La taverne de l'irlandais

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1 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Le mot de l'auteur La taverne de l'irlandais Les temps changent et les programmes officiels scolaires aussi! Mais pas [ nécessairement en bien... présente Cette année, un nouveau programme de mathématiques est entré en vigueur en première S. Par rapport au précédent, nous dirons qu'il était plus...léger. A l'instar de l'horaire attribué à la discipline passé de 5 à heures. Enfin, à condition de ne pas transformer une heure d'accompagnement personnalisé (une bien belle innovation pédagogique dont on se demande le contenu) en une heure de cours. C'est le drame de notre école : on ne prend plus le temps d'apprendre, c'est-à-dire le temps de corriger ses erreurs. Factuellement, la plupart des points de l'ancien programme jugés «superflus» (comprenez trop exigeants) ont été repoussés à l'année de terminale S qui se retrouve de facto très chargée. A plus tard les limites et les asymptotes, la géométrie dans l'espace. Adieu les barycentres et la géométrie plane. Mais salut à l'échantillonnage et à la loi binomiale...mais sans avoir parlé au préalable de dénombrement, de combinaisons ou des «p parmi n». Car les coefficients binomiaux doivent être vus comme une conséquence de la calculatrice. Peu importe que la loi binomiale puisse être construite assez facilement en partant des tirages avec ordre, puis simultanés pour définir les combinaisons et aboutir aux les schémas de Bernoulli. C'est trop dur! Contrairement à l'échantillonnage qui n'a aucun intérêt du point de vue des élèves. Mais pourquoi apprendre quand il n'y a rien à savoir? Voici donc le recueil des exercices que j'ai donnés en devoirs en première S cette saison. J'y ai conservé les limites et parlé des combinaisons. Ce n'est pas bien mais j'assume! Car les mathématiques sont une discipline de manœuvre Tous les exercices du présent document ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON, et non de seules connaissances. Parfois, il faut savoir aller un théorème trop professeur (dés)agrégé de mathématiques. loin. Tous droits réservés. es exercices de ce volume sont classés par catégories : Analyse et algèbre... Dérivation et limites... 8 Géométrie... Probabilités et statistiques... Produit scalaire... Suites... Trigonométrie et angles orientés... Edition du samedi 0 juin 0

2 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Analyse et algèbre Les inégalités, ça croasse! Dans cet exercice, il s'agit de résoudre des équations ou inéquations classiques : second degré, quotient et avec valeur absolue. Il se termine par une inéquation du troisième degré nécessitant une factorisation par x α qui doit être hors programme... L'énoncé a) Résoudre dans les inéquations suivantes. On conclura chacune d'elles en donnant l'ensemble des solutions. 0 x 8 0x x + x x b) Résoudre dans l'équation et les deux inéquations suivantes. On conclura chacune d'elles en donnant l'ensemble des solutions : x 8 x + > 5 x c) Le but de cette question est la résolution dans de l'inéquation : x x x 0 > 0 On appelle P( x ) le polynôme du troisième degré : P ( x) x x x 0. Calculer P. Que peut-on en déduire?. Déterminer par la méthode de votre choix trois coefficients entiers a, b et c tels que pour tout réel x, on ait : ( ) ( + + ) P x x a x b x c Résoudre dans l'inéquation x x x 0 > 0. a.) Pour résoudre cette inéquation du second degré, nous allons tout ramener dans le membre de gauche et nous aurons alors à nous prononcer sur le signe d'un trinôme. x 8 0x x + 0x 8 0 Quand N(x) est-il N( x) positif ou nul? Pour connaître le signe de la forme du second degré N ( x ), calculons son discriminant. N x Son discriminant étant positif, le trinôme N ( x ) admet deux racines distinctes : 0 0 et x x Nous en déduisons que le tableau de signe de N ( x ) est : x / + f ( x ) Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ] ; ] ; + a.) Pour résoudre cette seconde inéquation, nous allons tout ramener dans le membre de gauche puis mettre tout ce petit monde au même dénominateur. ( x ) x x x x x Quand ce quotient est-il x + 0 positif ou nul? x Ce quotient est formé de deux facteurs affines. Son tableau de signe est le suivant : x / + x + x Quotient + 0 Nous en concluons que l'ensemble des solutions est : S ; Signe du coefficient dominant à l'extérieur des racines, signe contraire à l'intérieur... Un facteur affine ax+b est du signe de son coefficient directeur a après sa racine, du signe contraire avant.

3 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a.) Pour résoudre cette dernière inéquation, nous allons procéder comme précédemment : b.) Les réels dont la valeur est plus grande que 5 sont ceux situés avant 5 et ceux se tout ramener à gauche, mise au même dénominateur et signe d'un quotient. trouvant après 5. Cela étant dit, il vient : 0 0 ( x + ) ( x) 0 Avant 5 Après 5 x + x x x x x + > 5 x + < 5 ou x + > 5 N( x) x < 6 x > 6x x + x 0 x + 5x x <,5 x > 0 0 x x + Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est la réunion : Le dénominateur x + étant affine, son signe ne pose guère de problèmes. S ] ;, 5[ ] ; + [ Par contre, pour connaître celui du numérateur N ( x) x + 5x qui est une forme du second degré, nous allons devoir calculer son discriminant : N x Son discriminant étant négatif, le trinôme N ( x ) n'a pas de racine et, surtout, il est toujours du signe de son coefficient dominant, c'est-à-dire toujours négatif. Nous en déduisons que le tableau de signe de notre quotient est : b.) Les réels dont la valeur absolue est inférieure à sont ceux situés entre et. ( ) x x 0 x qui est 5 x négatif. Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ;5 [ ] x + N ( x ) x Quotient + La conclusion de cette résolution est que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S ; ] [ b.) La valeur absolue d'un nombre est égale à la distance qui le sépare de 0. Résolvons dans la première équation proposée. Deux nombres pour valeur absolue 8 : 8 et 8 x 8 x 8 ou x 8 La racine et son opposée ont le même carré. Cette équation a quatre solutions : x 9 x 5 x ou x x 5 ou x 5 S { 5; ;;5 } c.) Calculons l'image de par le polynôme P. P Son image étant nulle, est une racine du polynôme P ( x ). Par conséquent, ce dernier est factorisable par le facteur x. C'est d'ailleurs l'objet de la question suivante... c.) Nous allons déterminer les coefficients a, b et c en utilisant la méthode par identification. On veut écrire le polynôme P ( x ) sous la forme : ( ) ( + + ) P x x a x b x c a x + b x + c x a x b x c x + x + x + 0 a x + b a x + c b x + c Deux polynômes égaux ont des coefficients de même degré égaux. Identifions-les! En x En x a soit a En x b a b 8 b c b c 8 c 5 Constant 0 c 5 c Nous en concluons que la forme factorisée du polynôme P est : P x x x + x + 5 Et d'un! Et de deux! Et de trois! Ca confirme!

4 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Une autre méthode pour factoriser le polynôme par x- consiste à extraire Les composées graphiques successivement le facteur x de chacun des termes du polynôme P. Combien de fois x? Au total x P( x) x x x 0 x ( x ) + 8x x x 0 Dans cet exercice, il est question de lectures graphiques, d'images, d'antécédents, de variation et de signe, puis de compositions (sans en prononcer le mot) avec les fonctions Combien de fois x? valeur absolue, inverse et racine carrée. Au total x x ( x ) + x x 0 x ( x ) + x ( x ) + 8x x 0 L'énoncé x x + x x + 5x 0 Un......facteur......commun x x + x x + 5 x x x + x + 5 La fonction f est définie sur l'intervalle [ ;8]. Sa courbe représentative (C) est tracée sur le graphique ci-dessus. y c.) Le polynôme P ayant été factorisé, l'inéquation devient : x x x 0 > 0 ( x ) ( x + x + 5) > 0 N( x) Dans ce produit, seul le signe du trinôme complémentaire et exploratoire. Calculons son discriminant : N ( x) N x x + x + 5 requiert un petit travail Son discriminant étant négatif, la forme du second degré N ( x ) n'admet aucune racine et est toujours positive comme son coefficient dominant. Pour connaître le signe de N ( x ), nous aurions aussi pu utiliser sa forme canonique. Début de cette......identité Positif car somme de deux positifs N x x + x + 5 x x + + Nous en déduisons que le tableau de signe du quotient est : x + x N ( x ) P( x ) En conclusion, nous disons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S ; + ] [ (C) a) En utilisant le graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :. Déterminer les images de ; 0 et 5 par la fonction f.. Déterminer les antécédents de et par la fonction f.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition.. Dresser le tableau de signe de f ( x ). b) On appelle g la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [ ;8] par : g ( x) f ( x). Déterminer les valeurs des images g ( 0) ; g et g ( 5).. Etablir les variations de la fonction g sur [ ;8]. On justifiera ses réponses. x

5 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 c) On appelle h la fonction définie par : b.) La fonction g est la valeur absolue de la fonction f. En utilisant la courbe (C), nous pouvons écrire : h( x) f ( x). Déterminer l'ensemble de définition D h de la fonction h.. Etablir les variations de la fonction h sur son ensemble de définition D h. On justifiera ses réponses. d) On appelle j la fonction définie par : j x f ( x). Déterminer l'ensemble de définition D j de la fonction j.. Etablir les variations de la fonction j sur son ensemble de définition D j. On justifiera ses réponses. a.) n'appartenant pas à l'ensemble de définition de f, il n'a pas d'image par cette fonction. Le point de la courbe (C) dont l'abscisse est égale à 0 a pour ordonnée. Ainsi : f 0 Le point de la courbe (C) dont l'abscisse est égale à 5 a pour ordonnée. Donc : f 5 a.) Un seul point de la courbe (C) a pour ordonnée. Son abscisse est égale. Par conséquent, a un seul antécédent par la fonction f qui est. Aucun point de la courbe (C) n'a pour ordonnée. Donc n'a pas d'antécédent par f. a.) Vu la courbe (C), le tableau de variation de la fonction f est : x 5 8 f a.) Toujours d'après la courbe (C), le tableau de signe de f ( x ) est : x 8 f ( x ) 0 + g 0 f 0 g f 0 0 g 5 f 5 b.) La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction valeur absolue. La fonction valeur absolue est décroissante si elle s'applique à des réels négatifs et croissante si elle concerne des réels positifs. ;8, trois cas Compte-tenu des variations et du signe de la fonction f sur l'intervalle [ ] correspondant à trois intervalles sont à envisager. ;, la fonction g est la composée suivante : Sur l'intervalle ] [ f Valeur absolue x f x f x g x ] ; [ Croissante Décroissante sur ] ;[ ] ; 0[ sur ] ; 0[ Donc la fonction g est décroissante sur l'intervalle [ ;[. Sur l'intervalle ] ;5 [, la fonction g est la composée suivante : f Valeur absolue x f x f x g x ] ;5[ Croissante Croissante sur ] ;5[ ] 0; [ sur ] 0; + [ Donc la fonction g est croissante sur l'intervalle ] ;5 [. Sur l'intervalle ] 5;8 [, la fonction g est la composée suivante : f Valeur absolue x f x f x g x ] 5;8[ Décroissante Croissante sur ] 5;8[ ] ;[ sur ] 0; + [ Donc la fonction g est décroissante sur l'intervalle ] 5;8 [. En conclusion, à gauche le tableau de variation de g et à droite sa courbe représentative... y x 5 8 g 0 c.) La fonction h est la racine carrée de la fonction f. 0;+, c'est-à-dire que pour les réels La fonction racine carrée n'est définie que sur [ [ positifs ou nuls. Par conséquent : h x existe La racine carrée de f x existe f x 0 x ;8 [ ] Conclusion : l'ensemble de définition de la fonction h est : D [ ;8] h ( C g ) x

