RANG EN ALGEBRE LINEAIRE (ON SE LIMITERA A DES E.V. DE DIMENSION FINIE)

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1 Rag algèbr léar RANG EN ALGEBRE LINEAIRE (ON SE LIMITERA A DES EV DE DIMENSION FINI So E F dux K sacs vcorls d dmso ) Rag d'u amll d vcurs, rag d'u alcao léar déo (rag d'u amll d vcurs) So x = ( x ) I u amll d'éléms d E La dmso du sous sac gdré ar x s alé rag d x, oé rg (x) déo (rag d'u alcao léar) So u u alcao léar d E das F F éa d dmso, Im( l's égalm O all rag d u, oé rg (, l ombr dm (Im() héorèm du rag So u u alcao léar d E das F Alors dm ( Kr( ) + dm(im( ) = dm( démosrao So = dm( Kr ( s d dmso ( ) Noos ( ) u bas d Kr ( Alors ( s u amll lbr d E D'arès l héorèm d la bas comlè, l xs ) +,, éléms d E l qu ( ) so u bas d E moros qu ( u )) + C's u amll lbr : So ( s u bas d Im(u ) ( α ) + ds éléms d K ls qu αu ( ) = 0 Alors u ( α ) = 0 = + Doc α Kr( doc = + ( α ) K, α = + doc α α = 0 = doc ous ls = + doc ( u )) + α so uls (car ( s lbr = = α ) = + ( s u bas d C's u amll géérarc : So y F Il xs x E l qu y = u(x) S DUCHET - wwwslo2000rs /5

2 Rag algèbr léar ( α ) K, x = α Alors y = u α = = Doc y = doc y = doc y = = = α u( ) (léaré d α u( ) + = + α u( ) α u( ) car our, Kr( = + doc ( u )) + ( s u amll géérarc rooso E, F G so ds K sacs vcorls u s u alcao léar d E das F v s u alcao léar d F das G Alors v dm( Kr( Im( ) démosrao So la rsrco d v à Im( s léar d Im( das G doc, d'arès l héorèm du rag, dm ( Kr( )) + dm(im( )) = dm(im( ) Or, dm(im( )) v car Im( v = v(im( ) Doc : v dm( Kr( )) v dm( Kr( Im( ) car Kr( ) = Kr( Im( rooso E, F G désg ds K sacs vcorls, u u alcao léar d E das F, v u alcao léar d F das G Alors : () v m(, ) () S u s bjcv, alors rg ( v () S v s bjcv, alors rg ( v démosrao () Im( v Im( doc v D'arès la rooso récéd, v Par coséqu, v m(, ) () S u s bjcv, Im( u ) = F doc Im( v = v( = Im( doc rg ( v () S v s bjcv, alors Kr ( = {} 0 doc dm ( Kr( Im( ) = 0 doc rg ( v d'arès la rooso récéd S DUCHET - wwwslo2000rs 2/5

3 Rag algèbr léar rooso So u u alcao léar d E das F () u s jcv s sulm s rg ( = dm( () u s surjcv s sulm s rg ( = dm( démosrao () Ralos qu u s jcv s sulm s Kr ( Suosos u jcv Alors ( dm Kr( ) Kr doc ( = 0 D'arès l héorèm du rag, dm (Im( ) = dm( Suosos qu rg ( = dm( D'arès l héorèm du rag, dm ( Kr( ) = 0 doc Kr ( doc u s jcv () Ralos qu u s surjcv s sulm s Im( u ) = F S u s surjcv, alors Im( u ) = F doc rg ( = dm( S rg ( = dm( : Im( F dm (Im( ) = dm( doc Im( u ) = F, c's-à-dr u s surjcv 2) Rag d'u marc déo (rag d'u marc) O all rag d'u marc M, oé rg (M ), l rag du sysèm d ss vcurs colos héorèm So M = ( m ) M ( K) So F u K sac vcorl d dmso,,, ) u bas d j j F Alors rg ( M ) v,, v ) où v = m démosrao Noos,, ) la bas caoqu d φ: K u = F = ( m = K, ( s u somorhsm doc rg v,, v ) φ( v ),, φ( v )) u,, u ) où ( héorèm So E F dux K sacs vcorls d dmsos s o ulls, u u alcao léar d E das F Pour ou coul (, ) d bass d E F, s M désg la marc d u rlavm à cs bass, o a rg ( M ) démosrao Noos =,, ), =,, ), ( ( M = ( m ) j j S DUCHET - wwwslo2000rs 3/5

4 Rag algèbr léar O a u( ) = m, = D'arès l héorèm récéd, rg M ) u( ),, u( )) doc rg ( M ) car ( vc( u( ),, u( )) = Im( ar coséqu, u( ),, u( )) rooso U marc sa rasosé so d rags égaux démosrao So M M (K) So la bas caoqu d K, cll d * cll d So u l'alcao léar caoqum assocé à M, u : K K D'arès c qu récèd, rg ( M ) * * So u : ( K ) ( K ) (vor char cocra la dualé) Or ma( u; *, * * * = )) ma( u;, )= M (vor dualé) Doc M ) doc M ) M ) K Noos * la bas dual d, coséquc : L rag d'u marc s égal à clu d ss vcurs lgs rooso So A M ( K), B M ( K) m () BA) m( A), B)) () S A s vrsbl, rg ( BA) B) () S B s vrsbl, rg ( BA) A) démosrao So u v ls alcaos léars caoqum assocés à A B, m u : K K, v : K K () BA s la marc caoqum assocé à v u BA) v Or, v m(, ) rg ( A), B), d'où l résula () BA) v (car u s vrsbl car A l's) B) () BA) v (car v s vrsbl car B l's) A) S DUCHET - wwwslo2000rs 4/5

5 Rag algèbr léar 3) Méhod raqu our calculr l rag vor char sur ls oéraos élémars sur ls lgs ls colos d'u marc S DUCHET - wwwslo2000rs 5/5