Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 2007/08 Licence première année - LM110. Feuille d exercices n o 1.

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1 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o Notation. L ensemble des nombres réels est noté R. Attention. «Soient I et J deu intervalles de R et f : I J la fonction définie par f() =3». Dans cette phrase, plusieurs objets sont en jeu : f est une fonction, est un nombre qui appartient à I, f() est un nombre qui appartient à J et appelé l image de par la fonction f. Eercice. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : ) + + ) + 3) ln(ln()) 4) ln( + e ) Eercice. Tracer sur un même repère l allure des graphes des fonctions suivantes : ) e ; e ; e ) ln() ; ln()+; 3) ln ; ln ; ln 4) ; 3 ; 4 5) / ; /3 ; /4 Eercice 3. Soient f : E F et g : F G deu fonctions. Montrer que : ) si g f est injective, alors f est injective ; ) si g f est surjective, alors f est surjective ; 3) si f : R R est bijective et lim f() =+, montrer que lim f () = Eercice 4. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez votre réponse. ) La fonction réciproque f de f vérifie f () f() =. ) La somme de deu fonctions paires (resp. impaires) est paire (resp. impaire). 3) La fonction f :[, ] R définie par f() = est paire. 4) Toute fonction f : R R est soit paire, soit impaire. 5) Il eiste une fonction à la fois paire et impaire. 6) L inverse d une fonction est sa réciproque. 7) La somme (resp. le produit, la composée) de deu fonctions croissantes est croissante. 8) La composée d une fonction croissante et d une fonction décroissante est décroissante. Eercice 5. On considère la fonction f :]0, + [ [0, + [ définie par f() = +. Est-elle injective? Surjective? Déterminer des intervalles I ]0, + [ et J [0, + [ tels que la restriction de f à I soit bijective. Eercice 6. On considère l homographie f() = 3. ) Donner les équations de ses deu asymptotes et de son centre de symétrie. ) Déterminer la réciproque f de f et son domaine de définition.

2 Eercice 7. ) On considère les deu fonctions f et g de R dans R définies par f() = + ln( ) et g() =e. Donner le domaine de définition de g f et déterminer g f. ) On considère les deu fonctions suivantes f et g de R dans R définies par f() = et g() =. Donner les domaines de définition de f g et g f et déterminer ces fonctions. Eercice 8. On rappelle la formule ) Calculer e iπ, e iπ/, e iπ/3 et e 3iπ/4. e i = cos + i sin. ) Retrouver les formules trigonométriques d addition, i.e. sin(a + b), cos(a + b), cos a, sin a en fonction de sin a, sin b, cos a, etcos b. Eercice 9. Après avoir déterminé leur ensemble de définition, résoudre les équations suivantes : ) ln 3 + ln = ln( ) ) ln + ln + = ln(3 ) 3) ln( ) + ln() = ln(4 ) 4) e 3=4e 5) = 0 Eercice 0. Soit f la fonction définie par f() = ln(ln(ln())). ) Déterminer son ensemble de définition. ) Déterminer les tels que a) f() =0; b) f() =. Eercice. Trouver, si elles eistent, les limites suivantes : ) , ) + +3, ± + 3) +, 0 4) + ln, 0 5) ln( + e ), ± 6) + +5, ± ), 0 + 8) +3 ln( + 4), ± Eercice. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son domaine de définition, ses variations et représenter son graphe : ) +3 ) + 3) ln( ) 4) ln( ) 5) ln() 6) ln()

3 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o Rappel. La notation sin n () désigne (sin()) n (idem pour cos n (), etc.). Eercice. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : ln( + sin()) Eercice. Résoudre les équations suivantes : ln()+ cos() sin(). (E ) cos(3) = (E ) cos = sin. Eercice 3. Montrer que les fonctions suivantes de R dans R sont périodiques et déterminer leur période : f : e sin(/) g : sin 3 () + sin(3)+ (pour la deuième, on peut utiliser la formule trigonométrique : sin(3) = 3 sin() 4 sin 3 ()). Eercice 4. ) Prouver l inégalité : pour tout [0, π [ sin tan. sin ) En déduire lim 0, lim cos cos et lim 0 0. Eercice 5. Étudier la continuité des fonctions suivantes : 0 si =0 0 si =0 f() = g() = sin( si = 0 e cos( )+e + si = 0 Eercice 6. Calculer les limites suivantes lorsqu elles eistent. ) lim + sin ) lim sin sin(( + )) 3) lim 0 si 0 h() = ln si 0 << si 4) lim 0 + sin () 5) lim π + cos() ) lim + ln ( ) 7) lim + )) ln() 8) lim 0 +(ln( + ( ) tan sin 9) lim 0 sin (cos cos ) 0) lim E( ) où E désigne la fonction partie entière 0 + ) lim m m en fonction de m et n entiers positifs 0 n 4 ) lim + + α sin () en fonction de α R.

