La taverne de l'irlandais

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1 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Le mot de l'auteur La taverne de l'irlandais Les temps changent et les programmes officiels scolaires aussi! Mais pas [ nécessairement en bien... présente Cette année, un nouveau programme de mathématiques est entré en vigueur en première S. Par rapport au précédent, nous dirons qu'il était plus...léger. A l'instar de l'horaire attribué à la discipline passé de 5 à heures. Enfin, à condition de ne pas transformer une heure d'accompagnement personnalisé (une bien belle innovation pédagogique dont on se demande le contenu) en une heure de cours. C'est le drame de notre école : on ne prend plus le temps d'apprendre, c'est-à-dire le temps de corriger ses erreurs. Factuellement, la plupart des points de l'ancien programme jugés «superflus» (comprenez trop exigeants) ont été repoussés à l'année de terminale S qui se retrouve de facto très chargée. A plus tard les limites et les asymptotes, la géométrie dans l'espace. Adieu les barycentres et la géométrie plane. Mais salut à l'échantillonnage et à la loi binomiale...mais sans avoir parlé au préalable de dénombrement, de combinaisons ou des «p parmi n». Car les coefficients binomiaux doivent être vus comme une conséquence de la calculatrice. Peu importe que la loi binomiale puisse être construite assez facilement en partant des tirages avec ordre, puis simultanés pour définir les combinaisons et aboutir aux les schémas de Bernoulli. C'est trop dur! Contrairement à l'échantillonnage qui n'a aucun intérêt du point de vue des élèves. Mais pourquoi apprendre quand il n'y a rien à savoir? Voici donc le recueil des exercices que j'ai donnés en devoirs en première S cette saison. J'y ai conservé les limites et parlé des combinaisons. Ce n'est pas bien mais j'assume! Car les mathématiques sont une discipline de manœuvre Tous les exercices du présent document ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON, et non de seules connaissances. Parfois, il faut savoir aller un théorème trop professeur (dés)agrégé de mathématiques. loin. Tous droits réservés. es exercices de ce volume sont classés par catégories : Analyse et algèbre... Dérivation et limites... 8 Géométrie... Probabilités et statistiques... Produit scalaire... Suites... Trigonométrie et angles orientés... Edition du samedi 0 juin 0

2 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Analyse et algèbre Les inégalités, ça croasse! Dans cet exercice, il s'agit de résoudre des équations ou inéquations classiques : second degré, quotient et avec valeur absolue. Il se termine par une inéquation du troisième degré nécessitant une factorisation par x α qui doit être hors programme... L'énoncé a) Résoudre dans les inéquations suivantes. On conclura chacune d'elles en donnant l'ensemble des solutions. 0 x 8 0x x + x x b) Résoudre dans l'équation et les deux inéquations suivantes. On conclura chacune d'elles en donnant l'ensemble des solutions : x 8 x + > 5 x c) Le but de cette question est la résolution dans de l'inéquation : x x x 0 > 0 On appelle P( x ) le polynôme du troisième degré : P ( x) x x x 0. Calculer P. Que peut-on en déduire?. Déterminer par la méthode de votre choix trois coefficients entiers a, b et c tels que pour tout réel x, on ait : ( ) ( + + ) P x x a x b x c Résoudre dans l'inéquation x x x 0 > 0. a.) Pour résoudre cette inéquation du second degré, nous allons tout ramener dans le membre de gauche et nous aurons alors à nous prononcer sur le signe d'un trinôme. x 8 0x x + 0x 8 0 Quand N(x) est-il N( x) positif ou nul? Pour connaître le signe de la forme du second degré N ( x ), calculons son discriminant. N x Son discriminant étant positif, le trinôme N ( x ) admet deux racines distinctes : 0 0 et x x Nous en déduisons que le tableau de signe de N ( x ) est : x / + f ( x ) Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ] ; ] ; + a.) Pour résoudre cette seconde inéquation, nous allons tout ramener dans le membre de gauche puis mettre tout ce petit monde au même dénominateur. ( x ) x x x x x Quand ce quotient est-il x + 0 positif ou nul? x Ce quotient est formé de deux facteurs affines. Son tableau de signe est le suivant : x / + x + x Quotient + 0 Nous en concluons que l'ensemble des solutions est : S ; Signe du coefficient dominant à l'extérieur des racines, signe contraire à l'intérieur... Un facteur affine ax+b est du signe de son coefficient directeur a après sa racine, du signe contraire avant.

3 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a.) Pour résoudre cette dernière inéquation, nous allons procéder comme précédemment : b.) Les réels dont la valeur est plus grande que 5 sont ceux situés avant 5 et ceux se tout ramener à gauche, mise au même dénominateur et signe d'un quotient. trouvant après 5. Cela étant dit, il vient : 0 0 ( x + ) ( x) 0 Avant 5 Après 5 x + x x x x x + > 5 x + < 5 ou x + > 5 N( x) x < 6 x > 6x x + x 0 x + 5x x <,5 x > 0 0 x x + Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est la réunion : Le dénominateur x + étant affine, son signe ne pose guère de problèmes. S ] ;, 5[ ] ; + [ Par contre, pour connaître celui du numérateur N ( x) x + 5x qui est une forme du second degré, nous allons devoir calculer son discriminant : N x Son discriminant étant négatif, le trinôme N ( x ) n'a pas de racine et, surtout, il est toujours du signe de son coefficient dominant, c'est-à-dire toujours négatif. Nous en déduisons que le tableau de signe de notre quotient est : b.) Les réels dont la valeur absolue est inférieure à sont ceux situés entre et. ( ) x x 0 x qui est 5 x négatif. Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ;5 [ ] x + N ( x ) x Quotient + La conclusion de cette résolution est que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ; ] [ b.) La valeur absolue d'un nombre est égale à la distance qui le sépare de 0. Résolvons dans la première équation proposée. Deux nombres pour valeur absolue 8 : 8 et 8 x 8 x 8 ou x 8 La racine et son opposée ont le même carré. Cette équation a quatre solutions : x 9 x 5 x ou x x 5 ou x 5 S { 5; ;;5 } c.) Calculons l'image de par le polynôme P. P Son image étant nulle, est une racine du polynôme P ( x ). Par conséquent, ce dernier est factorisable par le facteur x. C'est d'ailleurs l'objet de la question suivante... c.) Nous allons déterminer les coefficients a, b et c en utilisant la méthode par identification. On veut écrire le polynôme P ( x ) sous la forme : ( ) ( + + ) P x x a x b x c a x + b x + c x a x b x c x + x + x + 0 a x + b a x + c b x + c Deux polynômes égaux ont des coefficients de même degré égaux. Identifions-les! En x En x a soit a En x b a b 8 b c b c 8 c 5 Constant 0 c 5 c Nous en concluons que la forme factorisée du polynôme P est : P x x x + x + 5 Et d'un! Et de deux! Et de trois! Ca confirme!

