Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

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1 Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité, bijectivité pour une application ainsi que l image d un intervalle par une fonction continue. Définition de la continuité en un point. Dans cette leçon I désigne un intervalle de Y non réduit à un point.. Fonction réciproque : Définition : Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F. On dit que f est inversible s il existe une application g de F dans E telle que f o g Id F et g o f Id E On dit alors que g est l application réciproque de f. Proposition : f admet au plus une réciproque (c est-à-dire 0 ou ) Démonstration : Supposons que f admette g et g comme applications réciproques : g : F E telle que f o g Id F et g o f Id E g : F E telle que f o g Id F et g o f Id E On a g o (f o g) g o Id F g et par l associativité de la composition des applications, on a : g g o (f o g) (g o f) o g Id E o g g d où g g. Notation : Si f est inversible on note f sa fonction réciproque (g f ) Remarque : Si a admet une fonction réciproque alors f aussi et (f ) f. Proposition : f est inversible si et seulement si f est bijective Démonstration : Si f est bijective alors y F,! x E tel que y f(x) g est alors l application qui a tout élément de F associe son unique antécédent par f. Cette fonction est bien entendue unique donc on a l existence et l unicité de la fonction réciproque de f. Réciproquement, si f est inversible alors f(x) f(x ) f ( f(x) ) f ( f(x ) ) soit x x d où f injective. Soit y F, on cherche x E tel que y f(x). On prend x f (y) E et donc f est surjective. Exercice : On considère f : Y Y telle que f(x) x 3. Déterminer f. Dans un repère orthonormal du plan tracer les courbes représentatives des fonctions f, f et h où h est la fonction identité. Qu observe t-on?. Inversibilité d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y : Proposition 3 : Soit f : I Y une application strictement monotone. Alors f est injective. Démonstration : Soient x, x I tels que f(x) f(x ). Si x x alors x < x ou x < x. Du fait que f est strictement monotone, en appliquant f on garde une inégalité stricte est donc f(x) f(x ). Absurde donc x x f est injective. Remarque : Il n y a pas que les applications strictement monotones qui sont inversibles, en effet : f : Y Y est inversible d inverse elle même et n est pas strictement monotone. x ï x si x 0 0 si x 0 Remarque : Si on considère cette fois f : I f(i) une application strictement monotone alors f est bijective et donc admet une application réciproque. En effet on vient de voir qu elle est injective et elle est maintenant surjective car l espace d arrivé est f(i). Hannon.J - -

2 Théorème : Soit f : I f(i) une application strictement monotone (pas nécessairement continue). Alors son application réciproque f existe et est strictement monotone, de même monotonie que f. Démonstration : L existence de f a été justifiée dans la remarque précédente. Supposons que f est strictement croissante. Soient y, y f(i) tels que y < y. Posons x f (y) et x f (y ). y < y s écrit f(x) < f(x ) x < x car f est strictement croissante soit f (y) < f (y ) d où le théorème. Remarque : Lorsque f n est pas continue, l application réciproque ne l est pas non plus. De plus même si I est un intervalle f(i) ne l est pas forcément. Exemple : On considère la fonction f : [, + [ [, 4[ [5, + [ strictement croissante x + si x [, 3[ x ï x + si x > 3 alors f : [, 4[ [5, + [ [, + [ x si x [, 4[ x ï x si x [5, + [ et f est aussi strictement croissante. Graphiquement : On observe encore que les courbes représentatives des fonctions f et f sont symétriques par rapport à la droite d équation y x On va s intéresser dans la partie suivante à l étude de la continuité et de la dérivabilité. 3. Etude de la continuité, de la dérivabilité : Soit f : I f(i) une application continue et strictement monotone. On a déjà vu que f est bijective et que dons son application réciproque existe. De plus on vient de montrer que f est strictement monotone, de même monotonie que f. Remarque : Cette fois f(i) est un intervalle car l image d un intervalle par une application continue est un intervalle. 3. Continuité : Théorème : L application f : f(i) I est continue. Démonstration : Supposons f strictement croissante (sinon on regarde f). On veut montrer la continuité de f en y 0 f(i). Soit ε > 0, posons x 0 f (y 0 ). On veut montrer qu il existe η > 0, y f(i), y y 0 < η f (y) f (y 0 ) < ε Comme f est strictement croissante, f aussi et donc, si f( x 0 - ε ) < y < f( x 0 + ε ) alors x 0 - ε < f (y) < x 0 + ε soit f (y 0 ) - ε < f (y) < f (y 0 ) + ε f (y) f (y 0 ) < ε (*) L image de l intervalle vert par f est l intervalle rouge. Mais nous on veut un intervalle centré en y 0, on pose donc η min { y 0 f( x 0 - ε) ; f( x 0 + ε) y 0 } On a bien y f(i), y y 0 < η f (y) f (y 0 ) < ε car y y 0 < η entraîne f( x 0 - ε ) < y < f( x 0 + ε ) et on conclut avec (*). Hannon.J - -