6 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 c.) La fonction h est la composée de la fonction f suivie de la fonction racine carrée. En conclusion, le tableau de variation de la fonction j est : La fonction racine carrée est strictement croissante là où elle est définie. Compte tenu de ce que sont les variations de f sur [ ;8 ], deux cas sont à envisager : ] ;5[ ] 5;8[ f Racine carrée x f x h x ] ;5[ Croissante Croissante sur ] ;5[ ] 0;[ sur [ 0; + [ f Racine carrée x f x h x ] 5;8[ Décroissante Croissante sur ] 5;8[ ] ; [ sur [ 0; + [ h croissante ] [ sur ;5 h décroissante ] [ sur 5;8 Et sa courbe représentative est : y x 5 8 j 0,5 + / En conclusion, à gauche le tableau de variation de la fonction h et à droite sa courbe... x 5 8 y ( C j ) h 0 ( C h ) x ( C j ) étant valeur interdite, la courbe est constituée de deux branches. x d.) Seuls les réels non nuls peuvent être inversés. En conséquence : j x existe L'inverse de f x existe f x 0 x ; ;8 [ [ ] ] Nous en déduisons que l'ensemble de définition de la fonction j est : D j [ ; [ ] ;8] d.) Compte tenu des variations de la fonction f, trois cas sont à envisager pour connaître celles de la fonction j. f Inverse j décroissante ] ;[ x f ( x) j ( x) ] ;[ Croissante Décroissante ] [ ] [ sur ] ; [ sur ; ;0 sur ] ;0[ f Inverse j décroissante ] ;5[ x f ( x) j ( x). ] ;5[ Croissante Décroissante ] [ ] [ sur ] ;5[ sur ;5 0; sur ] 0; + [ ] 5;8[ f Inverse x f x j x ] 5;8[ Décroissante Décroissante sur ] 5;8[ ] ;[ sur ] 0; + [ j croissante ] [ sur 5;8

7 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Intermède systèmes Cet exercice consiste en deux résolutions classiques de deux systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. L'énoncé Résoudre dans les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues x et y suivants : 8x y 5 () 9x + 8y 5 () ( S ) ( S ) y 8x 6 () 9 x + 0y 68 () La somme 8x y ne pouvant être égale à la fois à 5 et à 6 pas de solutions. Examinons les rapports des coefficients du système ( S )., le système S n'a Rapport en x Rapport en y 6 Rapport cst Comme les trois rapports des coefficients sont égaux, alors les équations () et () sont proportionnelles, c'est-à-dire qu'il s'agit de la même équation. S admet une infinité de solutions. Conclusion : le système

8 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 Dérivation et limites Prenez la tangente! Dans cet exercice, il s'agit de déterminer le nombre dérivé d'une fonction inverse en un point en utilisant la définition de cette notion. L'énoncé Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe ( C f ) représentant la fonction f définie sur par : y f 5 ( x) x + a) Pour tout réel non nul h, nous pouvons écrire : ( ) ( ) f + h f + h + + h h h h h b) Comme : ( h + h + 5) h h 5 h + h + 5 h + h + 5 h + h + 5 h h h h h ( 5) h + h + h h h + h + 5 f + h f h 0 lim lim h 0 h h 0 h + h alors, la fonction f est dérivable en et le nombre dérivé de f en vaut f. 5 O T On a également tracé la tangente T à la courbe ( f ) Cette tangente Ox au point B. a. Etablir que pour tout réel non nul h, on a : f ( + h) f h h h + h + 5 T coupe l'axe des abscisses b. En déduire le nombre dérivé f. c. Déterminer les coordonnées du point B. B ( C f ) C en son point d'abscisse. x c) Le coefficient directeur de la tangente de la forme y x + p. 5 T étant égal à f, son équation réduite est Nous allons déterminer l'ordonnée à l'origine p en usant du fait que le point A( ; ) appartient à la tangente T : A T ya xa + p p ya + xa Donc l'équation réduite de la tangente T est B appartenant à l'axe y x Ox, son ordonnée y B est nulle. De plus, B appartient à T. B T 0 xb + xb xb Conclusion : le point B a pour coordonnées (, 5;0 ).

9 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 Ta tangente par la racine (remix) Autre exercice où il s'agit (encore) de déterminer le nombre dérivé d'une fonction racine. L'énoncé La fonction f est définie pour tout réel x par : a) Calculer l'image de par la fonction f. b) Démontrer que pour tout réel h, on a : f x x + 5 f + h + h h h + h c) Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe ( C f ) représentant la fonction f ainsi que la tangente T à cette même courbe en son point A d'abscisse. y ( C f ) A a) f b) Pour tout réel non nul h, nous pouvons écrire : ( h) 5 ( ) 5 f h h h h h h ( + h) ( + h) h + h h ( h) 5 h h h h + h h ( + h) + h h h + h h h h h + h c.) Le nombre dérivé f est la limite du quotient ( + ) f h f h lorsque h tend vers 0. Ainsi : f ( + h) f f lim h 0 h + h + 0 lim h 0 h + h B T. Déterminer le nombre dérivé f.. En déduire les coordonnées du point B qui est l'intersection de la tangente T et de l'axe des ordonnées ( Oy ). x c.) Le nombre dérivé f est aussi le coefficient directeur de la tangente T. Par conséquent, son équation réduite est de la forme y x + p. L'ordonnée à l'origine p se trouve en utilisant le point A ( ; ) appartient à la tangente T : 9 5 A T ya xa + p p ya xa Donc l'équation réduite de la tangente T est 5 y x + Le point B appartenant à l'axe ( Oy ), son abscisse est égale à 0. B appartenant aussi à la tangente T, son ordonnée est égale à l'ordonnée à l'origine 5 /.

10 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 b) Résoudre les équations suivantes : La courbe et ses tangentes f x 0 f x 0 Un exercice de lecture graphique sur les images et antécédents, les tangentes à une courbe et la dérivation. L'énoncé f est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [ ] tracée sur le graphique ci-dessous : y T On a également tracé les tangentes T, T 5, T et 0 ;0 dont la courbe ( f ) T à la courbe ( f ) C. C a été ( C f ) On répondra aux questions posées à partir du graphique avec toute la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée. a) Donner les valeurs des nombres suivants : f f 5 f T ( 5) ( 0) ( ) f f f T 0 T 5 x c) La fonction g est l'inverse de la fonction f. Nous avons donc g ( x) Donner les valeurs de g ( ) et ( ) a) ( ) g. f est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f ( x) C d'abscisse. Donc f ( 5) est le coefficient directeur de la tangente T 5. Donc f ( 5) f ( ) est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f ( 5) est l'ordonnée du point de la courbe ( f ) f y + x C d'abscisse. Ainsi f. f 5 0 C d'abscisse 5. Par conséquent, f ( 0) est le coefficient directeur de la tangente T 0. Ainsi f f ( ) est le coefficient directeur de la tangente T. D'où y 0 x + y + f x + b) Les solutions de l'équation f ( x ) 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe ( f ) C avec l'axe des abscisses Les solutions de l'équation f ( x) 0 Ox. Ainsi : f ( x) 0 x ou x 5 sont les abscisses des points de la courbe ( C f ) où les tangentes sont horizontales. Ainsi : f ( x) 0 x ou x 8, 5 ou x 5, Eventuellement... c) La fonction g étant l'inverse de la fonction f, nous pouvons écrire : f ( ),5,5 5 g ( ) g ( ) f ( ) f ( ) 9 8 Formule de dérivation de /u.

11 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Nos très chaires études Ce problème constitué de trois sous-parties indépendantes consiste en trois études (limites, dérivée, variations) de trois fonctions polynomiale, rationnelle et produit affine/racine. L'énoncé Cet exercice est composé de trois sous parties indépendantes. a) La fonction f est définie sur par : f x x + x 5x +. Déterminer les limites de f ( x ) lorsque x tend vers, puis vers +... Calculer la dérivée f ( x). Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur.. Calculer l'image f ( ). 5. Résoudre dans l'équation f ( x ) 0. b) La fonction g est définie sur l'ensemble ] ;[ ] ; + [ par : x x + 6 g ( x) x. Pourquoi la fonction g n'est-elle pas définie sur?. En calculant ces images, vérifier que g 5 et g Déterminer les limites de g ( x ) lorsque x tend vers, puis lorsque x tend vers +.. Déterminer les limites de tend vers par la droite. g x lorsque x tend vers par gauche, puis lorsque x 5. En dérivant la fonction g, montrer que pour tout réel \{ } ( x + ) ( x 5) g ( x) ( x ) 6. En déduire le tableau de variation de la fonction g. \ g x.. Résoudre dans { } l'équation 0 x, on a : c) La fonction h est définie sur l'ensemble [ 0;+ [ par : h( x) ( 6 x) x. Pourquoi la fonction h n'est-elle pas définie sur? h.. Calculer les images h ( 0) et. Déterminer la limite de h( x ) lorsque x tend vers +.. En dérivant la fonction h, montrer que pour tout réel x ] 0; + [, on a : x + h ( x) x 5. En déduire le tableau de variation de la fonction h. h x m admet-elle de solutions 6. m étant un réel quelconque, combien l'équation dans l'ensemble [ 0;+ [? On pourra envisager plusieurs cas suivant la valeur de m. a.) Aux infinis, le polynôme f ( x ) se comporte comme son terme dominant lim lim f x x + x x lim lim f x x + x + x + x. a.) La fonction f est dérivable sur (comme tout polynôme) et pour tour réel x, nous avons : f x x + x 5x + x + x x + 6x 5 a.) Le signe de la dérivée f ( x) Or cette dérivée f ( x) va nous donner les variations de la fonction f. est une forme du second degré. Calculons son discriminant : ( x) f Comme son discriminant est négatif, alors la dérivée f x x + 6x 5 est toujours du signe de son coefficient dominant, donc toujours négative. f x étant toujours négative sur, la fonction f est strictement Conclusion : la dérivée décroissante sur ce même ensemble.

12 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a.) Calculons l'image de par la fonction f. Quant au dénominateur, son tableau de signe est le suivant : f ( ) a.5) D'après la question précédente, est une des solutions de l'équation f ( x ) 0. Comme la fonction f est strictement ; +, alors elle ne passe décroissante sur ] [ (au mieux) qu'une seule fois par le niveau 0. Conclusion : l'équation f ( x ) 0 n'a qu'une seule solution dans qui est. f x + ( x) + f 0 b.) La fonction g est un quotient de deux fonctions définies sur mais qui ne peut exister que si son dénominateur x est non nul, c'est-à-dire que si x. C'est pour cela que la fonction g n'est définie que sur \{ }. b.) Calculons les images demandées : g g b.) Aux infinis, la fonction rationnelle g ( x) quotient de ses termes dominants x x + 6 se comporte comme le x x x x x. Il vient alors : x x x lim g x lim x x lim g ( x) lim x ( + ) + x + x + Nous en déduisons : x x Gauche Droite Limite à gauche de Limite à droite de 9 9 lim g ( x) lim g ( x) x x 0 + b.) La fonction g est le quotient des fonctions : u ( x) x x + 6 v( x) x u x x + 0 8x v x Dérivable sur Dérivable sur et non nulle sur \ Donc la fonction g u v est dérivable sur \{ } { } et pour tout réel x de cet ensemble : ( 8x ) ( x ) ( x x + 6) u v v u g ( x) v ( x ) A factorise r 8x 8x x + x + x 6 x 8x On 5 peut aussi calculer le discriminant du numérateur ( x ) ( x ) ou développer (x+)(x+5) Début d'une identité......remarquable ( x) x 5 x 5 x 9 x x x a b ( a b) ( a+ b) ( x ) ( x ) ( x ) x x ( x 5) ( x + ) ( x ) b.) Quand x tend vers, le numérateur x x + 6 tend vers

13 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.5) Le signe de la dérivée g ( x) nous donne les variations de la fonction g. c.) Lorsque x tend vers +, la fonction racine x tend aussi vers +...à son rythme! Il vient alors : x.x x ( x ) g ( x) g lim h x lim 6 x x x + x + c.) La fonction h est le produit des fonctions : u x 6 x v x x u x v x / x Dérivable sur Dérivable sur ] 0; + [ Donc h est (seulement) dérivable sur l'intervalle ] 0;+ [ et pour tout réel x > 0, on a : h ( x) u v + v u x x x ( ) x + ( 6 x) + x x x x b.6) D'après le tableau de variations précédent, 0 n'a aucun antécédent par la fonction g ; où le maximum est 5 ;+ où le dans l'intervalle ] [ minimum est 9. Conclusion : l'équation 0, ni aucun antécédent dans ] [ g x n'a pas de solution dans \{ }. Une autre méthode : en résolvant de manière effective l'équation Quotient nul Dénominateur Numérateur nul non nul x x + 6 g ( x) 0 0 x x et x 0 x 6 x 95 négatif Aucune solution! c.) La fonction h est le produit de la fonction affine 6 x qui est définie sur et de la fonction racine carrée x qui n'est définie que sur [ 0;+ [. C'est pour cela que h n'est définie que pour les réels positifs ou nuls. c.) Calculons l'image de 0 par la fonction h. h h 6 c.5) Le numérateur x + est un facteur affine qui s'annule en et dont le coefficient directeur est négatif. La racine x est positive quand elle n'est pas nulle en 0 h x qui nous donne les variations de la Encore une fois, c'est le signe de la dérivée fonction h. x 0 + x + g + 0 x + + ( x) g c.6) Vu le tableau de variation de h, nous pouvons en déduire : > m h( x) h( x) m [ ] < ] + [ Si m 5 alors l'équation h x m n'a aucune solution. Si m 5 alors l'équation 5 a une solution qui est. Si 0 < 5 alors l'équation a deux solutions situées dans 0;. Si m 0 alors l'équation h x m a une seule solution située dans ;.

