Les nombres et sont divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
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- Denis Labbé
- il y a 4 ans
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1 Voici les corrigés des exercices 27, 30, 33, 36, 39 et 42. Les corrigés des exercices 45, 48 et 51 seront mis en ligne le 3 septembre. CALCUL MENTAL PGCD Exercice 1 6 ( 2) :( 4) ( 4) 7 8 : ( 2) 4 6 : ( 6) 1 2 ( 10) 8 63 : ( 5) ( 8) 3 7 : ( 1) 7 9 ( 9) 81 1 : ( 1) 1 9 ( 7) 63 7 ( 1) 6 72 : ( 8) 9 10 ( 7) 3 36 : 6 6 Exercice :( 8) : ( 3) 6 13 ( 6) 7 4 ( 9) 36 0 ( 7) ( 8) : ( 5) 9 6 ( 8) ( 9) 7 4 ( 1) 4 13 ( 5) 8 42 : ( 6) 7 8 ( 8) Exercice 3-7 ( 1) 8 8 ( 6) ( 6) : ( 10) ( 3) : ( 8) ( 8) : ( 5) 4 30 : 5 6 ( ) ( 5) Exercice 4 Les nombres et sont divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux. Fly 27/08/13 1
2 Le PGCD de et est : : Exercice 5 - Les nombres et sont divisibles par 3, ils ne sont donc pas premiers entre eux Le PGCD de et est : : Exercice 6 - Les nombres et se terminent par 0, ils ne sont donc pas premiers entre eux Le PGCD de et est 70 FRACTIONS : : Exercice : : : Fly 27/08/13 2
3 ( 2) Exercice Exercice PUISSANCES Exercice , (10 7 ) , (10 10 ) 2 Exercice x x x , , , , , ( 20) 1, Fly 27/08/13 3
4 (10 6 ) ,8 (10 2 ) ( 3) ( 18) 1, , , Exercice (10 10 ) x x (10 9 ) x 107+( 2) 10 10x3 12 x 10 5 ( 30) 1,2 x x 10 2+( 8) 10 9x5 400 x x DÉVELOPPEMENT Exercice 13 A ( 10x 4 ) 2 (10x) ( 10x 4 ) 100x 2 80x +16 B ( 6x 8 ) ( 7x 10 ) 42x 2 +( 60x)+( 56x)+80 42x 2 116x+80 C ( 8x + 1 ) 2 (8x) ( 8x 1 ) 64x x +1 D ( 9x + 8 ) ( 9x 8 ) (9x) x 2 64 G ( 10x 7 ) 2 ( 8x + 8 ) ( 8x 8 ) (10x) ( 10x 7) ((8x) ) 100x 2 140x x x 2 140x H ( 10x + 4 ) ( 6x + 8 ) + ( 9x + 3 ) 2 60x 2 +(-80x)+24x+32+(9x) (9x 3) 60x 2 56x x x 21x 2 2x + 41 Exercice 14 - A ( 10x + 10 ) 2 (10x) ( 10x 10 ) 100x x +100 B ( x 6 ) 2 x ( x 6 ) x 2 12x + 36 C ( 10x + 7 ) ( x + 10 ) 10x 2 +( 100x)+7x+70 10x 2 93x+70 D ( 8x + 9 ) ( 8x 9 ) (8x) x 2 81 G ( 5x + 6 ) 2 + ( 8x 4 )( 8x + 4 ) ((5x) ( 5x 6) ) +(8x) (25x x +36) + 64x x 2 60x 52 H ( 4x 9 )( 5x 9 ) + ( 9x 8 ) 2 20x 2 +( 36x)+( 45x)+81+(9x) (9x 8) 20x 2 81x x x 101x 2 225x Exercice 15 - A ( 7x 4 ) 2 (7x) ( 7x 4 ) 49x 2 56x + 16 Fly 27/08/13 4
