Produit scalaire dans l espace

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1 8 C H A P I T R E Produit scalaire dans l espace Le mot «scalaire» vient de l anglais «scalar» qui dérive du mot «scale», désignant le rang des nombres. Ce dernier provenant du latin «scala» qui signifie «échelle». On oppose cette notion à celle de «vecteur» qui requière outre une grandeur, une direction et un sens. Ce terme a été introduit en 1843 par Sir William Rowan HAMILTON ( ) qui fut un enfant prodige au point de parler treize langues à l âge de treize ans : toutes les langues européennes classiques et modernes, l hébreu,le persan, l arable, l hindousthânî, le sanskrit et le malais (ouf!). Le terme de «scalaire» désigne également le joli poisson perciforme ci-contre de la famille des cichlidae «Pterophyllum scalare», très apprécié des aquariophilistes du monde entier.

2 Sommaire 0 Généralités 0.1 Programme de la classe de Première S 0.2 Programme de la classe de Terminale S 1 Produit scalaire dans l espace 1.1 Définitions a) Définitions b) Cas particuliers 1.2 Propriétés du produit scalaire a) Expression analytique du produit scalaire b) Propriétés algébriques c) Sphère 2 Applications du produit scalaire 2.1 Vecteur normal à un plan a) Définition b) Applications à l orthogonalité dans l espace 2.2 Équation cartésienne d un plan a) Propriété caractéristique b) Application :Plan médiateur d un segment c) Équation cartésienne d un plan 2.3 Positions relatives de droites et de plans a) Position relative d une droite et d un plan b) Position relative de deux plans 2.4 Compléments a) Position relative de trois plans b) Distance d un point à un plan 3 Résumé 4 Démonstrations du cours 5 Exercices 326 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

3 0 Généralités 0 1 Programme de la classe de Première S 0 2 Programme de la classe de Terminale S Le concept d orthogonalité, une fois exprimé en termes de coordonnées dans un repère orthonormé, fournit un outil pour une caractérisation simple des plans de l espace. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. On étend aux vecteurs de l espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan. Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d un plan. Déterminer si un vecteur est normal à un plan. Caractériser les points d un plan de l espace par une relation ax + by + cz + d = 0 avec a, b, c trois nombres réels non tous nuls. Déterminer une équation cartésienne d un plan connaissant un point et un vecteur normal. Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne. Démontrer qu une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : déterminer l intersection d une droite et d un plan ; étudier la position relative de deux plans. On caractérise vectoriellement l orthogonalité de deux droites et on introduit la notion de plans perpendiculaires. Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Intersection de trois plans. Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 327

4 1 Produit scalaire dans l espace 1 1 Définitions a) Définitions Définition 1 Soit u et v deux vecteurs et A, B et C trois points de l espace tels que u = AB et v = AC Le produit scalaire de u et v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC calculé dans le plan P qui contient les points A, B et C. u v P u B A v C Remarque. On montre que cette définition est indépendant du choix des représentants des vecteurs u et v ainsi que du choix du plan P. Il résulte de cette définition que l on retrouve les autres propriétés habituelles du produit scalaire dans le plan qui peuvent également servir de définition. a. Si l un des deux vecteurs u ou v est nul alors leur produit scalaire est nul. b. Soient u et v deux vecteurs non nuls u v = AB AC cos BAC = u v cos( u, v) Définition 2 c. Si, dans le plan P, le point H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) alors u v = AB AC = AB AH d. u v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2) Remarque. 328 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

5 BAC désigne l angle géométrique entre les vecteurs AB et AC. La mesure d un tel angle (en radians) est un réel compris entre 0 et π. L angle ( u, v) désigne l angle orienté entre les vecteurs u et v, dont la mesure principale est comprise entre π et π. Entre ces deux types d angles il existe la relation ( ) BAC = AB, AC La fonction cosinus étant paire, les angles BAC ( ) et AB, AC auront le même cosinus. Il est cependant préférable d utiliser la notation «d angle géométrique», car la notion d angle orienté n est pas définie dans l espace. Exercice 1 On considère un cube ABCDEFGH d arête a. Calculer de deux façons différentes le produit scalaire en fonction de a Solution AE BG Avec le cosinus : AE BG = AE BG cos ( ) AE, BG = a a = a = a 2 Avec la projection orthogonale AE BG = AE AF = AE AE = AE 2 = a 2 E H F G D C b) Cas particuliers A B Si on évalue le produit scalaire d un vecteur (non nul) par lui même, à l aide de la forme trigonométrique, on trouve u u = u u cos( u, u) Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 329

6 Or cos( u, u) = cos0 = 1 d où u u = u u = u 2 Ce qui introduit la définition suivante Définition 3 Carré scalaire On appelle carré scalaire d un vecteur u, le produit scalaire de u par lui même, on note u 2 = u u = u 2 Remarque. À partir de cette définition, on peut exprimer la norme d un vecteur en fonction de son carré scalaire par u = u 2 Propriété 1 Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Soient u et v deux vecteurs non nuls colinéaires, alors a. Si u et v sont de même sens u v = u v b. Si u et v sont de sens contraires u v = u v En effet, si ils sont colinéaires, ils forment un angle géométrique nul ou plat. Dans le premier cas le cosinus de leur angle vaut 1 et 1 dans le second, ce qui redonne bien la propriété énoncée. Par définition, si l un des deux vecteurs est nul alors leur produit scalaire est nul. Réciproquement, considérons deux vecteurs non nuls et supposons que u v = 0 En utilisant la définition trigonométrique, il vient que cos( u, v) = 0 ( u, v) = 0 + kπ Ce qui signifie que l angle géométrique entre ces deux vecteurs est droit, et donc que les droites qui les supportent sont orthogonales au sens du chapitre VI. Par définition, on dira de même que les vecteurs u et v sont orthogonaux. Vecteurs orthogonaux u et v sont orthogonaux si et seulement si Définition 4 u v = 0 On notera u v Remarque. Il résulte de cette définition que le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. Si u et v sont non nuls, cela signifie que les droites de vecteur directeur u et v sont orthogonales. 330 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