14 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b) Démontrer que AG + 5 EG o. En déduire que le point G appartient à la droite (AE). Géométrie Réminiscences barycentriques Cet exercice de calcul vectoriel de début d'année peut être traité en seconde. En arrièreplan et sans le dire, il est question de barycentre, notion aujourd'hui disparue. L'énoncé Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel que : AB cm AC 6cm BC 5cm F est le point du segment [AB] situé à trois centimètres de A. c) Démontrer que le point G appartient à la droite (CF). Construire le point G sur la figure ci-dessus. a) Tout ce que nous savons du point E, c'est qu'il vérifie l'égalité vectorielle : BE + CE o BE + CB + BE o 5 BE BC CE C'est la relation de Chasles dans le sens décomposition... BE BC 5 Conclusion : le point E se trouve aux deux cinquièmes du segment [BC] à partir de B. A Le point E est défini par la relation vectorielle : BE + CE o a) Exprimer le vecteur BE en fonction du vecteur BC. Placer le point E sur la figure. Le point G est défini par la relation vectorielle : AG + BG + CG o F C B b) Pour obtenir la relation en question, nous allons faire émerger le point E dans la relation vectorielle définissant le point G. AG + BG + CG o AG + BE + EG + CE + EG o BG CG Encore Chasles dans le sens décomposition... AG + 5 EG + BE + CE o o d'après ce qui précède Voilà la relation recherchée. 5 Allons un peu plus loin! AG + 5 EG o AG EG Conclusion : comme les vecteurs AG et EG sont colinéaires, alors les points A, E et G sont alignés. Autrement dit, le point G se situe la droite (AE). c) Le point F vérifie les relations vectorielles : AF AB ou BF BA Introduisons le point F dans la relation définissant le point G. AG + BG + CG o AF + FG + BF + FG + CG o AG BG Une autre égalité AF + BF + FG + CG o définissant F est : AB + AF + BF o BA + FG + CG o D'ailleurs, on la retrouve dans le raisonnement. FG CG

15 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 Conclusion : comme les vecteurs FG et CG sont colinéaires, alors les points G appartient Classiques triangulaires aussi à la droite (CF). On construit le point G comme étant l'intersection des droites (AE) et (CF). De la même façon, on prouve que G appartient à la droite (BD). En fait, tout cela est une affaire de barycentres... Ce problème de géométrie analytique de début d'année fait appel à tous les outils classiques du chapitre : calcul vectoriel sur les coordonnées, déterminant, produit scalaire, A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : équations de droite. En arrière-fond, il est question de droite d'euler d'un triangle et de symétriques de C l'orthocentre qui appartiennent au cercle circonscrit... L'énoncé Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i, j ) dans D G E lequel on a placé les points : 5 A ( ; ) B( ; ) C( 5;) H ; 8 8 A F B a) On appelle G le point défini par la relation vectorielle : AG + BG + CG o Les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].. Sans utiliser de coordonnées de vecteurs ou de points, démontrer à l'aide d'un calcul vectoriel que les vecteurs AG et JG sont colinéaires.. Déterminer les coordonnées du point G, puis celle du milieu I.. Démontrer que les point C, G et I sont alignés.. Conclure en disant ce qu'est le point G pour le triangle ABC. b) On appelle d la droite dont une équation est x y.. Démontrer que la droite d est la médiatrice du segment [AC].. Déterminer une équation cartésienne de la droite qui est la médiatrice du segment [BC].. Justifier que les droites d et sont sécantes.. Déterminer les coordonnées du point d'intersection Ω des droites d et. 5. Conclure en disant ce qu'est le point Ω pour le triangle ABC. c) On appelle d' la droite parallèle à la droite d passant par le point B.. Les droites (AB) et (CH) sont-elles perpendiculaires? On justifiera sa réponse.. Déterminer une équation de la droite d'.. Le point H appartient-il à la droite d'? On justifiera sa réponse.. Conclure en disant ce qu'est le point H pour le triangle ABC. d) Démontrer que les points G, Ω et H sont alignés.

16 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 e) Dans ces questions, le mieux est de travailler avec des valeurs décimales. On appelle L le symétrique orthogonal du point H par rapport à l'axe (BC).. Déterminer les coordonnées du point N qui est l'intersection de la droite (AH) et a.) Le point J étant le milieu du segment [BC], les vecteurs JB et JC sont opposés. Par de la droite (BC). conséquent, la somme de leurs opposés BJ + CJ est nulle. En déduire les coordonnées du point L. Intéressons-nous à la relation vectorielle définissant G en y introduisant le milieu J.. Le point L appartient-il à la droite d? On justifiera sa réponse. AG. Le point L appartient-il au cercle circonscrit au triangle ABC? On justifiera sa + BG + CG o AG + BJ + JG + CJ + JG o AG + JG + BJ + CJ o BG CG o réponse. Gràcies, senyor Chasles! AG + JG o AG JG y Conclusion : comme les vecteurs AG et JG sont colinéaires, alors le point G appartient à la médiane (AJ). A a.) Déterminons les coordonnées du point G. Ce dernier est défini par la relation : xg + xg + xg 5 0 AG + BG + CG o + + yg yg + yg 0 On remplace les Vecteurs égaux Abscisses Ordonnées vecteurs par leurs égales égales xg 0 coordonnées... xg 0 et yg 0 yg 0 xg yg B H j O i C x Le point I étant le milieu du segment [AB], ses coordonnées sont données par la formule : x A + x B ( ) + ( ) A B ( ) I et y + y + x yi / 5 / / 5 / a.) Les vecteurs CG et C I sont-ils colinéaires? / / / / Pour le savoir, calculons leur déterminant. / / det ( CG, CI) 0 / / Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs CG et CI sont colinéaires. Par conséquent, les points C, G et I sont alignés. Ainsi, le point G appartient-il aussi à la médiane (CI). a.) Le point G appartenant à deux des trois médianes du triangle ABC, il en est le centre de gravité.

17 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.) La médiatrice du côté [AC] est la droite qui coupe le segment [AC] en son milieu K. A partir de l'équation (), on exprime y Ω en fonction de x Ω. Deux choses sont à établir quant à la droite d : () xω + yω 6 yω 6 xω La droite d est-elle perpendiculaire au segment [AC]? D'après son équation x y 0, un vecteur normal de d est n Puis, on remplace y Ω par ce qu'il vaut en x Ω dans l'équation ().. xω yω xω ( 6 xω ) xω 8 + 9xΩ 5 ( ) 6x Et comme par bonheur, il s'agit du vecteur AC. Ω xω, 5 6 Nous en déduisons pour l'ordonnée de Ω : Sous-conclusion : AC étant un vecteur normal de d, la droite d est 96 6 perpendiculaire à la droite (AC). yω 6 xω 6, 065 La droite d coupe-t-elle le segment [AC] en son milieu K Les coordonnées du milieu K du segment [AC] sont données par la formule : Conclusion : le point Ω a pour coordonnées xa + xc ( ) + 5 ya + y ; C xk et yk A présent, regardons si les coordonnées de K vérifient l'équation de la droite d. xk yk,5,5 0,5,5 b.) Ω étant le point d'intersection de deux des trois médiatrices du triangle ABC, il est le centre du cercle qui y est circonscrit. Donc le point K appartient à la droite d. Conclusion : la droite d est la médiatrice du segment [AC]. 5 / / 8 c.) Calculons le produit scalaire des vecteurs CH et AB. / 8 9 / b.) La médiatrice passe par le milieu J ( ;0 ) et a pour vecteur normal BC. CH AB + ( 5) x 6 Leur produit scalaire étant nul, les vecteurs directeurs CH et AB sont orthogonaux. M ( x; y) Les vecteurs JM et BC sont orthogonaux y Conclusion : les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires. Par conséquent, la droite (CH) est la hauteur du triangle ABC issue de C. x 6 JM BC 0 0 ( x ) 6 + y 0 Même vecteur normal AC y c.) Une équation de la droite d étant x y,. - 6x + y 0 x + y 6 0 une équation de sa parallèle d' est de la forme x y Cste. Conclusion : une équation de la droite est x + y 6. Reste à déterminer la constante Cste. Comme le point B appartient à la droite d', alors les coordonnées du premier vérifient l'équation de la seconde. Il vient : b.) Leurs vecteurs normaux AC et BC n'étant pas colinéaires, les droites d et ne sont xb yb Cste ( ) ( ) Cste Cste + pas parallèles mais sécantes en un point qui va être baptisé Ω. Conclusion : une équation de la parallèle d' est x y + 0. La droite d' étant parallèle à la médiatrice d, elle est de fait perpendiculaire au côté [AC]. b.) Les coordonnées du point d'intersection Ω sont les solutions du système. Ω d xω yω () Ω xω + yω 6 () Donc la droite d' est la hauteur du triangle ABC issue de B. c.) Les coordonnées du point H vérifient-elles notre équation de d'? Ce système peut se résoudre par combinaisons linéaires mais nous optons pour la substitution. 5 5 xh yh Conclusion : le point H appartient à la droite d'.

18 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 c.) Etant le point d'intersection de deux des trois hauteurs du triangle ABC, H est e.) Le point L est aussi le symétrique du point H par rapport à N. Donc tout ce petit l'orthocentre de ce dernier. monde vérifie la relation vectorielle : Abscisses égales Ordonnées égales d) Calculons les coordonnées des vecteurs : xl + 0, 0, + 0,65 NL LH xl 0,5 et yl, yl + 0,8 0,8 + 0,5 x x GH 8 GΩ GH GΩ e.) Les coordonnées du point L vérifient-elle l'équation de la droite d? y y GH 8 GΩ xl yl ( 0,5) (, 5), Nous pourrions calculer le déterminant de ces deux vecteurs mais leurs coordonnées nous Ses coordonnées n'en vérifiant pas l'équation, le point L n'appartient par à la droite d. permettent d'affirmer : GH GΩ Conclusion : les vecteurs GH et GΩ point A ( ;). Son rayon est donc donné par : étant colinéaires, nous en déduisons que le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC sont alignés rayon Ω A (, 5) + (, 065), 6565 sur une droite appelée droite d'euler. Quelque soit le triangle, il en est toujours ainsi! Calculons la distance Ω L. e.) Le point N l'intersection de la hauteur (AH) et de la droite (BC). Comme N appartient à la hauteur (AH), alors les vecteurs AN et BC sont orthogonaux : xn + 6 AN BC 0 0 yn ( xn + ) 6 + ( yn ) 0 6xN + yn + 0 xn + yn + 0 () Ensuite, N appartenant à la droite (BC), les vecteurs BN et BC sont colinéaires : xn + 6 det ( BN, BC) 0 0 yn + ( xn + ) ( yn + ) 6 0 xn 6yN 0 xn yn 0 () Nous aboutissons à un système que nous résolvons par combinaisons linéaires. Pour trouver x N, multiplions l'équation () par, puis nous l'additionnerons à () afin d'éliminer N Pour déterminer N, on multiplie l'équation () par, puis on la soustrait à l'équation () de façon à éliminer N () 9xN + yn () xn + yn + 0 () xn yn 0 () xn 9yN 6 0 0x + 0 x N N 0, 0y y N N 0,8 e.) Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre Ω (,5;,065 ) et passe par le Ω L 0,5, 5 +, 5, 065, 6565 rayon Conclusion : le point L appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. En fait, il en va de même pour chacun des symétriques de l'orthocentre H par rapport aux trois côtés du triangle.

