Le graphène : la relativité rencontre la mécanique quantique dans un trait de crayon. Mark O. Goerbig

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1 Le graphène : la relativité rencontre la mécanique quantique dans un trait de crayon Mark O. Goerbig ENS, Cachan, 23/11/2010

2 Prix Nobel de Physique 2010 : Graphène Kostya Novoselov Andre Geim "for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional material graphene"

3 Qu est-ce que le graphène? graphène = cristal de carbone 2D (nid d abeille) Hybridation sp 2 2s 2p 2p 2p sp sp sp 2p x y z z 120 o

4 Le graphène et sa famille (allotropique) 2D 3D 1D 0D

5 Du graphite au graphène liaisons covalentes (fortes) dans les plans liaisons de van der Waals (faibles) entre les plans

6 Petite histoire des matériaux graphitiques 1565 (?) : Découverte d une mine de graphite, Barrowdale (Angleterre) : Découverte que le graphite est composé de carbone (Scheele); première fabrication de crayons 1789 : Première occurrence du nom graphite (Werner) 1985 : Synthèse de fullerènes 0D (Curl, Kroto, Smalley; prix Nobel 1996) 1991 : Nanotubes de carbones 1D en physique (Iijima) 2004 : Isolation du graphène 2D (Geim; de Heer) 2005 : Découverte des propriétés relativistes des électrons dans le graphène (Geim; Kim) 2009 : Fabrication du graphène à grande échelle (CVD)

7 Petite parenthèse Un carbone bling bling : le diamant cristal 3D hybridation sp 3

8 Comment faire du graphène : recette de cuisine (1) mettre une pastille de graphite sur du scotch

9 Comment faire du graphène : recette de cuisine (2) : replier le scotch sur la pastille et le défaire : ~10

10 Comment faire du graphène : recette de cuisine (3) coller le scotch (sale) sur un substrat (SiO ) 2

11 Comment faire du graphène : recette de cuisine (4) enlever doucement le scotch du substrat

12 Comment faire du graphène : recette de cuisine (5) marques pour se répérer graphène? graphite épais graphite moins épais mettre le substrat sous en microscope optique

13 Comment faire du graphène : recette de cuisine (6) agrandir la région où il peut y avoir du graphène

14 Mesure électronique du graphène SiO 2 Si dopé Vg Novoselov et al., Science 306, p. 666 (2004)

15 Pourquoi les chercheurs s intéressent-ils au graphène? électrons du graphène = neutrinos 2D chargés lien entre la matière condensée et la physique des hautes énergies ( électrodynamique quantique dans un trait de crayon? ) analyser certains aspects de la mécanique quantique relativiste comment adapter la théorie des métaux (2D) ( équation de Schrödinger) au graphène ( équation de Dirac)?

16 Mécanique quantique non relativiste Système physique décrit par un hamiltonien : E = H(r,p) = p2 2m + V (r) Mécanique quantique : principe d incertitude de Heisenberg (1927) x p grandeurs physiques décrites par des opérateurs (agissant sur des états ψ) : [x,p] = i 1926 : équation de Schrödinger (E i / t et p i ) : i [ ] t ψ(r,t) = H(r, i )ψ(r,t) = 2 2 2m + V (r) ψ(r, t)

17 Mécanique quantique relativiste (1er essai) Relativité : l énergie (d une particule de masse m) dépend du référentiel (1905) E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 essayons la recette de la méca Q : E i / t et p i Equation de Klein et Gordon (1927) : 2 2 t 2ψ(r,t) = [ m 2 c 4 2 c 2 2] ψ(r,t) Problème : équation de 2ème ordre en / t, i.e. il faut aussi connaître ψ(r,t = 0) (en plus de ψ(r,t = 0)) pour décrire un état du système

18 Mécanique quantique relativiste (2ème essai) La racine : E = m 2 c 4 + p 2 c 2 Problème (pour la recette) : équation hautement non linéaire 1928 : équation de Dirac ( truc de la racine farfelue ) E = H D (p i ) = βmc 2 + α pc particules énergie énergie de masse Prix à payer : β et α ne commutent pas représentation matricielle, fonctions d onde sont des spineurs anti particules impulsion Solutions d énergie négative : anti-particules (1930)

19 Qu est-ce que ça a à faire avec le graphène? Les équations de Schrödinger (avec V (r) = 0) et de Dirac déctivent essentiellement des particules libres Les hamiltoniens cinétiques H 0 = p2 2m et H D = βmc 2 + α pc respectent la symétrie de translation, c est-à-dire [p,h 0/D ] = 0 Les électrons dans un cristal voient un potentiel périodique V (r) qui brise l invariance par translation, c est-à-dire [p,h] 0