7 1 2 Propriétés du produit scalaire Dans tout ce qui suit l espace est muni d un repère orthonormé a) Expression analytique du produit scalaire Propriété 2 Expression analytique du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et ( x, y, z ) alors on a : u v = xx + y y + zz Démonstration. Utilisons la définition du produit scalaire à l aide de la norme, comme il vient u 2 = x 2 + y 2 + z 2 v 2 = x 2 + y 2 + z 2 u + v 2 = (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2 u v = 1 ( u + v 2 u 2 v 2) 2 = 1 ( (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 ) ) 2 = 1 ( x 2 + 2xx + x 2 + y 2 + 2y y + y 2 + z 2 + 2zz + z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2) 2 = 1 ( 2xx + 2y y + 2zz ) 2 = xx + y y + zz Exemple. Avec u(1, 2, 3) et v(4, 5, 6) on obtient : u v = = = 32 Exercice 2 En utilisant un repère orthonormé, calculer par une troisième méthode le produit scalaire de l exercice 1 AE BG Solution On pose ( Le repère A, i, j, ) k est donc orthonormé et i = 1 AB, j = 1 AD, k = 1 AE a a a AE(0, 0, a) ; BG(0, a, a) par conséquent : AE BG = a + a 0 = a 2 Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 331

8 Il résulte immédiatement de cette propriété la caractérisation suivante de l orthogonalité de deux vecteurs Considérons deux vecteurs u et v de coordonnées respectives Propriété 3 u ( x, y, z ) et v ( x, y, z ) Alors u et v sont orthogonaux si et seulement si xx + y y + zz = 0 Exercice 3 1. Les vecteurs u(2, 1, 3) et v(1, 1, 1) sont-ils orthogonaux? 2. a) Trouver un vecteur v orthogonal au vecteur u(3,1,2) b) Trouver un vecteur w orthogonal aux deux vecteurs u(1, 1, 1) et v(2, 1, 2) 1. Solution u v = = 0 les vecteurs u et v sont donc orthogonaux. 2. a) On peut prendre par exemple le vecteur v de coordonnées (1, 1, 1). En effet, dans ce cas u v = = 0 et les vecteurs u et v sont orthogonaux. b) Cherchons les coordonnées ( x, y, z ) d un vecteur w orthogonal aux deux vecteurs u(1, 1, 1) et v(2, 1, 2) il vient soit u w = v w = 0 x + y + z = 0 et 2x y + 2z = 0 On obtient ainsi un système de deux équations à trois inconnues. En multipliant la première par 2, puis en soustrayant membre à membre ces deux équations, on obtient 3y = 0 y = 0 Ce qui donne le système { x + z = 0 2x + 2z = 0 Ces deux équations étant équivalentes à la seule équation Ce qui permet d exprimer x en fonction de z par x + z = 0 x = z En conclusion, nous obtenons une infinité de solutions qui dépendent de la valeur choisie pour z. Par exemple, pour z = 1, on obtient le vecteur w de coordonnées ( 1, 0, 1) 332 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

9 b) Propriétés algébriques Propriété 4 a. u v = v u b. Pour tout nombre réel k, u (k v) = (k u) v = k ( u v) c. Pour trois vecteurs u, v et w de l espace : u ( v + w) = u v + u w Démonstration. Considérons les vecteurs u, v et w de coordonnées respectives a. b. c. u(x, y, z) ; v(x, y, z ) et w(x, y, z ) u v = xx + y y + zz = x x + y y + z z = v u u λ v = xλx + yλy + zλz = λxx + λy y + λzz = λ u v = λ ( xx + y y + zz ) = λ( u v) u ( v + w ) = x ( x + x ) + y ( y + y ) + z ( z + z ) = xx + xx + y y + y y + zz + zz = ( xx + y y + zz ) + ( xx + y y + zz ) = u v + u w Soient u et v deux vecteurs de l espace, alors Conséquences 1 a. ( u + v ) 2 = u u v + v 2 b. ( u v ) 2 = u 2 2 u v + v 2 c. ( u + v ) ( u v ) = u 2 v 2 = u 2 v 2 Démonstration. a. ( u + v ) 2 = ( u + v ) ( u + v ) = u ( u + v ) + v ( u + v ) = u 2 + u v + v u + v 2 = u u v + v 2 Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 333

10 b. ( u v ) 2 = ( u v ) ( u v ) = u ( u v ) v ( u v ) = u 2 u v v u + v 2 = u 2 2 u v + v 2 c. ( u + v ) ( u v ) = u ( u v ) + v ( u v ) = u 2 u v + v u v 2 = u 2 v 2 Exercice 4 On considère un tétraèdre ABCD régulier d arête a, c est à dire un tétraèdre dont chaque face est un triangle équilatéral de côté a Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. D A C B Solution Démontrons ce résultat pour les arêtes [A, C] et [B, D]. Montrons que les vecteurs AC et BD sont orthogonaux. AC ( ) BD = AB + BC BD = AB BD + BC BD = BA BD + BC BD De plus : Et Ainsi : BA BD = BA BD cos π 3 = a2 2 BC BD = BC BD cos π 3 = a2 2 AC BD = a2 2 + a2 2 = 0 Exercice 5 On considère un cube ABCDEFGH dont les sommets sont disposés comme sur la figure cidessous. Les vecteurs AH et CE sont-ils orthogonaux? 334 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

11 F G E H B C A D Solution ( ) AH CE = AH CD + DE = AH CD + AH DE Or AH ( ) CD = AD + DH CD = AD CD + DH CD = = 0 et AH DE = 0 car se sont les diagonales d un carré il vient AH CE = AH CD + AH DE = = 0 Ce qui signifie que les vecteurs AH et CE sont orthogonaux. c) Sphère Comme pour le cercle dans le plan, l ensemble des points équidistants d un point fixe dans l espace sera une sphère. Définition 5 On appelle sphère de centre Ω et de rayon r, l ensemble des points de l espace situés à la distance r du point Ω a. Une sphère S de centre Ω(x 0, y 0, z 0 ) et de rayon r admet une équation de la forme : Propriété 5 (x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + (z z0 ) 2 = r 2 b. La sphère S de diamètre [A, B] est l ensemble des points M tels que : MA MB = 0 Démonstration. Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 335

12 a. M(x; y; z) S ΩM 2 = r 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2 b. Soit Ω le milieu de [A, B], et soit r = ΩA alors : MA ( ) ( ) MB = MΩ + ΩA MΩ + ΩB ( ) ( ) = MΩ + ΩA MΩ ΩA On en déduit que = MΩ 2 ΩA 2 = MΩ 2 r 2 M S MΩ 2 = r 2 MΩ 2 r 2 = 0 MA MB = 0 Exercice 6 Déterminer l équation de la sphère S de diamètre [A, B] avec A(0, 0, 1) et B(1, 2, 3). Préciser son centre Ω et son rayon r. Solution D après la propriété précédente on a : M(x; y; z) S MA MB = 0 x(1 x) y(2 y) + (1 z)(3 z) = 0 x + x 2 2y + y z 3z + z 2 = 0 x 2 x + y 2 2y + z 2 4z + 3 = 0 x 2 + y 2 + z 2 x 2y 4z + 3 = 0 ( ) 1 S est la sphère de centre Ω 2, 1, 1 et de rayon r = Applications du produit scalaire 2 1 Vecteur normal à un plan a) Définition Définition 6 Vecteur normal à un plan On dit que le vecteur non nul AB est normal au plan P si la droite (AB) est perpendiculaire à ce plan. Un vecteur normal à un plan P est un vecteur non nul n dont la direction est orthogonale au plan P. 336 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

