Physique Durée : 3h30

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1 Banqu «Agro - Véto» A - 38 Physiqu Duré : 3h3 L usag d un calculatric st autorisé pour ctt épruv. Si, au cours d l épruv, un candidat rpèr c qui lui smbl êtr un rrur d énoncé, il l signal sur sa copi t poursuit sa composition n xpliquant ls raisons ds initiativs qu il a été amné à prndr. L problèm illustr sur l xmpl d la vinification différnts phénomèns physiqus t lur utilisation potntill pour améliorr la production d vins. Il st décomposé n quatr partis touts indépndants. Ls trois prmièrs portnt sur différnts aspcts d la spctroscopi infraroug n tant qu outil d contrôl d la frmntation alcooliqu. La drnièr parti trait du phénomèn d évaporation au travrs ds pors du chên qui intrvint lors d frmntation puis d la maturation du vin n fûts. La spctroscopi infraroug st un tchniqu d msur d plus n plus utilisé pour l suivi d procédés industrils t l contrôl d qualité. Ell prmt n fft d obtnir n tmps rél d l information sur ls propriétés physiqus t chimiqus du miliu analysé. La prmièr parti d c problèm s intérss au princip d la msur d spctrs d absorption vibrationnll dans l cadr du suivi par spctroscopi infraroug d la frmntation alcooliqu. La scond parti s intérss quant à ll à la parti optiqu d un spctroscop à résau prmttant d sélctionnr la longuur d ond désiré. Enfin, la troisièm parti trait d l aspct élctroniqu d la détction d fréqunc du signal. I. Princip d l absorption vibrationnll : Dans ctt parti, on supposra l mouvmnt unidimnsionnl t on n prndra n compt qu la tnsion du rssort (n particulir, on négligra l poids). On s intérss aux vibrations d un molécul diatomiqu hétéronucléair. Pour modélisr cs vibrations, on considèr qu chaqu atom s déplac avc un mouvmnt harmoniqu. La liaison st rprésnté par un rssort sans mass d raidur qui rli ls dux atoms 1 t d la molécul. On not (Ox) l ax parallèl à la liaison, x 1( t) rprésnt à l instant t la position d l atom 1 d mass m 1, x ( t) rprésnt la position d l atom d mass m (cf figur 1). Figur 1 On not l( t ) la distanc ntr ls dux atoms à l instant t t l la distanc à l équilibr. I.1 Écrir l équation d la dynamiqu pour l atom 1. On justifira l sign d la forc xrcé sur l atom 1. I. Fair d mêm pour l atom. Pag 1/8 T.S.V.P.