4 Eercice 7. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l ensemble où elle est dérivable et calculer sa dérivée. ) ) 3) e ln + + ( + )( + ) 4) + 5) 6) ln 7) n, n N 8) ln( + ) 9) 0) ln tan( ) ) ln tan( + π 4 Eercice 8. Soit f la fonction définie par f() =+ ) Donner l ensemble de définition de f. ) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 3) Ce prolongement est-il dérivable en 0? 4) Montrer que, pour tout >0, 5) En déduire que f est prolongeable par continuité en. + ( + 3) ) ) tan()+ cos sin ln. ln( + ). Eercice 9. Calculer la fonction dérivée d ordre n des fonctions f,g,h définies par : f() =sin ; g() =sin () (on peut commencer par calculer les premières dérivées afin de deviner la formule générale, puis la démontrer par récurrence sur n). Eercice 0. On considère la fonction f : R R définie par e /t si t<0 f(t) = 0 si t 0 ) Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t =0. ) Étudier l eistence de f (0). 3) On veut montrer que pour t<0, la dérivée n-ième de f s écrit où P n est un polynôme. (a) Trouver P et P. f (n) (t) = P n(t) t n e/t (b) Trouver une relation de récurrence entre P n+,p n et P n pour n N. Conclure. Eercice. Soit f : R R définie par f() = sin. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n est pas continue en 0. Eercice. Déterminer les constantes a, b R de manière à ce que la fonction f définie sur R + par : soit dérivable sur R +. f() = si 0 et f() =a + b +sinon

5 Eercice 3. On considère la fonction définie sur R par f() = 3 +. ) Montrer que f possède une fonction réciproque f et donner son domaine de définition. ) Étudier la dérivabilité de f sur son domaine de définition. Eercice 4. Soit f la fonction définie sur R par : f() = e e +. ) Justifier que f est dérivable sur R, epliciter f. ) Dresser le tableau de variations de f, limites incluses, et tracer dans un repère orthonormé le graphe C f de f. 3) Montrer que f réalise une bijection de R sur un intervalle à epliciter. Sa réciproque sera notée f et son graphe C f. 4) En quels points f est-elle dérivable? 5) Calculer (f ) (0), (f ) ( ) et (f ) ( 4 ). 6) Donner l équation des tangentes à C f et C f au point d abscisse 0. 7) Soit f(r). Résoudre l équation f() =y. En déduire f. 8) Lorsque f est dérivable en, calculer (f ) () de deu façons différentes. 9) Tracer C f dans le même repère que C f. Eercice 5. Soit f la fonction définie pour tout dans ]0, + [ par f() = ln. ) Étudier les variations de f. ) En déduire que f réalise une bijection de 3) En quels points f est-elle dérivable? e, + sur un intervalle J que l on eplicitera. 4) Calculer (f ) (0). Calculer f(e) et f(e ). En déduire (f ) (e) et (f ) (e ). 5) Tracer dans un même repère orthonormé le graphe de f et celui de f. 3

6 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o 3 Calculs de développements limités. Eercice (rappel de cours). Soient f et g deu fonctions continues dont on suppose qu elles admettent un développement limité à tout ordre. ) Jusqu à quel ordre faut-il développer f et g pour calculer le développement limité de f + g à l ordre n? Epliquer comment obtenir le développement de f + g à partir de ceu de f et g. ) Même question pour fg et pour f g. Eercice. Calculer les développements limités suivants en 0. ) cos() e à l ordre 3 ) à l ordre 3 3) + sin() à l ordre 3 4) ln(cos()) à l ordre 3 5) à l ordre 3 6) ++ sin() à l ordre 3 7) tan() à l ordre 4 8) e sin() à l ordre 4 9) + + à l ordre 0) ln(+) e + à l ordre ) 3 +3 à l ordre ) ( + ) + à l ordre 6 Eercice 3. Calculer les développements limités suivants. ) e au voisinage de a à l ordre 3 ) cos() au voisinage de π 4 à l ordre 4 3) sin() au voisinage de π + à l ordre 5 4) au voisinage de à l ordre Eercice 4. ) Démontrer que la fonction tan est une bijection de ] π, π [ dans R. ) On appelle arctangente et on note arctan sa fonction réciproque. Sur quel ensemble est-elle dérivable? Démontrer que arctan () =. + 3) En déduire par intégration le développement limité de arctan au voisinage de 0 à l ordre 0. Eercice 5. Soit f() = ( cos()) 3. À quel ordre minimum doit-on développer cos pour calculer le développement limité à l ordre 30 de f()? (on ne demande pas d écrire ce développement limité). Application au calcul de limites Eercice 6. En utilisant un développement limité, calculer, si elles eistent, les limites suivantes : sin() cos() ) lim ) lim 0 0 ln( + ) sin() cos() 3) lim 0 3 5) lim 0 sin () 7) lim π/3 sin 3 cos() ln( + ) 4) lim 0 3 6) lim cos + lim ( ) + Eercice 7. Déterminer les constantes a, b, c pour que une limite finie quand 0. cos() ln( + ) a et sin 3 () 3 b c tendent vers