13 Propriété 6 Deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires Démonstration. En effet, cela signifie que la direction de chacun des deux vecteurs est orthogonales au plan P. Ce qui signifie qu ils ont la même direction et donc qu ils sont colinéaires B A P Propriété 7 a. Un vecteur non nul u est normal à un plan P si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs ı et j non colinéaires du plan P : u ı = u j = 0 b. Dans ce cas u est orthogonal à tout vecteur du plan P. Démonstration. a. Posons u = AB, par définition, u est normal au plan P si et seulement si la droite (AB) est perpendiculaire à ce plan. Par définition cela signifie que la droite (AB) est perpendiculaire à deux droites sécantes (d) et (d ) de ce plan, dirigées respectivement par ı et j. Ou encore que u = AB est orthogonal à ı et j et donc que u ı = u j = 0 b. Soit w un vecteur quelconque de ce plan P, on peut alors exprimer w sous la forme d une combinaison linéaire de ı et j : w = x ı + y j d où u w = u ( x ı + y j ) = u x ı + u x j = x u ı + y u j = x 0 + y 0 = 0 u est donc orthogonal à tout vecteur de P Une conséquence immédiate de cette propriété est la preuve de la propriété du chapitre VI Propriété 8 Une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 337

14 Démonstration. La partie directe est évidente : si une droite est orthogonale à toute droite d un plan c est qu elle est orthogonale à au moins deux droites sécantes de ce plan. Supposons maintenant qu une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes (d 1 ) et (d 2 ) du plan P. Soient d, d 1 et d 2 des vecteurs directeurs de (d), (d 1 ) et (d 2 ), et soit (δ) une droite quelconque de P dirigée par u. Comme (d) est orthogonale à (d 1 ) et (d 2 ), il s ensuit que d d1 et que d d 2 Les droites (d 1 ) et (d 2 ) étant sécantes, on en déduit que les vecteurs d 1 et d 2 ne sont pas colinéaires. d est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, d après la propriété précédente il est orthogonale à tous les vecteurs de P et donc en particulier à u d étant orthogonal à u cela entraine que les droites (d) et ( ) sont orthogonales : La droite ( ) étant quelconque, cela signifie que (d) est orthogonale à toute droite du plan P b) Applications à l orthogonalité dans l espace a. Deux droites (D) et (D ) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs d et d sont orthogonaux. Propriété 9 b. Une droites (D) de vecteur directeur d est orthogonal à un plan P de vecteur normal n si et seulement si d et n sont colinéaires. c. Deux plans P et P de vecteurs normaux respectifs n et n sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs n et n sont orthogonaux. Démonstration. a. Résulte directement de la définition de l orthogonalité de deux droites. b. Puisque (D) est orthogonale à P, cela signifie que le vecteur d qui dirige cette droite est normal à ce plan P et donc qu il est colinéaire à tout autre vecteur également normal n à ce plan, et réciproquement. c. On admettra ce dernier résultat. Exercice 7 On considère le cube ABCDEFGH d arête a ci dessous. Le AG est-il normal au plan (BCE)? Solution H G E F D C A B 338 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

15 On détermine les produits scalaires AG BE ainsi que AG BC D une part ( ) AG BE = AB + BF + FG BE = AB BE + BF BE + FG BE = BA BE + a = a 2 + a = 0 d autre part ( ) AG BC = AB + BC + CG BC = AB BC + BC BC + CG BC = 0 + a = a 2 Comme AG BC 0, le vecteur AG n est pas normal au plan(bce) Il est possible de résoudre cet exercice en introduisant un repère convenablement choisi. 2 2 Équation cartésienne d un plan a) Propriété caractéristique Propriété 10 Soit A un point de l espace et n un vecteur non nul. L ensemble des points M tels que AM n = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n Démonstration. Si M appartient au plan P passant par A et de vecteur normal n alors le vecteur AM est un vecteur du plan P et il est donc orthogonal au vecteur n, d où Réciproquement supposons que AM n = 0 AM n = 0 et soit H le projeté orthogonal de M sur le plan P, alors ( ) AM n = AH + HM n = AH n + HM n Or AH est un vecteur du plan P il est donc orthogonal à n, d où donc AH n = 0 AM n = HM n Or H étant le projeté orthogonal de M sur le plan P, le vecteur HM est un vecteur normal à ce plan,il est donc colinéaire à n, d où HM n = HM n ou HM n = HM n Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 339

16 Or d où Soit Or n 0 et donc n 0, d où AM n = 0 HM n = 0 ou HM n = 0 HM n = 0 HM = 0 et donc M = H Ce qui signifie que le point M appartient au plan P d n P A M b) Application:Plan médiateur d un segment L analogue de la médiatrice d un segment dans le plan est le plan médiateur dans l espace. On peut le définir de la façon suivante Théorème 1 L ensemble des points équidistants des deux extrémités de d un segment [A, B] est un plan Π appelé plan médiateur de ce segment. C est le plan orthogonal au segment en son milieu. Démonstration. Soit M un point équidistant de A et de B, donc MA = MB d où MA 2 = MB 2 et donc MA 2 MB 2 = 0, or MA 2 MB 2 = 0 MA 2 MB 2 = 0 ( MA + MB ) ( MA MB ) = 0 2 MI BA = 0 où I désigne le milieu du segment [A, B]. En conclusion, M est équidistant de A et de B si et seulement si MI BA = 0 or cette égalité est la caractérisation vectorielle du plan Π passant par I et de vecteur normal BA, c est à dire du plan orthogonal au segment [A, B] en son milieu I. 340 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

