Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique

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1 1 hapite - Lois fondamentales de la magnétostatique Aucune des lois fondamentales citées ici ne sea démontée. Elles constituent des faits d expéience taduits dans un fomalisme mathématique, apué au fil des ans. En Licence, ces lois seont énoncées sous fome d équations de Maxwell, postulats de l électomagnétisme..1- Flux du champ magnétique.1.1- onsevation du flux magnétique onsidéons une suface femée S quelconque, s appuyant su une coube femée et oientée, c est à die pou laquelle on peut défini localement un élément de suface ds = dsn dont le vecteu nomal est oienté ves l extéieu (convention). ds n S1 S S= S1 + S ds n Le flux du champ magnétique à taves cette suface femée vaut Φ= B ds = S ette loi est généale et este valable même en égime vaiable. La consevation du flux magnétique est une popiété tès impotante et monte une difféence fondamentale ente le champ magnétique et le champ électostatique. Nous avons vu, avec le théoème de Gauss, que le flux du champ électostatique dépend des chages électiques contenues à l intéieu de la suface Qint E ds = S s Si la chage totale est positive, le flux est positif et il «sot» de cette suface un champ électostatique (souce). Si la chage est négative, le flux est négatif et le champ «ente», convege ves la suface (puits). ette popiété este d ailleus également valable en égime vaiable. Rien de tel n a jamais été obsevé pou le champ magnétique. On ne connaît pas de chage magnétique analogue à la chage électique (se seait un «monopôle magnétique») : ε

2 1 tout le champ qui ente dans une suface femée doit également en essoti. La souce la plus élémentaie de champ magnétique est un dipôle (deux polaités), comme l aimant dont on ne peut dissocie le pôle nod du pôle sud. On peut aisément monte que le flux à taves une suface S s appuyant su un contou femé est indépendant du choix de cette suface. Penons deux sufaces S 1 et S s appuyant su et telles que S = S1 + S soit une suface femée. En oientant cette suface ves l extéieu, la consevation du flux magnétique impose ΦS = ΦS + ΦS = 1 donc ΦS = Φ 1 S, ce qui ente d un coté essot de l aute. La difféence de signe povient de la convention d oientation de la nomale : le flux est le même dans les deux cas..1.- Lignes de champ et tubes de flux Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de foce) est tès utile pou se faie une epésentation spatiale d un champ de vecteus. e sont ces lignes de champ qui sont tacées pa la matièe sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fe au voisinage d un aimant. Définition : Une ligne de champ d un champ de vecteu quelconque est une coube dans l espace telle qu en chacun de ses points le vecteu y soit tangent. onsidéons un déplacement élémentaie dl le long d une ligne de champ magnétique. Le fait que le champ magnétique B soit en tout point de paallèle à dl s écit : B dl = En coodonnées catésiennes, dl = dx i + dy j + d k et les lignes de champ sont calculées en ésolvant dx dy d = = Bx By B En coodonnées sphéiques, dl = d u + dθ uθ + sin θdϕ uϕ et l équation des lignes de champ devient d dθ sinθdϕ = = B Bθ Bϕ La consevation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique se efement su elles-mêmes. Un tube de flux est une sote de «assemblement» de lignes de champ. Soit une suface S 1 s appuyant su une coube femée telle que le champ magnétique y soit tangent (c est à die B dl où dl est un vecteu élémentaie de ). En chaque point de passe donc une ligne de champ paticulièe. En polongeant ces lignes de champ on constuit ainsi un tube de flux.

3 14 ds S S B S1 Tout au long de ce tube, le flux magnétique est consevé. En effet, considéons une potion de tube cylindique ente S 1 et S, ayant un étécissement en une suface S. La suface S = S 1 + S + S, où S L L est la suface latéale du tube, constitue une suface femée. Donc le flux du champ à taves S est nul. Pa ailleus, le flux à taves la suface latéale est également nul, pa définition des lignes de champ ( B ds = su S L ). Donc, le flux en S 1 est le même qu en S. On peut faie le même aisonnement pou S. ependant puisque S 1 > S pou un flux identique, cela signifie que le champ magnétique est plus concenté en S. D une manièe généale, plus les lignes de champ sont appochées et plus le champ magnétique est localement élevé. Les exemples les plus célèbes de tubes de flux encontés dans la natue sont les taches solaies..- iculation du champ magnétique..1- iculation du champ autou d un fil infini Nous avons vu que le champ B céé pa un fil infini en un point M( ρθ,, ) s écit en coodonnées cylindiques µ B = u πρ θ onsidéons maintenant une coube femée quelconque. Un déplacement élémentaie le long de cette coube s écit dl = dρuρ + ρdθuθ + du. La ciculation de B su la coube femée vaut alos coube B dl =µ coube dθ π

