ANGLES ORIENTES DE VECTEURS

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1 I) ORIENTATION DU PLAN ANGLES ORIENTES DE VECTEURS Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct ( ou positif ). L'autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde) Orienter le plan, c'est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L'usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d'une montre. ( appelé aussi sens trigonométrique ) Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique. II) MESURES DE L ANGLE ORIENTE D UN COUPLE DE VECTEURS NON NULS a. ENSEMBLE DES MESURES Soit deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O. On considère A et B les points définis par Les demi-droites [ OA ) et [ OB ) coupent le cercle trigonométrique C respectivement en A et en B. B B A Sauf avis contraire, les angles sont mesurés en radian. A respectivement colinéaires à u et v et de même sens qu eux. On définit les mesures en radian de l angle orienté de vecteurs unitaires à partir de celles de l arc orienté... O C On définit de même l angle orienté d un couple de demi-droites [ Ox ) et [ Oy ) que l on note ( Ox, Oy ). a On dit que les angles orientés de vecteurs sont définis modulo 2. Notation : La notation usuelle est, mais s il n'y a aucun risque de confusion, on notera seulement cet angle orienté. Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures. b. MESURE PRINCIPALE Une seule des mesures de l angle orienté de vecteurs appartient à l'intervalle ; On l'appelle mesure principale de l angle orienté de vecteurs. La valeur absolue de la mesure principale de l angle orienté de vecteurs est la mesure de l angle géométrique formé par ces deux vecteurs. Exemple : C B A 1

2 c. ANGLE NUL, ANGLE PLAT, ANGLES DROITS Soit deux vecteurs non nuls du plan orienté. Dire que sont colinéaires revient à dire que : Angle nul : la mesure principale de est égale à 0 ( sont de même sens ) ou Angle plat : la mesure principale de est égale à ( sont de sens contraire) Dire que sont orthogonaux revient à dire que : Angle droit direct : la mesure principale de ou Angle droit indirect : la mesure principale de Pour tout vecteur non nul III) PROPRIETES DES MESURES DES ANGLES ORIENTES DE VECTEURS a. RELATION DE CHASLES Soit trois vecteurs non nuls du plan orienté. On a : En additionnant n importe quelle mesure de à n importe quelle mesure de, on obtient une mesure de. Réciproquement, n importe quelle mesure de est la somme d une mesure de et d une mesure de. Exemple : Soit b. CONSEQUENCES DE LA RELATION DE CHASLES deux vecteurs non nuls du plan orienté. Soit k et k deux réels non nuls : si k et k sont de même signe, alors : si k et k sont de signes contraires, alors : Preuve : 2

3 IV) REPERE ORTHONORME Exemple : Repère orthonormé direct Repère orthonormé indirect On définit de la même façon une base orthonormée directe Etant donné un vecteur unitaire, il existe un unique vecteur unitaire tel que soit une base orthonormée directe. V) COSINUS ET SINUS D UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS Sauf contre indication, l unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormé direct ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O. a. COSINUS ET SINUS D UN REEL x Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure de. J l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x ) I b. COSINUS ET SINUS D UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS c. LIEN ENTRE B Ce n est pas vrai pour le sinus O A d. VALEURS REMARQUABLES 3

4 VI) LIGNES TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES ASSOCIES Remarque préliminaire : Dans la pratique, on se permet souvent quelques légèretés d écriture très utiles pour la clarté des figures et pour retenir les formules Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. cos ( x ) = cos x cos ( x ) = cos x cos ( x ) = cos x cos ( 2 x ) = sin x cos ( 2 x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( x ) = sin x sin ( 2 x ) = cos x sin ( 2 x ) = cos x 4

5 Exemples d utilisation : Propriétés VII) AUTRES FORMULES TRIGONOMETRIQUES 1) Formules d addition Pour tout réel a et b : cos ( a b ) = cos a cos b sin a sin b ; cos ( a b ) = cos a cos b sin a sin b sin ( a b ) = sin a cos b sin b cos a ; sin ( a b ) = sin a cos b sin b cos a Preuve ; On démontrera la première formule dans un futur chapitre Montrons que cos ( a b ) = cos a cos b sin a sin b Il suffit d écrire cos ( a b ) = cos ( a ( b ) ) Montrons que sin ( a b ) = sin a cos b sin b cos a Il suffit d écrire sin ( a b ) = cos ( 2 ( a b ) ) = cos ( ( 2 a ) b ) = Exemples Montrons que sin ( a b ) = sin a cos b sin b cos a Il suffit d écrire sin ( a b ) = sin ( a ( b ) ) = 2) Autres formules FORMULES DE DUPLICATION FORMULES DE LINEARISATION 5