4 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Une autre méthode pour factoriser le polynôme par x- consiste à extraire Les composées graphiques successivement le facteur x de chacun des termes du polynôme P. Combien de fois x? Au total x P( x) x x x 0 x ( x ) + 8x x x 0 Dans cet exercice, il est question de lectures graphiques, d'images, d'antécédents, de variation et de signe, puis de compositions (sans en prononcer le mot) avec les fonctions Combien de fois x? valeur absolue, inverse et racine carrée. Au total x x ( x ) + x x 0 x ( x ) + x ( x ) + 8x x 0 L'énoncé x x + x x + 5x 0 Un......facteur......commun x x + x x + 5 x x x + x + 5 La fonction f est définie sur l'intervalle [ ;8]. Sa courbe représentative (C) est tracée sur le graphique ci-dessus. y c.) Le polynôme P ayant été factorisé, l'inéquation devient : x x x 0 > 0 ( x ) ( x + x + 5) > 0 N( x) Dans ce produit, seul le signe du trinôme complémentaire et exploratoire. Calculons son discriminant : N ( x) N x x + x + 5 requiert un petit travail Son discriminant étant négatif, la forme du second degré N ( x ) n'admet aucune racine et est toujours positive comme son coefficient dominant. Pour connaître le signe de N ( x ), nous aurions aussi pu utiliser sa forme canonique. Début de cette......identité Positif car somme de deux positifs N x x + x + 5 x x + + Nous en déduisons que le tableau de signe du quotient est : x + x N ( x ) P( x ) En conclusion, nous disons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S ; + ] [ (C) a) En utilisant le graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :. Déterminer les images de ; 0 et 5 par la fonction f.. Déterminer les antécédents de et par la fonction f.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition.. Dresser le tableau de signe de f ( x ). b) On appelle g la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [ ;8] par : g ( x) f ( x). Déterminer les valeurs des images g ( 0) ; g et g ( 5).. Etablir les variations de la fonction g sur [ ;8]. On justifiera ses réponses. x

5 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 c) On appelle h la fonction définie par : b.) La fonction g est la valeur absolue de la fonction f. En utilisant la courbe (C), nous pouvons écrire : h( x) f ( x). Déterminer l'ensemble de définition D h de la fonction h.. Etablir les variations de la fonction h sur son ensemble de définition D h. On justifiera ses réponses. d) On appelle j la fonction définie par : j x f ( x). Déterminer l'ensemble de définition D j de la fonction j.. Etablir les variations de la fonction j sur son ensemble de définition D j. On justifiera ses réponses. a.) n'appartenant pas à l'ensemble de définition de f, il n'a pas d'image par cette fonction. Le point de la courbe (C) dont l'abscisse est égale à 0 a pour ordonnée. Ainsi : f 0 Le point de la courbe (C) dont l'abscisse est égale à 5 a pour ordonnée. Donc : f 5 a.) Un seul point de la courbe (C) a pour ordonnée. Son abscisse est égale. Par conséquent, a un seul antécédent par la fonction f qui est. Aucun point de la courbe (C) n'a pour ordonnée. Donc n'a pas d'antécédent par f. a.) Vu la courbe (C), le tableau de variation de la fonction f est : x 5 8 f a.) Toujours d'après la courbe (C), le tableau de signe de f ( x ) est : x 8 f ( x ) 0 + g 0 f 0 g f 0 0 g 5 f 5 b.) La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction valeur absolue. La fonction valeur absolue est décroissante si elle s'applique à des réels négatifs et croissante si elle concerne des réels positifs. ;8, trois cas Compte-tenu des variations et du signe de la fonction f sur l'intervalle [ ] correspondant à trois intervalles sont à envisager. ;, la fonction g est la composée suivante : Sur l'intervalle ] [ f Valeur absolue x f x f x g x ] ; [ Croissante Décroissante sur ] ;[ ] ; 0[ sur ] ; 0[ Donc la fonction g est décroissante sur l'intervalle [ ;[. Sur l'intervalle ] ;5 [, la fonction g est la composée suivante : f Valeur absolue x f x f x g x ] ;5[ Croissante Croissante sur ] ;5[ ] 0; [ sur ] 0; + [ Donc la fonction g est croissante sur l'intervalle ] ;5 [. Sur l'intervalle ] 5;8 [, la fonction g est la composée suivante : f Valeur absolue x f x f x g x ] 5;8[ Décroissante Croissante sur ] 5;8[ ] ;[ sur ] 0; + [ Donc la fonction g est décroissante sur l'intervalle ] 5;8 [. En conclusion, à gauche le tableau de variation de g et à droite sa courbe représentative... y x 5 8 g 0 c.) La fonction h est la racine carrée de la fonction f. 0;+, c'est-à-dire que pour les réels La fonction racine carrée n'est définie que sur [ [ positifs ou nuls. Par conséquent : h x existe La racine carrée de f x existe f x 0 x ;8 [ ] Conclusion : l'ensemble de définition de la fonction h est : D [ ;8] h ( C g ) x

