Entraînement pour les CPGE

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1 Entraînement pour les CPGE Les enseignants du lycée Dupuy de Lôme Classe de seconde A. Calculs numériques Eercice. [solution] Été 0 Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : Eercice. [solution] A = + B = + C = 9 + D = 9 E = + ) F = ) + ) G = H = 5 0 I = + 5 J = 6 ) + 5 ) Déterminer les ensembles suivants : Eercice. [solution] A = ].;[ [;.9] B = [.;0] [.9;+ [ C = ] ;] ] 6;+ [ D = ] ;+ [ [0;+ [ E = [ ;0[ [0;+ [ F = ].;[ [;.9] G = [.;0] [.9;+ [ H = ] ;] ] 6;+ [ I = ] ;+ [ [0;+ [ J = [ ;0[ [0;+ [ Par définition, un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à et n ayant que deu diviseurs : et lui-même. Par eemple, par lecture inverse des tables de multiplication, on peut écrire : 56 = 8 = et 50 = 5 0 = 5.. écrire les nombres suivants sous forme d un produit de puissances de nombres premiers : A = 00 B = 6 8 C = 8 56 D = 900. écrire les nombres suivants sous la forme d un quotient de puissances de nombres premiers : Eercice. [solution] A = B = C = ) ) Simplifier et donner le résultat sous la forme d un produit ou d un quotient de puissances à eposants positifs : a b ) c A = B = C = D = E = Eercice 5. [solution] a b a) 5 b c b c) a a b ) c 5 a Développer et simplifier : ) A = 5 B = B. Calcul littéral Eercice 6. [solution] b c) a ab ) ab ) a b ) a c 5 a bc ) a b ) a b ) ab ) ) C = ) Développer, réduire et ordonner : A ) = + ) + 5 ) B ) = + )65 + ) ) C ) = + ) + 5) ) ) ) D ) = + E ) = ) ) + )

2 Eercice. [solution] Factoriser les epressions suivantes sous la forme d un produit de facteurs de premier degré : Eercice 8. [solution] A = ) ) B = ) 5 + ) C = + ) ) D = écrire les epressions suivantes sous la forme d un quotient après avoir précisé les valeurs interdites : Eercice 9. [solution] A = + B = C = 5 + Simplifier une epression rationnelle, c est diviser numérateur et dénominateur par le même facteur. Eemple : ) + ) ) + ) = + ) + ) = Attention : Ne pas oublier de préciser les valeurs interdites. Ici 0 et sont interdites. Simplifier les epressions rationnelles suivantes si possible en précisant les valeurs interdites. A = Eercice 0. [solution] ) B = + + ) C = + ) + ) D = + ) 5) + ) ) Résoudre les équations suivantes, on précisera l ensemble des solutions : 5 + ) = 0 ) = ) 9 = 0 ) + ) 5 ) = 0 ) ) = 5) 5 = 0 6) = 0 ) + = 8) + ) = + ) 9) Eercice. [solution] Résoudre les équations proposées à l aide d une factorisation s il y a lieu : Eercice. [solution] 5 + ) = 0 0) ) + + ) = 0 ) 5 + ) = ) ) Résoudre les équations comportant des epressions rationnelles : C. Fonctions ) Eercice. [solution] + + = 0 ) = ) = 0 5) = = ) + ) 6) ) On considère la fonction f définie sur les réels par : f ) = ).. Calculer les images de 5, et + par la fonction f.. Déterminer les antécédents de 0 par f.. Déterminer les antécédentes de par f. Eercice. [solution] Parmi les fonctions suivantes, reconnaitre les fonctions affines. On indiquera le coefficient dans ce cas et l ordonnée à l origine. Eercice 5. [solution] + ) 8) ) 0) ) ) ) + ) Déterminer la fonction affine f dont la courbe représentative C f passe par les points A ; ) et B 8 ; ). Eercice 6. [solution]

