EN - EXERCICES SUR LES INTEGRALES MULTIPLES

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1 EN - EXERCICES SUR LES INTEGRALES MULTIPLES Eercice Calculer I f(, y) ddy dans les cas suivants a) est le triangle de sommets O, A(,), B(,) f(,y) ln( + y + ) b) est le parallélogramme limité par les droites d équation y, y, f(,y) ( y) y +, y c) est l intersection du disque de centre O et de rayon et du disque de f(,y) y centre Ω(,) et de rayon d) est le trapèze dont la base est le segment de l ae des dont les f(,y) y abscisses sont comprises entre et et dont les trois autres côtés sont situés dans le demi-plan des y et de longueur. e) est limité par les courbes d équation y / et y + 5 f(,y) y f) est l ensemble des points du plan tels que + y f(,y) e +y y g) est l ensemble des points du disque de centre O et de rayon, tels que f(,y) ( + y + y ) h) est le triangle de sommets O, A(,), B(, ) f(,y) ( + y) i) est le rectangle [, a] [, b] (a > b) f(,y) y j) est l ensemble des points du disque de centre O et de rayon, tels que + f(,y) y y k) est l ensemble des points du plan qui vérifient les inégalités f(,y) ( y) + y et + y l) est l intersection des disques limités par les cercles d équation + y R et + y Ry f(,y) y f(, y) ddy en utilisant les coordonnées polaires Eercice Calculer I a) est la couronne limitée par les cercles de centre O et de rayons respectifs a et b ( < a < b) + y f(,y) b) est le disque de centre O et de rayon a f(,y) ( + y) c) est limité par les aes et la droite d équation y + f(, y) + y d) est limité par le cercle de centre O et de rayon et le cercle de centre f(,y) + y (,) et de rayon e) est l ensemble des points du disque de centre O et de rayon, tels que y f(,y) ( y) f) est l ensemble des points du carré [, ] [, ] etérieurs au cercle de centre O et de rayon f(,y) y + + y

2 ) / + ( y b ) / + ( z c EN Eercice Calculer I f(,y)ddy en utilisant le changement de variables indiqué a) est limité par les courbes d équation y a, y /a, y b/, y /(b) (a >, b >, > ) Changement de variables : u/v, y uv b) est limité par l ellipse d équation (/a) + (y/b) Coordonnées elliptiques : aucos v, y busin v c) est le domaine contenant O limité par le cercle de centre O et de rayon 5 et la droite d équation y. Changement de variables : u ( y)/, v ( + y)/ Eercice Calculer I f(, y, z) ddydz dans les cas suivants a) est le domaine limité par les plans d équation, y, z, + y + z b) est l ensemble des triplets (, y, z) vérifiant les inégalités y et + y + z c) est le domaine limité par les plans d équation, y, z et la sphère de centre O et de rayon, dont les points ont des coordonnées positives Eercice 5 Calculer le volume V f(,y) f(,y) + y f(,y) + y f(,y) ( + y + z) f(,y) y f(,y) yz ddydz des ensembles suivants de R a) Partie de la sphère de centre O et de rayon R, comprise entre les plans d équation z h et z h (R h > h R). b) Secteur sphérique, limité par la sphère de centre O et de rayon R et le demi-cône supérieur de sommet O et d angle α. c) Partie limitée par la sphère de centre O et de rayon et le cylindre d équation + y y (Fenêtre de Viviani). d) Partie limitée par la sphère de centre O et de rayon 5 et le demi-cône supérieur de sommet Ω(,,) et d angle α π/. e) Partie limitée par le cylindre d équation + y a et l hyperboloïde d équation + y z a (a > o). f) Partie limitée par la surface d équation ( a ) /, en utilisant le changement de variables aρ(cos t cos ϕ), y bρ(sin t cos ϕ), z cρ(sin ϕ), où (ρ,t,ϕ) décrit ], [ ] π, π [ ] π/, π/ [.

3 EN Eercice 6 Soit K un domaine du demi-plan {(,z) }. On note A son aire et G l abscisse de son centre de gravité. Montrer que le volume du domaine obtenu en faisant tourner K autour de l ae Oz est donné par la formule V π G A. (euième théorème de Guldin). Application : trouver le volume du tore engendré en faisant tourner autour de Oz, le disque limité par le cercle d équation ( a) + y R ( < R a). Eercice 7 Soit les quatre points du plan A(,), B(,), C(,) et O(,). Soit f la fonction définie par f(,y) (y ). a) Soit le domaine limité par les droites AC et BC et le demi-cercle de diamètre AB contenant O. Calculer f(,y)ddy. b) Soit l ensemble des points du disque de centre O et de rayon qui n appartiennent pas à. Calculer f(,y)ddy.