19 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : y Les équations tournent en rond Cet exercice de géométrie analytique aborde les équations de droites et de cercles. A L'énoncé Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O; i, j ) été placés les points A, B et E. On a également tracé la droite. y où ont d' I B d H j N O L i G K Ω J C x A j O i B x E

20 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 a) On appelle ( C ) le cercle de centre A passant par E. a.) La droite passe par le point E ( ; 6) et a pour vecteur directeur u. Ainsi :. Déterminer une équation du cercle ( C ). M x; y Les vecteurs EM et u sont colinéaires. Le point B appartient-il au cercle ( C )? On justifiera sa réponse.. Déterminer une équation cartésienne de la droite.. Déterminer les coordonnées du point F qui est le second point (après E) d'intersection du cercle ( C ) et de la droite. b) On appelle ( Γ ) l'ensemble des points M du plan vérifiant la relation : AM + EM 5. En appelant ( x; y ) les coordonnées du point M, établir la relation : AM + EM 5x + 5y + 0x + 0y + 0 En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ( Γ ). a.) La première chose à faire est de calculer le rayon de ce cercle ( C ) de centre A et 0 passant par le point E. Les coordonnées du vecteur AE étant, il vient : 5 rayon du cercle ( C ) AE Le cercle ( C ) est l'ensemble des points M du plan dont la distance à A est égale à 5. Ainsi M ( x; y) ( C ) AM 5 AM 5 ( x + ) + ( y + ) 5 x + car AM y + x + x + + y + y x + y + x + y 0 0 Une équation de (C). Une autre équation de (C). a.) Regardons si les coordonnées de B vérifient l'une des deux équations de ( C ). ( xb + ) + ( yb + ) ( + ) + ( + ) Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point B appartient au cercle ( C ). x + det ( EM, u ) 0 0 y + 6 x + y x y 6 0 a.) Un des deux points d'intersection du cercle ( C ) et de la droite est E ( ; 6) On appelle F ( x ; y ) l'autre point d'intersection.. F F Comme F, alors xf yf 6 0 xf 6 yf yf, 5 xf Ensuite, comme F fait aussi partie du cercle ( C ), alors ses coordonnées vérifient : ( x ) ( y ) ( x ) ( x ) F + + F + 5 F + +, 5 F + 5 xf + xf + +, 5 xf 6xF + 5, 5 xf xf 0 Calculons le discriminant de cette dernière équation qui est du second degré., Comme son discriminant est positif, alors cette équation a deux solutions distinctes : ( ) 5 ( ) + 5 xf et xf, 5 6,5,5 6,5 d'où yf, 5 ( ) 6 d'où yf, 5 C'est le point E Voilà le point F! b.) Les vecteurs AM et EM ayant pour coordonnées respectives nous pouvons écrire : ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) AM + EM x + x + et, y + y + 6 x + x + + y + y + + x + x + + y + y + 6 x + 8x y + y + + x + x + + y + 6y x + 5y + 0x + 0y + 0

21 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b.) En utilisant ce qui vient d'être fait, la relation définissant l'ensemble ( Γ ) devient : AM + EM 50 5x + 5y + 0x + 0y On appelle G le point de x + y + x + 8y x + x + y + 8y + 0 ( x ) ( x ) coordonnées ( ; ) ( x ) ( x ) Conclusion : l'ensemble ( Γ ) est le cercle de centre G ( ; ) GM 9 GM et de rayon. A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante : y ( C ) B A j O i F x ( Γ ) G E

22 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Si l'on s'intéresse à la part des employés d'une entreprise gagnant plus de 800 euros, elle est Probabilités et statistiques plus grande dans l'entreprise B que dans Vrai Faux Indécidable l'entreprise A. Les stats, c'est vachement chouette! Cet exercice de statistiques aborde les principaux points du chapitre...sans calculatrice. Fréquences Cumulées Croissantes 0,9 L'énoncé Cet exercice est composé de deux sous-parties indépendantes. a) Le groupe des «pas courageux» d'une classe de première S a obtenu les notes suivantes lors du dernier devoir : 5 Calculer la moyenne de cette série statistique, puis montrer qu'une valeur approchée de son écart-type de cette série statistique est,. b) On étudie la répartition des salaires dans deux entreprises A et B. Dans les deux compagnies, les rémunérations mensuelles s'échelonnent de 000 à 00 euros. Le polygone des fréquences cumulées croissantes de l'entreprise A et le diagramme en boite de l'entreprise B sont représentés ci-contre. A partir des deux graphiques, déterminer les médianes, quartiles et moyennes de ces deux séries statistiques.. Voici cinq affirmations. Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie, fausse ou indécidable (c'est-à-dire que l'on ne peut pas se prononcer). Aucune justification n'est demandée. 0,8 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, Dans l'entreprise A, le nombre d'employés gagnant moins de 500 euros est supérieur au nombre d'employés gagnant plus de 00 euros. Vrai Faux Indécidable Salaire mensuel en euros dans l'entreprise A Dans l'entreprise B, le nombre d'employés gagnant moins de 500 euros est supérieur au nombre d'employés gagnant plus de 00 euros. Vrai Faux Indécidable Le salaire moyen de l'entreprise B est supérieur au salaire moyen de l'entreprise A. Vrai Faux Indécidable Si l'on s'intéresse aux employés gagnant moins de 000 euros, il y en a plus dans l'entreprise B que dans l'entreprise A. Vrai Faux Indécidable Salaire mensuel en euros dans l'entreprise B

23 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 De même, le diagramme en boite de l'entreprise B nous donne aussi ses indicateurs de dispersion mais pas sa moyenne! a) La moyenne, la variance et l'écart-type du groupe «pas courageux» sont donnés par : Q Moyenne 00 Médiane Variance Q 800 Ecart-type Variance, b.) Le polygone des fréquences cumulées croissantes de l'entreprise A nous donne ses indicateurs de dispersion (les quartiles et la médiane) mais pas sa moyenne. Fréquences Cumulées Croissantes 0,9 0,8 0, 0,6 0,5 0, 0, 0,6 Médiane Q 0, Salaire mensuel en euros dans l'entreprise B b.) Examinons les différentes affirmations : D'après son polygone des fréquences cumulées croissantes, un peu plus de 0% des employés de l'entreprise A gagnent moins de 500 alors qu'un peu moins de 9% gagnent plus de 00. La première affirmation est vraie. D'après son diagramme en boite, moins d'un quart (du fait de la position de Q ) des employés de l'entreprise B gagnent moins de 500 alors que plus d'un quart (à cause de la position de Q ) gagnent plus de 00. La seconde affirmation est fausse. Il est impossible de déterminer les salaires moyens dans les deux entreprises avec les données dont nous disposons. La troisième affirmation est indécidable. Le terme «il y en a plus» impliquerait que nous connaissions les nombres d'employés dans les deux entreprises. Ce qui n'est pas le cas. La quatrième affirmation est indécidable. La part des employés de l'entreprise A gagnant plus de 800 est d'environ % selon le polygone des fréquences cumulées croissantes. Du fait de la position du troisième quartile Q et selon le diagramme en boite, la part des employés de l'entreprise B gagnant plus de 800 est de 5%. La dernière affirmation est vraie. 0, Q 0, 0, Salaire mensuel en euros dans l'entreprise A Néanmoins, on peut calculer une moyenne salariale en décumulant le polygone ci-dessus... Somme des produits fréquence Milieu de la classe Moyenne 0, , , ,

24 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Maths ou brillant? Un exercice classique de probabilité avec un arbre pondéré, la formule des probabilités totales qui ne dit pas son nom et une loi binomiale pour conclure. L'énoncé La Blancoise des Jeux vient de lancer un nouveau jeu : Question de maths pour gens brillants. Son principe est le suivant : d'abord, le joueur tire au hasard une question. Un tiers de ces questions portent sur la géométrie, les deux cinquièmes portent sur l'analyse et les restantes sur les probabilités. Des études ont montré que : Le joueur répondait correctement à une question de géométrie dans 60% des cas. Le joueur répondait correctement à une question d'analyse dans 65% des cas. Le joueur répondait correctement à une question de probabilités dans 90% des cas. Un joueur se présente pour jouer, la partie commence... a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants. b) Etablir que la probabilité que le joueur réponde correctement à une question posée est de 0,. c) Un joueur décide de jouer dix fois de suite à Question de maths pour gens brillants. Les dix parties ou questions posées sont considérées comme indépendantes. Le résultat ou les conditions d'une partie (question) n'influent pas sur les autres parties (questions). On appelle X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de questions auxquelles le joueur a apporté une réponse correcte au cours des dix parties.. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? On justifiera sa réponse.. Déterminer la probabilité que le joueur réponde correctement à exactement sept questions sur les dix. a) La situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants est la suivante : Le joueur tire une La réponse donnée question au hasard... est-elle correcte? / /5 /5 Géométrie Analyse Probabilités C G Quelques précisions : La probabilité d'avoir une question de probabilités est L'événement C désigne «la réponse apportée est correcte» et l'événement C «la réponse apportée est fausse». b) La probabilité de l'événement C est donnée par : p C p Géométrie C + p Analyse C + p Probabilités C 0,6 0, 0,65 0,5 0,9 0, 0,6 + 0,65 + 0,9 0, + 0,6 + 0, 0, 5 5 C C G C C G C Sans le dire, c'est la formule des probabilités totales qui s'applique...