17 c) Équation cartésienne d un plan a. Un plan P de vecteur normal n(a, b, c) P a une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0 Théorème 2 b. Réciproquement, l ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) (0, 0, 0) est un plan de vecteur normal n(a, b, c). Démonstration. a. Soit A ( x A ; y A ; z A ) un point du plan. M(x, y, z) appartient au plan P équivaut à AM n = 0 soit et donc Relation de la forme a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0 ax + by + cz (ax A + by A + cz A ) = 0 ax + by + cz + d = 0 avec d = (ax A + by A + cz A ) b. Réciproquement, considérons un point M(x, y, z) tel que ax + by + cz + d = 0 a, b, c et d étant quatre réels non tous nuls. Sans restreindre la généralité, nous pouvons supposer que a 0, il vient : ( ax + by + cz + d = 0 a x + d ) + by + cz = 0 (1) a Soit A le point de coordonnées ( da ), 0, 0 alors le vecteur AM a pour coordonnées AM (x + da ), y, z Soit n le vecteur de coordonnées (a, b, c), la relation (1) peut se traduire alors par ax + by + cz + d = 0 AM n = 0 D après la propriété 10, cela signifie que M est un point du plan de vecteur normal n et passant par A. Remarque. Notons que l équation d un plan n est pas unique. En effet si P : x + y + z = 1 alors P a aussi pour équation 2x + 2y + 2z = 2 Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 341

18 Exemple. Le plan (xoy) a pour équation z = 0, en effet : k(0, 0, 1) en est un vecteur normal, l équation de ce plan est donc de la forme 0 x + 0 y + 1 z + d = 0 Or O(0, 0, 0) appartient à ce plan, donc d = 0 Une équation du plan (xoy) est donc z = 0 De la même manière : Le plan (xoz) a pour équation y = 0. Le plan (yoz) a pour équation x = 0. y = x + 1 est l équation d un plan dans l espace, en effet : y = x + 1 x + y + 0z 1 = 0 C est l équation du plan de vecteur normal n ( 1, 1, 0) passant par le point A(0, 1, 0) Exercice 8 On considère le point A(1, 2, 3) et le vecteur n(1, 3, 1) Donner une équation cartésienne du plan P qui passe par A et de vecteur normal n. Solution Première méthode M(x, y, z) P AM n = 0 (x 1) 3(y 2) + (z 3) = 0 x 1 3y z 3 = 0 x 3y + z + 2 = 0 P a donc pour équation x 3y + z + 2 = 0 Seconde méthode Comme P a pour vecteur normal n(1, 3, 1) son équation cartésienne est de la forme Or ce plan passe par le point A(1, 2, 3), d où x 3y + z + d = d = 0 d = 2 P a donc pour équation x 3y + z + 2 = Positions relatives de droites et de plans a) Position relative d une droite et d un plan On considère un plan P de vecteur normal n et une droite ( ) de vecteur directeur d Propriété 11 a. ( ) et P sont parallèles, étant éventuellement incluse dans P, si et seulement si n et d sont orthogonaux. Ce qui signifie également que : b. ( ) et P sont sécants en un point I, si et seulement si n et d ne sont pas orthogonaux 342 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

19 ( ) d n ( ) d n P Une droite et un plan parallèles P Une droite et un plan sécants Exercice 9 On considère le plan P d équation 2x z = 0 ainsi que la droite (d) de représentation paramétrique Le plan P et la droite (d) sont-ils sécants? x = t 1 y = 3t z = 2 Si oui préciser les coordonnées de leur point d intersection Solution Soit n(2, 0, 1) un vecteur normal de P et u(1, 3, 0) un vecteur directeur de (d), puisque n u = ( 3) + ( 1) 0 = 2 n et u ne sont pas orthogonaux, le plan et la droite sont donc sécants. Soit I(x, y, z) leur point d intersection, remplaçons x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans l équation cartésienne du plan P, il vient 2(t 1) 2 = 0 2t 2 2 = 0 soit t = 2 Reportons cette valeur dans le système d équations paramétriques de la droite (d), il vient : x = 2 1, y = 3 2, z = 2 Le point d intersection de P et de (d) est le point I de coordonnées (1, 6, 2). b) Position relative de deux plans Théorème 3 a. Deux plans P et Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. b. Deux plans P et Q sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Remarque. Pour montrer que deux plans sont sécants, il suffit donc de montrer que ces deux plans ont des vecteurs normaux non colinéaires. Exercice 10 Dans un repère orthonormé, P et P sont les plans d équations respectives : Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 343

20 P n Q n n P n Q Deux plans parallèles Deux plans perpendiculaires Démontrer que P et P sont perpendiculaires. 2x + y 7 = 0 et 1 2 x + y z 6 = 0 Solution ( P a pour vecteur normal n (2, 1, 0) et P a pour vecteur normal n 1 1 2, 1, 3 ) 2 n ( 1, 2, 3). Calculons n n, il vient n n = 2 ( 1) = = 0 Les vecteurs n et n sont orthogonaux, les plans P et Q sont donc perpendiculaires. Exercice 11 Les plans P et Q d équations respectives : P : 2x + y z 2 = 0 et Q : x + 3y + 7z 11 = 0 sont-ils sécants? Si oui, donner une représentation paramétrique de la droite (d) intersection de P et Q ou encore Solution Montrons que P et Q sont sécants. n(2, 1, 1) est un vecteur normal de P et n (1, 3, 7) est un vecteur normal de Q. Les coordonnées de ces deux vecteurs n étant pas proportionnelles, ils ne sont pas colinéaires. P et Q sont donc deux plans sécants selon une droite (d). Pour déterminer un système d équations paramétriques de (d), on résous le système de deux équations à trois inconnues suivant { 2x + y z 2 = 0 (1) x + 3y + 7z 11 = 0 (2) De la première équation on peut exprimer y en fonction de x et de z, il vient y = 2x + z + 2 (3) En reportant cette expression dans l équation (2), nous obtenons x + 3( 2x + z + 2) + 7z 11 = Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

21 soit ou encore 5x + 10z 5 = 0 x + 2z 1 = 0 ce qui permet d exprimer x en fonction de z, il vient x = 2z 1 En reportant dans l équation (3), on exprime y en fonction de z uniquement y = 2(2z 1) + z + 2 soit y = 3z + 4 On peut donc calculer x et y à chaque fois que l on se donne une valeur quelconque de z, que l on peut appeler t par exemple. On obtient ainsi le système d équations paramétriques suivant x = 2t 1 y = 3t + 4 z = t L intersection de P et Q est la droite (d) dirigée par u (2, 3, 1) et passant par le point A(0 1, 4, 0) Exercice Quelle est l équation générale d un plan parallèle au plan (xoy)? 2. Quelle est l équation générale d un plan perpendiculaire au plan (xoy)? Solution 1. Le plan (xoy) a pour équation z = 0 et le plan P cherché a une équation du type : ax + by + cz + d D après le corollaire précédent on sait que (a, b, c) et (0, 0, 1) sont proportionnels, donc a = 0 et b = 0, par conséquent le plan P a une équation du type (avec c 0) : cz + d = 0 z = d c 2. Soit P un tel plan de vecteur normal n(a, b, c), il a donc une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0 (xoy) a pour équation z = 0 et donc pour vecteur normal n (0, 0, 1), d où P ( xoy ) n n = 0 0a + 0b + c = 0 c = 0 Le plan P a donc une équation de la forme : ax + by + d = 0 Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 345

