Master 2 IMOI - Mathématiques Financières

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1 Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Exercices - Liste 1 1 Comportement d un investisseur face au risque Exercice 1 Soit K la matrice définie par 1 2 [ Montrer que K est la matrice de corrélation d un vecteur aléatoire X t = (X 1, X 2 ). 1.2 Développer l algorithme de Cholesky pour cet exemple. 1.3 Calculer ρ X1,X On suppose X centré, et on définit ξ = 2 + 2X 1 X 2. Calculer E[ξ] et Var(ξ). 1.5 Vérifier que les valeurs propres de K sont λ 1 = 1 et λ 2 = 2, associées aux vecteurs propres v t 1 = (1/ 2; 1/ 2) et v t 2 = (1/ 2; 1/ 2). 1.6 Construire un vecteur X tel que K X = K. 1.7 Soit X 3 = X 1 X 2 et U t = (X 1, X 2, X 3 ). Calculer K U, et observer que K U n est pas inversible. 1.8 Montrer que si Γ est une matrice positive non-inversible, covariance d un vecteur X R n, alors il existe un vecteur U = n i=1 u ix i tel que U = C ste. Exercice 2 Soit un marché formé de deux actifs risqués, tel que [ ] [ ] R = et Γ = L actif non risqué a un rendement R 0 = Analyser le marché. 2.2 On considère un investisseur prudent, qui choisit x 1 = 5/10 et x 2 = 1/10. Calculer x 0, le rendement moyen et le risque de ce portefeuille. 2.3 Déterminer le portefeuille optimal de rendement moyen 11%. 1 ].

2 Exercice 3 Soit (X, Y, Z) t un vecteur gaussien centré de matrice de covariance Γ donnée par Montrer que les variables aléatoires X + Y + Z et X + Y sont indépendantes. 3.2 Calculer l espérance conditionnelle E[Z Y ]. En déduire E[(Y + Z) 2 Y ]. 3.3 On pose X 0 = X, Y 0 = X Y, Z 0 = X Y Z. Montrer que (X 0, Y 0, Z 0 ) t est un vecteur gaussien centré, dont on déterminera la matrice de covariance Γ On considère un marché formé de trois actifs risqués de rendements aléatoires R 1 = 1 + X 0, R2 = 2 + Y 0 et R 3 = 1 + Z 0. Pour tout x R 2, Rx désigne le rendement du portefeuille de composition x 1, x 2 et 1 x 1 x Soit µ un réel fixé. Déterminer l unique portefeuille x MV-efficace de rendement espéré µ. 2. Calculer l écart-type σ de cet unique portefeuille. 3. Montrer qu il existe des constantes a, b, c positives telles que Commenter ce résultat. aσ 2 b( µ c) 2 = 0. Exercice 4 On suppose que le marché est composé de 3 investisseurs, dont les portefeuilles sont donnés par le tableau: Actif \ Inv. Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Sans Risque Actif Actif On suppose que les investisseurs 1 et 2 ont des portefeuilles MV-efficaces. Que peut-on dire de l investisseur 3? 4.2 On suppose dans la suite que le marché n est formé que des investisseurs 1 et 2. Calculer le portefeuille de marché. 4.3 La matrice Γ 1 et le vecteur ρ sont de la forme: [ ] a b Γ 1 = et ρ = b c Vérifier que 2a + 3b 9c = On prend à présent: Γ 1 = [ [ 1 3 Calculer β 1 et β 2, et vérifier la relation d équilibre ρ i = β i ( R m R 0 ). 2 ]. ].

3 2 Instruments financiers Exercice 5 Considérons un placement monétaire à deux mois de 50 keuros, à 10%. La date de départ de ce placement est le 22/12/05, et son terme le 22/02/ Calculer les intérêts perçus et le rendement de ce placement. 5.2 Considérer le cas d un taux actuariel de 10%. Exercice 6 On place à la banque un million d euros, avec un intérêt annuel de 10%, pendant 3 ans. Ce placement nous est remboursé par la banque en deux annuités égales de 500 keuros les deuxièmes et troisièmes années. Les valeurs des flux seront actualisées à 8%. 6.1 Faire un tableau des flux actualisés associés à ce placement. 6.2 Calculer le gain du placement. Exercice 7 Une personne souhaitant financer un achat de 1000 euros décide d emprunter cette somme sur 4 ans, au taux annuel de 5%. L établissement financier propose que la personne verse une somme S constante tous les ans. 7.1 Calculer S. 7.2 Déterminer le tableau d amortissement du prêt. Exercice 8 On considère deux obligations O 1 et O 2, de prix respectifs 1000 euros et euros, de durée 2 ans, sans remboursement. Ces deux obligations rapportent les flux suivants: Oblig. \ Année t = 1 t = 2 Obligation O Obligation O Montrer que ces deux obligations ont le même taux actuariel. 8.2 On suppose qu il existe sur le marché deux titres: (i) Une obligation A 1, valant 95.2, de coupon C 1 = 100, de maturité un an. (ii) Un bon A 2 à deux ans, de prix 79.7, rapportant 100 euros au bout de deux ans. On constitue alors deux portefeuilles: P 1 = A A 2, et P 2 = 10A A Comparer les revenus procurés par P 1 et O Comparer les revenus procurés par P 2 et O 2. 3