25 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 c) Chaque question est pour le joueur une épreuve de Bernoulli... Les dix questions forment un schéma de Bernoulli à dix épreuves. Par conséquent, la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de succès au cours des B 0;0,. dix épreuves suit la loi binomiale La probabilité que le joueur réponde correctement à exactement sept questions sur les dix est donnée par : 0 p ( X ) 0, 0, Du fait de la symétrie des «p parmi n» La réponse donnée est-elle correcte? 0, 0, Succès ou C Echec ou C , 0, 0, 0, 0, 6 Des lettres pour des chiffres Cet exercice de probabilité s'ouvre sur un tirage simultané et ses combinaisons (clairement hors programme) avant de s'orienter sur une variable aléatoire discrète et la manipulation de son espérance. L'énoncé Signe de sa grande créativité, La Blancoise des Jeux vient encore de lancer un nouveau jeu : Des lettres pour des chiffres. Son principe est le suivant. Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher sur lesquelles sont marquées les 6 lettres de l'alphabet : une boule, une lettre. Et réciproquement! Six de ces vingt-six lettres (ou boules) sont des voyelles (a e i o u y) et les vingt autres des consonnes. Après s'être acquitté d'une mise de m euros, le joueur tire au hasard et simultanément une main de quatre boules. Ainsi, par exemple, les tirages rame, mare et amer désignent-ils la même main. On ne tient pas compte de l'ordre des lettres. Le joueur gagne dans trois cas : A. Si sa main comporte quatre voyelles, alors il gagne B. Si sa main comporte trois voyelles et une consonne, alors il gagne 00 C. Si sa main comporte deux voyelles et deux consonnes, alors il est remboursé de sa mise m. Dans tous les autres cas, il a perdu. a) En expliquant son calcul, déterminer :. Le nombre total de mains.. Le nombre de mains favorables au cas A, c'est-à-dire celles composées de quatre voyelles.. Le nombre de mains favorables au cas B, c'est-à-dire celles composées de trois voyelles et une consonne.. Le nombre de mains favorables au cas C, c'est-à-dire celles composées de deux voyelles et deux consonnes. b) On appelle X la variable aléatoire égale au gain brut (mise non déduite) exprimé en euros reçu par le joueur. Des calculs arrondis au millième ont conduit à la loi de probabilité de la variable aléatoire X suivante : Valeur de X 0 m Probabilité 0,8 0,0 0,00

26 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5. Compléter le tableau et vérifier que les probabilités trouvées sont correctes. b.) La somme des probabilités prises par la variable aléatoire X est égale à. Ainsi :. Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique E ( X ) de la variable 0,8 0,0 0,00 aléatoire X. p ( X m) p ( X 0) p ( X 00) p ( X 5000) 0,9. La Blancoise des Jeux entend faire un bénéfice de,0 euros par joueur. En utilisant les résultats de la question a, on vérifie : A combien doit-elle fixer la mise m pour parvenir à cet objectif? 5 p ( X 5000) p ( A) 0, 00 Les boules étant indiscernables au 00 8 toucher, nous a) D'abord, le tirage des quatre boules étant simultané et sans ordre, chaque main obtenue p ( X 00) p ( B) 0, 0 sommes en est une combinaison. situation lettres d'équiprobabilité. p ( X m) p ( C) 0,9 à choisir parmi Au total, il y a 950 mains possibles. b.) L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est donnée par : Passons en revue les trois cas qui conduisent à une main gagnante : E ( X ) p ( X valeur ) valeur A. Une main avec quatre voyelles lettres à choisir 0, ,9 m + 0, , ,9 m +, parmi 6 voyelles Il y a 5 mains favorables à A b.) Lorsque l'espérance de gain brut est égale à la mise, le jeu est équitable. La Blancoise des Jeux fait un bénéfice de,0 lorsque le joueur perd,0 en moyenne. B. Une main avec trois voyelles et une consonne Autrement dit, lorsque : lettres à choisir lettre à choisir E ( X ) m, 0 0,9 m +, m, parmi 6 voyelles parmi 0 consonnes 8, Il y a 0 00 mains 0,809 m 8, 9 m, 00 B 0,809 Conclusion : La Blancoise des Jeux réalise un bénéfice de,0 par joueur lorsque la mise C. Une main avec deux voyelles et deux consonnes est fixée à euros. lettres à choisir lettre à choisir parmi 6 voyelles parmi 0 consonnes Il y a 850 mains C

27 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Les trois premiers Cet exercice de probabilité reprend tous les trucs des deux précédents : tirage simultané et combinaisons, variable aléatoire avec espérance mathématique et pour finir un schéma de Bernoulli avec sa loi binomiale. L'énoncé Pour la dernière fois de la saison, la trop créative Blancoise des Jeux vient de créer un nouveau jeu : Les Trois Premiers. Son principe est le suivant. Une urne contient 0 boules indiscernables au toucher et numérotées de à 0. Neuf de ces boules portent un entier premier. On rappelle qu'un entier est dit premier s'il n'est divisible que par et lui-même. Dans un premier temps, le joueur verse une mise de m euros. Ensuite, le joueur tire au hasard et simultanément une main de trois boules. Il n'y a pas d'ordre dans le tirage des trois boules. Trois cas sont alors possibles : A. Si les trois boules tirées portent chacune un numéro premier, alors le joueur gagne 00 euros. B. Si, parmi les trois boules tirées, exactement deux portent un numéro premier, alors le joueur est remboursé de sa mise m. C. Dans toutes les autres compositions, le joueur perd. a) Enumérer les neuf entiers premiers compris entre et 0. b) En expliquant et en écrivant ses calculs, déterminer :. Le nombre total de mains de trois boules.. Le nombre de mains favorables au cas A, c'est-à-dire celles composées de trois boules portant chacune un numéro premier.. Le nombre de mains favorables au cas B, c'est-à-dire celles composées de trois boules dont exactement deux portent un numéro premier. c) On appelle X la variable aléatoire égale au gain net (mise m déduite) exprimé en euros reçu par le joueur.. Donner les trois valeurs que peut prendre la variable aléatoire X?. Compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire X : Valeur de X 00 m Probabilité 0,58 0,0. Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique E ( X ) de la variable aléatoire X.. La Blancoise des Jeux souhaite faire un bénéfice de,5 euros par partie. A combien doit-elle fixer la mise m pour parvenir à cet objectif? d) Un joueur décide de jouer sept fois de suite aux Trois Premiers. Chacune de ces sept parties est indépendante des autres. On appelle Y la variable aléatoire comptabilisant le nombre de parties où le joueur gagne 00 euros. On arrondira les probabilités demandées au millième près.. Expliquer pourquoi la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.. Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement parties sur les.. Déterminer la probabilité que le joueur ne gagne aucune partie sur les.. En déduire la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les. a) Les neuf entiers premiers compris entre et 0 sont : 5 9 b) Le tirage des trois boules étant simultané et sans ordre, chaque main obtenue est une combinaison. numéros à choisir parmi Au total, il y a 0 mains possibles. Le nombre de mains favorables au cas A, c'est-à-dire composées de trois boules portant numéros à choisir parmi les 9 premiers chacune un numéro premier, est de 8 6 Le nombre de mains favorables au cas B, c'est-à-dire celles ayant deux boules portant un numéros à choisir numéro à choisir parmi les 9 premiers parmi les autres numéro premier est, 6 96 c.) Les trois valeurs prises par la variable aléatoire X sont 00 m Gain net Gain brut - Mise m m 0 m euros.

28 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 c.) Complété, le tableau donnant la loi de probabilité de X est le suivant : 5 Valeur de X -m 0 00 m 6 5 p ( Y ) 0,0 0,9 0,0 0,9 0,009 Probabilité 0,58 0,5 0,0 d.) La probabilité que le joueur ne gagne aucune partie sur les est donnée par : Quelques précisions : Un gain net X de 00 m euros équivaut à obtenir une main de type A. 0 p ( Y 0) 0,0 0,9 0,9 0,60 Nombre de mains A 8 0 p ( X 00 m) p ( A ) 0, 0 Nombre total de mains 0 d.) «Gagner au moins une partie» est l'événement contraire de «n'en gagner aucune». Par Un gain net X de 0 euros équivaut à obtenir une main de type B. conséquent, nous pouvons écrire : Nombre de mains B 96 p ( X 0) p ( B ) 0,5 p ( Y ) p ( Y 0) 0, 60 0, 98 Nombre total de mains 0 Un gain net X de m euros correspond aux mains restantes de type C. p X m p X 0 p X 00 m 0, 5 0, 0 0, 58 c.) L'espérance mathématique est donnée par la formule : E X p X valeur valeur 0, 58 m + 0, , 0 00 m 0, 65 m c.) La Blancoise des Jeux fait un bénéfice de,5 par joueur lorsque l'espérance de gain net du joueur sur une partie est de,5. Autrement dit, lorsque :,5 0,65,5 0,65 8,5 E X m m 8,5 m 0,65 Conclusion : La Blancoise des Jeux réalise un bénéfice de,5 par partie lorsque la mise est fixée à euros. d.) Chacune des sept parties est pour le joueur une épreuve de Bernoulli. Il tire trois boules. Gagne-t-il? 0,0 0,9 Succès ou S Echec ou E Les sept parties forment un schéma de Bernoulli à sept épreuves Par conséquent, la variable aléatoire Y qui comptabilise le nombre de succès au cours des B ;0,0. sept épreuves suit la loi binomiale d.) La probabilité que le joueur gagne exactement parties sur les est donnée par:

29 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 b) On appelle X la variable aléatoire comptabilisant le gain brut que touche le joueur. Mégamillion, méga pognon!. Quelles sont les valeurs que peut prendre le gain brut X?. Calculer l'espérance mathématique E ( X ) en supposant que le jackpot est de millions de dollars. Ce problème donné en devoir à la maison traite sur la loterie américaine Megamillion et a. En déduire la marge que fait l'entreprise sur chaque ticket. pour objet la vérification des probabilités de gagner données par l'entreprise sur son site Sur son site, l'entreprise annonce que 50% des sommes collectées sont web. redistribuées aux joueurs, 5% sont perçues à titre de taxes par les Etats et que les Il est question de tirages simultanés et donc de combinaisons (hors programme) mais aussi 5% restants correspondent à ses frais de fonctionnement. Est-ce correct? de variable aléatoire et d'espérance mathématique. L'énoncé Le Megamillion est une sorte de loto américain où le joueur choisit sur un ticket cinq numéros principaux compris entre et 56, puis un numéro complémentaire compris entre et 6. Chaque ticket coûte un dollar. Pour gagner, le joueur doit avoir l'un au moins des cinq numéros principaux avec éventuellement le complémentaire. Sur son site internet l'entreprise énonce les cas gagnants avec leurs probabilités : Le jackpot minimal est de millions de dollars. Mais lorsqu'il n'est pas trouvé une semaine, il est remis en jeu la semaine suivante et cumulé avec le nouveau jackpot. a) Les probabilités annoncées sont-elles exactes? On justifiera sa réponse. Les gains sont-ils «cohérents» avec la probabilité de les gagner? a) D'abord, précisons que le tirage des cinq numéros principaux se fait sans ordre et est simultané. Le nombre de tirages possibles est donné par : 5 numéros numéro principaux à complémentaire choisir pa rmi 56 à choisir parmi Passons en revue les divers tirages gagnants : Cinq numéros principaux et le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : 5 numéros numéro principaux à choisir complémentaire parmi les 5 bons à choisir parmi bon 5 5 Sa probabilité de réalisation est de comme annoncé. 556 Cinq numéros principaux sans le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : 5 numéros numéro principaux à choisir complémentaire parmi les 5 bons à choisir 5 mauvais Sa probabilité de réalisation est de Presque! C'est que certaines fractions sont plus commerciales que d'autres...