22 Exercice 13 On donne les équations cartésiennes de deux plans : 1. Montrer que ces plans sont sécants. P : x 4y + 7 = 0 et Q : x + 2y z + 1 = 0 2. Soit (d) leur droite d intersection. Déterminer un vecteur directeur de (d). Solution 1. Le vecteur n(1, 4, 0) est un vecteur normal au plan P, et le vecteur n (1, 2, 1) est un vecteur normal au plan Q. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, ils ne sont donc pas colinéaires. Par conséquent les plans P et Q sont sécants selon une droite (d). 2. Soit M(x, y, z) un point de P et de Q, ses coordonnées vérifient le système : { x 4y + 7 = 0 x + 2y z + 1 = 0 Exprimons x en fonction de y et z en fonction de x et de y, il vient : { x = 4y 7 z = x + 2y + 1 On peut alors exprimer uniquement x et z en fonction de y { x = 4y 7 z = 4y 7 + 2y + 1 soit { x = 4y 7 z = 6y 6 Ce qui signifie qu à chaque valeur quelconque t de y, on peut calculer les valeurs de x et de z correspondantes. On obtient alors le système d équations paramétriques x = 4t 7 y = t z = 6t 6 Ce système est une représentation paramétrique de la droite (d) dirigée par u(4, 1, 6) et passant par A( 7, 0, 6) 346 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

23 2 4 Compléments a) Position relative de trois plans On considère trois plans P, Q et R. Il existe diverses situations, en voici quelques-unes : Q R Q R Q R P P P Trois plans dont l intersection est vide Trois plans dont l intersection est une droite Trois plans concourants en un point Exercice 14 Déterminer l intersection des plans P, Q et R avec : P : 2x + 3y 2z 2 = 0 ou Q : 4x 3y + z 4 = 0 ou R : 2x + 12y 7z 2 = 0 Solution M(x, y, z) appartient à l intersection des trois plans si et seulement si x, y et z vérifient le système De la deuxième équation on tire : 2x + 3y 2z = 2 (1) 4x 3y + z = 4 (2) 2x + 12y 7z = 2 (3) z = 4 4x + 3y en reportant dans les équations (1) et (3) il vient : { 2x + 3y 2(4 4x + 3y) = 2 2x + 12y 7(4 4x + 3y) = 2 Soit { 10x 3y 10 = 0 30x 9y 30 = 0 Ces deux équations sont équivalentes à l unique équation x = 3 10 y + 1 Au lieu de poser y = t, posons y = 10t ce qui permettra d exprimer x en fonction de t sans dénominateur, d où : x = 3t + 1 et z = 18t Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 347

24 Ainsi, les solutions du système sont les triplets x, y, z tels que : x = 3t + 1 y = 10t z = 18t On obtient ainsi une représentation paramétrique de la droite passant par A(1, 0, 0) et dirigée par u(3, 10, 18). t R b) Distance d un point à un plan Soit A le point de coordonnées ( xa ; y A ; z A ) et P le plan d équation ax + by + cz + d = 0 On veut déterminer la distance entre le point A et le plan P? Notons H ( ) x H, y H, z H le projeté orthogonal du point A sur le plan P. On sait que le vecteur n de coordonnées (a, b, c) est un vecteur normal au plan P. Les vecteurs n et AH sont donc colinéaires. Il s ensuit qu il existe un réel t tel que : Par conséquent AH = t n AH n = AH n (1) n A d(a, P) P H d où Comme le point H ( x H, y H, z H ) appartient au plan P, il s ensuit que Au final : et donc ax H + by H + cz H + d = 0 AH n = a (x H x A ) + b ( y H y A ) + c (zh z A ) = ( ax A + by A + cz A + d ) (2) AH = AH n = axa + by A + cz A + d axa + by A + cz A + d n = axa + by A + cz A + d a 2 + b 2 + c 2 Exercice 15 Calculer la distance du point A au plan P dans les deux cas suivants : 1. A(1, 1, 1) et P est le plan d équation 2x + y z 3 = A(2, 1, 0) et P est le plan passant par l origine du repère, de vecteur normal n(1, 1, 1). 348 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

25 Résumé Produit scalaire dans l espace a. Si l un des deux vecteurs u ou v est nul alors leur produit scalaire est nul. b. Soit u et v deux vecteurs et A, B et C trois points de l espace tels que u = AB et v = AC Le produit scalaire de u et v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC calculé dans un plan P qui contient les points A, B et C. c. Soient u et v deux vecteurs non nuls u v = AB AC cos BAC = u v cos( u, v) Définition 1 d. Si, dans le plan P, le point H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) alors u v = AB AC = AB AH e. u v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2) f. On appelle carré scalaire d un vecteur u, le produit scalaire de u par lui même, on note u 2 = u u = u 2 Propriété 1 Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Soient u et v deux vecteurs non nuls colinéaires, alors a. Si u et v sont de même sens u v = u v b. Si u et v sont de sens contraires u v = u v Dans tout ce qui suit l espace est muni d un repère orthonormé Propriété 2 Expression analytique du produit scalaire a. Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y, z) et ( x, y, z ) alors on a : u v = xx + y y + zz b. u et v sont orthogonaux si et seulement si xx + y y + zz = 0 Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 349

26 Propriété 3 Pour tous vecteurs u, v et w de l espace et tout nombre réel k a. u v = v u b. u (k v) = (k u) v = k ( u v) c. u ( v + w) = u v + u w d. ( u + v ) 2 = u u v + v 2 e. ( u v ) 2 = u 2 2 u v + v 2 f. ( u + v ) ( u v ) = u 2 v 2 = u 2 v 2 Définition 2 On appelle sphère de centre Ω et de rayon r, l ensemble des points de l espace situés à la distance r du point Ω a. Une sphère S de centre Ω(x 0, y 0, z 0 ) et de rayon r admet une équation de la forme : Propriété 4 (x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + (z z0 ) 2 = r 2 b. La sphère S de diamètre [A, B] est l ensemble des points M tels que : MA MB = 0 Applications du produit scalaire Définition 3 Vecteur normal à un plan On dit que le vecteur non nul AB est normal au plan P si la droite (AB) est perpendiculaire à ce plan. Un vecteur normal à un plan P est un vecteur non nul n dont la direction est orthogonale au plan P. Propriété 5 Deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires Propriété 6 a. Un vecteur non nul u est normal à un plan P si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs ı et j non colinéaires du plan P : u ı = u j = 0 b. Dans ce cas u est orthogonal à tout vecteur du plan P. Propriété 7 Une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan 350 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