2 I.3 En déduir qu l mouvmnt vibratoir put êtr décrit par l équation : d l m1m µ = ( l l ) (1) où l on introduit la mass réduit µ = dt m + m I.4 Résoudr l équation précédnt t n déduir l xprssion d la pulsation d vibration ω vib t d fréqunc d vibration f vib du systèm n fonction d t µ. Qull st l unité d f vib? I.5 Calculr l énrgi potntill V (l) du systèm n fonction d, l t l, n supposant qu n l = l, V ( l ) = V avc V o >. Tracr V (l). En quoi la form du potntil st-ll irréalist pour ls grands distancs l t n l =? En déduir un allur plus plausibl du potntil d intraction d un molécul diatomiqu. Qu rprésnt V? Sachant qu pour touts ls moléculs diatomiqus, la distanc à l équilibr a toujours l mêm ordr d grandur (qulqus angströms), justifir (n 3 ligns maximum) qu st qualitativmnt rlié à la solidité d la liaison. I.6 En spctroscopi moléculair, ls fréquncs d vibration moléculairs sont abusivmnt 1 xprimés n cm t non n Hrtz. On dvrait alors parlr plus rigourusmnt d nombr d ond σ caractéristiqu d la vibration. Ls dux unités nombr d ond σ t fréqunc f sont rliés par la vitss d la lumièr c ( c = m. s 1 ). Par analys dimnsionnll, déduir la rlation ntr σ, f t c. On admttra ici qu aucun factur numériqu sans dimnsion n st nécssair. Qull fréqunc xprimé n Hz corrspond 1cm -1? I.7 Ls fréquncs d vibration ds moléculs 79 Br 85 Rb t Kr 85 Rb Pag / sont rspctivmnt cm -1 t 13 cm. La différnc d valurs ntr cs dux fréquncs put-ll s justifir par la différnc ntr ls masss du brom t du rypton? Justifir (n qulqus ligns au maximum). Qu pouvz-vous n déduir qualitativmnt sur ls valurs rlativs ds forcs ds dux liaisons? Sachant qu l rypton fait parti d la famill ds gaz rars (drnièr colonn d la classification périodiqu), qu l brom st un halogèn ( avant-drnièr colonn) t l rubidium un métal alcalin (prmièr colonn), la différnc d valurs ds fréquncs vibrationnlls st-ll surprnant? Justifir (n qulqus ligns au maximum). I.8 Dans l alcool éthyliqu (éthanol CH 3 CH OH), on chrch à étudir l mouvmnt d l atom d hydrogèn du group OH par rapport au rst d la molécul. Qulls sont ls masss m 1 t m à considérr? On donn M(C)=1 g.mol -1, M(O)=16 g.mol -1 t M(H)=1 g.mol -1 t l nombr d Avogadro 3 N = 6,.1. a En raisonnant sur la mass réduit µ, montrr qu l mouvmnt d l atom H st approximativmnt clui qu il aurait s il était attaché à un mass infini par un liaison dont la constant d forc st caractéristiqu d la liaison OH. En déduir l xprssion t la valur d µ. -1 Calculr alors pour ctt liaison sachant quσ = 36 cm. OH I.9 Un ond élctromagnétiqu caractérisé par sa fréqunc f s intrprèt du point d vu d la molécul comm un forc sinusoïdal F d fréqunc f qu on supposra d amplitud F. Précisr la form d la forc F. En admttant qu, dans l cas d la présnc d un ond élctromagnétiqu, l mouvmnt vibratoir d la molécul st idntiqu à clui d la mass réduit auqul on ajout simplmnt la forc F, montrr

3 qu l équation du mouvmnt put s mttr sous la form : d l µ = ( l l ) F cos( t) + ω où l on précisra la rlation ntr ω t f. dt I.1 On s intérss au mouvmnt forcé d la mass réduit sous l influnc d la forc F. Pour c δl = l l = l xp jωt fair, on utilis la notation complx n posant avc j = 1. On chrch alors à F = F xp jωt v dδl détrminr la fonction d transfrt T = où v = = désign la vitss d la mass réduit. F dt DétrminrT. I.11 Rprésntr l allur d T n fonction d la fréqunc f. Qul st l maximum d T t pour qull fréqunc f a-t-on c maximum? Qul phénomèn physiqu ayant été négligé pourrait rndr c résultat plus réalist? L amplitud d la répons n vitss T caractéris parfaitmnt l absorption d l ond élctromagnétiqu par la molécul. Plus ctt amplitud st grand, plus l phénomèn d absorption st important. Plus généralmnt, on rappll qu la spctroscopi infraroug prmt d détrminr ls groups fonctionnls d un molécul à partir d la msur d son spctr d absorption vibrationnll. II Étud ds principaux composants d un spctromètr : La sourc d lumièr st un lamp halogèn émttant dans touts ls dirctions d l spac t dont l spctr d émission st continu sur un plag d longuurs d ond couvrant l domain du visibl t du proch infraroug (4nm-nm). On l assimilra à un sourc ponctull situé n S. La sourc st au point focal objt d un prmièr lntill minc convrgnt L 1 d ax optiqu (Sx) situé n O 1. Un diaphragm D d diamètr d cntré sur l ax optiqu sélctionn ls rayons issus d L 1 prochs d l ax. Un scond lntill L d distanc focal f focalis l faiscau issu d L 1 dans la fnt d ntré d un ' spctromètr situé n F t illumin ainsi un miroir sphériqu M 3 situé n O 3. Aucun connaissanc sur ls miroirs sphériqus n st nécssair pour pouvoir traitr ctt parti. Figur II.1.a Tracr dux rayons luminux issus d la sourc S t arrivant au miroir M 3. II.1.b Qull doit êtr l xprssion d la distanc focal f d L pour qu un portion circulair d diamètr d 3 du miroir soit éclairé? On donn : F O 3 = L. Pag 3/8 T.S.V.P.