5 B ( 2x + 7 ) 2 (2x) ( 2x 7 ) 4x x + 49 C ( x + 2 ) ( 10x 7) 10x 2 + 7x + 20x 14 10x x 14 D (7 x + 8) (7 x 8) (7x) x 2 64 G ( 4x + 1 ) ( 4x 1 ) + ( 9x 9 ) ( 5x + 2 ) ( (4x) ) 45x 2 18x 45x 18 16x x 2 63x 18 61x 2 63x 17 H ( 5x + 3 ) 2 + ( 5x 3 ) 2 (5x) ( 5x 3 ) + (5x) ( 5x 3 ) 25x x x 2 30x x FACTORISATION Exercice 16 A ( 9x 5 ) ( 10x 4 ) ( 10x 4 ) ( 9x + 4 ) ( 10x 4)( ( 9x 5) ( 9x+4)) ( 10x 4)(9x+5 + 9x 4) ( 10x 4) (18x + 1 ) B 81x 2 81 (9x) ( 9x 9 ) ( 9x + 9 ) C 36x 2 81 ( 6x + 9 ) ( 3x + 5 ) (6x) (6x+9)(3x+5) (6x+9)(6x 9) (6x+9)(3x+5) (6x+9 ) ((6x 9) (3x+5) ) ( 6x + 9 )( 3x 14 ) D ( 6x + 3 ) 2 ( 6x + 3 ) ( x + 8 ) ( 6x + 3 ) ( 6x + 3 ( x + 8 ) ) ( 6x + 3 ) ( 6x + 3 x 8 ) ( 6x + 3 ) ( 7x 5 ) E 49 ( 10x + 1 ) ( 10x + 1 ) 2 ( 7 10x + 1 ) ( x 1 ) ( 10x + 8 ) ( 10x +6 ) F ( 4x + 9 ) ( 3x 8 ) + ( 4x + 9 ) ( 4x + 9 ) ( 3x ) ( 4x + 9 ) ( 3x 7 ) Exercice 17 A ( 5x 9 ) ( 9x 9 ) + ( 3x 5 ) ( 5x 9 ) (5x 9) ( (9x 9) + ( 3x 5)) (5x 9) ( 9x+9 3x 5 ) (5x 9) ( 12x + 4 ) B 4x ( 2x 6 ) ( 5x + 4 ) (2x) ( 2x 6 ) ( 5x + 4 ) (2x+6)(2x 6) +(2x 6 )(5x+4 ) (2x 6 ) ( 2x x + 4 ) (2x + 6 )( 7x + 10 ) Fly 27/08/13 5
6 C 25x 2 9 (5x) ( 5x 3 ) ( 5x + 3 ) D 16 ( 5x 4 ) ( 5x 4 ) 2 ( 4 5x + 4 ) ( 4 + 5x 4 ) ( 5x + 8 ) ( 5x ) E ( 6x + 7 ) ( 6x + 6 ) + ( 6x + 6 ) (6x+6) ( ( 6x+7 ) + 1 ) (6x+6) (6x ) (6x + 6) ( 6x 6 ) F 36x 2 25 (6x) ( 6x 5 ) ( 6x + 5 ) Exercice 18 - A ( 2x + 5 ) ( 7x + 3 ) + ( 2x + 5 ) 2 ( 2x + 5 ) ( ( ( 7x + 3 ) 2x + 5 ) ( 2x + 5 ) ( 9x + 2 ) B ( 2x + 10 ) 2 1 ( 2x ) ( 2x ) ( 2x + 11 ) ( 2 x + 9 ) C ( 6x 10 ) ( 5x + 1 ) + ( 5x + 1 ) 2 ( 5x + 1 ) ( 6x x + 1 ) ( 5x + 1 ) ( 11x 9 ) D ( x + 5 ) ( 7x + 9 ) + ( x + 5 ) ( x + 5 ) ( ( 7x + 9 ) + 1 ) ( x + 5 ) ( 7x 8 ) E ( 7x 9 ) ( 7x 8 ) + ( 7x 4 ) ( 7x 8 ) ( 7x 8 ) ( 7x 9 7x 4 ) ( 7x 8 ) ( 14x 13 ) F ( 2x + 3 ) ( 10x 4 ) + 4x 2 9 ( 2x + 3 ) ( 10x 4 ) + (2x) ( 2x + 3 ) ( 10x 4 ) + ( 2x + 3 ) ( 2x 3 ) RACINES CARRÉES Exercice ( 10) ( 2) Fly 27/08/13 6
7 Exercice ( 10) ( ) 2 (3 7) 2 + (4 10) ( ) 2 (4 5) 2 + (4 2) ( ) 2 (3 3) 2 + (3 5) ( ) 2 (2 7) 2 + ( 3) ( ) 2 (4 3) 2 + (3 7) Exercice 21 - ( ) ( ) 3 2 (4 6) x 6 87 ( ) ( ) 3 2 (2 2) x 2 1 ( ) ( ) 2 2 (5 6) x x 4 x 6 8 x 9 x 6 36 x 2 8 x x 4 x 2 8 x 9 x 2 36 x 2 8 x x 4 x 3 8 x 9 x 3 36 x 2 8 x 3 3 EXPRESSIONS LITTÉRALES ET PRODUIT NUL Exercice 22 On donne l expression A ( 10x + 5 ) 2 + ( 10x + 5 ) ( 2x + 9 ). A ( 10x + 5 ) 2 + ( 10x + 5 ) ( 2x + 9 ) 100x x x x + 10x x x + 70 A ( 10x + 5 ) 2 + ( 10x + 5 ) ( 2x + 9 ) Fly 27/08/13 7
8 ( 10x + 5 ) ( 10x x + 9 ) ( 10x + 5 ) ( 12x + 14 ) Pour x 1 2, A 120x x A 0 si 10x ou si 12x Les solutions de cette équation sont x et x 7 6 Exercice 23 - On donne l expression A ( 5x 7 )( 5x + 8 ) ( 5x 7 ). A ( 5x 7 ) ( 5x + 8 ) ( 5x 7 ) 25x 2 40x 35x 56 ( 5x 7 ) 25x 2 70x 49 A ( 5x 7 ) ( 5x + 8 ) ( 5x 7 ) ( 5x 7 ) ( 5x ) ( 5x 7 ) ( 5x + 7 ) Pour x 1, A 25x 2 70x ( 1) 2 70 ( 1) A 0 si 5x 7 0 ou