27 a. Deux droites (D) et (D ) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs d et d sont orthogonaux. Propriété 8 b. Une droites (D) de vecteur directeur d est orthogonal à un plan P de vecteur normal n si et seulement si d et n sont colinéaires. c. Deux plans P et P de vecteurs normaux respectifs n et n sont orthogonaux si et seulement si les vecteurs n et n sont orthogonaux. Propriété 9 Soit A un point de l espace et n un vecteur non nul. L ensemble des points M tels que AM n = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n Théorème 1 L ensemble des points équidistants des deux extrémités de d un segment [A, B] est un plan Π appelé plan médiateur de ce segment. C est le plan orthogonal au segment en son milieu. a. Soit un plan P de vecteur normal n(a, b, c) alors P a une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0 Théorème 2 b. Réciproquement, l ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) (0, 0, 0) est un plan de vecteur normal n(a, b, c). Propriété 10 a. ( ) et P sont parallèles, étant éventuellement incluse dans P, si et seulement si n et d sont orthogonaux. b. ( ) et P sont sécants en un point I, si et seulement si n et d ne sont pas orthogonaux Propriété 11 a. Deux plans P et Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. b. Deux plans P et Q sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 351

28 Démonstrations du cours Démonstration exigible Prérequis (i) On dit qu une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droite sécantes de ce plan Théorème 1 (ii) Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Démontrer qu une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Démonstration. Si une droite est orthogonale à toute droite d un plan c est qu elle est orthogonale au moins à deux droites sécantes de ce plan, d après (i) elle est donc orthogonale au plan. Supposons qu une droite ( ) dirigée par un vecteur v soit orthogonale à un plan P, alors d après (i) elle est orthogonale à deux droites sécantes (d 1 ) et (d 2 ) dirigées respectivement par u 1 et u 2. Comme (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes, les vecteurs u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires, et ils forment une base de ce plan. Considérons une droite (D) quelconque de ce plan dirigée par un vecteur w. Comme u 1 et u 2 forment une base de ce plan, il existe deux réels x et y tels que w = x u 1 + y u 2 d où u w = x u u 1 + y u u 2 Or ( ) est orthogonale à (d 1 ) et (d 2 ), donc d après (ii) u u 1 = u u 2 = 0 Il s ensuit que u w = 0 et donc que (D) et ( ) sont orthogonales 352 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

29 Démonstration exigible Prérequis Soit A un point de l espace et n un vecteur non nul. L ensemble des points M tels que AM n = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal n Théorème 2 Démontrer que a. Un plan P de vecteur normal n(a, b, c) P a une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0 b. Réciproquement, l ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a, b, c) (0, 0, 0) est un plan de vecteur normal n(a, b, c). Démonstration. a. Soit A ( x A ; y A ; z A ) un point du plan. M(x, y, z) appartient au plan P équivaut à AM n = 0 soit et donc Relation de la forme a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0 ax + by + cz (ax A + by A + cz A ) = 0 ax + by + cz + d = 0 avec d = (ax A + by A + cz A ) b. Réciproquement, considérons un point M(x, y, z) tel que ax + by + cz + d = 0 a, b, c et d étant quatre réels non tous nuls. Sans restreindre la généralité, nous pouvons supposer que a 0, il vient : ( ax + by + cz + d = 0 a x + d ) + by + cz = 0 (1) a Soit A le point de coordonnées ( da ), 0, 0 alors le vecteur AM a pour coordonnées AM (x + da ), y, z Soit n le vecteur de coordonnées (a, b, c), la relation (1) peut se traduire alors par ax + by + cz + d = 0 AM n = 0 D après la propriété 10, cela signifie que M est un point du plan de vecteur normal n et passant par A. Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 353

30 Exercices Si nécessaire, l espace est muni d un repère orthonormé (O, i, j, k) Pour les exercices 1 et 2 on donne le cube ABCDEFGH d arête a où les sommets sont ordonnés comme dans la figure ci-dessous E A H D 1 Calculer, dans chaque cas, u v en fonction de a : 1. a) u = EB, v = AD b) u = EA, v = CH. 2. a) u = HF, v = DG b) u = EG, v = CH. 2 L espace est rapporté au repère orthonormal ( A ; AB, AD, ) AE et on désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [B, C], [B, F] et [H, F]. 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. Démontrer que le vecteur n (2 ; 1 ; 1) est orthogonal aux vecteurs IK et IJ. En déduire qu une équation du plan (IJK) est : F B 4x + 2y + 2z 5 = 0 3. (a) Déterminer un système d équations paramétriques de la droite (CD). (b) En déduire que le point d intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées ( 3 4 ; 1 ; 0). (c) Placer le point R sur la figure. 4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). 3 On considère les points A(3, 4, 2) ; B(1, 6, 0) ; C( 2, 2, 1) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 4 ABCD est un tétraèdre régulier de côté a, et on note G son centre de gravité. 1. Démontrer que a 2 AB AC = AC AD = AD AB = 2 et qu il en est de même pour les autres sommets. G C 2. Démontrer que deux arêtes opposés sont orthogonales 3. Soit A le centre de gravité du triangle BCD. Exprimer AG en fonction de AA 5 ABCDEFGH est un cube de côté égal à 1. On considère le repère (A, AB, AD, AE ). I est le centre du carré EFGH et J celui du carré BCGF. 1. Faire une figure. 2. Préciser les coordonnées de I et J. 3. Calculer les distances AI, AJ et IJ. 4. Calculer le produit scalaire AI AJ et en déduire une mesure de l angle ( AI, AJ) 6 Soient les points A(2, 0, 3), B(0, 4, 3), C(0, 0, 3) et D(0, 0, 3). 1. Démontrer que le triangle BCD est rectangle en D et calculer son aire. 2. Démontrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BCD). 3. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume d un tétraèdre est égal au tiers du produit de l aire de base par la hauteur. 7 Donner une équation cartésienne du plan passant par A et de vecteur normal n dans chacun des cas suivants. 1. A(3, 1, 2) et n (1, 0, 4) a) A(1, 1, 0) et n (1, 1, 2) 2. Donner un point et un vecteur normal au plan d équation a) 3x 5y + z 1 = 0 b) x = y c) y = 2x 1 d) 3z x 3 = 0 3. Donner un système d équations paramètriques de la droite (D) orthogonale au plan d équation 2x z + 1 = 0 et qui passe par le point A( 2, 1, 0) 4. Donner une équation cartésienne du plan d équations x = 1 + t 2t paramètriques y = 2 3t + t z = 1 t + 2t 5. Donner un système d équations paramètriques du plan d équation 3x 2y + z 3 = 0 8 Étudier l intersection des ensembles de points suivants. x = 1 + t t 1. Le plan d équations paramétriques y = 2 3t + t z = 1 t + 2t et celui d équation cartésienne 2x 3y + 2z 1 = Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