4 15 Plusieus cas de figue peuvent se pésente : θ dl M Si n enlace pas le fil, dθ =. Si enlace le fil une fois, dθ = π. Si enlace le fil N fois, dθ = Nπ La ciculation de B su une coube femée est donc diectement eliée au couant qui tavese la suface délimitée pa cette coube. est Ampèe qui, en echechant une explication du magnétisme dans une théoie de la dynamique des couants, découvit cette popiété du champ magnétique. Démontée ici su un cas paticulie à pati de la loi de Biot et Savat, nous ne démonteons pas que ce ésultat est généal, c est à die valable pou un conducteu quelconque...- Le théoème d Ampèe Théoème : La ciculation de B le long d une coube quelconque, oientée et femée, appelée contou d Ampèe, est égale à µ fois la somme algébique des couants qui tavesent la suface délimitée pa B dl =µ int coube ette elation fondamentale est l équivalent du théoème de Gauss pou le champ électostatique : elle elie le champ ( Bou E s ) à ses souces (le couant ou la chage Q) dans le vide (à l intéieu d un matéiau il faut les coige). ependant, à la difféence du théoème de Gauss, elle n est valable qu en égime pemanent (couants continus). 1 int = = - 1

5 16 Remaques : Le théoème d Ampèe et la loi de Biot et Savat ont la même cause oiginelle. Le choix du sens de la ciculation su le contou d Ampèe choisi est puement abitaie. Une fois ce choix fait, la ègle du bonhomme d Ampèe pemet d attibue un signe aux couants qui tavesent la suface ainsi délimitée. omme pou le théoème de Gauss, ce qui compte c est la somme algébique des souces : pa exemple, si deux couants de même amplitude mais de sens difféents tavesent la suface, le couant total sea nul (voi figue ci-dessus). Exemple: le solénoïde infini onsidéons un solénoïde infini, compotant N spies pa unité de longueu, chacune pacouue pa un couant pemanent. Etant donné la géométie cylindique du solénoïde, on se place en coodonnées cylindiques, l axe étant l axe du solénoïde. La densité de couant est tooïdale et s écit j( ρθ,, ) = j( ρ) u θ puisqu il y a invaiance pa otation autou de l axe et tanslation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est poloïdal et s écit B( ρθ,, ) = B( ρ) u On choisit tois contous d Ampèe difféents (voi figue) : D A () B R O l (1) () ontou (1) : B dl + B dl + B dl + B dl = AB B D DA AB B du B du = D BABl = BDl Donc, le champ magnétique est unifome à l intéieu du solénoïde (pace qu il est infini). ontou () : on obtient le même ésultat, c est à die un champ unifome à l extéieu. Mais comme ce champ doit ête nul à l infini, on en déduit qu il est nul patout. ontou () : B dl + B dl + B dl + B dl = Nlµ AB B D DA Bu du = Nlµ D B=µ N

6 17..- Relations de continuité du champ magnétique Puisque le couant est la souce du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe à la tavesée d une nappe de couant infinie. omme pou le champ électostatique, va-t-on voi une discontinuité dans le champ? Soit une distibution sufacique de couant j s sépaant l espace en deux égions 1 et. ds S n1 S j s S1 Région ds1 Région 1 onsidéons une suface femée fictive, tavesant la nappe de couant. La consevation du flux magnétique à taves cette suface s écit B ds + B ds + B ds = S1 S S L où S L est la suface latéale. Losqu on fait tende cette suface ves éo (S 1 tend ves S ), on obtient S S1= S B ds + B ds = S 1 ( B B1) n1ds = = = dans cette limite. e ésultat étant valable quelque soit la puisque ds1 ds dsn1 suface S choisie, on vient donc de démonte que ( B B) n = 1 1 Pou la composante tangentielle, nous allons utilise le théoème d Ampèe. onsidéons le contou d Ampèe suivant : Région D M A n1 τ N B j s Région 1 Le théoème d Ampèe s écit alos B dl + B dl + B dl + B dl =µ AB B D DA