4 EN Corrigé des eercices sur les intégrales multiples ) a) Lorsque est compris entre et, le nombre y varie de à. onc I y () ln( + y + )dy. En posant u + y +, on obtient I y () + ln udu [ ] uln u u ln ( + )ln( + ) + ( + ). + On a alors I I y ()d En posant v +, on obtient [ln ( + )ln( + ) + ( + )]d. et, en intégrant par parties, d où I ln [ u (uln u u)du lnu (uln u u)du, ] udu, [ u I ln ln u ] u.

5 EN 5 b) y On découpe le domaine en deu parties et, séparées par la droite d équation y, et on intègre sur chacun de ces domaines en fiant tout d abord y. Sur, lorsque y est fié entre et, le nombre varie de y/ à y. On calcule tout d abord alors (I ) (y) y y/ [ ( y) ( y) d 6 ( y) ddy y 6 dy [ y ] y ] y/ y 6,. Sur, lorsque y est fié entre et, le nombre varie de y à y/ +. On calcule tout d abord (I ) (y) y/+ y [ ( y) ( y) d 6 ] y/+ y 8 (y ) 6, alors Finalement ( y) ddy 8 (y ) dy 6 I ( y) ddy + [ (8y 6 ( y) ddy )] (y ). 8.

6 EN 6 c) Ω O Le cercle de centre Ω(,) et de rayon, a pour équation ( ) + (y ). L équation de la partie inférieure du cercle sera donc y ( ). L équation de la partie supérieure du cercle de centre O et de rayon sera Pour compris entre et, on calcule I y () ( ) y dy [ y ] y. ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ] ( ) + ( ) ) [ ( ) ( ] ( ) ( + )) ( ). On a alors I ( ( ) )d ( ) d.

7 EN 7 On calcule l intégrale de droite en posant par eemple sin t, pour t dans [, π/ ]. On a alors d cos t dt, et ( ) d π/ π/ π/ ( sint)cos t dt cos t dt + cos t [ t + sint π. π/ dt + cos t sin t cos t dt π/ ] π/ sintcos t dt onc d) I ( π ) π. A y B A O B Si l on note A(,), B(,) et A et B les autres sommets du trapèze, on a AA A B BB. Les triangles OBB, OB A et OAA sont équilatérau. Alors la droite passant par A et B a pour équation y sin π, la droite passant par B et B a pour équation et celle passant par A et A a pour équation y tan π ( ) ( ), y ( + ).

8 EN 8 Lorsque y est fié entre et /, la variable est comprise entre + y/ et y/, et l on a I (y) y/ y d y ( y ). +y/ Alors I /. y ( y ) dy [ y y ] / e) Cherchons les points d intersection des deu courbes. On doit avoir + 5, ce qui équivaut à 5 +,

9 EN 9 et a pour solutions et /. Lorsque est fié entre ces deu valeurs, on intègre en y I y () +5 / y dy [ y ] +5 / ( ( + 5) ) ( ). Alors I / I y ()d [ ] / 8. f) Lorsque est fié entre et, y varie de à. On a donc I y e +y dy [ e +y] e ( e e ).

10 EN On a alors I e ( e e ) d e ( e + e ) d + ( e + e ) d + [ e+ e e ( e + e ] ) + + [ ( e e e ( e e ) d ( e e ) d [ e e ] ) + ] e e e sh. g) La partie supérieure du cercle a pour équation y. Pour compris entre et, on calcule I y () y ( + y ) dy ] [ ( + y ) ( + ).

11 EN On a alors I ( ( + ) ) d. En faisant apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, on obtient I ( ) d [ 8 ln( + ) + arctan( ) (arctan arctan( )) π 8. ] h) A O - B Les droites OA, OB et AB ont pour équations respectives y, y / et y +. On sépare en deu domaines limités par la droite d équation. On a alors, si est compris entre et, (I y ) () ( + y) dy d où Si est compris entre et, / [ 6 ( + y)] 9, ( + y) ddy 9 / d 9 8.