31 2. Le plan d équation 2x+y z = 0 et la droite d équations x = 2 + 3t paramètriques y = t z = 4 t 3. Les deux plans d équations 2x y + 1 = 0 et 3y z 2 = 0 4. Les trois plans d équations x y + 3z = 1 ; 8x + 5y 2z = 0 et 7x 6y + 5z = 8 9 On considère les points B, C et D de coordonnées B(1, 2, 2) ; C(3, 1, 3) ; D(2, 4, 2) 1. Vérifier que les points B, C et D ne sont pas alignés. 2. Soient A et E les points de coordonnées A(3, 0, 2) et E(1, 1, 1) La droite (AE) est-elle orthogonale au plan (BCD)? 3. Montrer que B, C, D et E sont coplanaires. 4. Quel est le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD)? 10 Donner une équation cartésienne du plan passant par A et admettant n comme vecteur normal 1. A(3, 1, 2) et n(1, 0, 4) 2. A(1, 1, 0) et n(1, 1, 2) 3. A( 2, 1, 2) et n = i + j ( 1 4. A(3, 4, 5) et n 3 ; 1 4 ; 1 ) 5 11 Vérifier que chaque équation proposée est l équation cartésienne d un plan et trouver un point de ce plan et un vecteur normal : 1. 3x 5y + z 1 = 0 2. x = y 3. 3z x 3 = 0 4. y = 2x Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan P (déterminer d abord un point de ce plan et un vecteur normal) : 1. P est le plan médiateur du segment [A, B] avec A( 1, 3, 1) et B(0, 5, 3). 2. P est le plan orthogonal à la droite (AC) passant par l orthocentre du triangle ABC avec A(3, 0, 4), B( 1, 1, 1) et C(2, 0, 0). 13 On considère : les points A(1, 1, 1) et B(3, 2, 0) ; le plan P passant par le point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ; le plan Q d équation : x y + 2z + 4 = 0 ; la sphère S de centre A et de rayon AB. 1. Montrer qu une équation cartésienne du plan P est : 2x + y z 8 = 0 2. Déterminer une équation de la sphère S. 3. On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan Q, noté C, a pour coordonnées (0, 2, 1). (a) Prouver que les plans P et Q sont sécants. (b) Soit D l intersection des plans P et P. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (c) Vérifier que le point A n appartient pas à la droite D (d) On appelle R le plan défini par le point A et la droite D. L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? «Tout point du plan R est équidistant des points B et C». Justifier votre réponse. 14 On note (D) la droite passant par les points A(1, 2, 1) et B(3, 5, 2). 1. Montrer qu une représentation paramétrique de la droite D est : x = 1 + 2t y = 2 3t z = 1 t 2. On note D la droite ayant pour représentation paramétrique : x = 2 k y = 1 + 2k z = k Montrer que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan P d équation 4x + y +5z +3 = 0. (a) Montrer que le plan P contient la droite D. (b) Montrer que le plan P et la droite D se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. 4. On considère la droite ( ) passant par le point C et de vecteur directeur w (1, 1, 1). (a) Montrer que les droites ( ) et D sont perpendiculaires. (b) Montrer que la droite ( ) coupe perpendiculairement la droite D en un point E dont on précisera les coordonnées. Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 355

32 15 Répondre par Vrai ou Faux en justifiant 1. On considère les droites (D 1 ) et (D 2 ) de représentations paramétriques : (D 1 ) x = 1 + 2t y = 3t z = 1 + t et (D 2 ) x = 1 2t y = 5 t z = 2 + t Les droites (D 1 ) et (D 2 ) sont orthogonales. 2. On considère le point A de coordonnées (2, 1, 3) et la droite (D) de représentation paramétrique : (D) x = 1 + 4t y = 2 + 2t z = 3 2t Le plan (P) contenant le point A et orthogonal à la droite (D) a pour équation : 2x + y z = Répondre par Vrai ou Faux en justifiant 1. La droite de représentation paramétrique x = t + 2 y = 2t z = 3t 1 est parallèle au plan dont une équation cartésienne est : x + 2y + z 3 = 0 2. Les plans P, P, P d équations respectives x 2y + 3z = 3, 2x + 3y 2z = 6 et 4x y + 4z = 12 n ont pas de point commun. 3. Les droites de représentations paramétriques respectives x = 2 3t y = 1 + t z = 3 + 2t et x = 7 + 2u y = 2 + 2u z = 6 u sécantes. 4. On considère les points : A( 1, 0, 2), B(1, 4, 0) et C(3, 4, 2). Le plan (ABC) a pour équation x + z = Partie A sont On considère les points A de coordonnées (3 ; 2 ; 2), B de coordonnées (6 ; 2 ; 1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ; 1). 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l aire du triangle ABC. 2. Vérifier que le vecteur n de coordonnées (1 ; 2 ; 1) est normal au plan (ABC). Déterminer une équation du plan (ABC). 3. Calculer la distance du point D au plan (ABC). 4. Déterminer un système d équations paramétriques de la droite ( ) passant par D et dirigée par n 5. Déterminer les coordonnées du point d intersection du plan (ABC) et de la droite ( ) Partie B Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. Soit Q le plan d équation x 2y + z 5 = Déterminer la position relative des deux plans Q et (ABC). 2. Q coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment [DA]. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. 18 Soient les quatre points A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 2 ; 0), C(1 ; 3 ; 0) et D(1 ; 2 ; 1) (P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. 1. Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne x y + 1 = 0. On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne y+z+2 = 0 et que le plan (R) a pour équation cartésienne x + z + 1 = (a) Résoudre le système : x y + 1 = 0 y + z + 2 = 0 x + z + 1 = 0 (b) En déduire que l intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2 ; 3 ; 1). (c) Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD). 19 On considère les trois plans P 1 d équation x + y z = 0 P 2 d équation 2x + y + z 3 = 0, P 3 d équation x + 2y 4z + 3 = Justifier que les plans P 1 et P 2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d interseclion, notée. 2. En déduire la nature de l intersection P 1 P 2 P Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO

