BTS MCI. Lycée Vauban, Brest 4 mai André Breton

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1 BTS MCI Lycée Vauban, Brest 4 mai 06 André Breton

2 Table des matières I Compléments pour les bac pro 8 ÉquationsFactorisationsInéquations 9. Identités remarquables Le second degré Équations et factorisation Signe Rappels de trigonométrie. RadianCercle trigonométrique sinus et cosinus Lignes trigonométriques Rappels sur la dérivation 6 3. Tangente- variations Formulaire de dérivation Exercices corrigés Généralités sur les fonctions 7 4. Fonctions de référence Les fonctions en escalier Les fonctions anes La fonction carré La fonction inverse La fonction racine carrée Notions de limites Exemples : Les limites à connaître Opérations sur les limites Limites de polynômes et de fonctions rationnelles Asymptotes Logarithme népérien et exponentielle la fonction ln Dénition Propriétés immédiates Variations de ln Propriétés du logarithme Étude de la fonction ln Courbe le nombre e Des limites à connaître Fonctions du type x ln(u(x)) La fonction exponentielle Dénition Propriétés

3 5..3 Étude de la fonction exponentielle Fonctions du type e u Exercices corrigés Primitives 4 6. Dénition Primitives usuelles Propriétés Linéarité Conséquences de la dérivation des fonctions composées Décomposition des fonctions rationnelles II Le cours de première année 46 7 Probabilités Simples Vocabulaire Probabilité Propriétés Équiprobabilité Exercices Probabilités conditionnelles Dénition Propriété Événements indépendants Exercices Permutations - Combinaisons Permutations Combinaisons Quelques formules Le triangle de Pascal Exercices Séries statistiques à une variable Vocabulaire Tableaux-Graphiques Eectifs cumulés-fréquences cumulées Caractéristiques de position La moyenne Mode-classe modale Médiane Quartiles Caractéristiques de dispersion Intervalle interquartile Variance-Écart type Séries statistiques à deux variables Exemples Tableaux de données Nuages de points Ajustement Point moyen Ajustement ane

4 9.. Ajustement à la règle Méthode des moindres carrés Coecient de corrélation linéaire Dénition Interprétation Calcul vectoriel Rappels Rappels de géométrie analytique Repères orthonormaux Coordonnées NormeDistance Barycentre Points pondérés Barycentre de deux points pondérés Barycentre de n points pondérés Associativité Problèmes de composantes Le produit scalaire Dénitions Propriétés Produit scalaire et coordonnées Rappels sur les droites du plan Le produit vectoriel Dénition Propriétés Produit vectoriel et coordonnées Applications du produit vectoriel Logarithme et exponentielle 78. Cours Exercices Correction des exercices XCAS 88. Le logiciel Xcas Les opérations Nommer les calculs La commande : simplier Calcul formel Les fonctions Correction Calcul intégral Dénition Propriétés Intégrales et aires Valeur moyenne Inégalité de la moyenne Valeur moyenne Intégration par parties Intégration des fonctions rationnelles

5 4 Développements Limités 0 4. Exemple : la fonction exponentielle Approximation par la tangente Approximation par un polynôme du second degré Approximation par un polynôme du troisième degré Développement limité d'une fonction en Dénition Exemple d'application : position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'abscisse nulle Fonctions circulaires Généralités Parité Périodicité Sinus et cosinus Dénitions Périodicité Parité Dérivées Variations Courbes Tangente Dénition Propriétés Limites Dérivée Courbe L'arctangente Dénition Propriétés Courbe Variable aléatoire discrète Loi binomiale 4 6. Variable aléatoire discrète - Fonction de répartition Variable aléatoire discrète Fonction de répartition Espérance-Variance-Ecart type Variable aléatoire centrée réduite Lois usuelles discrètes Loi binomiale Loi de Poisson Suites numériques 3 7. Généralités dénition Génération d'une suite à l'aide d'une fonction Suites arithmétiques Suites géométriques Sens de variation Dénition Exemples Limite d'une suite géométrique

6 8 Les nombres complexes 7 8. Introduction Un peu d'histoire Les ensembles de nombres Forme algébrique L'ensemble C Les techniques de calcul Conjugué-quotient Conjugaison Quotient Propriétés Représentation graphique Dénitions Propriétés Équation du second degré à coecients réels Quelques exercices corrigés Les équations diérentielles Généralités Équation diérentielle du premier ordre à coecients constants Résolution de (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = Résolution de (E) : a y (t) + b y(t) = c(t) Équation avec condition initiale Équation diérentielle du second ordre à coecients constants Résolution de (E 0 ) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = Résolution de (E) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) Équation avec condition initiale III Le cours de deuxième année 43 0 Rappels de probabilité 44 Lois à densité 45. Généralités Variable aléatoire continue Généralisation Loi uniforme sur [a, b] Dénition Fonction de répartition Espérance, variance et écart type Loi normale Dénition Espérance, variance, écart type Calculs de probabilités Approximation d'une loi binomiale par une loi normale TP Opérations sur les variables aléatoires 55. Somme de deux variables aléatoires Exemples Indépendance de deux variables aléatoires Somme et diérence de deux variables aléatoires