12 EN (I y ) () + ( + y) dy où Alors i) ( + y) ddy / [ 6 ( + y)] + 9( ) I ( + y) ddy +. / 9( ) [ 9( ) d 8 ( + y) ddy ] b y O b a On sépare en deu domaines limités par la droite d équation y, et on intègre d abord en. Sur, on a f(,y) y, et lorsque y est compris entre et b, on obtient Puis (I ) (y) y [ (y ) (y )d y ddy b ] y (I ) (y)dy b 6. y. Sur, on a f(,y) y, et, lorsque y est compris entre et b, on obtient a [ ( y) (I ) (y) ( y)d y ] a y (y a).

13 EN Puis Alors j) y ddy b [ (y a) (I ) (y)dy 6 (b a) I y ddy + y ddy 6 ] b (b a) 6 + a 6. + a 6 + b 6 b + ab(a b). y On sépare en deu domaines limités par l ae des. Sur la partie inférieure qui est symétrique par rapport à Oy, on a f(,y) f(,y), donc et y ddy, I y ddy. Cherchons les points d intersection de la droite et du cercle. Le système { + y + y équivaut à La seconde équation s écrit { + y ( y) + y y y,

14 EN et a pour solutions y et y /. La droite d équation + y, coupe le cercle au points de coordonnées ( /, /) et (,) L équation de la partie gauche du cercle est y. Lorsque y est compris entre et /, on a donc onc I (y) y y d y [ y ] y y y (( y) ( y )) y y. k) I / [ y (y y )dy 9 6 y ] / 8. Si (,y) appartient à, on a nécessairement, et y. Alors La condition + y, équivaut à y,

15 EN 5 puis à e même, la condition y ( ) +. + y, équivaut à y, puis à y ( ), et enfin à y ( ) +. Pour compris entre et, on calcule I y () + (y ) dy + [ (y ) ] + + [ ( ) ( ) ] [ 8( / + ( ) / ) + 6( + ] ). Alors I [ 8( / + ( ) / ) + 6( + ] ) d [ 6 5 (5/ ( ) 5/ ) + ( / ( ) / ) [ ] ]

16 EN 6 l) R R Le domaine est symétrique par rapport à la première bissectrice. Sur, on a Alors nécessairement I. f(y,) f(,y). ) a) O t a b Le domaine est obtenu lorsque les coordonnées polaires (r,t) parcourent le rectangle [a, b] [ π, π ]. autre part f(r cos t,r sint) r.

17 EN 7 onc I b a f(r cos t,r sin t)rdrdt drdt r dr r π π dt π ln b a. b) Le domaine est obtenu lorsque les coordonnées polaires (r,t) parcourent le rectangle [, a] [ π, π ]. autre part f(r cos t,r sin t) (r cos t + r sint) r ( + sin t). O t a onc I a [ r ] a f(r cos t,r sin t)rdrdt r ( + sin t)drdt r dr π a. [ π π cos t ( + sin t)dt ] π π

18 EN 8 c) O t Cherchons tout d abord l équation polaire de la droite d équation cartésienne y +. On a d où r sin t r cos t +, r sint + cos t. Lorsque t est compris entre et π/, le nombre r varie de à domaine autre part onc On a tout d abord I { (r,t) r sint + cos t, t π f(r cos t,r sint) r(cos t + sin t). f(r cos t,r sin t)rdrdt I r (t) sin t+ cos t. On intègre donc sur le sin t + cos t }. r (cos t + sin t)drdt. r (cos t + sin t)dr [ r ] (cos t + sin t) 8 (sin t + cos t) 8 cos t(tan t + ). sin t+cos t

19 EN 9 onc d) I π/ 8 8 dt cos t(tan t + ) [ 8 tan t + [ lim t π/ ] π/ tan t + + ]. O t On décompose le domaine en deu parties limitées par l ae Oy. On a f(r cos t,r sint) r. La partie est obtenue lorsque (r,t) parcourt le domaine donc [, ] [π/, π/ ], f(,y)ddy 8 π. f(r cos t,r sint)rdrdt r drdt r dr π/ π/ dt