3 Effectuer les calculs suivants comportant des valeurs absolues : A = 5 + B = 0 0 C = 5 Eercice. [solution] ) 5 ). Simplifier : S = 5 + Eercice 8. [solution] Résoudre dans R :. f ) = + avec [0;].. f ) = ) avec [0;].. f ) = [ avec ; ]. Eercice. [solution] Résoudre les équations suivantes : = 0 0) = 0 ) + = ) = ) = ) ) 5 > 5) + 5 6) + > ) = + 8) = 9) Eercice. [solution] Résoudre les inéquations suivantes : 0 ) ) ) < 6) + ) 8 ) Eercice 9. [solution] On considère la fonction f définie sur R par : f ) = 8 +. étudier le signe de et en déduire une epression de f ) sans valeur absolue, suivant la valeur de.. Tracer la courbe représentative de f.. Résoudre algébriquement en s appuyant sur le graphique) : f ) = 0) f ) = ). Déterminer la fonction affine g prenant les mêmes valeurs que f en et en. Résoudre graphiquement f ) g ). Eercice 0. [solution] Résoudre les inéquations suivantes : 9 ) 0 < 5 ) ) ) 9 5) 6 ) < 5 6) ) + 8 ) + ) + 5 > 0 8) < 5 ) + < 0 9) Eercice. [solution] Par un raisonnement à support graphique, résoudre les inéquations suivantes : < 8) > 0 9) 00 50) 0 5) 5) Eercice 5. [solution] Pour résoudre l inéquation, on considère le signe de. Si > alors > 0. Or la fonction est décroissante sur ]0; + [ donc l inéquation équivaut à, c est-à-dire à. Si < alors < 0 et l inéquation est vérifiée. Donc l ensemble des solutions est S = ] ; [ [; + [. Résoudre de même les inéquations suivantes : 5) ) + + < 0 55) Eercice. [solution] Déterminer un encadrement de f ) dans chacun des cas suivants : Eercice 6. [solution]

4 étudier le signe des epressions suivantes, faire un tableau de signe pour résumer : Eercice. [solution] A ) = B ) = ) C ) = ) + ) D ) = 5) ) E ) = F ) = G ) = + ) + H ) = I ) = ) 9 J ) = + + K ) = + + L ) = + Résoudre les inéquations en s aidant, s il y a lieu, d un tableau de signe) : D. Géométrie Eercice 8. [solution] > 0 56) 5) ) + + > 0 59) 5 Simplifier au maimum l écriture des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles : Eercice 9. [solution] u = AB AC CB v = BC B A + BD BC w = CD AD + AB Soient ABC un triangle et I le milieu de [AC ]. On considère les points D et E tels que AD = BC et E A = BC. Montrer que les vecteurs B I et C D sont colinéaires. Eercice 0. [solution] Dans un repère du plan, on considère les points A,), B,), C 9,0) et D, ). Calculer les coordonnées des points E et F tels que BE = AB et AF = AD. Montrer que les points C, E et F sont alignés. Eercice. [solution] À l aide d un cercle trigonométrique, déterminer les valeurs suivantes : ) 5π A = cos 6 ) 8π B = sin ) π C = cos D = sin 5π ) 6 ) π E = sin ) 6π F = cos G = sin06π) H = cos 6π ) ) 5π I = sin 6 Eercice. [solution] Eprimer à l aide de cos) et sin) les nombres suivants : A = cos + 9π) B = sinπ + ) C = cos 00π) D = cos π ) ) π E = sin ) 9π F = cos 6 + G = sinπ + ) + cosπ ) H = sin + π ) cos π ) sinπ ) Eercice. [solution] Déterminer sina) sachant que cosa) = et a [0;π]. Eercice. [solution] On sait que sinα) = et π α 0. Déterminer la va- leur eacte de cosα). Eercice 5. [solution] Résoudre dans ] π;π], à l aide d un cercle trigonométrique : sin) = 60) cos) = 6) cos) = 6) sin) = 0 6)

5 Classe de première S A. Fonctions Eercice 6. [solution] Calculer si possible v u ) et u v ) avec :. u ) = et v ) = pour tout réel.. u ) = pour 0 et v ) = pour tout réel. Déterminer les racines des trinômes suivants : A ) = + B ) = 8 C t) = t + t 6 D a) = a + a Eercice. [solution] Écrire v u ) et u v ) en précisant les ensembles de définition de v u et u v :. u ) = et v ) = pour tout réel.. u ) = pour 0 et v ) = pour tout réel.. u ) = pour 0 et v ) = + 6 pour tout réel. Eercice. [solution] Résoudre les équations suivantes : = 0 6) = ). u ) = pour 0 et v ) = pour tout 0. Eercice 8. [solution] Eprimer chacune des fonctions suivantes comme la composée d une fonction affine et des fonctions carrée, inverse ou racine carrée. Préciser tous les ensembles de définition.. f :.. g : h : +.. i : j : ). 6. k : +. Eercice 9. [solution] Sans écrire aucun calcul, donner, pour chacun des polynômes suivants, son degré, son terme de plus haut degré et son terme constant : A = + ) + ) B = + 5) ) + ) C = + D = + ) + 5 E = + ) ) Eercice. [solution] Factoriser si possible les trinômes suivants en produit de deu polynômes de degré à coefficient réel : Eercice. [solution] A ) = 6 9 B t) = t t + 8 C a) = 6a + a + 9 Calculer f ) en précisant si possible l ensemble de dérivation.. Sommes :. Produits : f : 6 + sin) 66) f : + + 6) f : cos) 68) 69) f : 0) f 5 : ) + ) f 6 : ) ) ) Eercice 0. [solution] Mettre sous forme canonique chacun des trinômes suivants : A = + 8 B = y + y + C = t + t + 5 D = 9a + 8a +. Inverses :. Quotients : f : ) f 8 : 5 + 5) f 9 : 6) Eercice. [solution] f 0 : sin) + cos) f : + + ) 8) 5

