Développements limités. () Développements limités 1 / 36

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1 Développements limités () Développements limités 1 / 36

2 1 Développement limité d une fonction réelle 2 Opérations sur les développements limités 3 Applications des développements limités () Développements limités 2 / 36

3 Plan 1 Développement limité d une fonction réelle 2 Opérations sur les développements limités 3 Applications des développements limités () Développements limités 3 / 36

4 Définition Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0 ou d extrémité 0. Soit n un entier naturel. On dit que la fonction f possède un développement limité (dl) à l ordre n en 0 (dl n (0)) si et seulement si il existe des constantes réelles a 0, a 1,..., a n et une fonction ε définie sur I telles qu on ait x I, f (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n + x n ε(x) = a k x k + x n ε(x) aveclim x 0 ε(x) = 0. c est-à-dire f (x) = a k x k + o(x n ) lorsque x tend vers 0. () Développements limités 4 / 36

5 Exemples: Une fonction f est dérivable en 0 ssi elle admet un développement limité f (x) = a + bx + o(x) à l ordre 1 en 0, auquel cas on a f (x) = f (0) + f (0)x + o(x). Les polynômes réels admettent des développements limités à tous les ordres. Par exemple, (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 admet pour développement limité en 0 : (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + o(x 2 ) développement limité à l ordre 2 en 0 (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 + o(x 7 ) développement limité à l ordre 7 en 0 () Développements limités 5 / 36

6 La fonction f : ] 1; 1[ R admet un x x x 2 + 2x 3 + x 3 ln(1 + x) développement limité à l ordre 3 au voisinage de 0. En effet, en posant : x ] 1; 1[, ε(x) = ln(1 + x), on a x ] 1; 1[, f (x) = x x 2 + 2x 3 + x 3 ε(x) avec lim x 0 ε(x) = 0. () Développements limités 6 / 36

7 On a pour tout x R\{1} et tout entier naturel n, x k = 1 x n+1 = 1 1 x 1 x x 1 x x n et donc 1 1 x = x k + x 1 x x n avec lim x 0 x 1 x = 0. Ainsi la fonction x 1 admet un développement limité à l ordre n 1 x en 0 et l on a 1 1 x = x k + o(x n ). En remplaçant x par x dans la formule précédente, on obtient aussi x = ( 1) k x k + o(x n ). () Développements limités 7 / 36

8 Définition Soit a R, n un entier naturel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a ou d extrémité a. On dit que f admet un développement limité à l ordre n en a si et seulement si la fonction h f (a + h) admet un développement limité à l ordre n en 0. Cela revient à dire qu il existe des constantes réelles a 0, a 1,..., a n tels que f (a + h) = a k h k + o(h n ) lorsque h tend vers 0. En revenant à x = a + h, on a f (x) = a k (x a) k + o((x a) n ) lorsque x tend vers a. Remarque: En posant x = a + h, on peut toujours se ramener à un développement limité en 0, et dans la suite du cours, on considérera souvent des développements limités au voisinage de 0. () Développements limités 8 / 36

9 Formule de Taylor-Young et existence d un DL Théorème Si f est une fonction de classe C n sur un intervalle I et a un point de I. Alors il existe une fonction ε définie sur I telle que x I, f (x) = avec lim x a ε(x) = 0. Autrement dit, on a f (x) = lorsque x tend vers a. f (k) (a) (x a) k + (x a) n ε(x) k! f (k) (a) (x a) k + o((x a) n ) k! () Développements limités 9 / 36

10 Remarque: Il existe beaucoup de versions de la formule de Taylor, en particulier la formule de Taylor pour les polynômes : pour tout P K[X ], tout α K, et tout entier n deg(p), on a P(X ) = P (k) (α) (X α) k. k! Remarquez qu il s agit pour un polynôme d une vraie égalité ne faisant intervenir aucun petit o. () Développements limités 10 / 36