30 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 Quatre numéros principaux et le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : Deux numéros principaux et le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : numéros numéro numéro numéros numéros numéro principaux à choisir principal à choisir complémentaire principaux à choisir principaux à choisir complémentaire parmi les 5 bons parmi les 5 mauvais à choisir bon parmi les 5 bons parmi les 5 mauvais à choisir bon Sa probabilité de réalisation est de. Sa probabilité de réalisation est de Encore une fois, l'entreprise d'extraction de richesses s'efforce de ne pas démotiver l'éventuel client-joueur avec une précision mathématique inconsidérée... Quatre numéros principaux sans le complémentaire Un numéro principal et le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : numéro numéros numéro numéros numéro numéro principal à choisir principaux à choisir complémentaire principaux à choisir principal à choisir complémentaire parmi les 5 bons parmi les 5 mau vais à choisir bon parmi les 5 bons parmi les 5 mauvais à choisir 5 mauvais Sa probabilité de réalisation est de Sa probabilité de réalisation est de Juste le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : Trois numéros principaux et le complémentaire 5 numéros numéro principaux à choisir complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : parmi les 5 mauvais à choisir bon numéros numéros numéro principaux à choisir principaux à choisir complémentaire parmi les 5 bons parmi les 5 mauvais à choisir bon Sa probabilité de réalisation est de Et au total Sa probabilité de réalisation est de Il y a tirages gagnants et leur probabilité est de Trois numéros principaux sans le complémentaire Le nombre de tirages favorables à ce cas est donné par : numéros numéros numéro principaux à choisir principaux à choisir complémentaire parmi les 5 bons parmi les 5 mauvais à choisir 5 mauvais Sa probabilité de réalisation est de

31 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Toute la question est de savoir si les gains sont inversement proportionnels aux probabilités d'apparition. Ainsi il ne faut pas faire le rapport de ces deux données mais leur produit. Gain Probabilité Produit ,696E-09 0, ,560E-0 0, ,5E-06 0, ,500E-05 0,00 50,56E-05 0,0,69E-0 0,0 0,88E-0 0,0,090E-0 0,0,E-0 0,0 Si les gains étaient inversement proportionnels à la probabilité de gagner, alors cela signifierait que l'entreprise consacre les mêmes sommes à tous les types de tirages gagnants. Ce qui n'est pas le cas car il faut bien faire rêver le client-joueur... b.) La variable aléatoire X peut prendre toutes les valeurs des gains (bruts) possibles à savoir : b.) Pour calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X, nous prendrons les «probabilités commerciales» fournies par l'entreprise qui sont très proches de probabilités réelles. L'espérance de gain brut est donnée est par : probabilité valeur prise par E X X ,5 dollar b.) Sur chaque ticket, l'entreprise fait 0, 5 0,5 dollars de marge...théorique. Cependant, elle annonce reverser la moitié des sommes collectées sous forme de gains. Est-ce une escroquerie? Pas nécessairement car les données fournies par l'entreprise sont calculées à partir de son bilan financier dont on peut penser qu'il est rigoureusement contrôlé. L'espérance mathématique est une sorte de moyenne idéale qui serait calculée sur un nombre infini de billets vendus. Sauf que l'entreprise ne vend qu'un nombre fini de billets même si celui-ci doit se chiffrer en dizaines de millions d'unités et de dollars. De plus, si l'entreprise vend 0 millions de billets (autant de dollars) et que le jackpot est gagné, alors elle reverse plus de 60% des sommes collectées aux joueurs. Si le jackpot n'est pas gagné, alors elle reverse moins de 9%. Comme quoi la réalité économique est souvent bien loin de l'idéal mathématique.

32 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a) Sachant que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, calculer le produit scalaire AB AD. Produit scalaire Classique scalaire Cet exercice aborde les manipulations de base du produit scalaire. L'énoncé Sur la figure ci-dessous réalisée en dimensions réelles, toutes les distances portées sur les segments sont exprimées en centimètres et les angles en radians. On précise que les points D, E et L sont sur le même cercle de centre A. b) Calculer la valeur du produit scalaire AB AG. c) Sachant que le produit scalaire AD AE vaut 8, déterminer une mesure de l'angle. orienté ( AD, AE) d) Sachant que le triangle CFH est rectangle en H :. Calculer la longueur CH.. En déduire la valeur du produit scalaire CF CD. e) Placer sur la figure ci-contre les points suivants :. J est le point de la droite (BC) tel que BC BJ. K est le point de la droite (BC) tel que BC FK 0 C F H D f) On appelle I le milieu de [AD].. Compléter l'égalité vectorielle AI + DI AI+IL + DI+IL IL + 8. Etablir l'égalité. En déduire la longueur IL g) Question subsidiaire : dans quelle unité un produit scalaire est-il exprimé? B 5 6 ~ I ~ A 6 E L a) Nous pouvons écrire : N'oublions pas que ABCD est un parallélogramme. AB AD AB AD AB AD + 5 AC AB AD 6 5 [ 6 5 6] b) Là encore, nous pouvons écrire : π AB AG AB AG cos ( AB AG) 5 cos 0 0 π/ G

33 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 c) Une des caractérisations du produit scalaire nous conduit à écrire : AD AE AD AE cos AD, AE 8 cos AD, AE 8 cos( AD, AE) 6 π ( AD,AE ) ± à π-près Conclusion : compte tenu de la situation du point E sur la figure, nous en déduisons qu'une π est radians. mesure en radians de l'angle orienté ( AD, AE) d.) Comme le triangle CFH est rectangle en H, alors, en application du théorème de Pythagore, nous pouvons écrire : CF CH + HF CH + CH 6 CH cm d.) Pour calculer ce produit scalaire, nous allons utiliser le point H qui est le projeté orthogonal du point F sur la droite (CD). C F CF CD ( CH + HF) CD CH CD + HF CD Colinéaires Orthogonaux de même sens CH CD La voie analytique : une autre méthode consiste à travailler dans un repère orthonormé centimétrique ( H; i, j ) dont les deux vecteurs de base sont centimétriques et ont mêmes demi-directions que les vecteurs HD et HF. Expression du produit scalaire On a alors : en repère orthonormé. 5 CF CD J B K C 5 6 H e.) Comme le point J appartient à la droite (BC), alors les vecteurs BC et BJ sont colinéaires. Donc il existe un réel λ tel que BJ λ BC Il vient alors ; BC BJ BC λ BC λ BC Le carré scalaire est λ égal à la norme... BC 6 Conclusion : comme BJ BC, alors le point J est situé à trois centimètres du point B à l'opposé de C. F j π/ i ~ A ~ I D 6 G E L

34 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 e.) Comme leur produit scalaire est nul, alors les vecteurs BC et FK sont orthogonaux. Panneaux pour énergie scalaire Conclusion : le point K est le projeté orthogonal du point F sur la droite (BC). f.) I étant le milieu du segment [AD], les vecteurs AI et DI sont opposés. Par conséquent, leur somme AI + DI est nulle. f.) Développons chacun des carrés scalaires constituant le membre de gauche de l'égalité à établir! ( AI+IL) + ( DI+IL) AI + AI IL + IL + DI + DI IL + IL AI + DI + IL + AI IL + DI IL Le carré scalaire est égal à la norme IL + ( AI + BI) IL o car I milieu de [AD] + + IL + 0 IL + 8 f.) Tripatouillons le membre de droite de l'égalité précédente AI+IL + DI+IL IL + 8 AL + DL IL + 8 Encore une fois, le carré scalaire est égal à la norme... AL + DL IL IL IL + 8 IL 5 8 IL IL cm g) Par définition, le produit scalaire est une différence de carrés de normes. En effet : u v u v u v + u v cos ( u, v ) cm cm Rapport cm cm cm Par conséquent, le produit scalaire de deux vecteurs dont la norme est exprimée en centimètres est lui-même exprimé en centimètres carrés. Cet exercice assez costaud sur le produit scalaire recourt à la formule des sinus, au théorèmes d'al-kashi et de la médiane et, se conclut avec des ensembles de points. L'énoncé Sur la figure ci-après, ABC et ABD sont deux triangles tels que : AB cm BD 5cm π π π ( AB,AC) ( BA,BD) ( CA,CB) On appelle I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AD]. a) Calculer la valeur exacte de la longueur BC et démontrer que AD 9 cm. On pourra vérifier les résultats trouvés en comparant leurs valeurs approchées aux longueurs mesurées sur la figure ci-après. b) On appelle E le point de la droite (BD) vérifiant l'égalité : BD BE 0. Placer le point E sur la figure ci-après. On justifiera sa construction. On appelle F le point de la droite (BC) tel que BD BF 0. Placer le point F sur la figure ci-après. On expliquera sa construction. c) On appelle G le point défini par la relation vectorielle : 5 AG AB. Placer le point G sur la figure.. Démontrer l'égalité vectorielle GA + 5 GB o. En utilisant le point B, calculer le produit scalaire GB GE. Que peut-on en conclure quand au triangle BGE? d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des ensembles de points du plan suivants :. L'ensemble des points M du plan vérifiant l'égalité MA + MD Indication : on pourra recourir au point J et à un résultat de la question a. Le point I appartient-t-il à l'ensemble? On justifiera sa réponse.. L'ensemble Σ des points M du plan vérifiant l'égalité MA + 5 MB 6 Indication : on pourra recourir au point G et au résultat de la question c..

35 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 A π/ J I D π/ π/ C 5 B a) D'abord, calculons la longueur BC. La formule des sinus appliquée au triangle ABC nous permet d'écrire : π sin sin ( B π sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ ˆ sin ) BC AC AB BC AC π sin BC 6 cm π sin Pour calculer la longueur AD, nous allons appliquer le théorème d'al-kashi (ou de «Pythagore généralisé») dans le triangle ABD. AD BA + BD BA BC cos ABD π cos Nous en déduisons que la longueur AD est égale à 9 centimètres. b.) Comme le point E appartient à la droite (BD), alors les vecteurs BD et BE sont colinéaires. De plus, le produit scalaire BD BE étant positif, les vecteurs colinéaires BD et BE ont même sens. Tout cela étant dit, nous pouvons écrire : 0 0 BD BE 0 BD BE 0 BE cm BD 5 Conclusion : le point E est situé aux quatre cinquièmes du segment [BD] à partir de B. b.) Nous savons déjà que le point F appartient à la droite (BC). Mais elle est longue! Modifions l'égalité définissant le point F en introduisant le point E. BD BF 0 BD ( BE + EF) 0 BD BE + BD EF BD EF 0 BD EF 0 BD EF Conclusion : F est le point d'intersection de la droite (BC) et de la perpendiculaire à la droite (BD) passant par E.

36 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 Une autre méthode : on peut tourner le problème en calculant la distance BF Une autre voie en contournant le problème F appartenant à la droite (BC), l'angle géométrique DBF mesure : On calcule la distance EG avec le théorème d'al-kashi appliqué dans le triangle BEG. soit π si F est sur la demi-droite [BC). EG BE + BG BE BG cos ( EBG ) Puis, avec le théorème de Pythagore, on établit que le triangle est rectangle en G. π soit si F est sur l'autre demi-droite. Ensuite, le produit scalaire des vecteurs BD BE 6 et GE + GB + 6 et BF étant positif, le cosinus de leur angle Le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Donc le triangle BEG est rectangle en G. π géométrique est nécessairement positif. Seul le cosinus de est dans ce cas. Il vient : Donc les vecteurs GB et GE sont orthogonaux et leur produit scalaire est nul... BD BF 0 BD BF cos ( DBF) 0 5 BF 0 BF c.) D'après la relation vectorielle le définissant, le point G se trouve aux cinq septièmes du segment [AB], c'est-à-dire à 5 centimètres, à partir de A. c.) Comme le point G est situé aux cinq septièmes du segment [AB] à partir de A, alors il l'est aux deux septièmes à partir de B. Partant du membre de gauche de la relation vectorielle à établir, nous pouvons écrire : GA+ 5 GB AB + 5 AB AB + AB o Une autre voie en travaillant sur la droite (AB) On peut aussi poser un repère centimétrique ( A,i ) sur la droite (AB) où les points A, B et G ont pour abscisses respectives 0; et 5. Il vient alors : «Arrivée départ» sur une droite GA + 5 GB 5 0 i i 0i 0i c.) Décomposons le vecteur GE en passant par le point B! GE GB GB + BE GB GB GB + BE GB GB BE BG π GB BE BG cos 0 Carré scalaire On connaît leur angle Comme leur produit scalaire est nul, alors les vecteurs GB et GE sont orthogonaux. Donc le triangle BGE est rectangle en G. o d.) En application de la première égalité du théorème de la médiane et en s'appuyant sur le milieu J du segment [AD], nous pouvons écrire : ( 9 ) AD MA + MD MJ + MJ + MJ + 9, 5 L'égalité définissant l'ensemble devient alors : M MA + MD MJ + 9, 5 MJ, 5 MJ 6, 5 MJ 6, 5, 5 Conclusion : l'ensemble est le cercle de centre J et de rayon,5 centimètres. Comme les points I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AD], alors en application du théorème des milieux appliqué dans le triangle ABD, nous pouvons écrire : JI DB 5, 5cm Donc I appartient bien au cercle de centre J et de rayon,5 centimètres, c'est-à-dire à. d.) Avant tout développement, simplifions la somme... MA + 5 MB MA + 5 MB MG + GA + 5 MG + GB MG + MG GA + GA + 5 MG + MG 5 GB + 5 GB MG + GA + 5 GB + ( MG) ( GA + 5 GB) o d'après la question c. MG MG o MG MG + 0

37 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 La relation définissant l'ensemble Σ devient alors : Les équations scalaires M Σ MA + 5 MB 6 MG Conclusion : Σ est l'ensemble vide. MG MG A l'issue de l'exercice, la figure est celle ci-dessous Un carré n'est jamais négatif! C Cet exercice assez costaud aborde le produit scalaire sous le prisme analytique. Il traite des ensembles de points, des équations de droites et de cercles. L'énoncé Sur la figure ci-après, le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O; i, j ) on a positionné les points suivants : A ( 0; ) B( ;0) C( ;6 ) E ; dans lequel π/ a) Déterminer une équation (cartésienne) de la droite (AB). Le point E appartient-il à la droite (AB)? On justifiera sa réponse. A,5 π/ J I G π/ 5 B b) On appelle la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C. Ces deux droites sont sécantes en un point noté H.. Déterminer une équation (cartésienne) de la droite.. En déduire les coordonnées du point H.. On appelle δ la distance existant entre le point C et la droite (AB). Par définition, la distance entre un point et une droite est la plus petite des distances existant entre ce point et chaque point de la droite. Calculer cette distance δ. c) On appelle Σ l'ensemble des points M du plan vérifiant l'égalité MB MC. Calculer les coordonnées du milieu J du segment [BC]. x; y les coordonnées du point M, déterminer une équation. En appelant (cartésienne) de l'ensemble Σ.. En déduire que Σ est l'ensemble vide. D E F d) On appelle Γ l'ensemble des points M du plan vérifiant l'égalité AM + BM 5. En appelant ( x; y ) les coordonnées du point M, déterminer une équation (cartésienne) de l'ensemble Γ.. Vérifier que l'origine O appartient à l'ensemble Γ.. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble Γ, puis le représenter sur la figure ci-après.