6 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 c.) La fonction h est la composée de la fonction f suivie de la fonction racine carrée. En conclusion, le tableau de variation de la fonction j est : La fonction racine carrée est strictement croissante là où elle est définie. Compte tenu de ce que sont les variations de f sur [ ;8 ], deux cas sont à envisager : ] ;5[ ] 5;8[ f Racine carrée x f x h x ] ;5[ Croissante Croissante sur ] ;5[ ] 0;[ sur [ 0; + [ f Racine carrée x f x h x ] 5;8[ Décroissante Croissante sur ] 5;8[ ] ; [ sur [ 0; + [ h croissante ] [ sur ;5 h décroissante ] [ sur 5;8 Et sa courbe représentative est : y x 5 8 j 0,5 + / En conclusion, à gauche le tableau de variation de la fonction h et à droite sa courbe... x 5 8 y ( C j ) h 0 ( C h ) x ( C j ) étant valeur interdite, la courbe est constituée de deux branches. x d.) Seuls les réels non nuls peuvent être inversés. En conséquence : j x existe L'inverse de f x existe f x 0 x ; ;8 [ [ ] ] Nous en déduisons que l'ensemble de définition de la fonction j est : D j [ ; [ ] ;8] d.) Compte tenu des variations de la fonction f, trois cas sont à envisager pour connaître celles de la fonction j. f Inverse j décroissante ] ;[ x f ( x) j ( x) ] ;[ Croissante Décroissante ] [ ] [ sur ] ; [ sur ; ;0 sur ] ;0[ f Inverse j décroissante ] ;5[ x f ( x) j ( x). ] ;5[ Croissante Décroissante ] [ ] [ sur ] ;5[ sur ;5 0; sur ] 0; + [ ] 5;8[ f Inverse x f x j x ] 5;8[ Décroissante Décroissante sur ] 5;8[ ] ;[ sur ] 0; + [ j croissante ] [ sur 5;8

7 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Intermède systèmes Cet exercice consiste en deux résolutions classiques de deux systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. L'énoncé Résoudre dans les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues x et y suivants : 8x y 5 () 9x + 8y 5 () ( S ) ( S ) y 8x 6 () 9 x + 0y 68 () La somme 8x y ne pouvant être égale à la fois à 5 et à 6 pas de solutions. Examinons les rapports des coefficients du système ( S )., le système S n'a Rapport en x Rapport en y 6 Rapport cst Comme les trois rapports des coefficients sont égaux, alors les équations () et () sont proportionnelles, c'est-à-dire qu'il s'agit de la même équation. S admet une infinité de solutions. Conclusion : le système

8 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 Dérivation et limites Prenez la tangente! Dans cet exercice, il s'agit de déterminer le nombre dérivé d'une fonction inverse en un point en utilisant la définition de cette notion. L'énoncé Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe ( C f ) représentant la fonction f définie sur par : y f 5 ( x) x + a) Pour tout réel non nul h, nous pouvons écrire : ( ) ( ) f + h f + h + + h h h h h b) Comme : ( h + h + 5) h h 5 h + h + 5 h + h + 5 h + h + 5 h h h h h ( 5) h + h + h h h + h + 5 f + h f h 0 lim lim h 0 h h 0 h + h alors, la fonction f est dérivable en et le nombre dérivé de f en vaut f. 5 O T On a également tracé la tangente T à la courbe ( f ) Cette tangente Ox au point B. a. Etablir que pour tout réel non nul h, on a : f ( + h) f h h h + h + 5 T coupe l'axe des abscisses b. En déduire le nombre dérivé f. c. Déterminer les coordonnées du point B. B ( C f ) C en son point d'abscisse. x c) Le coefficient directeur de la tangente de la forme y x + p. 5 T étant égal à f, son équation réduite est Nous allons déterminer l'ordonnée à l'origine p en usant du fait que le point A( ; ) appartient à la tangente T : A T ya xa + p p ya + xa Donc l'équation réduite de la tangente T est B appartenant à l'axe y x Ox, son ordonnée y B est nulle. De plus, B appartient à T. B T 0 xb + xb xb Conclusion : le point B a pour coordonnées (, 5;0 ).

9 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 Ta tangente par la racine (remix) Autre exercice où il s'agit (encore) de déterminer le nombre dérivé d'une fonction racine. L'énoncé La fonction f est définie pour tout réel x par : a) Calculer l'image de par la fonction f. b) Démontrer que pour tout réel h, on a : f x x + 5 f + h + h h h + h c) Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe ( C f ) représentant la fonction f ainsi que la tangente T à cette même courbe en son point A d'abscisse. y ( C f ) A a) f b) Pour tout réel non nul h, nous pouvons écrire : ( h) 5 ( ) 5 f h h h h h h ( + h) ( + h) h + h h ( h) 5 h h h h + h h ( + h) + h h h + h h h h h + h c.) Le nombre dérivé f est la limite du quotient ( + ) f h f h lorsque h tend vers 0. Ainsi : f ( + h) f f lim h 0 h + h + 0 lim h 0 h + h B T. Déterminer le nombre dérivé f.. En déduire les coordonnées du point B qui est l'intersection de la tangente T et de l'axe des ordonnées ( Oy ). x c.) Le nombre dérivé f est aussi le coefficient directeur de la tangente T. Par conséquent, son équation réduite est de la forme y x + p. L'ordonnée à l'origine p se trouve en utilisant le point A ( ; ) appartient à la tangente T : 9 5 A T ya xa + p p ya xa Donc l'équation réduite de la tangente T est 5 y x + Le point B appartenant à l'axe ( Oy ), son abscisse est égale à 0. B appartenant aussi à la tangente T, son ordonnée est égale à l'ordonnée à l'origine 5 /.

10 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 b) Résoudre les équations suivantes : La courbe et ses tangentes f x 0 f x 0 Un exercice de lecture graphique sur les images et antécédents, les tangentes à une courbe et la dérivation. L'énoncé f est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [ ] tracée sur le graphique ci-dessous : y T On a également tracé les tangentes T, T 5, T et 0 ;0 dont la courbe ( f ) T à la courbe ( f ) C. C a été ( C f ) On répondra aux questions posées à partir du graphique avec toute la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée. a) Donner les valeurs des nombres suivants : f f 5 f T ( 5) ( 0) ( ) f f f T 0 T 5 x c) La fonction g est l'inverse de la fonction f. Nous avons donc g ( x) Donner les valeurs de g ( ) et ( ) a) ( ) g. f est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f ( x) C d'abscisse. Donc f ( 5) est le coefficient directeur de la tangente T 5. Donc f ( 5) f ( ) est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f ( 5) est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f y + x C d'abscisse. Ainsi f. f 5 0 C d'abscisse 5. Par conséquent, f ( 0) est le coefficient directeur de la tangente T 0. Ainsi f f ( ) est le coefficient directeur de la tangente T. D'où y 0 x + y + f x + b) Les solutions de l'équation f ( x ) 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe ( f ) C avec l'axe des abscisses Les solutions de l'équation f ( x) 0 Ox. Ainsi : f ( x) 0 x ou x 5 sont les abscisses des points de la courbe ( C f ) où les tangentes sont horizontales. Ainsi : f ( x) 0 x ou x 8, 5 ou x 5, Eventuellement... c) La fonction g étant l'inverse de la fonction f, nous pouvons écrire : f ( ),5,5 5 g ( ) g ( ) f ( ) f ( ) 9 8 Formule de dérivation de /u.

