fonction En déduire (a) le DL n (0) de la fonction (b) le DL n+1 (0) de la fonction arctan(). 3. par la même méthode, donner le DL 5 (0) de la fonction arcsin(). Eercice 6 Calcul 1. Donner les DL (0) des fonctions : f() = ln(1 3) g() = cos() + 4e 3.. En déduire, s'ils eistent, les DL (0) des fonctions f + g, f g, f g, ln(g) Eercice 7 Calcul 1. DL (0) de f() = DL 3 (0) de f() = (cos )e 3. DL 4 (0) de f() = (ln(1 + ) ln(1 )) 4. DL 4 (0) de f() = ( ) sin

3 Eercice 8 Calcul 1. DL 4 (0) de f() = ln(1 + cos()). DL 4 (0) de f() = e cos 3. DL (0) de f() = ln(1+) ln(1 ) 4. DL 3 (0) de f() = ln ( ) sin 5. DL (0) de f() = cos(e 1 ) Eercice 9 Développements limités en DL (π/4) de f() = sin(). DL 3 (3) de f() = DL 3 (1) de f() = cos(ln ) Eercice 10 Application au calcul d'équivalents Donner un équivalent simple en 0 des fonctions suivantes. u() = tan arctan, v() = e sin e tan, w() = ( + cos ) 3 sin Eercice 11 Application au calcul de limites 1. Limites en 0. Calculer les limites suivantes. + cos e (a) lim 0 ln(1 + ) sin 1 (1 + ) 1 4 (b) lim 0 + sin( ) (c) lim 0 5 ln(1 + ) sin. Limites en 0 0, en. Calculer les limites suivantes. ( sin 1 e + e (a) lim 1 cos ( π ) (b) lim + Eercice 1 Etude d'une suite. Soit R é. 1. Déterminer la limite L de la suite de terme général u n = (cos(/ n)) n.. Donner un équivalent de u n L lorsque n +. Eercice 13 Position relative d'une courbe et de sa tangente. 1. Soit une fonction f admettant un DL n ( 0 ) : f() = a 0 + a 1 ( 0 ) + a ( 0 ) + + a n ( 0 ) n + o(( 0 ) n ). Quelle est l'équation de la tangente à C f au point d'abscisse 0? Comment déterminer la position relative de C f et de cette tangente au voisinage de 0?. Eemples. Pour chacune des fonctions suivantes, 3 )

4 donner le prolongement par continuité en 0, donner l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 déterminer la position relative de et C f au voisinage de 0. dessiner l'allure de C f au voisinage de 0. (a) f() = 1, (b) g() = ln(1 + ) sin 1. Eercices de réeion Eercice 14 Développement limité d'une réciproque. Soit f la fonction dénie sur R par f() = e. 1. Vérier que f réalise une bijection de R dans R.. Justier que f 1 est dérivable sur R et rappeler la formule donnant (f 1 ) 3. Montrer par récurrence que f 1 est de classe C sur R. En déduire que f 1 possède un DL à tout ordre en Calculer le DL 5 (0) de f 1. Eercice 15 Une fonction surprenante. Soit h la fonction dénie sur R par h() = ep( 1/ ). 1. Montrer que h est prolongeable par continuité. La fonction prolongée sera encore notée h.. Montrer que h est de classe C sur R. Eprimer h () pour Montrer par récurrence que pour tout n N il eiste un polynôme P n tel que 0, h (n) () = P n() h(), 3n 4. Montrer par récurrence que h est inniment dérivable en 0 et que pour tout n, h (n) (0) = 0. Donner le DL n (0) de h pour tout n. Quelle est la moralité? Eercice 16 Étude d'une limite On considère une fonction f continue et strictement positive sur un intervalle ]a; + [ où a R. On dénit la fonction F sur ]a; + [ par ( ) f( + 1) F () = f() 1. Montrer que F est continue sur ]a; + [.. Dans les cas suivants, déterminer la limite de F en + : 4

5 (a) a = 0 et > 0, f() =, (b) a = 0 et > 0, f() = e, On suppose dans la suite que f est un polynôme : f() = a 0 + a 1 + a + + a n n = n a k k. 3. pour k [1, n], donner un équivalent en + de ( + 1) k k. 4. En déduire que f( + 1) f() na n n 1. ( ) + 5. Montrer que lim f(+1) = 1. + f() ) 6. Etablir que ln ( f(+1) f() + n. En déduire l'eistence et la valeur de lim + ( ) f(+1) f() 5

6 Etudes de fonctions Eercice 17 Branches innies Etudier les branches innies des fonctions suivantes. f() = + ln(), g() = e h() = + 1 ln(), k() = 4 Eercice 18 Étude de fonction (I) Soit f la fonction dénie par l'epression suivante : f() = 1 + e 1. Déterminer D f et montrer que f est prolongeable par continuité en 0.. Déterminer la tangente à C f en 0 et la position de C f par rapport à cette tangente au voisinage de 0. Tracer l'allure de C f au voisinage de Déterminer la nature de la branche innie de C f en +. Eercice 19 Étude de fonction (II) Soit g la fonction dénie par l'epression suivante : g() = e1/ + 1 e 1/ 1 1. Déterminer D g. Étudier la parité de g.. Étudier les variations de g. 3. Étudier l'allure de la courbe de g au voisinage de 0 4. Etudier l'eistence d'asymptotes ainsi que leur position par rapport à la courbe. 5. Tracer l'allure de C g. Eercice 0 Étude de fonction (III) Soit h la fonction dénie par l'epression suivante : h() = Déterminer D h. Donner un développement limité à l'ordre de h en 0.. En déduire l'équation de la tangente T 0 à C h en 0 et étudier la position relative 6

7 de T 0 et C h au voisinage de Montrer qu'au voisinage de + on a : h() = ( ) 1 + o. 4. Montrer que h admet une asymptote oblique en +. Préciser l'équation de et la position relative de C h et au voisinage de Tracer l'allure de C h au voisinage de 0 puis au voisinage de +. Eercice 1 Étude de fonction (IV) Soit f la fonction dénie par l'epression suivante : f() = 1. Donner l'ensemble de dénition de f.. Etude en + et. 1 e1/ (a) Montrer que f() en +. En déduire lim f(). + (b) Déterminer un développement limité d'ordre de f() au voisinage de + et. En déduire qu'au voisinage de + et : f() = ( ) 1 + o. (c) En déduire que la courbe C f admet une asymptote en + et. Donner l'équation de et étudier les positions relatives de C f et au voisinage de et Déterminer les limites de f en 1, en 1 +, en 0, et en 0 +. On fera quand c'est possible un prolongement de f par continuité. 4. Montrer que f est dérivable à gauche en 0 et déterminer f g(0). Qu'en déduit-on à propos de C f? 5. Déterminer les etrema locau de f. 6. Tracer l'allure de C f. 7