Contrôle n 9 (bac blanc)

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1 Exercice (5 points) Contrôle n 9 (bac blanc) La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B Partie A On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ avec λ >. On rappelle que, pour tout réel a strictement positif, P (X a) = a λe λt dt. On se propose de calculer l espérance mathématique de X, notée E(X), et définie par E(X) = On note R l ensemble des nombres réels. x lim x + On admet que la fonction F définie sur R par F(t) = la fonction f définie sur R par f(t) = λte λt. λte λt dt.. Soit x un nombre réel strictement positif. Vérifier que x. En déduire que E(X) = λ. λte λt dt = λ ( t + ) e λt est une primitive sur R de λ ( λxe λx e λx + ). Partie B La durée de vie, exprimée en années, d un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ >. La courbe de la fonction densité associée est représentée en annexe.. Sur le graphique de l annexe (à rendre avec la copie) : (a) Représenter la probabilité P (X ). (b) Indiquer où se lit directement la valeur de λ.. On suppose que E(X) =. (a) Que représente dans le cadre de l exercice la valeur de l espérance mathématique de la variable aléatoire X? (b) Calculer la valeur de λ. (c) Calculer P (X ). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à, près. Interpréter ce résultat. (d) Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d au moins trois années? On donnera la valeur exacte.

2 Partie C Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés et. On note D l évènement «le composant est défaillant avant un an» et on note D l évènement «le composant est défaillant avant un an». On suppose que les deux événements D et D sont indépendants et que P (D ) = P (D ) =, 39. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : Circuit en parallèle A Circuit en série B. Lorsque les deux composants sont montés «en parallèle», le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.. Lorsque les deux composants sont montés «en série», le circuit B est défaillant dès que l un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an. Exercice (4 points) On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z par : { z = 6 z n+ = + i z n, pour tout entier naturel n. On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O; u, v), on considère les points A n d affixes z n.. (a) Calculer z, z et z 3. (b) Placer les points A et A sur le graphique de l annexe, à rendre avec la copie. (c) Écrire le nombre complexe + i sous forme trigonométrique. (d) Démontrer que le triangle OA A est isocèle rectangle en A.. Démontrer que la suite (r n ) est géométrique, de raison. La suite (r n ) est-elle convergente? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note L n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A au point A n en passant successivement par les points A, A, A 3, etc. n Ainsi L n = A i A i+ = A A + A A A n A n. i= 3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n : A n A n+ = r n+. (b) Donner une expression de L n en fonction de n. (c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (L n ).

3 Exercice 3 (5 points) Dans l espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. ( On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé A; AB, AC, ) AD de l espace.. On désigne par P le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). On note H le point d intersection du plan P et de la droite (DF). (a) Donner les coordonnées des points D et F. (b) Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). (c) Déterminer une équation cartésienne du plan P. (d) Calculer les coordonnées du point H. (e) Démontrer que l angle ÊHG est un angle droit.. On désigne par M un point de la droite (DF) et par t le réel tel que DM = t DF. On note α la mesure en radians de l angle géométrique ÊMG. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que α soit maximale. (a) Démontrer que ME = 3 t 5 t (b) Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M. ( α ) En déduire que ME sin =. ( α ) (c) Justifier que α est maximale si et seulement si sin est maximal. En déduire que α est maximale si et seulement si ME est minimal. (d) Conclure. Exercice 4 (6 points) Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par f(x) = ln x. Pour tout réel a strictement positif, on définit sur ] ; + [ la fonction g a par g a (x) = ax. On note C la courbe représentative de la fonction f et Γ a celle de la fonction g a dans un repère du plan. Le but de l exercice est d étudier l intersection des courbes C et Γ a suivant les valeurs du réel strictement positif a. Partie A On a construit en annexe 3 (à rendre avec la copie) les courbes C, Γ,5, Γ,, Γ,9 et Γ,4.. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n est demandée.. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d intersection de C et Γ a suivant les valeurs (à préciser) du réel a. 3

4 Partie B Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction h a définie sur l intervalle ] ; + [ par h a (x) = ln x ax.. Justifier que x est l abscisse d un point M appartenant à l intersection de C et Γ a si et seulement si h a (x) =.. (a) On admet que la fonction h a est dérivable sur ] ; + [, et on note h a la dérivée de la fonction h a sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction h a est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de h a (x) pour x appartenant à ] ; + [. a + x h a(x) + h a (x) ln(a) (b) Rappeler la limite de ln x x en +. En déduire la limite de la fonction h a en +. On ne demande pas de justifier la limite de h a en. 3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a =,. ] (a) Justifier que, dans l intervalle ; ], l équation h, (x) = admet une unique, solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l intervalle (b) Quel est le nombre de points d intersection de C et Γ,? 4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a = e. (a) Déterminer la valeur du maximum de h e. (b) En déduire le nombre de points d intersection des courbes C et Γ e. Justifier. ] [ ; +., 5. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles C et Γ a n ont aucun point d intersection? Justifier. 4

5 À RENDRE AVEC LA COPIE ANNEXE de l exercice y,6,5,4,3,, x ANNEXE de l exercice 8 6 A A 4 A 5 A A 5

6 5 ANNEXE 3 de l exercice