3 3. Dérivabilité : Théorème 3 : Si f est dérivable en x 0 I et f (x 0 ) 0 alors f est dérivable en f(x 0 ) et f ( f(x 0 ) ) Donc si f est dérivable sur I et s i f ne s annule pas sur I alors f est dérivable sur f(i) et f Remarque : En posant y 0 f(x 0 ), on a f (y 0 ) f ( f (y 0 )) f (x 0 ). f o f d où la deuxième partie du théorème, montrons la ère. Démonstration : On veut montrer la dérivabilité de f en y 0 f(x 0 ). Considérons T(y) f (y) f ( y 0 ) y y 0 Si y y 0 alors f (y) f (y 0 ) car f injective (proposition 3) donc : T(y) f (y) f ( y 0 ) y y 0 où τ (x) f(x) f ( f (y ) 0 ) x f (y 0 ) y y 0 f (y) f (y 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 f( f (y)) f ( f (y 0 )) f (y) f (y 0 ) τ ( f (y)) Or f est dérivable en x 0 f (y 0 ) donc en y 0 ) Donc T(y) τ ( f (y)) f ( f (y 0 )) lim τ (x) f (x 0 ) f x x 0 ( f (y 0 )) et (lorsque y y 0 ) par composition des limites. lim f ( y ) f (y 0 ) (continuité de f y y 0 Remarque : On vient de montrer que f est dérivable en y 0. Cependant si on sait déjà que f est dérivable en y 0, le calcul de f (y 0 ) est plus rapide en utilisant le fait que x I, (f o f) (x) x. On dérive en x 0 comme composée et on trouve : f ( f(x 0 )) f (x 0 ) f ( ) f(x 0 ) f (x 0 ) Exemple : cos : [0, π] [-, ] est bijective. On peut définir sa réciproque notée arccos : [-, ] [0, π ] On a que arccos est continue, strictement décroissante sur [-, ] et dérivable sur ]-, [ x ]-, [, arccos (x) -sin (arcos (x) ) - sin (arcos(x) ) Or sur ]0, π [, sin (x) cos²(x) donc arccos (x) - sin (arcos(x) ) cos² (arcos (x) ) x² On a montré que : x ]-, [, arccos (x) x² Hannon.J - 3 -

4 Equation de la tangente : Si f est dérivable en x 0 I alors C f admet une tangente en x 0 d équation y f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). Donc C f admet une tangente en f(x 0 ) d équation : y f (x 0 ) (x f(x 0) ) + x 0 dans la mesure où f est dérivable en x 0 (soit f (x 0 ) 0). Remarque sur les graphes : On note C f le graphe de f et C f le graphe de f - C f { (x, f(x) ) x I } et C f { (y, f (y) ) y f(i) } Puisque y f(x) x f (y) on a l équivalence suivante : (x, y) C f (y, x) C f Donc si on se donne un repère normé (pas forcément orthogonal) alors le graphe de f se déduit de celui de f par rapport à la droite d équation y x. 4. Exemples : 4. Inversion des fonctions puissances : On considère f i : Y Y si n est impaire et f p : Y + Y + si n est pair x ï x n x ï x n Ces deux applications sont strictement croissantes donc sont inversibles. On note indifféremment (mais dans leur domaine de définition respectif) n. leurs réciproques (qu on lit racine n-ième ou racine carré lorsque n, racine cubique lorsque n 3) n pair n impair x n n x Hannon.J - 4 -

5 4. Inversion des fonctions circulaires : On restreint les fonctions cos, sin, tan à un domaine où elles sont strictement monotones afin qu il existes des applications réciproques : cos : [0, π ] [-, ] sin : [- π, π ] [-, ] tan : ]-π, π [ Y x ï cos(x) x ï sin(x) x ï tan(x) elles ont pour applications réciproques: arccos : [-, ] [0, π ] sin : [-, ] [- π, π ] tan : Y ]-π, π [ x ï arccos(x) x ï arcsin(x) x ï arctan(x) De plus, x ]-, [, arccos (x) - x² ; x ]-, [, arcsin (x) x² ; x Y, arctan (x) + x² 4.3 Inversion de la fonction logarithme népérien : ln : Y * + Y est strictement croissante. On peut définir sa réciproque : exp : Y Y * + et on l appelle fonction exponentielle. ln(x) exp(x) Hannon.J - 5 -

6 4.4 Inversion des fonctions hyperboliques : Soit sh : Y Y sh (x) ex + e -x x ï sh(x) ex e -x > 0 donc sh est strictement croissante sur Y et on peut donc définir sa réciproque : e x e -x y (on cherche à exprimer x en fonction de y) e x e x y e x y e x (en multipliant par e x ) e x ye x 0. On pose X e x X² - yx 0 4y² + 4 4(y² + ) > 0 On a deux solutions possibles : X y y² + En revenant à la variable initiale, e x y y² + Donc e x y + y² + y + y² + et X impossible car y + y² + y y² + < 0 On a alors : argsh : Y Y x ï ln ( y + y² + ) sh(x) argsh(x) Exercice : Trouver argch Hannon.J - 6 -

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