7 Application au prolongement par continuité Eercice 8. On considère la fonction définie par f() = sin(). Montrer qu elle est prolongeable en fonction 3 continue sur R. On note h cette fonction. Que vaut h(0)? La fonction h est-elle dérivable en 0? Eercice 9. On considère la fonction définie pour ]0,π[ par f() = ln( sin() ). Déterminer le développement limité de ln( sin() ) en 0 à l ordre 4. En déduire si la fonction f est prolongeable par continuité en 0. Application à l étude locale des courbes représentatives de fonctions Eercice 0. Pour chacune des fonctions suivantes, à l aide d un développement limité, trouver l équation de la tangente au graphe de la fonction au point d abscisse indiqué, puis, au voisinage du point de contact, donner la position du graphe par rapport à cette tangente. Enfin, représenter le graphe de la fonction et sa tangente au voisinage du point de contact. ) f() = ln(sin()) en = π ) g() = ln( 3 ) en =. Eercice. En utilisant des développements limités, trouver, pour chacune des fonctions suivantes, ses asymptotes en l infini et préciser leur position (il peut s agir de droites ou de paraboles). ) ) e 3) a + b 4) 3 sin( ) 5) e e e + e Développements limités de fonctions réciproques. Eercice. Soit f :], + [ R la fonction définie par f() = ln(+) si = 0et f(0) =. ) Montrer que f est une fonction dérivable sur ], + [. ) Montrer que f est une bijection de ], + [ sur ]0, + [. 3) On note g la fonction réciproque de f. Montrer que g possède un développement limité à l ordre au point et calculer ce développement limité. 4) En déduire que le produit t g( t t ) a une limite finie, que l on calculera, quand t tend vers +.

8 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o 4 Eercice. Soit a R. On considère la fonction F définie sur l intervalle [0, ] par F () =3 4 4a 3. ) On suppose que la fonction F possède un etremum (maimum ou minimum) en un point c de l intervalle ]0, [. Calculer c et F (c). ) Quelles sont, en fonction de a, les valeurs possibles pour pour le maimum et le minimum de la fonction F sur l intervalle [0, ]? 3) Déterminer, en fonction de a, l image F ([0, ]) de l intervalle [0, ] par la fonction F. Eercice. Soit f définie par f() = cos pour R. + ) Montrer que f est majorée sur R, minorée sur R. ) Déterminer ma R f(). Eercice 3. ) Soit l équation += +. Montrer l eistence d une solution dans [0, ]. ) Soit l équation cos() =. (a) Montrer que les solutions, si elles eistent, appartiennent à l intervalle [, ]. (b) Montrer l eistence d au moins une solution. Eercice 4. Soit f :[a, b] [a, b] une fonction continue. Montrer que f possède un point fie dans [a, b] c est-à-dire qu il eiste [a, b] tel que f() = (on pourra appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction bien choisie). Eercice 5. Soit f définie par f() =( + ) sin pour R. ) Calculer la dérivée de f. ) Montrer que l équation ( + ) cos + sin =0admet au moins une solution dans [0,π]. Eercice 6. Soit f une fonction n fois dérivable sur ]a, b[ et s annulant en n +points de ]a, b[. Montrer que si f (n) est continue sur ]a, b[, il eiste un point 0 de ]a, b[ tel que f (n) ( 0 )=0. Eercice 7. Par application du théorème des accroissements finis à f() = ln sur [k, k + ] montrer que tend vers l infini quand n tend vers l infini. S n = n k= k Eercice 8. Étant donné α dans ]0, [, montrer que pour tout entier naturel n En déduire la limite lim N N + n= n α. α (n + ) α (n + )α n α α n α. Eercice 9. ) Déterminer une fonction polynomiale de degré, P, telle que, si on définit sur ], [ une fonction f par : f() = ln( + ) P (), alors f(0) = f (0) = f (0) = 0. ) (a) Montrer que : ], [, f ().