11 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Nos très chaires études Ce problème constitué de trois sous-parties indépendantes consiste en trois études (limites, dérivée, variations) de trois fonctions polynomiale, rationnelle et produit affine/racine. L'énoncé Cet exercice est composé de trois sous parties indépendantes. a) La fonction f est définie sur par : f x x + x 5x +. Déterminer les limites de f ( x ) lorsque x tend vers, puis vers +... Calculer la dérivée f ( x). Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur.. Calculer l'image f ( ). 5. Résoudre dans l'équation f ( x ) 0. b) La fonction g est définie sur l'ensemble ] ;[ ] ; + [ par : x x + 6 g ( x) x. Pourquoi la fonction g n'est-elle pas définie sur?. En calculant ces images, vérifier que g 5 et g Déterminer les limites de g ( x ) lorsque x tend vers, puis lorsque x tend vers +.. Déterminer les limites de tend vers par la droite. g x lorsque x tend vers par gauche, puis lorsque x 5. En dérivant la fonction g, montrer que pour tout réel \{ } ( x + ) ( x 5) g ( x) ( x ) 6. En déduire le tableau de variation de la fonction g. \ g x.. Résoudre dans { } l'équation 0 x, on a : c) La fonction h est définie sur l'ensemble [ 0;+ [ par : h( x) ( 6 x) x. Pourquoi la fonction h n'est-elle pas définie sur? h.. Calculer les images h ( 0) et. Déterminer la limite de h( x ) lorsque x tend vers +.. En dérivant la fonction h, montrer que pour tout réel x ] 0; + [, on a : x + h ( x) x 5. En déduire le tableau de variation de la fonction h. h x m admet-elle de solutions 6. m étant un réel quelconque, combien l'équation dans l'ensemble [ 0;+ [? On pourra envisager plusieurs cas suivant la valeur de m. a.) Aux infinis, le polynôme f ( x ) se comporte comme son terme dominant lim lim f x x + x x lim lim f x x + x + x + x. a.) La fonction f est dérivable sur (comme tout polynôme) et pour tour réel x, nous avons : f x x + x 5x + x + x x + 6x 5 a.) Le signe de la dérivée f ( x) Or cette dérivée f ( x) va nous donner les variations de la fonction f. est une forme du second degré. Calculons son discriminant : ( x) f Comme son discriminant est négatif, alors la dérivée f x x + 6x 5 est toujours du signe de son coefficient dominant, donc toujours négative. f x étant toujours négative sur, la fonction f est strictement Conclusion : la dérivée décroissante sur ce même ensemble.

12 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a.) Calculons l'image de par la fonction f. Quant au dénominateur, son tableau de signe est le suivant : f ( ) a.5) D'après la question précédente, est une des solutions de l'équation f ( x ) 0. Comme la fonction f est strictement ; +, alors elle ne passe décroissante sur ] [ (au mieux) qu'une seule fois par le niveau 0. Conclusion : l'équation f ( x ) 0 n'a qu'une seule solution dans qui est. f x + ( x) + f 0 b.) La fonction g est un quotient de deux fonctions définies sur mais qui ne peut exister que si son dénominateur x est non nul, c'est-à-dire que si x. C'est pour cela que la fonction g n'est définie que sur \{ }. b.) Calculons les images demandées : g g b.) Aux infinis, la fonction rationnelle g ( x) quotient de ses termes dominants x x + 6 se comporte comme le x x x x x. Il vient alors : x x x lim g x lim x x lim g ( x) lim x ( + ) + x + x + Nous en déduisons : x x Gauche Droite Limite à gauche de Limite à droite de 9 9 lim g ( x) lim g ( x) x x 0 + b.) La fonction g est le quotient des fonctions : u ( x) x x + 6 v( x) x u x x + 0 8x v x Dérivable sur Dérivable sur et non nulle sur \ Donc la fonction g u v est dérivable sur \{ } { } et pour tout réel x de cet ensemble : ( 8x ) ( x ) ( x x + 6) u v v u g ( x) v ( x ) A factorise r 8x 8x x + x + x 6 x 8x On 5 peut aussi calculer le discriminant du numérateur ( x ) ( x ) ou développer (x+)(x+5) Début d'une identité......remarquable ( x) x 5 x 5 x 9 x x x a b ( a b) ( a+ b) ( x ) ( x ) ( x ) x x ( x 5) ( x + ) ( x ) b.) Quand x tend vers, le numérateur x x + 6 tend vers

13 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.5) Le signe de la dérivée g ( x) nous donne les variations de la fonction g. c.) Lorsque x tend vers +, la fonction racine x tend aussi vers +...à son rythme! Il vient alors : x.x x ( x ) g ( x) g lim h x lim 6 x x x + x + c.) La fonction h est le produit des fonctions : u x 6 x v x x u x v x / x Dérivable sur Dérivable sur ] 0; + [ Donc h est (seulement) dérivable sur l'intervalle ] 0;+ [ et pour tout réel x > 0, on a : h ( x) u v + v u x x x ( ) x + ( 6 x) + x x x x b.6) D'après le tableau de variations précédent, 0 n'a aucun antécédent par la fonction g ; où le maximum est 5 ;+ où le dans l'intervalle ] [ minimum est 9. Conclusion : l'équation 0, ni aucun antécédent dans ] [ g x n'a pas de solution dans \{ }. Une autre méthode : en résolvant de manière effective l'équation Quotient nul Dénominateur Numérateur nul non nul x x + 6 g ( x) 0 0 x x et x 0 x 6 x 95 négatif Aucune solution! c.) La fonction h est le produit de la fonction affine 6 x qui est définie sur et de la fonction racine carrée x qui n'est définie que sur [ 0;+ [. C'est pour cela que h n'est définie que pour les réels positifs ou nuls. c.) Calculons l'image de 0 par la fonction h. h h 6 c.5) Le numérateur x + est un facteur affine qui s'annule en et dont le coefficient directeur est négatif. La racine x est positive quand elle n'est pas nulle en 0 h x qui nous donne les variations de la Encore une fois, c'est le signe de la dérivée fonction h. x 0 + x + g + 0 x + + ( x) g c.6) Vu le tableau de variation de h, nous pouvons en déduire : > m h( x) h( x) m [ ] < ] + [ Si m 5 alors l'équation h x m n'a aucune solution. Si m 5 alors l'équation 5 a une solution qui est. Si 0 < 5 alors l'équation a deux solutions situées dans 0;. Si m 0 alors l'équation h x m a une seule solution située dans ;.