20 EN Le petit cercle a comme équation cartésienne ( ) + y, ou encore onc, en coordonnées polaires, soit + y. r r cos t, r cos t. La partie est obtenue lorsque (r,t) parcourt le domaine { (r,t) cos t r, π t π }. Lorsque t est compris entre π/ et π/, on a I r (t) cos t r dr 8 6cos t. onc f(,y)ddy π/ π/ r drdt 8 6cos t dt. Mais, en linéarisant, ( ) + cos t cos t ( + cos t + cos t ) ( ) + cos t + cos t + ( + cos t + cos t). 8

21 EN Alors Finalement e) f(,y)ddy π/ π/ π/ π/ [ (8 ( + cos t + cos t)) dt (75 8cos t cos t)dt ( 75t sin t 75π. I f(,y)ddy + f(,y)ddy )] sin t π/ π/ 8π + 75π 9π. O t On a f(r cos t,r sin t) r (cos t sin t) r ( sin t). Le domaine est parcouru par le point de coordonnées (,y) lorsque (r,t) décrit le domaine Alors f(,y)ddy [, ] [, π/ ]. r ( sint)drdt π/ r dr ( sin t)dt [ cos t t + ( π ) π 6. ] π/

22 EN f) O arccos r Le domaine est symétrique par rapport à la première bissectrice, et, quel que soit (,y) dans, onc f(y,) f(,y). I f(,y)ddy, où est la partie du domaine située sous la première bissectrice. On a f(r cos t,r sin t) r cos t sint + r r sint ( + r ). La droite d équation cartésienne, a pour équation polaire, r /cos t. En eprimant t en fonction de r, on a encore t arccos(/r). Le domaine est parcouru lorsque (r,t) décrit le domaine { (r,t) arccos r t π, r }. onc I f(r cos t,r sint)rdrdt. On commence à intégrer en t. Pour r compris entre et, on a I t (r) π/ arccos(/r) r ( + r ) r sint ( + r ) dt [ r ( + r ) cos ] π/ cos t ( arccos r arccos(/r) ).

23 EN Mais ( cos arccos ) ( cos arccos ) r r r. où Alors I t (r) r ( ) ( + r ) r r r r +. I et en effectuant le changement de variable u r, I r rdr r +, u du u + ( ) u + du [ ln(u + ) u (ln ). ] ) a) On remarque que, si les nombres u,v,, y, sont positifs, le système { u v y uv

24 EN équivaut à L application u y y v Φ : (u,v) (,y), est une bijection de ], + [ ], + [ sur lui même. Par ailleurs, est l ensemble des couples (,y) tels que c est-à-dire ou encore a y a et b y b, a y a et y b, b a v a et. b u b, On constate que (,y) appartient à, si et seulement si (u,v ) appartient à [/b, b] [/a, a], c est-à-dire si et seulement si (u,v) appartient à [/ b, b] [/ a, a ]. Cet ensemble est donc un rectangle. Calculons le jacobien du changement de variables. On a (, y) (u,v) u v v y y v u v onc, puisque f est constante, I u v dudv b / b udu a / a u v u u v. v dv ( b )( ln a ln ) b a ( b ) ln a. b

25 EN 5 b) b bu bu sinv v au cos v au a Les coordonnées elliptiques sont analogues au coordonnées polaires. Le domaine est décrit lorsque le couple (u,v) décrit [, ] [ π, π ]. Calculons le jacobien du changement de variables. On a (, y) (u,v) u v acos v ausin v y y bsin v bucos v abu. u v Par ailleurs f(aucos v,busin v) u (a cos v + b sin v). On a donc I ab ab ab 8 f(,y)ddy abu (a cos v + b sin v)dudv π π u du π π ( a + cos v + b [ (a + b )v + (a b ) ab (a + b )π. (a cos v + b sin v)dv ) cos v dv ] sin v π π

26 EN 6 c) 5 y Le changement de variables proposé est une rotation de centre O et d angle π/ qui transforme la droite d équation y en une droite horizontale ayant pour équation v /. Le cercle se transforme en lui même, et le jacobien vaut (isométrie). Par ailleurs f(,y) v. L équation de la partie droite du cercle est u 5 v, et celle de la partie gauche est u 5 v. u 5 v Pour v fié entre / et 5, on calcule I u (v) 5 v v du v 5 v, 5 v

27 EN 7 Alors I 5 I u (v)dv / 5 v 5 v dv ) a) z / [ ] 5 (5 v ) / / ( 5 9 ) /. y y La projection du domaine sur le plan Oy est le domaine limité par les aes et la droite d équation + y. Lorsque (,y) appartient à, on a I z (,y) y ( + y + z) dz ] y [ ( + y + z) ( ( + y) ). On calcule alors l intégrale double I ( ( + y) ) ddy.