4 Exercice 9 Soit O une obligation d échéance T, à coupons annuels constants égaux à C, de valeur de remboursement égal au prix d émission P. 9.1 Montrer que le taux actuariel de ce produit est C/P. Exercice 10 Soit O une obligation de durée 7 ans, de prix à l émission 1500 euros égal au prix de remboursement, et de coupons annuels égaux à 100 euros. On suppose: Que le taux du marché passe à la fin des deux premières années de 10% à 12%. Qu une fois que le coupon est touché par l investisseur, il est instantanément placé au taux du marché Calculer G 1 (resp. G 2 ) le gain de l investisseur à la fin de la 4ème année (resp. lorsqu il n y a pas de modification de taux) L investisseur décide de vendre O après 4 ans. Calculer les prix de vente V 1 et V 2 dans chacun des deux cas ci-dessus. Exercice 11 Les résultats numériques seront exprimés avec deux chiffres après la virgule. L unité des prix des actifs est l euro et les rendements seront exprimés en pourcentage. On considère deux obligations O 1 et O 2 de caractéristiques : O 1 a une maturité de 2 ans, distribue deux coupons annuels de même valeur de 100 euros, de valeur de remboursement 1000 euros et de taux actuariel annuel de 5%. O 2 est un zéro-coupon, de maturité 18 mois, libérant le flux de 500 euros à terme et de prix à l émission A Calculer le prix à l émission de O Déterminer A pour que O 2 soit une une obligation plus intéressante que O Quel est le rendement de O 2 à l échéance, lorsque A = 490 euros? 11.4 Dans la suite le temps t sera toujours exprimé en fraction d année. On désigne par P (0, t) le prix aujourd hui, du zéro-coupon d échéance t délivrant le flux d un euro à maturité. On note R 0,t le taux actuariel annuel de ce zéro-coupon. Calculer P (0, t) en fonction de R 0,t et t On suppose: P (0, 1) =.95420, P (0, 3/2) =.92942, P (0, 2) = Calculer la courbe des taux associée L obligation O 1 est-elle intéressante? 11.7 Calculer le taux forward s appliquant dans 18 mois et d échéance deux ans. 4

5 Exercice 12 La société Altapuerca signe un swap avec l établissement bancaire Bonesta. Les caractéristiques de ce swap sont: Nominal de euros, maturité de 2 ans. Flux fixes annuels à 6%, flux variables semestriels. La société Altapuerca est payeur de ce swap, et la courbe des taux actuariels est la suivante: Calculer la valeur du swap. R 0,1/2 = 4%, R 0,1 = 4.5%, R 0,3/2 = 4.75%, R 0,2 = 5%. Exercice 13 On considère un swap dont les caractéristiques sont les suivantes: Type Sens Nominal Date départ 10/02/93 Date fin 10/02/95 Swap de taux Emprunteur 100 Meuros Taux fixe 8% Taux variable Euribor 3 mois On se donne aussi le tableau suivant récapitulant les facteurs d actualisation et les taux Euribor proportionnels anticipés pour la période du swap: Date de départ Facteur d actualisation Taux Euribor 3 mois 11/02/ /05/ /08/ /11/ /02/ /05/ /08/ /11/ /02/ Calculer la valeur de ce swap Vérifier la concordance entre les facteurs d actualisation et les taux forward sur les deux premières échéances Calculer les flux fixes et flottants, ainsi que leurs valeurs actualisées. Exercice 14 On se propose dans cet exercice de calculer les gains liés à deux stratégies dans le cas d achat d options Un investisseur achète un call à 3 $, avec prix d exercice 30 $, et vend un call avec prix d exercice 35 $ au prix de 1 $. Représenter V T V 0 en fonction de S T. 5