7 18 Le couant est celui qui cicule su la nappe, autement dit, il est défini pa la densité de couant sufacique = j ds = j dl ( s τ ) ABD MN ( 1 τ ) est un tiède diect. Dans la limite DA, le théoème d Ampèe founit où MN, n, MN ( B1 B) dl = µ js τ dl ( ) Puisque MN est quelconque, on doit avoi ( B1 B) dl =µ js τ dl = ( B B ) dl τ n = [( B1 B) n1] τ dl c est à die (puisque la diection de τ est abitaie) ( B 1 B ) n 1 =µ j S MN ( ) 1 1 En ésumé, à la tavesée d une nappe de couant, la composante nomale du champ magnétique este continue, la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue...4- Les tois façons de calcule le champ magnétique En guise de ésumé voici des conseils su les méthodes à employe pou calcule le champ magnétique. La fomule de Biot et Savat : elle n est patique que losqu on sait faie l addition vectoielle des champs db céés pa un petit élément du cicuit (souvent des cicuits filifomes). La consevation du flux : à n utilise que si l on connaît déjà son expession dans une aute égion de l espace (voi un exemple d utilisation à la section pécédente). Le théoème d Ampèe : il faut ête capable de calcule la ciculation du champ su un contou choisi. ela nécessite donc une symétie elativement simple des couants. Dans tous les cas, il faut pende en compte les popiétés de symétie de la densité de couant..- Le dipôle magnétique..1- hamp magnétique céé pa une spie Soit une spie plane, de fome quelconque, de cente d inetie O, pacouue pa un couant pemanent. Nous allons calcule le champ magnétique céé pa cette spie en tout point M de l espace, situé à gande distance de la spie (pécisément, à des distances gandes compaées à la taille de la spie).

8 19 On pose θ M = OM = PM ρ = OP = u = n O u P dop On va donc utilise la fomule de Biot et Savat, dans la limite >> ρ, pou tout point P appatenant à la spie d BM ( )= µ ρ π 4 Evaluons le teme pou des points M situés à gande distance de la spie : ρ ρ = ( + ρ ρ) ρ 1 ρ ρ 1+ u ρ + u ρ u où nous avons fait un développement limité à l ode 1. En epotant cette expession dans la fomule de Biot et Savat on obtient BM ( ) µ 4π spie dρ ρ dρ u + d u( u) ρ ρ spie spie spie Evaluons sépaément chaque teme intevenant dans la paenthèse : dρ u = dρ u = [ ρ( P) ρ( P) ] u = spie spie puisque le vecteu u est indépendant du point P su la spie et qu on fait une intégation su toute la spie, en evenant au point de dépat P. dρ ρ 1 S = ρ dρ = n spie spie où n est le vecteu nomal au plan de la spie (vecteu de base de l axe ) et S sa suface. e calcul est généal, valable quelle que soit la suface.

9 n En effet, une suface élémentaie ds, telle que 1 ρ dρ = dsn O ρ ds P dρ= dop est toujous engendée los d un petit déplacement du vecteu ρ. dρ u( ρ u)= u dρ( ρ u) spie spie Penons une suface S plane quelconque. Su cette suface, on a dxy xy Po ( )=[ ] P = o puisqu on evient au même point dépat P. On a donc l égalité xdy = -ydx. Pa ailleus, [ x x ] [ y x ] o o on a également la popiété suivante xdx = = ydy = =. x o yo On va utilise ces popiétés généales pou calcule l intégale inconnue ci-dessus. Si on décompose les vecteus ρ et u dans la base( e1, e) engendant le plan de la spie, on obtient dρρ ( u)= dρ1( ρ1u1 + ρu) e1 + dρ( ρ1u1 + ρu) e o, u1 ρ1 1ρ1 ρ ud = [ 1 ( P) ρ1 ( P )]= D où spie dρρ ( u)= u ρdρe + u ρdρe spie spie spie = use + = Sn u En assemblant ces ésultats, on obtient un champ magnétique S BM n u ( ) µ ( Sn u ) 4π On voit donc appaaîte une gandeu impotante ca décivant complètement la spie «vue» depuis une gande distance, à savoi le moment magnétique dipolaie use 1 1 M = Sn En utilisant l égalité u ( u)= ( u u) u( u ) champ magnétique céé pa un dipôle BM ( )= µ [ u( M u ) 4π M] u = µ gad M 4π