11 Corollaire 1 Une fonction f de classe C n sur un intervalle I contenant 0 possède un développement limité à l ordre n en 0 qui est donné par : f (x) = f (0) + f (0) x + f (0) x 2 = 2 + f (0) x 3 f (k) (0) x k k! + o(x n ) f (n) (0) x n n! + o(x n ) 2 Une fonction f de classe C n sur un intervalle I contenant a possède un développement limité à l ordre n en a qui est donné par : f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (x a)2 (a) + + f (n) (x a)n (a) 2 n! +o((x a) n ) = f (k) (x a)k (a) k! + o((x a) n ). () Développements limités 11 / 36

12 Exemple: La fonction exponentielle est de classe C sur R et elle est égale à ses dérivées successives et en particulier, on a : n N, exp (n) (0) = exp(0) = 1. Elle admet ainsi un développement limité en 0 de tout ordre donné, à l ordre n par : e x = x k k! + o(x n ) = 1 + x + x x x n n! + o(x n ). ATTENTION : l existence d un développement limité à un ordre n 2 n implique pas que f soit n fois dérivable en a. () Développements limités 12 / 36

13 Unicité du développement limité Proposition Si f est une fonction définie sur I qui admet deux développements limités à l ordre n en 0 f (x) = a k x k + o(x n ) et f (x) = b k x k + o(x n ), alors les deux développements limités sont les mêmes, autrement dit : k [[0, n]], a k = b k. Démonstration. Démontrons cette proposition par l absurde : supposons que les deux (n + 1)-uplets (a 0,..., a n ) et (b 0,..., b n ) sont différents. Notons p le plus petit indice de [[0, n]] tels que a p b p. () Développements limités 13 / 36

14 Par hypothèse, il existe deux fonctions ε 1 et ε 2 définies sur I telles que x I, f (x) = a k x k + x n ε 1 (x) = b k x k + x n ε 2 (x) avec lim x 0 ε 1 (x) = lim x 0 ε 2 (x) = 0. En faisant la différence de ces deux développements limités, on obtient, puisque les p premiers coefficients sont égaux, (a p b p )x p + k=p+1 (a k b k )x k + x n (ε 1 (x) ε 2 (x)) = 0 et, en divisant le tout par x p lorsque x 0, on obtient b p = a p + k=p+1 (a k b k )x k p + x n p (ε 1 (x) ε 2 (x)). Si l on prend la limite en 0 dans cette égalité, on obtient a p = b p ce qui contredit la définition de p. () Développements limités 14 / 36

15 Troncature d un développement limité Proposition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point ou une extrémité de I. Si f admet un développement limité à l ordre n en a qui est f (x) = a k (x a) k + o((x a) n ) alors f admet un développement limité en a à l ordre p pour tout p n qui est f (x) = p a k (x a) k + o((x a) p ) Exemple: Si f (x) = x 2 + 2x 4 + x 5 + o(x 6 ), la troncature à l ordre 4 du développement limité de f est : f (x) = x 2 + 2x 4 + o(x 4 ). () Développements limités 15 / 36

16 Parité et développement limité en 0 Proposition Si f est une fonction paire qui admet un développement limité en 0, alors son développement limité ne contient que des puissances pairesde x. Si f est une fonction impaire qui admet un développement limité en 0, alors son développement limité ne contient que des puissances impaires de x. () Développements limités 16 / 36

17 Démonstration. Soit f une fonction paire admettant un développement limité à l ordre n en 0. On a f (x) = a k x k +o(x n ) et f (x) = f ( x) = ( 1) k a k x k +o(x n ). Par unicité du développement limité, on a pour tout k [[0, n]], a k = ( 1) k a k. Ce qui montre que les coefficients des puissances impaires sont nuls. Remarque: Cette proposition n admet pas de réciproque : une fonction qui admet des développements limités pairs en 0 à tout ordre n est pas nécessairement paire. Un développement limité est une propriété locale et on ne peut pas déduire des développements limités des propriétés globales sur les fonctions. () Développements limités 17 / 36

