Fondamentaux des mathématiques II
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- Raoul Frédéric Sauvé
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1 Fondamentaux des mathématiques II 1
2 Chapitre 1 Matrices Les matrices sont des tableaux rectangulaires de réels ou de complexes. Dans tout ce chapitre, vl9 ou vl'. toutes les matrices sont à coefficients dans v. Une matrice :IJ; est un tableau rectangulaire avec I lignes et J colonnes. Convention de notation : Les matrices sont notées avec une majuscule, par exemple #, le coefficient de la E-ième ligne et de la F-ième colonne est notée alors = ÜÝ. On pose alors #Lk= ÜÝ o 5 Ü à 5 Ý Notation : / HQVHPEOHGHVPDWULFHVjI lignes et J colonnes à coefficients dans v est notée ç à :v;, lorsque ILJ on note cet ensemble ç :v;. La somme de deux matrices de ç à :v;, # et $ est la matrice % définie pour tout sqeq I et sqfqj par? ÜÝ L= ÜÝ E> ÜÝ OHSURGXLWG XQVFDODLUHã par une matrice #Ð ç à :v; est la matrice & définie pour tout sqeqi et sqfqj ÜÝ Lã= ÜÝ. Exemple : Soient #L@ s Ft u w Fz A et $L@u Fz w v t s Ft A t#fv$lt@ s Ft u w Fz t Fv x Ftr ut AFv@u AL@ AE@Fst Fz w v t s Ft Fsx sr z Fz Fv z A Fsr Ftv uz L@ Ftv x sx A /HSURGXLWG XQHPDWULFH#Ðç à :v; par une matrice $Ðç ã :v; est la matrice %Ðç àã :v; définie pour tout sqeqi et sqfql par :? ÜÝ LÍ= ÜÞ > ÞÝ 2 &HWWHPXOWLSOLFDWLRQQ HVWSDVFRPPXWDWLYHF HVW-à-GLUHTX HQJpQpUDO#$M$#. Si IML le produit #$ est une matrice de ç àã :v; alors que le produit $# Q H[LVWHSDVHWVLILL, #$ est une matrice de ç àà :v; et $# est une matrice ç :v;. Pour tous entiers J, L et M et #Ðç à, $Ðç ã :v; et % Ðç ãä :v; alors :#$;%L #:$%; Notons &L#$, 'L$%, (L:#$;% et )L#:$%;
3 Alors pour tous E et H, avec sqeqi, sqhqm, on a : ã B Üß LÍ@ ÜÞ? Þß LÍLÍ= ÜÝ > ÝÞ Donc (L). Exemple : ã Ý@5 M? Þß L Í = ÜÝ > ÝÞ? Þß LÍ= ÜÝ mí> ÝÞ? Þß q 5 Ý 5 Þ ã Ý@5 ã LC Üß Soient #L@ s Ft u r Fv w Fx A et :Lm t q Fu Alors #:L@ s Ft u r Fv w Fx Am t qll shre:ft;hteuh:fu; :Fv;HrEwHtE:Fx;H:Fu; pl@fsu tz A Fu s t Soient #LmFs uq et $L@ s t r u Fs u s Ft A t r s t #$LmFs uq@ Fs u s Ft A t r shseth:fs; shtethu shreths shueth:ft; LL:Fs;HsEuH:Fs; :Fs;HtEuHu :Fs;HrEuHs :Fs;HuEuH:Ft; M thserh:fs; thterhu threrhs thuerh:ft; Fs z t Fs LmFv y u F{ q t v r x La matrice identité de ç :v; est la matrice + définie pour tout :EF; avec sqeqj et sqfqj, Ü ÜÝ Lr si EMF et Ü ÜÜ Ls. s r r Çr s Ê + LÈ Ë s r Si #Ðç :v; Ér r sì #+ L+ #L# Soit #Ðç à :v;, on appelle sous-matrice de # toute matrice obtenue en éliminant certaines (ou aucune) lignes de # et certaines (ou aucune) colonnes de #. Soit #Ðç à :v;, la transposée de # est la matrice de ç à :v;, $ définie par > ÜÝ L= ÝÜ pour tout sqeqj et sqfqi. Notation : La transposée de # est notée # ç. 3