4 II. L miroir M3 st un miroir sphériqu qui st incliné par rapport à l ax (O 1 x). On admttra l approximation qu tous ls rayons passant par F sont réfléchis par l miroir n étant parallèls à l ax O 3 O (voir figurs 3 t 4). Ls rayons éclairnt un résau par réflxion, situé n O, présntant ds traits équidistants d pas h, avc un angl d incidnc i (msuré algébriqumnt) par rapport à la normal au résau (voir figur 4). D mêm, on not θ l angl ds rayons diffractés (msuré algébriqumnt) par rapport à la normal au résau. II..a On appll n l nombr d traits par unité d longuur du résau. Qull st la rlation ntr l pas h t n? II..b Exprimr, n justifiant clairmnt l calcul, la différnc d march δ ntr ls rayons (1) t () d la figur 4 n fonction d h, i t θ. On notra θ la dirction qui corrspond au -ièm maximum pour un longuur d ond λ. II..c En précisant clairmnt (n qulqus ligns maximum) l raisonnmnt, montrr qu la rlation λ ds résaux par réflxion qui rli θ à i, h t λ s écrit : sin( i) + sin( θ ) =. h À quoi corrspond l maximum θ d ordr? Commntr c résultat (3 ligns maximum). II.3 Un scond miroir M 4 cntré n O 4 t idntiqu à M 3 collct ls rayons diffractés t ls fait convrgr au nivau d la fnt d sorti F 4 du spctromètr. On admttra d mêm qu suls ls rayons parallèls à OO 4 convrgnt n F 4 t puvnt ainsi quittr l spctromètr. Ls autrs rayons sont bloqués par ls parois du spctromètr. On not ϕ = i θ la valur d l angl ntr ls dirctions OO 3 t OO 4. Dans la pratiqu, ls miroirs M 3 t M 4 étant fixs, l angl ϕ st fixé t n put donc varir. II.3.a Justifir qu suls crtains longuurs d ond émiss par la lamp halogèn dans l intrvall spctral [4nm-1nm] sont ainsi sélctionnés pour un angl d incidnc i donné. Donnr lur xprssion. Faits l application numériqu pourϕ =, i = 5 t un résau d 1 traits par millimètrs. On xprimra ls longuurs d ond trouvés n nanomètrs. ' Figur 3 Figur 4 Pag 4/8

5 II.3.b L résau st placé sur un platau tournant autour d l ax (Oz) prpndiculair au plan d la figur 4 d tll sort à fair varir l angl d incidnc i t choisir ainsi la longuur d ond d sorti du spctromètr. Ls miroirs rstnt quant à ux fixs. Sachant qu l résau n put tournr qu pour ds angls i compris ntr i 1 = t i = 6, qull plag d longuurs d ond diffractés à l ordr +1 st ainsi sélctionné à la sorti du spctromètr? Donnr l application numériqu (n nanomètrs) pour ϕ = i θ = t un résau d 1 traits/mm. II.4 On définit l fficacité disprsiv du résau par l xprssion: θ = λ i, Donnr son xprssion n fonction d λ, i, h t. Commnt évolu avc h pour tout autr paramètr constant? II.5 Dans l cadr du suivi par spctroscopi infraroug d la frmntation alcooliqu, on souhait étudir plus particulièrmnt l spctr d absorption du miliu situé ntr 14nm t 16nm. On dispos pour cla d trois résaux possibls d nombr d traits par millimètrs 3, 6 t 1. Parmi cs trois résaux, lqul choisiriz-vous t pourquoi? III Détction synchron : Ctt parti s intérss au systèm d détction d spctrs. Il st composé d un photodétctur qui délivr un tnsion élctriqu proportionnll à l intnsité du signal optiqu rçu t d un systèm dit d détction synchron qui prmt d xtrair ds signaux élctriqus faibls qui sont noyés dans l bruit d la msur. On s intérss par la suit au princip d la détction synchron. L montag élctriqu st donné figur 5. La tnsion d ntré V (t) délivré par l photodétctur st multiplié par un signal d référnc V rf (t) t st nsuit filtré. Figur 5 III.1 On étudi tout d abord l filtr RC. On s plac n régim sinusoïdal. On associ à la grandur u (t) = U cos ωt + ϕ, la grandur complx, u = U xp j( ωt + ϕ) avc j = 1. ( ) III.1.a À partir d un raisonnmnt qualitatif basé sur l comportmnt à haut t bass fréqunc d un condnsatur, prévoir la natur du filtr étudié (4 ligns au maximum). Pag 5/8 T.S.V.P.