si 5x Les solutions de cette équation sont x 7 et x Exercice 24 - On donne l expression A ( 5x 7 ) 2 + ( 10x 4 )( 5x 7 ). A ( 5x 7 ) 2 + ( 10x 4 ) ( 5x 7 ) (5x) x 5x x x 2 70x 20x x 2 160x + 77 A ( 5x 7 ) 2 + ( 10x 4 ) ( 5x 7 ) ( 5x 7 ) ( 5x x 4 ) ( 5x 7 ) ( 15x 11 ) Pour x 4, A 75x 2 160x ( 4) ( 4) A 0 si 5x 7 0 ou si 15x 11 0 Les solutions de cette équation sont x 7 11 et x 5 15 Fly 27/08/13 8
9 ÉQUATIONS Exercice 25 7x+6 9x+2 x x+24 ( 18x+4) x x+24+18x 4 x+4 28x+18x+x x 16 La solution de cette équation est x 16 Exercice 26 - x x x +3 4x + 16 ( 12x + 6 ) x x 6 24x +18 4x + 12x 24x x x La solution de cette équation est x 1 Exercice 27 - x x 6 4 4x x x x x x 18 12x 18 4x + 9x + 12x x 12 La solution de cette équation est x 12 INÉQUATIONS Exercice Fly 27/08/13 9
10 9x + 4 < 2 ( 1 3x ) 9x + 6x < 2 4 x > 2 3 3x + 30 < 5x 3x 5x < 30 x > 15 Exercice 29-2 ( 3x 1 ) 5 ( 11 8x ) 6x x 6x 8x x 4 x 2 2x + 1 > 9 2x > 9 1 x < 4 Exercice 30-3x + 1 x 7 3x x 7 1 x 4 x + 5 4x + 11 x 4x 11 5 x 2 SYSTÈMES D ÉQUATIONS Exercice 31 4x + 4y 44 3x 9y 63 12x + 12y x + 36y x + 12x + 12y + 36y y 384 y 8 et 4x + 4 ( 8) 44, d o0 x Exercice 32 2x + 3y 3 6x 5y 61 Fly 27/08/13 10
11 6x 9y 9 6x 5y 61 6x + 6x 9y 5y y 70 y et 2x +3 ( 5) 3, d o0 x Exercice 33 5x 10y 60 7x + 8y 78 20x 40y x + 40y x +35x 40y + 40y x 150 x et 5 x 10 10y 60, d o0 y THÉORÈME DE PYTHAGORE Exercice 34 Le triangle TRI est rectangle en R, le côté [TI] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : TI 2 RT 2 + RI 2 D o0 : RT 2 TI 2 RI 2 8,9 2 3,9 2 79,21 15,21 64 RT 64 8 (cm) Exercice 35 Le triangle REC est rectangle en R, le côté [EC] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : Fly 27/08/13 11
12 EC 2 RE 2 + RC 2 D o0 : RC 2 EC 2 RE 2 2, ,41 4 4,41 RT 4,41 2,1 (cm) Exercice 36 Le triangle PYT est rectangle en T, le côté [PY] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : PY 2 TY 2 + TP 2 89, , , , RT ,51 (cm) RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Exercice 37 [EH] est le côté le plus long. EH HM 2 +EM 2 2,8 2 +9, Donc EH 2 HM 2 + EM 2 Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HME est rectangle en M. Exercice 38 - [ET] est le côté le plus long. ET TV 2 +EV 2 6,6 2 +8, Donc EH 2 HM 2 + EM 2 Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETV est rectangle en V. Exercice 39 - [ER] est le côté le plus long. ER ES 2 +RS 2 11,2 2 +8, Donc ER 2 ES 2 + RS 2 Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RSE est rectangle en S. Fly 27/08/13 12