6 14.2 On suppose qu un actif a un prix de 61 $ environ, et que le prix des calls est le suivant: Prix d exercice Prix du call Former une stratégie papillon, et représenter la fonction S T V T V 0. Exercice 15 On essaiera de démontrer dans cet exercice la relation S t Ke r(t t) C t S t entre le prix d un actif et le prix d un call d exercice K Montrer C t S t en comparant les portefeuilles P 1 : achat d une option d achat et P 2 : achat d un actif risqué. Les deux achats sont considérés à l instant t Montrer S t C t + Ke r(t t) en comparant les portefeuilles Q 1 : achat d un actif risqué et P 2 : achat d un call et placement de Ke r(t t) au taux r. 3 Martingales et modèles financiers discrets Exercice 16 Soit {X n ; n 1} une martingale par rapport à une filtration G n, et soit F n = σ{x 1,..., X n }. Montrer que F n G n et que X n est une F n -martingale. Exercice 17 Soit {ξ n ; n 1} une suite de variables aléatoires indépendantes telles que E[ξ j ] = 0. Posons X n = ξ i1 ξ ik. Montrer que X est une martingale. 1 i 1 <...<i k n Exercice 18 Soit {Y n ; n 1} une suite de variables iid positives telles que E[Y j ] = 1, P (Y j = 1) < 1 et P (Y j = 0) = 0. On pose 18.1 Montrer que X est une martingale Montrer que lim n X n = 0 p.s. X n = Π j n Y j 6

7 Exercice 19 Soit {Y n ; n 1} une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi normale N (0, σ 2 ), où σ > 0. On pose F n = σ(y 1,..., Y n ) et X n = n i=1 Y i. On rappelle que ( ) u 2 σ 2 E[exp(uY 1 )] = exp. 2 On pose aussi, pour u R, Zn u = exp (ux n 12 ) nu2 σ Montrer que {Z u n; n 1} est une F n -martingale pour tout u R On se propose ici d étudier la convergence presque sûre de Z u n pour u R. 1. Montrer que pour tout u R, Z u n converge presque sûrement. 2. Montrer que (ux n 12 nu2 σ 2 ) K n 1 n converge presque sûrement, et déterminer sa limite. 3. Trouver la limite presque sûre de Z u n pour u R On étudie ici la convergence de Z u n dans L 1, pour u R. 1. Trouver lim n E[Z u n]. 2. La martingale Z u n converge-t-elle dans L 1? Exercice 20 A l instant 1, une urne contient une boule verte et une boule bleue. On tire une boule et on la remplace par deux boules de la même couleur que celle tirée, ce qui donne une nouvelle composition de l urne à l instant 2. On répète alors le procédé pour les instants successifs. On note Y n le nombre de boules vertes dans l urne à l instant n, et X n = Y n n+1 la proportion de boules vertes à cet instant. On pose F n = σ(y 1,..., Y n ) Montrer que E[Y n+1 F n ] = (Y n + 1)X n + Y n (1 X n ) Montrer que {X n ; n 1} est une F n -martingale convergeant presque sûrement vers une variable aléatoire U En appliquant le théorème de la convergence dominée, montrer que pour tout k 1, on a lim n E[X k n] = E[U k ] On fixe k 1. On pose alors, pour n 1, Z n = Y n(y n + 1)... (Y n + k 1) (n + 1)(n + 2)... (n + k). 7

8 1. En introduisant les variables aléatoires 1 {Yn+1 =Y n } et 1 {Yn+1 =Y n +1}, montrer que {Z n ; n 1} est une F n -martingale. 2. Exprimer la limite presque sûre de Z n en fonction de la variable aléatoire U. 3. En déduire la valeur de E[U k ]. 4. Montrer que ces moments sont ceux d une loi U([0, 1]). Exercice 21 Soit (X n ) n N une martingale intégrable relativement à une filtration F n. On suppose qu il existe une constante M > 0 telle que n 1 E [ X n X n 1 Fn 1 ] M p.s Montrer que si (V n ) n 1 est un processus positif et prévisible (i.e V n est F n 1 mesurable) alors [ ] V n E X n X n 1 F n 1 M V n. n= Soit ν un temps d arrêt intégrable. Montrer que X ν est intégrable et que X ν p converge vers X ν dans L 1. En déduire que E(X ν ) = E(X 0 ). Indication : écrire X ν X ν p = 1 {ν p<n ν} (X n X n 1 ). n= En déduire que si ν 1 ν 2 sont deux temps d arrêt avec ν 2 intégrable alors E[X ν2 ] = E[X ν1 ]. Exercice 22 Soit (Y n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi donnée par P (Y n = 1) = p = 1 P (Y n = 1) = 1 q. On définit (S n ) n N par S 0 = 0 et S n = n k=1 Y k On suppose que p = q = 1 2. On note par T a = inf{n 0, S n = a} (a Z ). Montrer que E(T a ) = Soit T = T a,b = inf{n 0, S n = a ou S n = b} (a, b N). Déduire de E(S T ) la probabilité de l événement (S T = a) Montrer que Z n = S 2 n n est une martingale, déduire de E(Z T ) la valeur de E(T ) On suppose que p > q et on pose µ = E(Y k ). Montrer que X n = S n nµ et U n = sont des martingales. En déduire P (S T = a) et E(T ). n=1 ( ) Sn q p 8