6 u III.1.b Détrminr la fonction d transfrt n notation complx H = u s. Mttr l résultat sous la form H = 1+ H o f j f. Exprimr H t f n fonction d R t C. III.1.c En déduir la fréqunc f c pour laqull coupur du filtr. H = Pag 6/8 H. Ctt fréqunc sra applé la fréqunc d III.1.d On not H = H xp( jψ ) où H t ψ désignnt rspctivmnt l modul t l argumnt d H. Tracr l allur du modul d H n fonction d f. Commnt s comport l filtr aux hauts t aux basss fréquncs, c'st-à-dir rspctivmnt pour f f c t f fc? Qull st la natur du filtr? III.1. Exprimr ψ n fonction d R, C t ω. III. L signal d ntré v (t) st la somm d un signal sinusoïdal d fréqunc f t d un trm d bruit qu l on notra b(t) t qu l on supposra sinusoïdal d fréqunc f b, b( t) = b cos( π fbt), soit v ( t) = V cos(π ft) b( t). L princip d la détction synchron st alors d accédr xpérimntalmnt + à un msur du signal v tout n s affranchissant du bruit. L signal d référnc a la mêm fréqunc f t s écrit: v ( t) = V cos(πft ). 1 III..a En utilisant la rlation: cos a cosb = (cos( a + b) + cos( a b)), montrr qu l produit vrf ( t) v( t) s écrit sous la form d un somm : v ( t) v ( t) = A + B cos(4 π ft) + C cos π ( f f ) t + C cos π ( f + f ) t ( ) ( ) rf b b On xplicitra ls constants A, B t C n fonction d V, V rf t b. On rmarqura n particulir qu crtains d cs constants n s xprimnt qu n fonction d V t V rf, c qui, connaissant V rf, prmttrait d msurr V n s affranchissant du bruit. III..b Supposons qu l signal parasit a un fréqunc fb = 6Hz t qu la fréqunc f du signal d référnc st f = 5Hz. Qulls sont ls fréquncs ds dux composants sinusoïdals du signal parasit qu l on obtint à la sorti du multiplicatur? III..c L circuit RC étant composé d élémnts linéairs, on put appliqur l princip d suprposition. Rapplr l énoncé du princip d suprposition. On pos 1 = A, = B cos(4 π ft), 3 = C cos( π ( fb f ) t) t 4 = C cos( π ( fb + f ) t) t on rmarqura qu l ntré du filtr RC s écrit u = En utilisant ls résultats d la qustion III.1 précisr l xprssion d l amplitud ds sortis s 1, s, s 3 t s 4 associés rspctivmnt à 1,, 3 t 4. Commnt s écrit alors la sorti u ( t )? s III..c.1 L signal parasit a un amplitud b 1 fois plus important qu l amplitud V du signal qu l on chrch à msurr. Si on souhait atténur l amplitud d la composant d us ( t ) associé au bruit parasit (c'st-à-dir rlié à l amplitud b ) d plus bass fréqunc par un factur 1 grâc au rf rf