4 Si #L Ç È É = 55 = 56 = 5à?5 = 5à = 65 = 66 = 6à?5 = 6à =?55 =?56 =?5à?5 =?5à = 5 = 6 = à?5 = à Ì Ç ç # LÈ É Ê Ë alors = 55 = 65 =?55 = 5 = 56 = 66 =?56 = 6 = 5à?5 = 6à?5 =?5à?5 = à?5 Ê Ë = 5à = 6à =?5à = à Ì ç ç ç Pour tout #Ðç à :v; et $Ðç ã :v;, :#$;L $ # ç Notons %L#$,&L :#$; ç ç ç ç,'l #,(L $ et ) L $ # alors par définition de la transposition et du produit, pour tout G, avec sqgql et pour tout E avec sqeqi, Donc ÞÜ L? ÜÞ LÍ= ÜÝ > ÝÞ LÍA ÝÜ B ÞÝ Ý@5 Ý@5 LC ÞÜ 8QHPDWULFHHVWGLWHV\PpWULTXHORUVTX HOOHHVWpJale à sa transposée. Les matrices symétriques sont des matrices carrées. Les matrices symétriques sont symétriques par rapport à la diagonale «en haut à gauche» «en bas à droite». Exemple : s Fs v #LmFs t wq v w u Soit #Ðç :v;xqhpdwulfhfduuphhvwlqyhuvleohv LOH[LVWHXQHPDWULFH$Ðç :v; tel que #$L+ L$# Les seules matrices inversibles sont les matrices carrées Soit #Ðç :v;v LOH[LVWH$Ðç :v; telle que #$L+ alors $#L+, donc # est inversible. admise Soit #Ðç :v;, une matrice carrée inversible admet un unique inverse 4
5 Supposons que # admet deux inverses $ et %. $L$+ L$:#%;L:$#;%L+ %L% Notation : / LQYHUVHG XQHPDWULFHLQYHUVLEOH# est notée #?5. Soient 2 5 Ðç :v; et 2 6 Ðç :v; deux matrices inversibles, alors : ;?5 L2 6?5 2 5?5 :2?5 6 2?5 5 ;: ;L2?5 6 :2? ;2 6 L2? L2? L+ 'pwhuplqdwlrqsudwltxhgxfdofxogho LQYHUVHG XQHmatrice : Si ;L#: alors #?5 ;L#?5 #:L: U 5 U 6 T 5 T 6 Si on pose ;Lm q et :Lm q, ;L#: est un système où les U Ü V H[SULPHHQIRQFWLRQ U 7 T 7 des T Ü, alors que :L#?5 ; est un système où les T Ü V H[SULPHHQIRQFWLRQGHVU Ü, il suffit GRQFG LQYHUVer le système. t u Fs Soit #Lm s t Fsq Fu Ft Ft U 5 t u Fs T 5 U 5 LtT 5 EuT 6 FT 7 ;L#:žmU 6 qlm s t FsqmT 6 qž] U 6 LT 5 EtT 6 FT 7 U 7 Fu Ft Ft T 7 U 7 LFuT 5 FtT 6 FtT 7. 5 tt 5 EuT 6 FT 7 LU 5. 5 tt 5 EuT 6 FT 7 LU 5 ž. 6 ] T 5 EtT 6 FT 7 LU 6 žt. 6 F. 5 ] T 6 FT 7 LtU 6 FU 5. 7 FuT 5 FtT 6 FtT 7 LU 7. 7 Eu. 6 vt 6 FwT 7 LU 7 EuU 6 tt 5 EuT 6 FT 7 LU 5 ž ] T 6 FT 7 LtU 6 FU 5. 7 Fv. 6 FT 7 LU 7 EuU 6 Fv:tU 6 FU 5 ; tt 5 LU 5 FuT 6 ET 7 tt 5 LU 5 FuT 6 FvU 5 EwU 6 FU 7 ž] T 6 LtU 6 FU 5 ET 7 ž] T 6 LtU 6 FU 5 FvU 5 EwU 6 FU 7 FT 7 LvU 5 FwU 6 EU 7 T 7 LFvU 5 EwU 6 FU 7 tt 5 LU 5 FuT 6 FvU 5 EwU 6 FU 7 ž] T 6 LFwU 5 EyU 6 FU 7 T 7 LFvU 5 EwU 6 FU 7 tt 5 LFuU 5 EwU 6 FU 7 Fu:FwU 5 EyU 6 FU 7 ; žp T 6 LFwU 5 EyU 6 FU 7 T 7 LFvU 5 EwU 6 FU 7 tt 5 LstU 5 FsxU 6 EtU 7 T 5 LxU 5 FzU 6 EU 7 ž] T 6 LFwU 5 EyU 6 FU 7 ž] T 6 LFwU 5 EyU 6 FU 7 žmt 6 q T 7 LFvU 5 EwU 6 FU 7 T 7 LFvU 5 EwU 6 FU 7 T 7 x Fz s U 5 LmFw y FsqmU 6 q Fv w Fs U 7 T 5 5
6 x Fz s On en déduit que #?5 LmFw y Fsq Fv w Fs Soient # et $ deux matrices de ç :v;. On dit que # et $ VRQWpTXLYDOHQWHVORUVTX LO existe deux matrices inversibles 3Ðç à :v; et 2Ðç :v; telles que $L3?5 #2 On aurait pu remplacer 3?5 par 3 puisque 3 est inversible, mais cette notation permet de conserver une certaine homogénéité avec la formule suivante. Cette relation entre # et $ HVWXQHUHODWLRQG ptxlydohqfhfhodvhypulilhidflohphqw Soient # et #" deux matrices de ç :v; soqwvhpeodeohvv LOH[LVWHXQHPDWULFH2 de ç :v; telle que #"L2?5 #2 6
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