14 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b) Démontrer que AG + 5 EG o. En déduire que le point G appartient à la droite (AE). Géométrie Réminiscences barycentriques Cet exercice de calcul vectoriel de début d'année peut être traité en seconde. En arrièreplan et sans le dire, il est question de barycentre, notion aujourd'hui disparue. L'énoncé Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel que : AB cm AC 6cm BC 5cm F est le point du segment [AB] situé à trois centimètres de A. c) Démontrer que le point G appartient à la droite (CF). Construire le point G sur la figure ci-dessus. a) Tout ce que nous savons du point E, c'est qu'il vérifie l'égalité vectorielle : BE + CE o BE + CB + BE o 5 BE BC CE C'est la relation de Chasles dans le sens décomposition... BE BC 5 Conclusion : le point E se trouve aux deux cinquièmes du segment [BC] à partir de B. A Le point E est défini par la relation vectorielle : BE + CE o a) Exprimer le vecteur BE en fonction du vecteur BC. Placer le point E sur la figure. Le point G est défini par la relation vectorielle : AG + BG + CG o F C B b) Pour obtenir la relation en question, nous allons faire émerger le point E dans la relation vectorielle définissant le point G. AG + BG + CG o AG + BE + EG + CE + EG o BG CG Encore Chasles dans le sens décomposition... AG + 5 EG + BE + CE o o d'après ce qui précède Voilà la relation recherchée. 5 Allons un peu plus loin! AG + 5 EG o AG EG Conclusion : comme les vecteurs AG et EG sont colinéaires, alors les points A, E et G sont alignés. Autrement dit, le point G se situe la droite (AE). c) Le point F vérifie les relations vectorielles : AF AB ou BF BA Introduisons le point F dans la relation définissant le point G. AG + BG + CG o AF + FG + BF + FG + CG o AG BG Une autre égalité AF + BF + FG + CG o définissant F est : AB + AF + BF o BA + FG + CG o D'ailleurs, on la retrouve dans le raisonnement. FG CG

15 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 Conclusion : comme les vecteurs FG et CG sont colinéaires, alors les points G appartient Classiques triangulaires aussi à la droite (CF). On construit le point G comme étant l'intersection des droites (AE) et (CF). De la même façon, on prouve que G appartient à la droite (BD). En fait, tout cela est une affaire de barycentres... Ce problème de géométrie analytique de début d'année fait appel à tous les outils classiques du chapitre : calcul vectoriel sur les coordonnées, déterminant, produit scalaire, A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : équations de droite. En arrière-fond, il est question de droite d'euler d'un triangle et de symétriques de C l'orthocentre qui appartiennent au cercle circonscrit... L'énoncé Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i, j ) dans D G E lequel on a placé les points : 5 A ( ; ) B( ; ) C( 5;) H ; 8 8 A F B a) On appelle G le point défini par la relation vectorielle : AG + BG + CG o Les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].. Sans utiliser de coordonnées de vecteurs ou de points, démontrer à l'aide d'un calcul vectoriel que les vecteurs AG et JG sont colinéaires.. Déterminer les coordonnées du point G, puis celle du milieu I.. Démontrer que les point C, G et I sont alignés.. Conclure en disant ce qu'est le point G pour le triangle ABC. b) On appelle d la droite dont une équation est x y.. Démontrer que la droite d est la médiatrice du segment [AC].. Déterminer une équation cartésienne de la droite qui est la médiatrice du segment [BC].. Justifier que les droites d et sont sécantes.. Déterminer les coordonnées du point d'intersection Ω des droites d et. 5. Conclure en disant ce qu'est le point Ω pour le triangle ABC. c) On appelle d' la droite parallèle à la droite d passant par le point B.. Les droites (AB) et (CH) sont-elles perpendiculaires? On justifiera sa réponse.. Déterminer une équation de la droite d'.. Le point H appartient-il à la droite d'? On justifiera sa réponse.. Conclure en disant ce qu'est le point H pour le triangle ABC. d) Démontrer que les points G, Ω et H sont alignés.

16 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 e) Dans ces questions, le mieux est de travailler avec des valeurs décimales. On appelle L le symétrique orthogonal du point H par rapport à l'axe (BC).. Déterminer les coordonnées du point N qui est l'intersection de la droite (AH) et a.) Le point J étant le milieu du segment [BC], les vecteurs JB et JC sont opposés. Par de la droite (BC). conséquent, la somme de leurs opposés BJ + CJ est nulle. En déduire les coordonnées du point L. Intéressons-nous à la relation vectorielle définissant G en y introduisant le milieu J.. Le point L appartient-il à la droite d? On justifiera sa réponse. AG. Le point L appartient-il au cercle circonscrit au triangle ABC? On justifiera sa + BG + CG o AG + BJ + JG + CJ + JG o AG + JG + BJ + CJ o BG CG o réponse. Gràcies, senyor Chasles! AG + JG o AG JG y Conclusion : comme les vecteurs AG et JG sont colinéaires, alors le point G appartient à la médiane (AJ). A a.) Déterminons les coordonnées du point G. Ce dernier est défini par la relation : xg + xg + xg 5 0 AG + BG + CG o + + yg yg + yg 0 On remplace les Vecteurs égaux Abscisses Ordonnées vecteurs par leurs égales égales xg 0 coordonnées... xg 0 et yg 0 yg 0 xg yg B H j O i C x Le point I étant le milieu du segment [AB], ses coordonnées sont données par la formule : x A + x B ( ) + ( ) A B ( ) I et y + y + x yi / 5 / / 5 / a.) Les vecteurs CG et C I sont-ils colinéaires? / / / / Pour le savoir, calculons leur déterminant. / / det ( CG, CI) 0 / / Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs CG et CI sont colinéaires. Par conséquent, les points C, G et I sont alignés. Ainsi, le point G appartient-il aussi à la médiane (CI). a.) Le point G appartenant à deux des trois médianes du triangle ABC, il en est le centre de gravité.