18 Intégration et dérivation d un développement limité Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si f possède un développement limité en a à l ordre n, alors toute primitive F de f possède un développement limité en a à l ordre n + 1. De plus si f admet pour développement limité f (x) = c k (x a) k + o((x a) n ) alors pour une primitive F de f, on a F (x) = F (a)+ c k (x a) k+1 k + 1 +o((x a) n+1 ) lorsque x tend vers a. Remarque: Ce théorème dit que l on peut formellement intégrer un développement limité terme à terme. () Développements limités 18 / 36

19 ATTENTION : La réciproque de ce théorème est fausse : si une fonction dérivable f admet un développement limité à l ordre n en a, sa dérivée n admet pas nécessairement un développement limité à l ordre n 1 en a. On a tout de même le résultat suivant : Proposition Soit n un nombre entier et f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I contenant le point a. La fonction f admet un développement limité à l ordre n + 1 en a et sa dérivée f admet un développement limité à l ordre n en a, qu on obtient en dérivant terme à terme le développement limité de f en a. Exemple: () Développements limités 19 / 36

20 Développements limités classiques Attention : ces développements limités ne sont valables que pour x au voisinage de 0! exp(x) = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + + x n n! + o(x n ) En utilisant ch(x) = ex + e x 2 et sh(x) = ex e x 2, on a ch(x) = 1 + x 2 2! + x 4 sh(x) = x + x 3 3! + x 5 Avec cos(x) = ch(ix) et sin(x) = sh(ix) i, on a 4! + + x 2n (2n)! + o(x 2n ) 5! + + x 2n+1 (2n + 1)! + o(x 2n+1 ) cos(x) = 1 x 2 2! + x 4 x 2n + + ( 1)n 4! (2n)! + o(x 2n ) sin(x) = x x 3 3! + x 5 5! + + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! + o(x 2n+1 ) () Développements limités 20 / 36

21 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + o(x n ) Par intégration ln(1 x) = x + x x x n n + o(x n ) Par changement de variable x x : x = 1 x + x 2 x 3 + x ( 1) n x n + o(x n ) Par intégration ln(1 + x) = x x x x n ( 1)n 1 n + o(x n ) Par changement de variable x x 2 : x 2 = 1 x 2 + x 4 x ( 1) n x 2n + o(x 2n ) Par intégration Arctan(x) = x x x ( 1)n x 2n+1 2n o(x 2n+1 ) () Développements limités 21 / 36

22 (1 + x) α = 1 + αx + + α(α 1) x 2 + 2! α(α 1)(α 2) x 3 + 3! α(α 1) (α n + 1) x n + o(x n ) n! Pour α = 1 2, on a 1 + x = x 1 8 x o(x n ) Pour α = 1 2 et x x 2, on a 1 1 x 2 = x x o(x 2n ) Par intégration Arcsin(x) = x x x o(x 2n+1 ) () Développements limités 22 / 36

23 De même Par intégration 1 1 x 2 = x x 4 + o(x 2n ) Arccos(x) = π 2 x 1 6 x x 5 + o(x 2n+1 ) () Développements limités 23 / 36

24 Plan 1 Développement limité d une fonction réelle 2 Opérations sur les développements limités 3 Applications des développements limités () Développements limités 24 / 36

25 Développement limité d une somme Proposition Soit f et g deux fonctions admettant un dl à l ordre n au voisinage de a. La fonction f + g admet un dl à l ordre n en a obtenu en ajoutant les deux dl à l ordre n de f et g. Exemple: () Développements limités 25 / 36

26 Développement limité d un produit Proposition Soit f et g deux fonctions admettant un dl à l ordre n au voisinage de a. La fonction fg admet un dl à l ordre n en a obtenu conservant les termes de degré inférieur ou égal à n dans le produit des dl à l ordre n de f et g. Exemple: () Développements limités 26 / 36