6 5. Composées : Eercice 5. [solution] f : + 6 9) f : ) 8 80) f : sin) 8) f 5 : cos ) 8) f 6 : sin)) 8) 5 + f : 8) Déterminer le tableau des variations de f après avoir précisé le domaine de définition et calculé f ) : Eercice 6. [solution] f ) = + 85) f ) = + 86) f ) = + f ) = + f ) = + + 8) 88) 89) 90) Déterminer les limites éventuelles de f ) quand tend vers + et : Eercice. [solution] f ) = 5 9) f ) = ) f ) = 9) f ) = ) 9) f ) = 5 + f ) = + Déterminer les limites demandées : 95) 96) f ) = + 9) A = lim + B = lim C = lim D = 5 lim E = lim + ) F = lim B. Suites Eercice 8. [solution] On considère la suite u n ) n définie par : n N,u n = cos n π ) Calculer les sept premiers termes de la suite. Eercice 9. [solution] Eprimer u n+, u n et u n+ en fonction de n sachant que pour tout entier naturel n : Eercice 50. [solution] u n = n 98) u n = ) n 99) u n = n 00) u n = n 0) n Donner les valeurs de u, u, u pour chacune des suites suivantes : Eercice 5. [solution] { u0 = u n+ = u n n 0) { u0 = u n = n u n n ) 0) 0) La suite u n ) n est une suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison. Calculer u, u, u. Eercice 5. [solution] Les suites suivantes sont-elles des suites arithmétiques? Si oui, donner sa raison et son premier terme, sinon justifier. Eercice 5. [solution] u n = n + 0) v n = n 05) w n = 5n 06) n = n + 0) n Soit u n ) n la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raison. Calculer u 00. Eercice 5. [solution] La suite v n ) n est une suite géométrique de raison q = et de premier terme v 0 =. Déterminer v n en fonction de n. Eercice 55. [solution] La suite v n ) n est une suite géométrique de raison q = et de premier terme v 5 =. Déterminer v n en fonction de n. Eercice 56. [solution] 6

7 Les suites suivantes sont-elles des suites géométriques? Si oui, donner la raison et son premier terme, sinon justifier. Eercice 5. [solution] Que vaut : u n = n+ 08) v n = n 09) w n = n n 0) n = 5 n ). La somme des N premiers termes d une suite arithmétique u n ) n 0?. La somme des N premier termes d une suite géométrique u n ) n 0? Eercice 58. [solution] étudier la monotonie des suites : u n = n ) v n = + n n w n = n + n = n n ) ) 5) y n = n + n 6) Eercice 6. [solution] Rappeler les formules à connaitre par cœur pour cosa + b), cosa b), sina + b) et sina b). Eercice 6. [solution] Montrer que pour tous réels et y : cos + y ) cos y ) = cos ) sin y ) Classe de terminale S A. Eponentielle et logarithme Eercice 6. [solution] Simplifier les epressions algébriques proposées : A = e 5 e +) ) B = e + e ) e e ) ) C = e 0+ e ) e ) ) Eercice 59. [solution] Déterminer la limite quand n tend vers + de : C. Trigonométrie u n =. n ) v n = 0. n 8) w n = n 9) n = 5 n 0) y n = n) n + ) ) z n = + ) ) n a n = ) + ) n ) ) n b n = n n + ) c n = n n + n + 5 5) d n = 5n + n n 6) Eercice 60. [solution] π ) Soit a = sin. Eprimer en fonction de a : A = sin π ) π ) B = cos ) 8π C = sin ) 5π D = cos ) 8) 9) 0) Eercice 6. [solution] Résoudre les équations et les inéquations proposées : Eercice 65. [solution] e 0 ) e 0 5) 5e e = 0 6) e e ) e 5 = 8) On considère la fonction f définie par f ) = e + e. Déterminer son ensemble de définition D f.. Montrer que pour tout D f, on a f ) = e + e.. Pour tout D f, évaluer la quantité : f ) + f ). Quelle conséquence graphique en tirez-vous?. Montrer que pour tout D f, on a f ) = + e. 5. Justifier que f est dérivable sur D f et calculer f ) pour tout D f. 6. En déduire les variations de f. Eercice 66. [solution] On considère la fonction f définie sur R par f ) = + )e ). On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.. Déterminer les limites de f en et.