17 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.) La médiatrice du côté [AC] est la droite qui coupe le segment [AC] en son milieu K. A partir de l'équation (), on exprime y Ω en fonction de x Ω. Deux choses sont à établir quant à la droite d : () xω + yω 6 yω 6 xω La droite d est-elle perpendiculaire au segment [AC]? D'après son équation x y 0, un vecteur normal de d est n Puis, on remplace y Ω par ce qu'il vaut en x Ω dans l'équation ().. xω yω xω ( 6 xω ) xω 8 + 9xΩ 5 ( ) 6x Et comme par bonheur, il s'agit du vecteur AC. Ω xω, 5 6 Nous en déduisons pour l'ordonnée de Ω : Sous-conclusion : AC étant un vecteur normal de d, la droite d est 96 6 perpendiculaire à la droite (AC). yω 6 xω 6, 065 La droite d coupe-t-elle le segment [AC] en son milieu K Les coordonnées du milieu K du segment [AC] sont données par la formule : Conclusion : le point Ω a pour coordonnées xa + xc ( ) + 5 ya + y ; C xk et yk A présent, regardons si les coordonnées de K vérifient l'équation de la droite d. xk yk,5,5 0,5,5 b.) Ω étant le point d'intersection de deux des trois médiatrices du triangle ABC, il est le centre du cercle qui y est circonscrit. Donc le point K appartient à la droite d. Conclusion : la droite d est la médiatrice du segment [AC]. 5 / / 8 c.) Calculons le produit scalaire des vecteurs CH et AB. / 8 9 / b.) La médiatrice passe par le milieu J ( ;0 ) et a pour vecteur normal BC. CH AB + ( 5) x 6 Leur produit scalaire étant nul, les vecteurs directeurs CH et AB sont orthogonaux. M ( x; y) Les vecteurs JM et BC sont orthogonaux y Conclusion : les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires. Par conséquent, la droite (CH) est la hauteur du triangle ABC issue de C. x 6 JM BC 0 0 ( x ) 6 + y 0 Même vecteur normal AC y c.) Une équation de la droite d étant x y,. - 6x + y 0 x + y 6 0 une équation de sa parallèle d' est de la forme x y Cste. Conclusion : une équation de la droite est x + y 6. Reste à déterminer la constante Cste. Comme le point B appartient à la droite d', alors les coordonnées du premier vérifient l'équation de la seconde. Il vient : b.) Leurs vecteurs normaux AC et BC n'étant pas colinéaires, les droites d et ne sont xb yb Cste ( ) ( ) Cste Cste + pas parallèles mais sécantes en un point qui va être baptisé Ω. Conclusion : une équation de la parallèle d' est x y + 0. La droite d' étant parallèle à la médiatrice d, elle est de fait perpendiculaire au côté [AC]. b.) Les coordonnées du point d'intersection Ω sont les solutions du système. Ω d xω yω () Ω xω + yω 6 () Donc la droite d' est la hauteur du triangle ABC issue de B. c.) Les coordonnées du point H vérifient-elles notre équation de d'? Ce système peut se résoudre par combinaisons linéaires mais nous optons pour la substitution. 5 5 xh yh Conclusion : le point H appartient à la droite d'.

18 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 c.) Etant le point d'intersection de deux des trois hauteurs du triangle ABC, H est e.) Le point L est aussi le symétrique du point H par rapport à N. Donc tout ce petit l'orthocentre de ce dernier. monde vérifie la relation vectorielle : Abscisses égales Ordonnées égales d) Calculons les coordonnées des vecteurs : xl + 0, 0, + 0,65 NL LH xl 0,5 et yl, yl + 0,8 0,8 + 0,5 x x GH 8 GΩ GH GΩ e.) Les coordonnées du point L vérifient-elle l'équation de la droite d? y y GH 8 GΩ xl yl ( 0,5) (, 5), Nous pourrions calculer le déterminant de ces deux vecteurs mais leurs coordonnées nous Ses coordonnées n'en vérifiant pas l'équation, le point L n'appartient par à la droite d. permettent d'affirmer : GH GΩ Conclusion : les vecteurs GH et GΩ point A ( ;). Son rayon est donc donné par : étant colinéaires, nous en déduisons que le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC sont alignés rayon Ω A (, 5) + (, 065), 6565 sur une droite appelée droite d'euler. Quelque soit le triangle, il en est toujours ainsi! Calculons la distance Ω L. e.) Le point N l'intersection de la hauteur (AH) et de la droite (BC). Comme N appartient à la hauteur (AH), alors les vecteurs AN et BC sont orthogonaux : xn + 6 AN BC 0 0 yn ( xn + ) 6 + ( yn ) 0 6xN + yn + 0 xn + yn + 0 () Ensuite, N appartenant à la droite (BC), les vecteurs BN et BC sont colinéaires : xn + 6 det ( BN, BC) 0 0 yn + ( xn + ) ( yn + ) 6 0 xn 6yN 0 xn yn 0 () Nous aboutissons à un système que nous résolvons par combinaisons linéaires. Pour trouver x N, multiplions l'équation () par, puis nous l'additionnerons à () afin d'éliminer N Pour déterminer N, on multiplie l'équation () par, puis on la soustrait à l'équation () de façon à éliminer N () 9xN + yn () xn + yn + 0 () xn yn 0 () xn 9yN 6 0 0x + 0 x N N 0, 0y y N N 0,8 e.) Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre Ω (,5;,065 ) et passe par le Ω L 0,5, 5 +, 5, 065, 6565 rayon Conclusion : le point L appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. En fait, il en va de même pour chacun des symétriques de l'orthocentre H par rapport aux trois côtés du triangle.

19 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : y Les équations tournent en rond Cet exercice de géométrie analytique aborde les équations de droites et de cercles. A L'énoncé Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O; i, j ) été placés les points A, B et E. On a également tracé la droite. y où ont d' I B d H j N O L i G K Ω J C x A j O i B x E