27 Dl d une composée Soit u une fonction continue de I dans R admettant un dl à l ordre n au voisinage de a I : u(x) = u(a) + c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n + o((x a) n ) et f une fonction continue de J = u(i ) dans R admettant un dl à l ordre n au voisinage de b = u(a) : f (y) = d 0 + d 1 (y b) + d 2 (y b) d n (y b) n + o((y b) n ). On désire calculer le dl à l ordre n de f u en a. () Développements limités 27 / 36

28 on a ( f u(x) = f (u(x)) = f u(a) + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + ) +c n (x a) n + o((x a) n ) On remplace y par tout le développement limité de u (sauf le o((x a) n )), et comme u(a) = b, il reste : f u(x) = d 0 + d 1 ( c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n) +d 2 (c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n) 2 + +d n (c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n) n + o((x a) n ). On développe les parenthèses en ne conservant (et en ne calculant!) que les termes de puissances inférieure à n. () Développements limités 28 / 36

29 Exemple: 1 Calculons le dl à l ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction g : x e sin(x). 2 Lors des calculs, on peut s arrêter dès que l on obtient des termes négligeable devant h n. Par exemple calculons le développement limité d ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction g : x ln(cos(x)). () Développements limités 29 / 36

30 Développement limité d un quotient Proposition Soit f et g deux fonctions définies sur I et admettant un développement limité au voisinage de a. Si lim g(x) 0 alors f /g admet un dl à l ordre n x a en a. () Développements limités 30 / 36

31 Technique: Le développement limité de 1 g. On écrit le développement limité de g en a : g(x) = d 0 + d 1 (x a) + d 2 (x a) d n (x a) n + o((x a) n ) Si d 0 0, alors on peut factoriser par d 0 et on a 1 g(x) = 1 1 d d 1 d 0 (x a) + d 2 d 0 (x a) dn d 0 (x a) n + o((x a) n ). En posant y = d 1 d 0 (x a) + d 2 d 0 (x a) d n d 0 (x a) n + o((x a) n ) et en utilisant dl de 1 1+y, on obtiendra le dl de 1 g(x). Exemple: Cherchons le dl de tan à l ordre 5 en 0. () Développements limités 31 / 36

32 Remarque: Si lim x a g = 0, il se peut que f g admette tout de même un dl en a (il faut bien sur que f ait également une limite nulle). Si les dl de g et de f commencent par la même puissance de x alors on peut simplifier les deux dl par cette puissance de x. Exemple: Calculons le dl de ln(1 + x) ln(1 x) à l ordre 2 au voisinage de 0. () Développements limités 32 / 36

33 Plan 1 Développement limité d une fonction réelle 2 Opérations sur les développements limités 3 Applications des développements limités () Développements limités 33 / 36

34 Recherche de limites et d équivalents Si f admet un dl en a du type f (x) = c k (x a) k + o((x a) n ) lorsque x a avec c p 0 k=p et 0 p n, alors f (x) a c p (x a) p f est équivalent au premier terme non nul de son développement limité. Exemple: 1 + x 1 x 1 Chercher un équivalent en 0 de 1 et en déduire x 1+x 1 x x 1 la limite lim x 0 x 2 2 Déterminer un équivalent au voisinage de + de f (x) = exp( 1 x(x + 1) ) x 1 + x 2. () Développements limités 34 / 36

35 Recherche de tangente et position de la courbe par rapport à sa tangente Si une fonction f possède un DL d ordre 1 au voisinage de a, celui-ci détermine l équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. Si on peut pousser ce DL à un ordre supérieur, le premier terme non nul qui suit permet de préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage du point d abscisse a. Exemple: Déterminer la tangente en 0 de la fonction f : x ln(x 2 + 2x + 2) ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente. () Développements limités 35 / 36

36 Recherche d une asymptote et position par rapport à l asymptote Quand x tend vers + ou, on pose h = 1 pour se ramener à une x variable tendant vers 0. On peut alors utiliser un DL. Exemple: Trouver les asymptotes de la courbe représentative de la fonction f : R R x x 2 + x + 1 et les placer par rapport à cette courbe. () Développements limités 36 / 36