7 filtr RC, qull valur numériqu doit on choisir pour f c? Qul st alors l intérêt d un tl filtr (répons n 3 ligns maximum)? IV Écoulmnt à travrs un miliu porux : Ctt drnièr parti du problèm s intérss à l étap d maturation du vin dans ds fûts (tonnau) n chên. Dans la réalité, c phénomèn st xtrêmmnt complx t on s contntra ici d un modèl simplist prmttant la modélisation d l évaporation d un parti du liquid au travrs ds pors du chên. IV.1 Loi d Poisuill On s intérss aux principals caractéristiqus d l écoulmnt du vin à travrs l miliu porux qu constitu l fût n chên. Pour cla, on étudi tout d abord l écoulmnt à travrs un sul por du chên qu l on modélisra comm un conduit cylindriqu d rayon a, d ax d symétri horizontal (x x) t d longuur L slon (x x), voir figur 6. L fluid st nwtonin, incomprssibl d mass volumiqu ρ t d viscosité dynamiquη. L écoulmnt st laminair t prmannt slon la dirction (x x) t on not P( x ) la prssion supposé uniform dans l plan d absciss x. On suppos qu l gradint d prssion dp slon (x x) st constant t vaut = P / L avc P > sur la longuur L du por. La vitss d un dx particul d fluid à la distanc r d l ax st noté v = v( r) u x avc u x vctur unitair d l ax (x x). Figur 6 Figur 7 IV.1.a En appliquant l théorèm d Eulr au volum d contrôl cylindriqu d rayon r t situé ntr ls plans d abscisss x t x + dx (cf. figur 6), démontrr qu la vitss a pour profil : 1 P v( r) = ( a r ) 4 η L IV.1.b En déduir qu l débit volumiqu D à travrs l cylindr d diamètr d = a s écrit : D π = ( P ) d v 18η L 4 v IV. Loi d Darcy On modélis par la suit l miliu porux par un nsmbl d pors cylindriqus idntiqus d ax horizontal t normal à la paroi d épaissur L du tonnau. On not n l nombr d pors par unité d surfac, d = a l diamètr d chaqu por; lur longuur slon Ox st égal à l épaissur d la paroi, soit L. Pag 7/8 T.S.V.P.

8 IV..a On définit la porosité comm l volum total ds pors sur l volum total du miliu porux. Exprimr la porosité Φ n fonction ds donnés du problèm. P IV..b Un gradint d prssion xist d part t d autr d la paroi du chên. En supposant qu L l écoulmnt à travrs un por vérifi la loi d Poisuill, n déduir qu l débit volumiqu total par P unité d surfac vérifi la loi d Darcy: D v = avc la prméabilité, qui st un fonction d d η L t Φ qu l on xprimra. IV.3 Modélisation d l évaporation. On supposra qu l vin franchit la paroi n chên t s évapor au contact avc l air. On chrch à stimr l volum d vin qui franchit la paroi par an. On assimilra pour cla l tonnau à un cylindr d diamètr R = 1 m t d longuur h =,5 m déposé vrticalmnt (voir figur 7). On supposra qu l écoulmnt n s ffctu qu sur ls parois latérals du cylindr. On prndra pour prssion à l xtériur du tonnau la prssion atmosphériqu P. La prssion à l intériur du tonnau st gouvrné par la loi d l hydrostatiqu, la prssion au sommt du tonnau étant P. IV.3.a Rapplr l équation d la statiqu ds fluids. En déduir l xprssion d la prssion P( z ) à l intériur du tonnau. IV.3.b On supposra qu au nivau d un por, la prssion put êtr considéré comm constant l long d sa sction, d tll sort qu l xprssion établi n IV..b rst valabl. La prméabilité du chên utilisé st d =.1 darcy ( 1 darcy = 1 µ m ). Sachant qu = η Pl, ρ = 1 g l, g = 1 m s t L = cm, xprimr d façon littéral D tot l débit volumiqu d vin qui s écoul à travrs l tonnau. En déduir numériqumnt l volum d vin prdu par an. L modèl st il réalist? FIN DE L ÉPREUVE Pag 8/8

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