9 (b) En déduire que : ], [, ln( + ) P () 3. ln( + ) (c) En déduire si elle eiste la valeur de : lim 0. Quelle autre méthode (plus rapide) connaissezvous pour calculer cette limite? Eercice 0. ) A l aide du théorème des accroissements finis montrer que >0, ) Calculer lim (ln( + ) ln ) et lim + 3) En déduire que lim 4) Calculer lim = e. + < ln( + ) ln <. + (ln( + ) ln ). Eercice. Montrer que le polynôme P n défini par P n (t) = t n (n) est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples et appartiennent à [, ]. Indication : on rappelle que si P est un polynôme ayant une racine a de multiplicité m, alors P (a) =P (a) =...= P (m ) (a) =0. Eercice. Soit P un polynôme à coefficients réels. On veut montrer que l équation l équation P () =e, d inconnue R, n admet qu un nombre fini de solutions. ) Montrer que si n et k sont deu entiers naturels, si l équation P (n) () =e a au moins k solutions, alors l équation P (n+) () =e a au moins k solutions. ) En déduire que l équation P () =e a au plus degp +solutions. Conclure. Eercice 3. Montrer que le polynôme X n + ax + b (a et b réels) admet au plus trois racines réelles. Eercice 4. Soient et y réels avec 0 <<y. ) Montrer que ) On considère la fonction f définie sur [0, ] par De l étude de f déduire que pour tout α de ]0, [ Interprétation géométrique? < y ln y ln <y. α f(α) = ln(α + ( α)y) α ln ( α)lny. α ln + ( α)lny ln(α + ( α)y). Eercice 5. On pose P () = 3 3! + 5 5! 7 7!. ) Écrire la formule de Taylor-Lagrange à l ordre 9 et au point 0 pour la fonction sinus. En déduire, pour tout 0 π, P () sin() P ()+ 9 9!. ) Trouver un nombre a>0 tel que l on ait sin() P () 0 5 pour tout [0,a]. Eercice 6. Soit f la fonction définie par f() = ln(). ) Étudier les variations de la fonction f. Quelle est l image de l intervalle ]0, + [ par f? ) Vérifier que f () pour tout >0. 3) Soit a> un nombre réel. En écrivant la formule de Taylor-Lagrange avec un reste en f sur l intervalle [,a], trouver une minoration de f(a).

10 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o 5 Eercice. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son domaine de définition et le représenter dans R. f (, y) = y + y f (, y) = + ln() f 3 (, y) = + y f 4 (, y) = + 3 y f 5 (, y) = /3 y /3 f 6 (, y) = ( )( y ) y f 7 (, y) = y Représenter les courbes de niveau 0, et pour les fonctions f, f 3 et f 7. Eercice. Étudier la continuité des fonctions suivantes de R dans R définies par f(0, 0) = 0 et, pour (, y) = (0, 0), ) f(, y) =e +y ) f(, y) = 3 + y 3 3) f(, y) = y + y 5) f(, y) = y6 6 + y 8 + y y 4) f(, y) =sin + y Eercice 3. Justifier l eistence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer. ) f(, y) =y ) f(, y) = arctan( 3y ) 3) f(, y) =e y sin( + y) 4) f(, y) = y Eercice 4. Soit la fonction définie, pour (, y) = (0, 0) par f(, y) = y + y. ) Montrer que lim 0 (lim y 0 f(, y)) = lim y 0 (lim 0 f(, y)). ) Montrer que lim (,y) (0,0) f(, y) n eiste pas. 3) On pose désormais f(0, 0) = 0. Montrer que f a des dérivées partielles en (0, 0) mais que f n est pas continue en 0. Eercice 5. Soit f la fonction définie par : y f(, y) = + y si (, y) = (0, 0) 0 sinon. ) Étudier la dérivabilité de f par rapport à et y au point (0, 0). ) Calculer les dérivées partielles de f au point (0, 0). 3) Montrer que f n est pas dérivable (différentiable) au point (0, 0).