13 CERCLE ET THÉORÈME DE PYTHAGORE Exercice 40 Le triangle QTE est inscrit dans le cercle (C) de diamètre [EQ] donc le triangle QTE est rectangle en T. Le côté [EQ] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : EQ 2 QT 2 + ET 2 D o0 : QT 2 EQ 2 ET , ,36 17,64 RT 17,64 4,2 (cm) Exercice 41 - Le triangle ROZ est inscrit dans le cercle (C) de diamètre [OR] donc le triangle ROZ est rectangle en Z. Le côté [RO] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : RO 2 RZ 2 + OZ 2 D o0 : RZ 2 RO 2 OZ RT 25 5 (cm) Exercice 42 Le triangle KVY est inscrit dans le cercle (C) de diamètre [KV] donc le triangle KVY est rectangle en Y. Le côté [KV] est son hypoténuse, donc, d après le théorème de Pythagore : KV 2 VY 2 + KY 2 D o0 : KY 2 KV 2 VY 2 16,5 2 9, ,25 98,01 174,24 RT 174,24 13,2 (cm) THÉORÈME DE THALÈS Fly 27/08/13 13
14 Exercice 43 - Les droites (CE) et (UY) sont parallèles, les points A, U et C d une part et les points A, Y et E d autre part sont alignés. D après le théorème de Thalès : AC AU AE AY CE UY D o0: AC AU AE AY Or: AE AY+YE 10,5 cm 2,9 cm 10,5 cm Donc: AC 5,54 cm 5,5 cm Et : AE UY 10,5 cm 4,2 cm CE 8,02 cm AY 5,5 cm Exercice 44 - Les droites (IR) et (SU) sont parallèles, les points E, S et I d une part et les points E, U et R d autre part sont alignés. D après le théorème de Thalès : EI ES ER EU IR SU D o0: ER Et : IR EU x EI ES SU x EI ES 3,1 cm x 7,1 cm 3,6 cm 4,7 cm x 7,1 cm 3,6 cm RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE THALÈS 6,11 cm 9,27 cm Exercice 46 - Les points Q, F et G d une part et les points S, F et O d autre part sont alignés dans le même ordre. FG 1,9 cm FQ 1,3 cm 19 FO 3,8 cm et 13 FS 2,6 cm Donc : FG FQ FO FS Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GO) et (QS) sont parallèles. Fly 27/08/13 14
15 Exercice 47 - Les points C, U et L d une part et les points V, C et N d autre part sont alignés dans le même ordre. CN VN CV 2,5 cm CL CU Donc : CL 6,5 cm 3,9 cm 5 3 CU CN CV et CN CV 2,5 cm 1,5 cm 5 3 Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (LN) et (UV) sont parallèles. TRIGONOMÉTRIE Exercice 49 - Dans le triangle HAE rectangle en A, sin AEH AH cm 7,4 EH 11,2 cm D o0 : AEH sin 1 7,4 11,2 41,3< Dans le triangle YVR rectangle en R, tan RVY RY RV D o0 : RY tan RVY x RV tan 57< x 6,6 cm 10,2 cm Exercice 50 - Dans le triangle IBH rectangle en B, sin BHI BI HI BI 7,2 cm D o0 : HI 24,6 cm sin BHI sin 17< Dans le triangle XZL rectangle en L, cos LXZ LX XZ 11,7 D o0 : LXZ cos 1 11,9 10,5< 11,7 cm 11,9 cm Fly 27/08/13 15
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