6 VIII) LES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 1) EQUATION DU TYPE Exemples Résoudre les équations suivantes sur 2) EQUATION DU TYPE Exemples Résoudre les équations suivantes sur Autre s exemples : Résoudre les équations suivantes sur IX) REPERAGE ET COORDONNEES POLAIRES a. COORDONNEES POLAIRES D UN POINT M Le plan est muni d un repère orthonormé direct ( O ; i, j ). Soit M un point du plan ( distinct de O ). On appelle coordonnées polaires de M, tout couple de nombres réels [ ; ] tel que : = OM et ( i, OM ) = 2 k, k Z j O i O est appelé le pôle et [ Ox ) l axe polaire. On dit que r est le rayon polaire du point M et l un de ses angles polaires. Un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un unique point du plan. Exemple : 1,9 A D Un couple de coordonnées polaires de A est : j O i B Un couple de coordonnées polaires de B est : Un couple de coordonnées polaires de C est : Un couple de coordonnées polaires de D est : C 6

7 b. REPERE POLAIRE ET REPERE CARTESIEN y M Le plan est muni d un repère orthonormé direct ( O ; i, j ). Un point M ( distinct de O ) a pour coordonnées cartésiennes ( x ; y ) et pour coordonnées polaires [, ]. On a : = x² y ², x = cos et y = sin sin j O N i cos x Preuve : Soit C le cercle trigonométrique de centre O. La demi-droite [ OM ) coupe C en N. N a pour coordonnées (cos ; sin ). Or OM = ON ; on en déduit que OM a pour coordonnées ( cos ; sin ). D autre part : OM ² = x ² y ² = ² c. COMMENT PASSER DES COORDONNEES POLAIRES AUX COORDONNEES CARTESIENNES? On note On note les coordonnées polaires de M dans les coordonnées cartésiennes de M dans d. COMMENT PASSER DES COORDONNEES CARTESIENNES AUX COORDONNEES POLAIRES? On note On note les coordonnées polaires de M dans les coordonnées cartésiennes de M dans Exemples : Donner les coordonnées cartésiennes des points de coordonnées polaires [4 ; ] Donner les coordonnées polaires des points de coordonnées cartésiennes ( 2 ; 2) X) LES FONCTIONS CIRCULAIRES a. La fonction cosinus donc Parité : Périodicité : Donc on peut étudier la fonction seulement sur et ensuite déduire la courbe représentative sur R par parité et par périodicité. 7

8 Variations : 0 Variations de 1 1 Représentation graphique a. La fonction sinus donc Parité : Périodicité : Donc on peut étudier la fonction seulement sur et ensuite déduire la courbe représentative sur R par parité et par périodicité. Variations : 0 Variations de

9 Représentation graphique XI) ROTATIONS DEFINITION : Soit O un point du plan. La rotation r de centre O et d angle transforme un point M en un point image M tel que : M REMARQUES L image du centre O est O. On dit que le point O est invariant. Les rotations d angle sont appelés quart de tour direct. O M Les rotations d angle sont appelés quart de tour indirect. La rotation de centre O es d angle est la symétrie centrale de centre O. On note parfois la rotation de centre O et d angle. EXEMPLE : ABCD est un carré de sens direct de centre O. Soit r A la rotation de centre A et d angle et r O une rotation de centre O et d angle. 1) Déterminer r A (A) ; r A (B) ; r A (D). 2) Comment choisir pour avoir r O (A) = B? Comment choisir pour avoir r O (A) = C? PROPRIETES DE CONSERVATION Les rotations conservent : les distances le milieu d un segment les angles orientés l alignement le parallélisme l orthogonalité ACTIONS SUR LES FIGURES Une rotation transforme : une droite en une droite un cercle en un cercle de même rayon un triangle en un triangle de même nature un quadrilatère en un quadrilatère de même nature 9