28 EN 8 Lorsque est compris entre et, on a Alors I zy () I z (,y)dy ( ( + y) ) dy ] ( + y) [y ( ) ( ) +. b) I I zy ()d ( + ) [ d 6 + ] 6 5.

29 EN 9 Le domaine est limité par les deu plans d équations respectives + y + z et + y + z. Sa projection sur les plan Oy est le domaine limité par l ae O et la parabole d équation y. Si (,y) est un point de, on calcule alors Puis on calcule l intégrale double onc et finalement c) I I zy () I z (,y) ( ) d I y y y dz y. I z (,y)ddy. y dy [ y ] ( ), ( ( + 6 )d 5 + ) z y y

30 EN La projection sur les plan Oy du domaine est le domaine situé dans le quart de plan, y, limité par les aes, et le cercle d équation + y. Si (,y) est un point de, on calcule alors I z (,y) On calcule ensuite l intégrale double onc Finalement 5) a) I y I zy () I yz dz y( y ). I z (,y)ddy. y( y )dy (( )y y )dy [( ) y y ( ) 8 ( ) d [ ( ) 8 8 z. ] ] 8. h R h

31 EN On utilise les coordonnées cylindriques. La sphère d équation cartésienne + y + z R a pour équation cylindrique r + z R. On intègre donc sur le domaine et {(r,t,z) h z h, π t π, r R z }, V r drdtdz. La projection de sur le plan toz est le rectangle [ π, π ] [h, h ]. Lorsque (t,z) appartient à, on a R z I r (t,z) r dr (R z ). Alors V I r (t,z)dtdz h h (R z )dz Remarque : si h R et h R, on retrouve le volume de la sphère π π dt π [R (h h ) ] (h h ). b) V πr. z α R On utilise les coordonnées sphériques. La sphère d équation cartésienne + y + z R a pour équation sphérique ρ R. Le demi-cône supérieur est caractérisé par π/ α ϕ π/. On intègre donc sur le domaine [, R ] [ π, π ] [π/ α, π/ ]. et V Comme les variables sont séparées on a immédiatement V R ρ dρ π π dt ρ cos ϕdρdtdϕ. π/ π/ α cos ϕdϕ π R ( cos α).

32 EN Remarque : si α π, on retrouve le volume de la sphère. c) On utilise les coordonnées cylindriques. La sphère d équation cartésienne + y + z a pour équation cylindrique r + z et le cylindre d équation cartésienne + y y, a pour équation cylindrique r sin t. On intègre sur le domaine { (r,t,z) r z r, r sin t, π t π }. y On a donc V r drdtdz. La projection de ce domaine sur le plan rot est le domaine { (r,t) r sin t, π t π }. Lorsque (r,t) appartient à, on calcule r I z (r,t) r dz r r, r

33 EN Alors V I z (r,t)drdt. Si t est compris entre π/ et π/, on calcule donc, I rz (t) sint r r dr [ ] sin t ( r ) / ( cos t). onc En linéarisant V π/ π/ ( cos t)dt. ( e cos it + e it ) t 8 (eit + e it + e it + e it ) (cos t + cos t). onc V π/ π/ [ t π 8 9. ( ( sint ) cos t + cos t dt )] π/ + sin t π/ d) z π/ 5

34 EN On utilise les coordonnées cylindriques. Lorsque t est fié, la génératrice du cône a pour équation cylindrique z r +. La sphère a pour équation r + z 5. Pour l intersection on a donc, soit On trouve r. On intègre sur le domaine et r + (r + ) 5, r + r. {(r,t,z) r + z 5 z, r, π t π}. V r drdtdz. La projection de ce domaine sur le plan rot est le rectangle Lorsque (r,t) est dans, on calcule [, ] [ π, π ]. I z (r,t) 5 r r+ r dz r( 5 r (r + )). Alors V I z (r,t)drdt. Mais est un rectangle, et les variables sont séparées, donc V r( 5 r (r + ))dr π [ (5 r ) / r r π. ] π π dt