38 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 y a) La droite (AB) est définie par son point B( ;0 ) et son vecteur directeur AB. M ( x; y) ( AB) Les vecteurs BM et AB sont colinéaires C x det ( BM,AB) 0 0 y x y 0 x y 0 Conclusion : une équation de la droite (AB) est x y Regardons si les coordonnées du point E vérifient l'équation de la droite (AB). xe ye 0, 5 ( ) Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point E appartient à la droite (AB). j O i B x b.) La perpendiculaire passe par le point C( ;6 ) et a pour vecteur normal M ( x; y) Les vecteurs CM et AB sont orthogonaux CM AB 0 x + 0 ( x + ) + ( y 6) 0 y 6 x + + y 0 x + y 0 AB. Conclusion : une équation de la droite est x + y. A E b.) Le point H appartenant aux deux droites (AB) et, ses coordonnées en vérifient les deux équations et sont, par conséquent, la solution du système linéaire : x y () Appartenance à ( AB) x + y () Appartenance à Résolvons ce système par un double coup de combinaisons linéaires. Pour trouver x, on multiplie l'équation () Pour obtenir y, on multiplie l'équation () par et la () par afin d'éliminer y. par et la () par de façon à éliminer x. () 6x y 8 () x 9y 6 () 9x + y 6 () x + 6y 8 5x x, Conclusion : les coordonnées du point H sont (, ;,9 ). 5y 8 y,9

39 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 b.) La distance entre le point C et un point N de la droite (AB) est minimale lorsque N est c.) Les coordonnées du milieu J du segment [BC] sont données par : le projeté orthogonal H de C sur la droite (AB). xb + xc ( ) + yb + yc En effet, le triangle CNH étant rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : xj et yj CN CH + HN CN CH CH est la distance minimale Nous pouvons donc écrire : x x c.) Si on note ( x; y ) les coordonnées du point M, alors MB et MC. δ CH (, ( ) ) + (,9 6) ( 5,) + (,08) 6, 6,8 cm y 6 y La relation définissant l'ensemble Γ devient alors : y M x; y Σ MB MC Γ C j O i J 6,8 B H N N N x x x y 6 y + 6 ( x) ( x) ( y) ( y) x + x + x 6y + y + 0 x + y x 6y + 0 c.) Remettons-nous à l'ouvrage sur l'équation de l'ensemble Σ. M x; y Σ x x + y 6y + 0 x x + y y + 0 Début... Début... ( x ) ( y ) d'identité. ( x ) ( y ) ( x x ) ( y y )...d'identité Oops! Un carré négatif! J + J JM Conclusion : un carré ne pouvant être négatif, il n'existe pas de point M du plan qui appartienne à l'ensemble Σ. Par conséquent, ce dernier est vide. E A

40 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 0 sur 5 x d.) Si ( x; y ) désignent les coordonnées du point M, alors AM et BM x. y + y La relation définissant l'ensemble Γ devient alors : M x; y Γ AM + BM 5 x + ( y + ) + ( x ) + y 5 ( x y y ) ( x x y ) x + y + y x 6x y 5 0 x + y 6x + y 0 x + y,5 x + 6y 0 d.) Regardons si les coordonnées de l'origine O vérifient l'équation de Γ : xo + yo, 5xO + 6yO 0 + 0, Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, l'origine O appartient à l'ensemble Γ. d.) Reprenons l'équation de Γ. M x; y Γ x, 5x + y + 6y 0 x x 0, 5 + y + y 5 Début... Début... ( x ) ( y ) 0, 5 0, d'identité....d'identité. 9 ( x 0, 5) + ( y + ) ( x 0,5) + ( y ( ) ) ( x xe ) + ( y ye ) EM EM 6 Conclusion : l'ensemble Γ est le cercle de centre E et de rayon passant par l'origine O. 5...ou plus simplement

41 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 b) On s'intéresse à la production de la source B.. Calculer b qui est le volume d'eau bénite exprimé en litres produite par Suites la source B le second jour. b. On prendra grand soin à préciser ses attributs. Aux sources du profit Ce grand classique du genre est une application à une situation donnée des suites arithmétiques et géométriques. L'énoncé Le Père Dechochète dirige la compagnie des Eaux Saintes Blancoises qui commercialise de l'eau minérale bénite. Il a notamment sous sa responsabilité deux sources qui lui posent bien des soucis : une source A et une source B. Tout commença le premier décembre. Ce jour là, alors que les deux sources produisaient chacune 50 litres d'eau minérale bénite, le sourcier annonça à son patron que les écluses célestes ne s'étant pas suffisamment ouvertes au cours des mois précédents, les sources A et B allaient progressivement se tarir. Selon le soucieux sourcier qui n'était pas sorcier : La production journalière de la source A devait baisser chaque jour de litres par rapport à ce qu'elle était le jour précédent. La production journalière de la source B devait baisser chaque jour de % par rapport à ce qu'elle était le jour précédent. On appelle a n et b n les productions journalières respectives exprimées en litres des sources A et B le jour n. Le premier décembre correspond au jour n. Ce jour là, nous avons donc : a 50 et b 50. Etablir la nature de la suite n. Exprimer le terme b n en fonction de n.. Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle est le volume d'eau bénite produite par la source B le quatorzième jour? On entourera la bonne réponse. 00 litres 5,5 litres 99, litres 5,8 litres c) Sur le graphique ci-dessous où le repère est orthogonal mais non orthonormé, on a représenté les quarante premiers termes de quatre suites numérotées (), (), () et (). Deux d'entres elles sont les suites ( a n ) et ( b n ) mais lesquelles? Aucune justification n'est demandée. Production quotidienne en litres () () a) On s'intéresse à la production de la source A.. Calculer a qui est le volume d'eau bénite exprimé en litres produite par la source A le second jour.. Etablir la nature de la suite ( a n ). On prendra grand soin à préciser ses attributs.. Exprimer le terme a n en fonction de n.. Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle est le volume d'eau bénite produite par la source A le quatorzième jour? On entourera la bonne réponse. 89 litres litres 80 litres 9 litres d) Sur les quarante jours débutant le premier décembre, laquelle des deux sources A ou B produit le plus au total? On justifiera sa réponse. e) Que se passe-t-il à partir du quarante-et-unième jour? () () n

42 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 a) Chaque jour, le volume d'eau bénite produite par la source A diminue de litres par rapport au jour précédent. Par conséquent : c) Les productions quotidiennes des deux sources diminuant, les suites ( a n ) et ( b n ) sont toutes deux décroissantes. Sur le graphique, deux suites sont décroissantes : () et (). L'expression de la suite arithmétique an n + 5 étant affine, les points représentant Les premiers termes : Le cas général : a se trouvet sur une même droite. ( n ) a Volume produit le second jour an+ Volume produit le + -ième jour Volume de la veille Volume de la veille a 50 9 litres an Comme pour passer d'un terme a n au suivant a n +, on retranche toujours la même a est arithmétique de raison r quantité, alors la suite n de premier terme a 50 Nous en déduisons que pour tout entier naturel n : an a + ( n ) r 50 + ( n ) ( ) 50 n + 5 n Le quatorzième jour, la source A produit : a litres b) Chaque jour, le volume d'eau bénite produite par la source B diminue de % par rapport à la veille. En conséquence : Les premiers termes : Le cas général : b Volume produit le second jour bn+ Volume produit le jour n + Veille % de la veille Veille % de la veille b % de b b 0,0 b ( 0,0) b 0,96 b 89,6 litres b % de b b 0,0 b n n n n 0,0 b 0,96 b Comme, pour passer d'un terme b n au suivant b n +, on multiplie toujours par le même b est géométrique de raison q 0,96. facteur 0, 96, alors la suite n de premier terme b 50 Il vient alors que pour tout entier naturel n, nous avons : n n n 0, n n bn b q 50 0, , 96 5, 5 0, 96 0,96 0,96 Le quatorzième jour, la source B produit : b 50 0, 96 99, 98 litres n n la suite n Par conséquent, la suite n a est représentée par la suite de points () et b n par la (). d) Calculons les volumes totaux produits par les deux sources sur les quarante jours. Sur les 0 jours, la source A produit un total de : a + a Total a + a + a + + a litres Somme de 0 termes consécutifs de la suite arithmétique ( a n ) Sur les 0 jours, la source B produit un total de : 0 0,96 Total b + b + b + + b0 b 059, litres 0,96 Somme de 0 termes consécutifs de la suite géométrique ( b n ) de raison 0, 96 Conclusion : sur les quarante jours, c'est la source A qui produit le plus. e) A partir du quarante-et-unième jour, la production journalière de la source A devient négative car 0 a. Autrement dit et suivant le modèle adopté, elle est tarie. A contrario et toujours suivant le modèle, cela n'arrivera jamais à la source B car il coulera toujours 96% de ce qu'il coulait la veille. C'est ce que laissaient entrevoir leurs représentations graphiques () et ().