33 20 1. On considère le point A de coordonnées ( 2 ; 8 ; 4) et le vecteur u de coordonnées (1 ; 5 ; 1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur u. 2. On considère les plans (P) et (Q) d équations cartésiennes respectives x y z = 7 et x 2z = 11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d intersection, notée (d ). Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de (d ). 3. Démontrer que les droites (d) et (d ) ne sont pas coplanaires. 4. On considère le point H de coordonnées ( 3 ; 3 ; 5) et le point H de coordonnées (3 ; 0 ; 4). (a) Vérifier que H appartient à (d) et que H appartient à (d ). (b) Démontrer que la droite (HH ) est perpendiculaire aux droites (d) et (d ). (c) Calculer la distance entre les droites (d) et (d ), i.e la distance HH. 5. Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MH HH = Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) (0, 0, 0). Soit P le plan d équation ax + by + cz + d = 0. On considère le point I de coordonnées ( ) x 1, y 1, z 1 et le vecteur n de coordonnées (a, b, c). Le but de cette partie est de démontrer que la distance ax1 + by 1 + cz 1 + d de I au plan P est égale à. a 2 + b 2 + c 2 1. Soit la droite passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer, en fonction de a, b, c, x 1, y 1 et z 1, un système d équations paramétriques de. 2. On note H le point d intersection de et P. (a) Justifier qu il existe un réel k tel que IH = k n. (b) Déterminer l expression de k en fonction de a, b, c, d, x 1, y 1 et z 1. ax1 + by 1 + cz 1 + d (c) En déduire que IH =. a 2 + b 2 + c 2 Partie B Le plan Q d équation x y+z 11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées (1, 1, 3). 1. Déterminer le rayon de la sphère S. 2. Déterminer un système d équations paramétriques de la droite passant par Ω et orthogonale au plan Q 3. En déduire les coordonnées du point d intersection de la sphère S et du plan Q. 22 On considère : les points A(1,2,3) et B(2, 1,2) x = 3 λ x les droites D 1 : y = 1 + 2λ et D 2 : y z = 1 + λ z x = 1 2λ + 3µ les plans P 1 : y = 2 + λ + µ z = 4 λ 2µ P 2 : 2x y + 3z 1 = 0 et P 3 : x + 2z 4 = 0. = 1 + 3λ = 2λ = 3 + 5λ 1. Montrer que P 1 est bien un plan dont on donnera une équation cartésienne. 2. Donner une équation cartésienne du plan passant par A et contenant D Donner une représentation paramétrique de P 2 P Donner une équation cartésienne du plan contenant D 1 et tel que D 2 lui soit parallèle. 5. Déterminer l intersection de P 1 et de la droite (AB). 23 On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3, 4, 1) et dont un vecteur directeur est u (1, 3, 1). On considère la droite D dont une représentation paramétrique est : y = 2 + t x = 1 t z = 1 t On admet qu il existe une unique droite perpendiculaire aux droites D et D. On note H le point d intersection des droites D et, H le point d intersection des droites D et. On appelle P le plan contenant la droite D et la droite. On admet que le plan P et la droite D sont sécants en H. 1. Soit w de coordonnées (1 ; 0 ; 1). Démontrer que w est une vecteur directeur de la droite. 2. Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3). (a) Démontrer que le vecteur n est normal au plan P. (b) Montrer qu une équation cartésienne du plan P est 3x + 2y + 3z 4 = (a) Démontrer que le point H a pour coordonnées ( 1 ; 2 ; 1). (b) En déduire une représentation paramétrique de la droite. 4. (a) Déterminer les coordonnées du point H. (b) Calculer la longueur HH. 5. (a) Montrer que MM peut s écrire comme la somme de HH et d un vecteur orthogonal à HH. (b) En déduire que MM 2 HH 2 et conclure. Francis CORTADO Sommaire chapitre 8 357

34 (c) À quoi correspond la distance HH? 24 Dans l espace on donne les trois points : A(1 ; 2 ; 1),B( 3 ; 2 ; 3) et C(0 ; 2 ; 3) 1. a) Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b) Démontrer que le vecteur n (2 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). 2. Soit (P) le plan dont une équation cartésienne est x + y z + 2 = 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires. 25 P est le plan passant par A(3 ; 1 ; 2) et de vecteur normal n (1 ; 4 ; 1) D est la droite passant par B(1 ; 4 ; 2) de vecteur directeur u (1 ; 1 ; 3) S est la sphère de centre Ω(1 ; 9 ; 0) passant par A. 1. Intersection du plan P et de la droite D. (a) Démontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x 4y + z 1 = 0. (b) Montrer que la droite D est strictement parallèle au plan P. 2. Intersection du plan P et de la sphère S. (a) Calculer la distance d du point Ω au plan P. (b) Calculer le rayon de la sphère S. En déduire l intersection du plan P et de la sphère S. 3. Intersection de la droite D et de la sphère S. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. (b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère S. (c) En déduire que la droite D coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. 2. On considère la droite perpendiculaire commune à D et D. Prouver qu il existe deux réels b et c tels que le vecteur w = b j +c k soit un vecteur directeur de. 3. (a) Vérifier que le plan P d équation : 3y +z = 0 est un plan contenant la droite D. (b) Déterminer les coordonnées du point d intersection J de la droite D et du plan P. (c) Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur w est sécante à D en un point I et qu elle est la perpendiculaire commune à D et D. (d) En déduire la distance de D à D. 27 Soit (P) le plan d équation : 3x + y z 1 = 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est x = t + 1 y = 2t z = t (a) Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P)? Justifier. (b) Démontrer que la droite (D) est incluse dans le plan (P). 2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D). (a) Déterminer une équation cartésienne de (Q). (b) Calculer les coordonnées du point I, point d intersection du plan (Q) et de la droite (D). 3. Soit t un nombre réel et M t le point de la droite (D) de coordonnées ( t + 1 ; 2t ; t + 2). 26 On admet que si D et D sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite perpendiculaire à D et D. Si coupe D en le point I et D en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D. On note D l axe des abscisses et D, la droite de représentation paramétrique y = 3 + 3t x = t z = 1 t 1. Justifier que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 358 Sommaire chapitre 8 Francis CORTADO