9 Exercice 23 On considère dans cet exercice le modèle de Cox, Ross et Rubinstein: l actif à risque unique a un prix R n à l instant n, et l actif non risqué un prix S n = (1 + r) n. On fait les hypothèses suivantes sur le cours de l actif risqué: entre deux périodes consécutives, la variation relative des cours est soit a, soit b, avec 1 < a < b, c est-à-dire que R n+1 = (1 + a)r n ou R n+1 = (1 + b)r n, n = 0,..., N 1. L espace naturel des résultats possible est donc Ω = {1 + a, 1 + b} N, et on prend F 0 = {, Ω}, F = P(Ω), et F n = σ(r 1,..., R n ). On munit aussi Ω d une probabilité P telle que tous les singletons de Ω ont une probabilité non nulle. Posons T n = R n R n 1, et notons que F n = σ(t 1,..., T n ) Montrer que le prix actualisé R n est une martingale si et seulement si E[T n+1 F n ] = 1 + r En déduire que, pour que le marché soit viable, il est nécessaire que r (a, b) Donner un exemple d arbitrage possible si r (a, b) On supposera pour toute la suite que r (a, b), et on pose p = b r b a. Montrer que R n est une martingale sous P si et seulement si les variables aléatoires T j sont indépendantes, équidistribuées, de lois donnée par En déduire que le marché est complet. P (T j = 1 + a) = p = 1 P (T j = 1 + b) Soit C n (resp. P n ) la valeur, à l instant n, d un call (resp. d un put) européen. 1. Montrer que C n P n = R n K(1 + r) (N n). Cette relation générale est connue sous le nom de parité call-put. 2. Montrer que C n peut s écrire sous la forme C n = c(n, R n ), où c est une fonction que l on exprimera à l aide de K, a, b, p Montrer que la stratégie de couverture parfaite d un call est définie par une quantité d actif risqué H n = (n, R n 1 ) à détenir à l instant n, où est une fonction à exprimer à partir de la fonction c. Exercice 24 On considérera dans cet exercice le modèle de Cox, Ross et Rubinstein dit multinomial: l actif à risque unique a un prix R n à l instant n, et l actif non risqué un prix S n = (1 + r) n. On fait les hypothèses suivantes sur le cours de l actif risqué: entre deux périodes consécutives, pour k 3, la variation relative des cours est un élément de l ensemble {a 1, a 2,..., a k }, avec 1 < a 1 < a 2 <... < a k, c est-à-dire que R n+1 = (1 + a j )R n avec j {1, 2,..., k}, n = 0,..., N 1. 9

10 L espace naturel des résultats possible est donc Ω = {1 + a 1,..., 1 + a k } N, et on prend F 0 = {, Ω}, F = P(Ω), et F n = σ(r 1,..., R n ). On munit aussi Ω d une probabilité P telle que tous les singletons de Ω ont une probabilité non nulle. Posons T n = R n R n 1, et notons que F n = σ(t 1,..., T n ). On notera p n,j = P (T n = 1 + a j ), j {1, 2,..., k}, n = 0,..., N Montrer que le prix actualisé R n est une P -martingale si et seulement si E[T n+1 F n ] = 1 + r En déduire que, pour que le marché soit viable, il est nécessaire que r [a 1 ; a k ] Donner un exemple d arbitrage possible si r < a On suppose pour le reste de l exercice que r = 1 k a j. k j=1 Soit Q l ensemble des probabilités Q sur Ω vérifiant (i) Sous Q, la famille {T n ; n N 1} est une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. (ii) R n est une Q-martingale. 1. Soit Q (1) la probabilité définie sur Ω par: la famille de variables aléatoires {T n ; n N 1} est une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de loi donnée par Q (1) (T n = 1 + a j ) = 1 k, j {1, 2,..., k}. Montrer que Q (1) Q. 2. Montrer que Q possède une infinité d éléments. 3. En déduire que le marché n est pas complet On travaillera ici sous la probabilité Q (1). Soit C n la valeur, à l instant n, d un call européen de prix d exercice K et d échéance N. Montrer que C n peut s écrire sous la forme C n = c(n, R n ), où c est une fonction que l on exprimera à l aide de K, a 1,..., a k. On pourra utiliser la loi multinomiale, que l on peut définir de la manière suivante: on considère une urne contenant une proportion p j de boules de type j, pour j {1,..., k}, avec k j=1 p j = 1. On fait n tirages avec remise dans cette urne, et on note X j le nombre de boules de type j obtenu. Alors, pour tout j-uplé d entiers naturels (n 1,..., n j ) tel que k j=1 n j = n, on a P (X 1 = n 1,..., X k = n k ) = n! k j=1 n j! La loi du vecteur (X 1,..., X k ) se nomme loi multinomiale de paramètres (n, k, p 1,..., p k ). k j=1 p n j j. 10

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