20 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 a) On appelle ( C ) le cercle de centre A passant par E. a.) La droite passe par le point E ( ; 6) et a pour vecteur directeur u. Ainsi :. Déterminer une équation du cercle ( C ). M x; y Les vecteurs EM et u sont colinéaires. Le point B appartient-il au cercle ( C )? On justifiera sa réponse.. Déterminer une équation cartésienne de la droite.. Déterminer les coordonnées du point F qui est le second point (après E) d'intersection du cercle ( C ) et de la droite. b) On appelle ( Γ ) l'ensemble des points M du plan vérifiant la relation : AM + EM 5. En appelant ( x; y ) les coordonnées du point M, établir la relation : AM + EM 5x + 5y + 0x + 0y + 0 En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ( Γ ). a.) La première chose à faire est de calculer le rayon de ce cercle ( C ) de centre A et 0 passant par le point E. Les coordonnées du vecteur AE étant, il vient : 5 rayon du cercle ( C ) AE Le cercle ( C ) est l'ensemble des points M du plan dont la distance à A est égale à 5. Ainsi M ( x; y) ( C ) AM 5 AM 5 ( x + ) + ( y + ) 5 x + car AM y + x + x + + y + y x + y + x + y 0 0 Une équation de (C). Une autre équation de (C). a.) Regardons si les coordonnées de B vérifient l'une des deux équations de ( C ). ( xb + ) + ( yb + ) ( + ) + ( + ) Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point B appartient au cercle ( C ). x + det ( EM, u ) 0 0 y + 6 x + y x y 6 0 a.) Un des deux points d'intersection du cercle ( C ) et de la droite est E ( ; 6) On appelle F ( x ; y ) l'autre point d'intersection.. F F Comme F, alors xf yf 6 0 xf 6 yf yf, 5 xf Ensuite, comme F fait aussi partie du cercle ( C ), alors ses coordonnées vérifient : ( x ) ( y ) ( x ) ( x ) F + + F + 5 F + +, 5 F + 5 xf + xf + +, 5 xf 6xF + 5, 5 xf xf 0 Calculons le discriminant de cette dernière équation qui est du second degré., Comme son discriminant est positif, alors cette équation a deux solutions distinctes : ( ) 5 ( ) + 5 xf et xf, 5 6,5,5 6,5 d'où yf, 5 ( ) 6 d'où yf, 5 C'est le point E Voilà le point F! b.) Les vecteurs AM et EM ayant pour coordonnées respectives nous pouvons écrire : ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) AM + EM x + x + et, y + y + 6 x + x + + y + y + + x + x + + y + y + 6 x + 8x y + y + + x + x + + y + 6y x + 5y + 0x + 0y + 0

21 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.) En utilisant ce qui vient d'être fait, la relation définissant l'ensemble ( Γ ) devient : AM + EM 50 5x + 5y + 0x + 0y On appelle G le point de x + y + x + 8y x + x + y + 8y + 0 ( x ) ( x ) coordonnées ( ; ) ( x ) ( x ) Conclusion : l'ensemble ( Γ ) est le cercle de centre G ( ; ) GM 9 GM et de rayon. A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : y ( C ) B A j O i F x ( Γ ) G E

22 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Si l'on s'intéresse à la part des employés d'une entreprise gagnant plus de 800 euros, elle est Probabilités et statistiques plus grande dans l'entreprise B que dans Vrai Faux Indécidable l'entreprise A. Les stats, c'est vachement chouette! Cet exercice de statistiques aborde les principaux points du chapitre...sans calculatrice. Fréquences Cumulées Croissantes 0,9 L'énoncé Cet exercice est composé de deux sous-parties indépendantes. a) Le groupe des «pas courageux» d'une classe de première S a obtenu les notes suivantes lors du dernier devoir : 5 Calculer la moyenne de cette série statistique, puis montrer qu'une valeur approchée de son écart-type de cette série statistique est,. b) On étudie la répartition des salaires dans deux entreprises A et B. Dans les deux compagnies, les rémunérations mensuelles s'échelonnent de 000 à 00 euros. Le polygone des fréquences cumulées croissantes de l'entreprise A et le diagramme en boite de l'entreprise B sont représentés ci-contre. A partir des deux graphiques, déterminer les médianes, quartiles et moyennes de ces deux séries statistiques.. Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie, fausse ou indécidable (c'est-à-dire que l'on ne peut pas se prononcer). Aucune justification n'est demandée. 0,8 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, Dans l'entreprise A, le nombre d'employés gagnant moins de 500 euros est supérieur au nombre d'employés gagnant plus de 00 euros. Vrai Faux Indécidable Salaire mensuel en euros dans l'entreprise A Dans l'entreprise B, le nombre d'employés gagnant moins de 500 euros est supérieur au nombre d'employés gagnant plus de 00 euros. Vrai Faux Indécidable Le salaire moyen de l'entreprise B est supérieur au salaire moyen de l'entreprise A. Vrai Faux Indécidable Si l'on s'intéresse aux employés gagnant moins de 000 euros, il y en a plus dans l'entreprise B que dans l'entreprise A. Vrai Faux Indécidable Salaire mensuel en euros dans l'entreprise B

23 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 De même, le diagramme en boite de l'entreprise B nous donne aussi ses indicateurs de dispersion mais pas sa moyenne! a) La moyenne, la variance et l'écart-type du groupe «pas courageux» sont donnés par : Q Moyenne 00 Médiane Variance Q 800 Ecart-type Variance, b.) Le polygone des fréquences cumulées croissantes de l'entreprise A nous donne ses indicateurs de dispersion (les quartiles et la médiane) mais pas sa moyenne. Fréquences Cumulées Croissantes 0,9 0,8 0, 0,6 0,5 0, 0, 0,6 Médiane Q 0, Salaire mensuel en euros dans l'entreprise B b.) Examinons les différentes affirmations : D'après son polygone des fréquences cumulées croissantes, un peu plus de 0% des employés de l'entreprise A gagnent moins de 500 alors qu'un peu moins de 9% gagnent plus de 00. La première affirmation est vraie. D'après son diagramme en boite, moins d'un quart (du fait de la position de Q ) des employés de l'entreprise B gagnent moins de 500 alors que plus d'un quart (à cause de la position de Q ) gagnent plus de 00. La seconde affirmation est fausse. Il est impossible de déterminer les salaires moyens dans les deux entreprises avec les données dont nous disposons. La troisième affirmation est indécidable. Le terme «il y en a plus» impliquerait que nous connaissions les nombres d'employés dans les deux entreprises. Ce qui n'est pas le cas. La quatrième affirmation est indécidable. La part des employés de l'entreprise A gagnant plus de 800 est d'environ % selon le polygone des fréquences cumulées croissantes. Du fait de la position du troisième quartile Q et selon le diagramme en boite, la part des employés de l'entreprise B gagnant plus de 800 est de 5%. La dernière affirmation est vraie. 0, Q 0, 0, Salaire mensuel en euros dans l'entreprise A Néanmoins, on peut calculer une moyenne salariale en décumulant le polygone ci-dessus... Somme des produits fréquence Milieu de la classe Moyenne 0, , , ,