11 Eercice 6. ) Soient α, α et γ des réels 0. On pose α y α f(, y) = ( + y ) γ si (, y) = (0, 0) 0 si (, y) = (0, 0) Montrer que f est continue en (0, 0) si et seulement si α + α >γ. (Indication : pour la condition nécessaire, regarder f(, ), pour la condition suffisante, montrer que 0 f(, y) ( + y ) α +α γ, ou utiliser les coordonnées polaires.) ) Montrer que f est différentiable en (0, 0) si et seulement si α + α >γ+. Eercice 7. Donner un développement à l ordre des fonctions suivantes au voisinage des points a indiqués. ) f(, y) = + y, a =(, ) ) f(, y) = + y, a =(, ), a =(0, ), a =( 0,y 0 ) 3) f(, y) = +3y y 3, a =(, 0) 4) f(, y) = sin() cos(y), a =(0,π) Eercice 8. Pour chacune des fonctions suivantes, donner l équation du plan tangent au graphe de f au point a indiqué ainsi qu un vecteur normal à ce plan. ) f(, y) = +y y, a =(, ) ) f(, y) =e y, a =(, ) 3) f(, y) = y 4, a =(, ) 4) f(, y) = ( )( y ), a =(, ) Eercice 9. Soit f(, y) = + y 4 3y +. ) Montrer qu on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à f au point (, ). ) Soit ϕ() une fonction telle que au voisinage de (, ) on ait f(, y) =0 y = ϕ(). Calculer ϕ(). Montrer que f(, ϕ()) = 0. En dérivant deu fois cette dernière inégalité et en prenant =, calculer ϕ() et ϕ (). En déduire le développement limité de ϕ à l ordre au point. Eercice 0. Soit la courbe Γ définie par l équation : 3 y +y =0et soit A le point de coordonnées (, ). a) Vérifier que A appartient à Γ et trouver la tangente à la courbe en A. b) Déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en A. Eercice. Soient les surfaces S et S définies par : z = + y, z = y et soit B le point de coordonnées (,, ). a) Déterminer le plan tangent à S en B, le plan tangent à S en B. b) Trouver la tangente en (, ) à la projection de S S sur le plan Oy.

12 Université Paris 6 - Pierre et Marie Curie Premier semestre 007/08 Licence première année - LM0 PCME Feuille d eercices n o 6 Eercice. Résoudre les équations différentielles à variables séparées suivantes : (a) y y + ( )=0 (b) y +y =0 (c) y + + y =0,y() = (d) ( )y +y =0, (on déterminera a, b, c R tels que ( ) = a + Eercice. Résoudre les équations différentielles du premier ordre suivantes : (a) y +y =, y(0) = (b) ( )y y = (c) 4y y = b + c + ). (d) y + y = e (déterminer les solutions sur ], 0[ et ]0, + [. Y a-t-il des solutions continues sur R?) Eercice 3. On se propose de résoudre sur l intervalle le plus grand possible contenu dans ]0, + [ l équation différentielle : (E) y () y() y() = 9. ) Déterminer a ]0, + [ tel que y() =a soit une solution particulière y 0 de (E). ) Montrer que le changement de fonction inconnue : y() =y 0 () l équation différentielle 3) Résoudre (E )sur]0, + [. (E ) z () + (6 + )z() =. 4) Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0, + [. z() transforme l équation (E) en Eercice 4. ) Déterminer le développement limité à l ordre 3, au voisinage de =de la fonction : f : ln. ) On considère l équation différentielle (E) ( )y +y =. a) Déterminer les solutions de (E) sur chacun des intervalles ], [, ], 0[, ]0, [, ], + [. b) Montrer que (E) admet une unique solution g sur R. c) La fonction dérivée g est-elle continue sur R? Eercice 5. Résoudre les équations différentielles du second ordre suivantes : (a) y 3y +y = e (b) y y y = e (c) y + y = e (d) y y = 6 cos + sin (e) y y =( + + )e (f) 4y +4y +5y = sin + e / (g) y ()+ + y ()+ y() ( + =0(utiliser le changement de variable t = arctan ) )

13 Eercice 6. On considère l équation : y +y +4y = e (E) ) Résoudre l équation différentielle homogène associée à (E). ) Trouver une solution particulière de (E) (epliquer votre démarche), puis donner l ensemble de toutes les solutions de (E). 3) Déterminer l unique solution h de (E) vérifiant h(0) = et h() = 0. 4) Soit f :]0, + [ R une fonction deu fois dérivable sur ]0, + [ et qui vérifie : t f (t)+3tf (t)+4f(t) =t log t. (a) On pose g() =f(e ). Vérifier que g est solution de (E). (b) En déduire une epression de f. Eercice 7. On considère l équation différentielle suivante : (E) y 4y +4y = d(), où d est une fonction qui sera précisée plus loin. ) Résoudre l équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à (E). ) Trouver une solution particulière de (E) lorsque d() =e et lorsque d() =e respectivement. 3) Donner la forme générale des solutions de (E) lorsque d() = e + e. 4