10 1 En coodonnées sphéiques, u M = Mcosθ et les composantes poloidales du champ s écivent B = µ Mcosθ 4π B = µ s θ Minθ 4π Lignes de champ : omme nous l avons vu pécédemment, les lignes de champ ne sont pas des coubes où la nome du champ magnétique est constante. ci, l équation des lignes de champ en coodonnées sphéiques founit : d dθ = µ M µ M cosθ sinθ 4π 4π θ d cosθdθ = sinθ θ θ ln = ln sin sinθ sinθ = sinθ où le ayon sphéique coespond à un angle θ abitaie. Remaques : 1. es expessions ne sont pas à eteni : il faut pa conte compende et savoi epoduie la démonstation.. Pou établi l expession du champ céé pa un dipôle, nous avons fait un développement limité en ne consevant que les temes d ode un. Les temes d ode supéieu (multipolaies) ne jouent un ôle qu à poximité immédiate de la spie...- Le modèle du dipôle en physique l est intéessant de emaque que l expession du champ magnétique céé pa une spie de couant (dipôle magnétique M = Sn) est fomellement équivalente à celle du champ électostatique céé pa un système de deux chages opposées (dipôle électique p = qd) 1 u EM ( )= gad p 4 π ε ependant, pou le champ magnétique, il s avèe impossible de sépae le dipôle en une chage magnétique «+» et une aute «-». Le dipôle est la pemièe souce de champ magnétique. est la aison pou laquelle il joue un si gand ôle dans la modélisation des effets magnétiques obsevés dans la natue, au niveau micoscopique comme macoscopique. L oigine du champ magnétique d un matéiau quelconque (ex : aimant) doit ête micoscopique. En utilisant le modèle atomique de Boh, on peut se convaince que les

11 atomes (du moins cetains) ont un moment magnétique dipolaie intinsèque. Le modèle de Boh de l atome d Hydogène consiste en un électon de chage q=-e en mouvement ciculaie unifome autou d un noyau cental (un poton) avec une péiode T = π ω. +e ω a -e v = ω a Si on egade su des échelles de temps longues pa appot à T, tout se passe comme s il y avait un couant q qω = = T π On a donc une sote de spie ciculaie, de ayon moyen la distance moyenne au poton, c est à die le ayon de Boh a. L atome d Hydogène auait donc un moment magnétique intinsèque qω M = Sn = a q n = ( ) m m a n ω q = L m ( ) où L est le moment cinétique de l électon et q m est appelé le facteu gyomagnétique. e aisonnement peut se généalise aux autes atomes. En effet, un ensemble de chages en otation autou d un axe vont poduie un moment magnétique popotionnel au moment cinétique total. ela se poduit même si la chage totale est nulle (matéiau ou atome neute) : ce qui compte c est l existence d un couant. l suffit donc d avoi un décalage, même lége, ente les vitesses des chages «+» et celles des chages «-». Du coup, on peut explique qualitativement les popiétés magnétiques des matéiaux en fonction de l oientation des moments magnétiques des atomes qui les composent : Matéiaux diamagnétiques : les moments sont distibués aléatoiement, il n y a pas de champ magnétique intinsèque. Matéiaux paamagnétiques : ceux pou lesquels les moments peuvent s oiente dans une diection pivilégiée en pésence d un champ magnétique extéieu, pouvant donc ête ainsi aimantés momentanément. Matéiaux feomagnétiques : ceux dont les moments sont déjà oientés dans une diection paticulièe, de façon pemanente (aimants natuels). La Tee est connue pou avoi un champ magnétique dipolaie, où le pôle Nod magnétique coespond au pôle Sud géogaphique (à un angle pès). Au niveau macoscopique, l explication de l existence du champ magnétique obsevé su les planètes et su les étoiles est encoe aujoud hui loin d ête satisfaisante. La théoie de l effet dynamo essaye de ende compte des champs obsevés pa la pésence de couants, essentiellement aimutaux, dans le cœu des astes. Plusieus faits connus estent patiellement inexpliqués : Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à gande échelle qui essemble à celui de la Tee, appoximativement dipolaie. ependant, il y a une invesion de polaité tous les 11 ans. Pou la Tee, on a pu mette en évidence qu il y avait eu une invesion il y a envion 7. ans. Pa ailleus, on obseve des fluctuations du champ. Non-alignement avec le moment cinétique de l aste : s il est de l ode d une diaine de degés pou la Tee (avec une modification de la diection de l axe magnétique d envion 15 pa an), il est de 9 pou celui de Neptune!