8 . Montrer que la droite d équation y = est asymptote à la courbe C f. Étudier la position de C f par rapport à.. Montrer que f est dérivable sur R et calculer sa dérivée.. Soit u la fonction définie sur R par u ) = + )e. a) Étudier le sens de variation de u. b) Montrer que l équation u ) = 0 possède une solution unique α dans l intervalle [0;]. c) Déterminer le signe de u sur R. 5. Étudier le sens de variation de f, puis dresser son tableau des variations. 6. Déterminer l équation de la tangente à la courbe C f au point d abscisse = 0 et =. Eercice 6. [solution] Calculer en fonction de ln) et ln) les epressions suivantes : Eercice 68. [solution] Simplifier les nombres proposés : A = ln8) 9) ) B = ln 0) 6 C = ln ) ln 6 ) ) e,5 ) e A = ln B = e 5 e ln e) e lne) 5ln e ) ) ) Eercice. [solution] Calculer la dérivée des fonctions suivantes après avoir indiqué son ensemble de définition et son ensemble de dérivation. f ) = ln ) 50) f ) = lnln)) 5) f ) = e ln ) 5) B. Intégration et équations différentielles Eercice. [solution] Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle I. F ) = ] [ I = ;+ f ) = 5) F ) = e + Eercice. [solution] I = R f ) = e + 5) Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l intervalle Eercice 69. [solution] Déterminer les limites des fonctions suivantes en les points considérés : f ) = + ) ln) en 0 ) g ) = ln + ) + en 5) h ) = + ) en 0 6) Eercice 0. [solution] Après avoir déterminé l ensemble de définition de l équation, la résoudre : ln ) = ln) ) ln) ln) = 0 8) ) ln)) ln 9 = 0 9) Eercice. [solution] Montrer que la courbe C f représentative de la fonction f : + ln + e ) admet deu asymptotes au voisinage de et +. 8

9 I : f ) = I = R 55) f ) = cos) + sin) + I = R 56) f ) = sin π ) + cos + π ) I = R 5) f ) = + I = ]0;+ [ 58) f ) = + 5 I = ] ;0[ 59) f ) = e e ) I = R 60) f ) = 5cos)sin ) I = R 6) f ) = + ) I = R 6) + f ) = I = R 6) + + f ) = cos) ] I = 0; π [ 6) sin) f ) = ) I = ] ; [ 65) f ) = sin) ] cos I = π ) ; π [ 66) f ) = ln) + ) I = [;+ [ 6) f ) = e e + I = R 68) f ) = e I = ]0;+ [ 69) f ) = + I = R 0) f ) = I = ];+ [ ) f ) = + I = ]0;+ [ ) f ) = cos)e sin) I = R ) f ) = I = [0;+ [ ) 5) C. Nombres complees Eercice. [solution] Écrire sous forme algébrique les nombres complees suivants : z = z = z = Eercice 8. [solution] + i ) ) 5 i ) + + i 9) + i 80) + i i Déterminer le module des nombres complees suivants : Eercice 9. [solution] 8) z = 6 + i 8) z = + i ) 8) z = 5 i 8) 5 + i ) i z = 85) + i Écrire sous forme eponentielle les nombres complees suivants : z = 0 86) z = 8) z = i 88) z = i 89) z 5 = i 90) ) 5 z 6 = + i 9) z = + i 9) Eercice 5. [solution] Soit F la fonction définie sur R par : F ) = t + dt. Démontrer que F est dérivable sur R et déterminer sa dérivée.. En déduire le sens de variation de F sur R. Eercice 80. [solution] Résoudre dans C, chacune des équations suivantes : z z + 8 = 0 9) z + 9z = 0 9) z ) + = 0 95) z + z + 8 = 0 96) Eercice 6. [solution] Déterminer la solution de l équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée : y = y y 0) = 6) y + y = y ) = ) 5p = p p 0) = 8) 9

10 Solutions des eercices Solution de l eercice. [énoncé] Peut-être avez-vous une calculatrice qui connaît les fractions? Solution de l eercice. [énoncé] A =].;.9], B = [.9;0], C =] 6;], D = [0;+ [, E =, F = [;[, G = [.;+ [, H = R, I =] ;+ [, J = [ ;+ [. Solution de l eercice. [énoncé]. A = 5, B =, C = 5, D = A = 5, B = 5 5, C =. Solution de l eercice. [énoncé] A = a 5 c, B = a c b, C = c8 a b 6, D = a8 bc, E = a. Solution de l eercice 5. [énoncé] A = 9 5, B = 9 9, C = 8. Solution de l eercice 6. [énoncé] A) = 8+, B) = , C ) = 5+, D) = 6 +, E) = ) + 5 ) +. Solution de l eercice. [énoncé] Solution de l eercice 8. [énoncé] Solution de l eercice 9. [énoncé] Solution de l eercice 0. [énoncé] Solution de l eercice. [énoncé] Solution de l eercice. [énoncé] Solution de l eercice. [énoncé] Solution de l eercice. [énoncé] 0