43 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Arithmétique sans raison Aux limites de la fin Dans ce petit exercice, il s'agit de déterminer la raison d'une suite arithmétique. L'énoncé La suite ( u n ) est arithmétique. Quatre de ses termes vérifient les égalités : u 00 et u0 + u5 + u0 Déterminer la valeur du terme u 00. La clé de la suite arithmétique ( u n ) est sa raison r en ce sens qu'elle permet de passer d'un terme quelconque à n'importe quel autre. Choisissant u pour référence, nous avons : u0 u + ( 0 ) r 00 r u5 u + ( 5 ) r 00 r u u + ( 0 ) r 00 + r 0 Il vient alors : u0 + u5 + u0 9 ( 00 r) + ( 00 r) + ( 00 + r ) 00 6r 6r 8 8 r 6 La raison connue, il ne nous reste plus alors qu'à calculer le terme recherché : u00 u + ( 00 ) r Dans cet exercice, il s'agit de déterminer les limites à l'infini de quatre suites. L'énoncé Déterminer les limites lorsque n tend vers + des suites suivantes : n n n n + n n un n + 0, vn 0 wn t ( ) n n 5n + n + a) Déterminons la limite de la suite ( u n ) lorsque n tend vers +. n + + lim un lim n + 0, ( + ) n + n + n b) Concernant la limite de la suite ( v n ), nous avons de prime abord : n n ( + ) ( + ) Forme indéterminée lim vn lim 0 n + n + Nous allons éliminer l'indétermination en factorisant la différence par son terme qui nous semble le plus fort : 0 n. n n n n n n n n v n , n 0 0 Voyons si l'indétermination a été levée par notre action. n n + lim vn lim 0 0, ( + ) 0 ( + ) ( ) n + n + c) A propos de la suite n w, nous avons : ( + ) + ( + ) n + n + lim wn lim n + n + 5n Là encore, nous allons lever l'indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur par leurs termes les plus forts. Ensuite, ils s'expliqueront! Forme indéterminée

44 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire : n n + n + n n n wn 5n + n 5 + n n n + + n n n n n Utilisant cette dernière écriture de la suite ( w n ), nous en déduisons : d) La suite ( t n ) est formée de deux facteurs. n lim lim n + wn 0, + n n Le facteur ( ) n qui est alternativement égal à ou. n Si n est pair alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nombre pair de facteurs n Si n est impair alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nombre impair de facteurs Le facteur n + n dont la limite en + se détermine sans anicroches. lim n + ( + ) + + Conclusion : la suite ( t n ) est formée de deux sous-suites : Celle des termes de rang pair : un n + n + Celle des termes de rang impair : un n + n + Ces deux sous-limites étant différentes, la ( t n ) ne peut avoir de limite. Suite pas fine Cet exercice classique mais assez technique consiste en l'étude d'une suite définie par récurrence au moyen d'une fonction affine. On utilise pour ce faire une suite annexe géométrique. La suite ( u n ) est définie par récurrence par : u0 un+ un + pour tout entier naturel n a) Sur le graphique ci-dessous, construire à la règle (et éventuellement à l'équerre) et sur l'axe des abscisses ( Ox ) les quatre premiers termes u0 u u u de la suite ( u n ). y x - - -

45 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 b) La suite ( v n ) est définie pour tout entier naturel n par : y vn un. Démontrer que la suite ( v n ) est géométrique de raison. n 9. En déduire que pour tout entier naturel n, u n n 8. Etablir que pour tout entier naturel n, on a : un+ un. En déduire le sens de variation de la suite ( u n ). 5. Déterminer la limite de la suite ( u n ). 6. Les résultats trouvés sont-ils corroborés par le graphique de la question a. a) On passe du terme u n au terme suivant u n + en appliquant toujours la fonction f ( x) x + On appelle ( C ) sa courbe représentative qui est la droite d'équation y x +. 0; et Cette droite ( C ) passe par son «point d'ordonnée à l'origine» de coordonnées suivant son coefficient directeur monte de en ordonnée lorsque l'on progresse de en abscisse. Ce qui nous donne un second point pour tracer la droite... On construit également la droite d'équation y x, c'est-à-dire le lieu du plan où l'abscisse x est égale à l'ordonnée y. Cette droite nous permettra de reporter tout point de l'axe des Ox. ordonnées ( Oy ) sur l'axe des abscisses Puis, on commence le processus de construction ainsi que cela est fait ci-dessous : ( C ) u 0 u u u x - - y x Vu le graphique précédent, la suite ( u n ) semble croissante et converger vers,5 dans «l'entre-deux-droites». b. et ) Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire : vn+ un+ un + un + vn vn + + Donc la suite ( v n ) est géométrique de raison - v n q et de premier terme : 9 u,5 v0 0

46 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 6 sur 5 Nous en déduisons que pour tout entier naturel n : n n vn v0 q,5 Et par voie de conséquence : n un vn +,5,5 +,5 b.) Utilisant l'expression du terme u n, nous avons que pour tout entier naturel n : u n+ n+ n un,5 +,5,5 +,5 n n n (,5) (,5) (,5) n 8 (,5) n 8 b.) Comme la différence de deux termes consécutifs un+ un est toujours strictement positive, alors, nous avons que pour tout entier naturel n : un+ un > 0 un+ > un u est strictement croissante...ainsi que le laissait supposer la Donc la suite n construction ci-contre. b.5) Comme l'exposé n est compris entre 0 et, alors la puissance tend vers 0 +. Nous en concluons : n lim un lim 0 0, 5 n + n + b.6) Sur le graphique, on observe bien la croissance et la convergence de la suite ( u n ) qui viennent d'être établies. Les termes de la suite grimpent dans l'entonnoir ou «entre-deuxdroites» formé par les droites d'équations y x + et y x vers leur point,5;,5 : la limite qui vient d'être établie. d'intersection qui a pour coordonnées n

47 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page sur 5 c) Tracer sur figure précédente les ensembles de points suivants : π Trigonométrie et angles orientés. L'ensemble des points M du plan tels que ( CF,CM ) modulo π. 6 EM, AC 0 modulo π Tourcoti, tournicota et ça revient! Cet exercice consiste à déterminer des mesures en radians d'angles orientés. L'énoncé Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est isocèle rectangle en C, alors que les triangles ABD, ACE et BCF sont tous trois équilatéraux. E F D a) Donner une mesure exprimée en radians des angles orientés suivants. Aucune justification n'est demandée. ( AC, AE ) ( CA, CB ) ( BA, BC ) ( FB, FC ) ( AD, AC ) A ( CE, CB ) ( CB, EC ) ( DC, BA ) b) Donner une mesure de l'angle orienté ( AD,CF). On expliquera son raisonnement. C B. L'ensemble Γ des points M du plan tels que. L'ensemble Σ des points M du plan tels que π MA, MD modulo π a) Les angles géométriques du E triangle isocèle rectangle ABC π mesurent soit 5, C π soit 90 pour l'angle droit. Tous les angles des trois triangles équilatéraux mesurent π tous 60. Par conséquent : π ( AC, AE) + A π ( CA,CB) + π ( BA,BC) π ( FB,FC) D De plus : π π π π π ( AD,AC) ( AD,AB) + ( AB,AC) + + π π π π 5π ( CE,CB) ( CE,CA) + ( CA,CB) L'angle ( CB, EC) est le complémentaire sur un angle plat de l'angle ( CE,CB) 5π π + + π 6 6 ( CB,EC) ( CB,CE) ( CE,EC) B F

48 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 8 sur 5 π Les points C et D appartenant à la médiatrice du segment [AB], on a : ( DC,BA) Vous reprendrez bien un peu de t! b) Les mesures de l'angle demandé peuvent se trouver de plusieurs manières : Merci M'sieur Chasles! AD,CF AD,AC + AC,CB + CB,CF AD, AC + CA,CB + CB,CF π π π 9π 5π ( AD,AB) + ( CA,CB) + π + ( CB,CF) + + π + Une autre manière de voir les choses est : Merci M'sieur Chasles! ( AD,CF) ( AD,AB) + ( AB,BC) + ( BC,CF) ( AD,AB) + ( BA,BC) + ( CB,CF) ( AD,AB) + ( BA,BC) + π + ( CB,CF) + π AD, AB + BA, BC + CB, CF + π mod π π π π π π π 5π 5π + + π + + π + π modulo π c.) L'ensemble est la demi-droite portée par la droite (AC) d'extrémité C et ne contenant pas le point A. c.) Γ est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs EM et AC soient colinéaires et aussi de même sens. Par conséquent, l'ensemble Γ est la demi-droite d'extrémité E et de demi-direction celle du vecteur AC. c.) Un point M appartient à l'ensemble Γ si et seulement si le triangle AMD est rectangle indirect en M. Autrement dit, le point M doit faire partie du demi-cercle (indirect?) de diamètre [AD]. Σ E A Γ C π/ A π près, au tour près... π/ π/6 B F Cet exercice de trigonométrie met en oeuvre les formules donnant les cosinus, sinus et tangente d'angles asscociés. L'énoncé π π; tel que sin t 5 a. Déterminer la valeur exacte de cos ( t ) t est un sympathique réel de l'intervalle b. En déduire les valeurs exactes de : cos t π sin t π tan t π π π π cos t + sin t tan t + + a) Enroulons l'intervalle [ 0;π ] sur le cercle trigonométrique! π Le réel t faisant partie de l'intervalle π;, le point M qui lui est associé sur le cercle x cos t trigonométrique à une abscisse M et une ordonnée y sin ( t ) négatives. M sin(t) Qui plus est, ces cosinus et sinus sont liés par la M(t) relation : π/ 6 cos( t) + sin ( t) cos( t) + cos ( t) 5 5 π cos(t) 9 cos( t) cos ( t ) ou cos( t) j O π/ i 0 π M D

49 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 9 sur 5 b) En utilisant les propriétés trigonométriques des angles remarquables et associés, nous en déduisons : Angles et plus cos sin π 5 5 sin ( t π) 5 tan ( t π ) cos( t π) π ( t ) cos ( t) ( t ) sin ( t) π cos t sin ( t π + ) sin t π 5 tan t + π π sin t + cos( t) cos t Cet exercice de trigonométrie met en oeuvre des formules d'addition et de duplication des cosinus et sinus. L'énoncé π On appelle α le réel de l'intervalle ;0 a) Déterminer la valeur exacte de sin ( α ). tel que 0 cos 9 α. π b) En déduire les valeurs exactes de cos α +, sin π α et cos α. π a) Le réel α appartenant à l'intervalle ;0, son sinus est négatif. De plus, nous savons : 00 cos ( α ) + sin ( α ) sin ( α ) cos ( α ) 8 8 sin ( α ) 8 9 Impossible car sin est négatif ( α) ou sin ( α ) 9 Voilà la bonne réponse! b) Appliquons les formules d'addition et de duplication vues en cours. π π π cos α + cos cos sin sin α α π π π sin α sin cos cos sin α α

50 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 50 sur cos ( α + ) Les équations qui tournent en rond α 9 9 cos π α appartenant à l'intervalle ;0, sa moitié α π est dans l'intervalle ;0. Cet exercice consiste en la résolution de deux équations trigonométriques. Un sujet toujours très technique. α Donc cos est positif. Nous en déduisons : α 9 cos L'énoncé a) Résoudre dans l'équation sin ( t ) Puis, on déterminera et représentera les π; π sur le cercle solutions de l'intervalle ] ] trigonométrique ci-dessous qui a été partagé j O i j O i en portions égales. b) Résoudre dans l'équation ( t) cos π sin t + 6 Puis, on déterminera et représentera les solutions de l'intervalle [ 0;π [ sur le cercle trigonométrique ci-dessous qui a été partagé en 6 portions égales.

51 Mélancolie mathématique...en première S - Une saison 0-0 d'exercices de maths donnés en devoirs en première S Page 5 sur 5 b) Résolvons dans la seconde équation trigonométrique. a) Résolvons dans la première équation trigonométrique. π π π π cos( t ) sin t + cos ( ) cos cos( ) cos π π π 6 t t + 6 t t sin ( t ) sin ( t ) sin t + k π ou t π + k π π π t t + k π ou t t k π 5π t + k π t + k π + π où k est toujours où k est un 6 un entier relatif... π t k π entier relatif... + π 5π t + t + k π t + k π π π t + k π t + k π 9 Déduisons-en les solutions de cette équation se trouvant dans l'intervalle ] π; π ] : π π π Celles de la forme + k π k 0 t + 0 π Celles de la forme Ces quatre solutions particulières sont représentées ci-contre sur le cercle trigonométrique sur lequel on a enroulé π; π l'intervalle ] ] π π k t + ( ) π 5π 5π 5π + k π k 0 t + 0 π π -π -π/ 5π π k t + ( ) π j O π/ 5π/ i π/ 0 Déterminons les solutions de cette équation se trouvant dans l'intervalle [ 0;π [ : Celles de la forme π π + k π π k 0 t + 0 π π π π k t π π π k t Celles de la forme π + k π 5 k t π + π π Ces quatre solutions particulières sont représentées ci-contre sur le cercle trigonométrique sur lequel on a enroulé l'intervalle [ 0;π [ π π/9 j O π/ i π/9 0 π -π/ -π/ π/9 π/ 5π/