24 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Maths ou brillant? Un exercice classique de probabilité avec un arbre pondéré, la formule des probabilités totales qui ne dit pas son nom et une loi binomiale pour conclure. L'énoncé La Blancoise des Jeux vient de lancer un nouveau jeu : Question de maths pour gens brillants. Son principe est le suivant : d'abord, le joueur tire au hasard une question. Un tiers de ces questions portent sur la géométrie, les deux cinquièmes portent sur l'analyse et les restantes sur les probabilités. Des études ont montré que : Le joueur répondait correctement à une question de géométrie dans 60% des cas. Le joueur répondait correctement à une question d'analyse dans 65% des cas. Le joueur répondait correctement à une question de probabilités dans 90% des cas. Un joueur se présente pour jouer, la partie commence... a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants. b) Etablir que la probabilité que le joueur réponde correctement à une question posée est de 0,. c) Un joueur décide de jouer dix fois de suite à Question de maths pour gens brillants. Les dix parties ou questions posées sont considérées comme indépendantes. Le résultat ou les conditions d'une partie (question) n'influent pas sur les autres parties (questions). On appelle X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de questions auxquelles le joueur a apporté une réponse correcte au cours des dix parties.. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? On justifiera sa réponse.. Déterminer la probabilité que le joueur réponde correctement à exactement sept questions sur les dix. a) La situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants est la suivante : Le joueur tire une La réponse donnée question au hasard... est-elle correcte? / /5 /5 Géométrie Analyse Probabilités C G Quelques précisions : La probabilité d'avoir une question de probabilités est L'événement C désigne «la réponse apportée est correcte» et l'événement C «la réponse apportée est fausse». b) La probabilité de l'événement C est donnée par : p C p Géométrie C + p Analyse C + p Probabilités C 0,6 0, 0,65 0,5 0,9 0, 0,6 + 0,65 + 0,9 0, + 0,6 + 0, 0, 5 5 C C G C C G C Sans le dire, c'est la formule des probabilités totales qui s'applique...

25 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 c) Chaque question est pour le joueur une épreuve de Bernoulli... Les dix questions forment un schéma de Bernoulli à dix épreuves. Par conséquent, la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès au cours des B 0;0,. dix épreuves suit la loi binomiale La probabilité que le joueur réponde correctement à exactement sept questions sur les dix est donnée par : 0 p ( X ) 0, 0, Du fait de la symétrie des «p parmi n» La réponse donnée est-elle correcte? 0, 0, Succès ou C Echec ou C , 0, 0, 0, 0, 6 Des lettres pour des chiffres Cet exercice de probabilité s'ouvre sur un tirage simultané et ses combinaisons (clairement hors programme) avant de s'orienter sur une variable aléatoire discrète et la manipulation de son espérance. L'énoncé Signe de sa grande créativité, La Blancoise des Jeux vient encore de lancer un nouveau jeu : Des lettres pour des chiffres. Son principe est le suivant. Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher sur lesquelles sont marquées les 6 lettres de l'alphabet : une boule, une lettre. Et réciproquement! Six de ces vingt-six lettres (ou boules) sont des voyelles (a e i o u y) et les vingt autres des consonnes. Après s'être acquitté d'une mise de m euros, le joueur tire au hasard et simultanément une main de quatre boules. Ainsi, par exemple, les tirages rame, mare et amer désignent-ils la même main. On ne tient pas compte de l'ordre des lettres. Le joueur gagne dans trois cas : A. Si sa main comporte quatre voyelles, alors il gagne B. Si sa main comporte trois voyelles et une consonne, alors il gagne 00 C. Si sa main comporte deux voyelles et deux consonnes, alors il est remboursé de sa mise m. Dans tous les autres cas, il a perdu. a) En expliquant son calcul, déterminer :. Le nombre total de mains.. Le nombre de mains favorables au cas A, c'est-à-dire celles composées de quatre voyelles.. Le nombre de mains favorables au cas B, c'est-à-dire celles composées de trois voyelles et une consonne.. Le nombre de mains favorables au cas C, c'est-à-dire celles composées de deux voyelles et deux consonnes. b) On appelle X la variable aléatoire égale au gain brut (mise non déduite) exprimé en euros reçu par le joueur. Des calculs arrondis au millième ont conduit à la loi de probabilité de la variable aléatoire X suivante : Valeur de X 0 m Probabilité 0,8 0,0 0,00

26 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5. Compléter le tableau et vérifier que les probabilités trouvées sont correctes. b.) La somme des probabilités prises par la variable aléatoire X est égale à. Ainsi :. Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique E ( X ) de la variable 0,8 0,0 0,00 aléatoire X. p ( X m) p ( X 0) p ( X 00) p ( X 5000) 0,9. La Blancoise des Jeux entend faire un bénéfice de,0 euros par joueur. En utilisant les résultats de la question a, on vérifie : A combien doit-elle fixer la mise m pour parvenir à cet objectif? 5 p ( X 5000) p ( A) 0, 00 Les boules étant indiscernables au 00 8 toucher, nous a) D'abord, le tirage des quatre boules étant simultané et sans ordre, chaque main obtenue p ( X 00) p ( B) 0, 0 sommes en est une combinaison. situation lettres d'équiprobabilité. p ( X m) p ( C) 0,9 à choisir parmi Au total, il y a 950 mains possibles. b.) L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est donnée par : Passons en revue les trois cas qui conduisent à une main gagnante : E ( X ) p ( X valeur ) valeur A. Une main avec quatre voyelles lettres à choisir 0, ,9 m + 0, , ,9 m +, parmi 6 voyelles Il y a 5 mains favorables à A b.) Lorsque l'espérance de gain brut est égale à la mise, le jeu est équitable. La Blancoise des Jeux fait un bénéfice de,0 lorsque le joueur perd,0 en moyenne. B. Une main avec trois voyelles et une consonne Autrement dit, lorsque : lettres à choisir lettre à choisir E ( X ) m, 0 0,9 m +, m, parmi 6 voyelles parmi 0 consonnes 8, Il y a 0 00 mains 0,809 m 8, 9 m, 00 B 0,809 Conclusion : La Blancoise des Jeux réalise un bénéfice de,0 par joueur lorsque la mise C. Une main avec deux voyelles et deux consonnes est fixée à euros. lettres à choisir lettre à choisir parmi 6 voyelles parmi 0 consonnes Il y a 850 mains C