35 EN 5 e) z a a y On utilise les coordonnées cylindriques. L hyperboloïde a pour équation z r a et le cylindre r a. On intègre sur le domaine { } (r,t,z) a + r z a + r, r a, π t π. La projection de ce domaine sur le plan rot est le rectangle Lorsque (r,t) est dans, on calcule Alors [, a] [ π, π ]. a +r I z (r,t) r dz r a + r. a +r V I z (r,t)drdt. Mais est un rectangle, et les variables sont séparées, donc a V r a + r dr π [ (a + r ) / π a ( ). ] a π π dt

36 EN 6 f) Le changement de variables utilisé est analogue au coordonnées sphériques. Le jacobien vaut (,y,z) (ρ,t,ϕ) acos ϕcos t aρcos ϕcos t sin t aρcos ϕcos t sin ϕ bcos ϕsin t bρcos ϕsin t cos t bρcos ϕsin t sinϕ csin ϕ cρsin ϕcos ϕ En mettant en facteur acos ϕcos t dans la première ligne, bcos ϕsin t dans la deuième et csin ϕ dans la troisième, on obtient (,y,z) (ρ,t,ϕ) abccos ϕsin ϕcos t sin cos ϕcos t ρcos ϕsin t ρcos t sin ϕ t cos ϕsin t ρcos ϕcos t ρsin t sin ϕ sinϕ ρcos ϕ. En mettant alors ρ en facteur dans les deuième et troisième colonne, on trouve (,y,z) (ρ,t,ϕ) 9ρ abccos ϕsin ϕcos t sin cos ϕcos t cos ϕsin t cos t sinϕ t cos ϕsin t cos ϕcos t sin t sinϕ sin ϕ cos ϕ.. Mais le déterminant qui reste n est autre que celui qui apparaît dans le calcul du jacobien des coordonnées sphériques et vaut cos ϕ. onc (,y,z) (ρ,t,ϕ) 9abcρ cos 5 ϕsin ϕcos t sin t. On en déduit alors, puisque les variables sont séparées, que V 9abc ρ dρ π π cos t sin t dt π/ π/ cos 5 ϕsin ϕdϕ.

37 EN 7 On obtient π π et, en posant u cos ϕ, cos t sin t dt π π π sin t dt ( cos t)dt π 8, π π/ cos 5 ϕsin ϕdϕ π/ cos ϕ( sin ϕ) sin ϕdϕ π/ π/ ( u ) u du (u u + u 6 )du 6 5. Finalement 6) z V 9abc π 6 5 πabc 5. K r drdz, En calculant le volume en coordonnées cylindriques, on obtient π V dt r drdz π π K t K t où K t est l intersection de avec le plan vertical roz, faisant un angle t avec Oz. On a donc, en notant A (K t ) l aire de K t et r G(Kt) l abscisse, dans le plan roz du centre de gravité G(K t ) de ce domaine, K t r drdz A (K t )r G(Kt).

38 EN 8 Mais K t et K sont isométriques, donc A (K t ) A et r G(Kt) G. Alors K t r drdz A G. On obtient donc le résultat voulu. Si K est le cercle, on a A πr et G a, donc V aπ R. 7) C A B O La projection de sur O est l intervalle [, ]. La droite AC a pour équation y +.

39 EN 9 Le cercle de diamètre AB a pour centre le point de coordonnées (,) et pour rayon. Il a donc pour équation + (y ). On en déduit et pour la partie inférieure du cercle On calcule, pour tout de [, ] l intégrale On a donc I y () (y ), y. + (y )dy. ] + I y () [ (y ) [ ( ) ] ( + ) [ ( + ) ( ) ] +. Alors I [ 5 5. (y ) ddy 5 + ] ( + )d b) La fonction g : (,y) y est telle que, quel que soit (,y) dans R, g(, y) g(,y). Par ailleurs, tout disque centré en O est symétrique par rapport à l ae O. Il résulte de ces deu propriétés que g(,y)ddy. onc J f(,y)ddy d.

40 EN Calculons cette dernière intégrale en coordonnées polaires. ésignons par le rectangle [, ] [ π, +π ]. Alors, comme les variables sont séparées, on a, +π J r cos t rdrdt r dr cos t dt, π ou encore J [ r 5π. r dr ] +π π + cos t [ ] t sin t +π + π dt Comme le disque de centre O et de rayon contient, on aura f(,y)ddy f(,y)ddy f(,y)ddy 5π 5.

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