20 Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch translations discrètes T = exp(iˆp R j ) représentent une symétrie dans un réseau de Bravais (décrit par les vecteurs de réseau R j ) l opérateur ˆp (générateur des translations discretes) joue le rôle d une impulsion (quasi-impulsion ou impulsion de réseau) Rj

21 Les électrons dans un cristal et le théorème de Bloch translations discrètes T = exp(iˆp R j ) représentent une symétrie dans un réseau de Bravais (décrit par les vecteurs de réseau R j ) les valeurs propres de ˆp sont de bons nombres quantiques : bandes d énergie ǫ l (p) fonctions de Bloch : ψ(r) = p e ip r/ u p (r)

22 Réseaux de Bravais et réseaux quelconques M. C. Escher (décomposé) réseau quelconque = réseau de Bravais + motif (à N atomes ) réseau triangulaire + motif compliqué Problème : le théorème de Bloch ne s applique qu aux réseaux de Bravais

23 Le théorème de Bloch pour un réseau non Bravais fonction d onde sur un réseau (motif à deux atomes) : ψ p (r) = a p ψ A p(r) + b p ψ B p (r) ψp A/B (r) : fonction de Bloch pour composante du sous-réseau A/B τ 2 τ 1 e maille élémentaire 2 motif (2 atomes) : sous réseau A : sous réseau B e 1 e 3 Equation de Schrödinger : Hψ p = E p ψ p ( ) ( ) ( a p,bp) ap ( ) Hp = E b p a p,b ap p Sp p b p H p : matrice hamiltonienne 2 2 S p : matrice de recouvrement 2 2

24 Structure de bande du graphène Wallace 1947 modèle de liaisons fortes pour les électrons p z (variation du théorème de Bloch) seulement couplage entre plus proches voisins (énergie t 3 ev) B e 2 A e 3 e 1 matrice hamiltonienne : ) 0 γ H p = t( p γ p 0 B B γ p = j exp( ip e j / )

25 Fermions de Dirac graphène non dopé : 1 électron par orbitale p z 2 états quantiques par orbitale 1 fermion par état quantique structure de bande demi-remplie développement limité (basse énergie) autour des points de contact p = K ± + q : ( ) 0 q H q = v x iq y F = v q x + iq y 0 F α q avec α = (σ x,σ y ) (matrices de Pauli) et v F = c/300 (vitesse de Fermi vitesse de la lumière) hamiltonian de Dirac (2D) pour des particules sans masse

26 Structures de bande et propriétés de conduction énergie énergie niveau métal (2D) de Fermi impulsion niveau de Fermi densité d états métal d électrons métal de trous isolant (2D) niveau de Fermi gap semi métal (2D) I II I II niveau de Fermi graphène (non dopé) niveau de Fermi

27 Conductivité du graphène SiO 2 Si dopé Vg Novoselov et al., Science 306, p. 666 (2004) ~ n ~ E el F origine de la conductivité minimale? nature des diffuseurs? thème de recherche actuelle

28 Effet tunnel de Klein

29 Effet tunnel de Klein pas d état dans barrière état dans la barrière disponible

30 Le graphène est un très bon conducteur M. Fuhrer et coll., Nature Nanotechnology 2008

31 Le graphène est une membrane très solide (1) J. Hohn et coll., Science 2008

32 Le graphène est une membrane très solide (2) J. Hohn et coll., Science 2008

33 Une électronique à base de graphène? Le graphène est... un très bon conducteur ; la membrane la plus mince (épaisseur d un atome) ; une membrane très flexible ; une membrane extrêmement stable. Graphene transistor (Manchester group, 2007) électronique à base de graphène : le plus petit transistor du monde (groupe de Geim, 2007)

34 Fabrication de graphène à grande échelle dépot chimique en phase vapeur (CVD) : exposer une surface métallique (Cu ou Ni, sert de catalyseur) à une vapeur de carbone fixer la couche de graphène qui se forme sur la surface avec un polymère (PMMA) enlever chimiquement le catalyseur (dans un acide) récuperer le graphène collé sur le film de polymère

35 Conclusions Aspects fondamentaux du graphène : théorie des métaux en utilisant une équation de Dirac (relativiste) vérifier certains aspects de la mécanique quantique relativiste (physique des hautes énergies) dans un système de matière condensée (physique des basses températures) interactions électroniques dans le graphène? ( thème de recherche actuelle) Applications du graphène : électronique à base de graphène (en complément de celle à base de silicium) électrodes flexibles, stables, et (presque) transparentes ( écrans tactiles?)

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