7 . Théorème de la limite centrée Exemple Le théorème de la limite centrée Lois d'échantillonnage Loi d'échantillonnage des moyennes Loi d'échantillonnage des fréquences Estimation 6 3. Estimation ponctuelle Notations Estimation Estimation par intervalle de conance Intervalle de conance de la moyenne Intervalle de conance de la fréquence Les tests d'hypothèses Test bilatéral sur la moyenne Le problème Construction d'un test Remarques sur le seuil de risque Test unilatéral sur la moyenne Test unilatéral à droite Test unilatéral à gauche Test bilatéral de comparaison de deux moyennes Tests sur les proportions à l'aide d'une loi binomiale Tests sur les proportions à l'aide d'une loi normale La loi exponentielle Introduction La loi exponentielle Dénition Calculs de probabilités Espérance, variance, écart type Notions de abilité Les séries de Fourier Notion de séries Dénition Deux séries de référence Rappels sur les fonctions Les séries de Fourier Dénition Calcul des coecients Développement en série de Fourier d'une fonction Analyse spectraleformule de Parseval

8 Première partie Compléments pour les bac pro 8

9 ÉquationsFactorisationsInéquations. Identités remarquables (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Exercice : Développer : A = 3(x y) ; B = (a + b)(a 3b) ; C = (a + 5) ; D = (x x + 4)(x + ) Factoriser : A = x + x ; B = (x + ) + 5(x + ) ; C = (x + ) 4 ; D = 9x 4 ; E = (x + 3) (4x + 5) Équations : 3x + 4 = 0 x + 3( x) = 4x (x )(x ) = 0 x = 0 x + = 0 4x = 3x = 9x (x )(x+3) = (x )(x ) (x ) (3x + ) = 0 Inéquations : 3x + > 0 3 x < 0 x + > x < 0 (x + )( 3x) < 0 4x > 0. Le second degré.. Équations et factorisation P (x) = ax + bx + c, où a 0 = b 4ac est le discriminant de ax + bx + c. Solutions de P (x) = 0 Factorisation > 0 = 0 Deux solutions distinctes : x = b a et x = b + a Une solution double : x 0 = b a P (x) = a(x x )(x x ) P (x) = a(x x 0 ) < 0 pas de solution pas de factorisation 9

10 Exercice : Pour chacune des fonctions suivantes, résoudre l'équation f(x) = 0 et factoriser f(x). a) f(x) = x + x b) f(x) = x 3x + 4 c) f(x) = x 6x + 9 d) f(x) = x 3x +.. Signe La courbe d'une fonction du second degré est une parabole, elle a "la tête en bas " quand a est positif et "la tête en haut" quand a est négatif. a > 0 a < 0 Signe y y > 0 j i x x x i x x x P (x) j x x x + signe signe signe 0 0 de a de a de a y = 0 j y j i x 0 x x x 0 + signe signe P (x) 0 de a de a i x 0 x y y j < 0 i x x + P (x) signe de a j i x En résumé : P (x) est du signe de a sauf entre les racines, s'il y en a. Exercice 3 : Étudier le signe des fonctions suivantes : a) f(x) = x + x b) f(x) = x x + 5 f(x) = 3x x d) f(x) = x 6x + 9 0

11 Rappels de trigonométrie. RadianCercle trigonométrique Le radian est une mesure d'angle proportionnelle au degré telle que 80 degrés correspondent à π radians. On passe de l'un à l'autre à l'aide des formules : deg = 80 π rad et rad = π 80 deg Exercice Compléter : Degrés Radians π 4 π 3 π 8 π 0 Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. 0 Exercice Placer les angles suivants sur le cercle trigonométrique : a) 0 ; π ; π ; 3π ; 3π b) π 4 ; 3π 4 ; 5π 4 ; 7π 4 ; 5π 4 c) π 3 ; π 3 ; 4π 3 ; 5π 3 ; 7π 3 d) π 6 ; 5π 6 ; 7π 6 ; π 6 ; 5π 6

12 . sinus et cosinus Le ( plan est muni d'un repère orthonormé O; i, ) j. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. À tout nombre réel x correspond un unique point M de C tel que l'angle ( i, OM) ait pour mesure x en radian. Le cosinus de x est l'abscisse de M. Le sinus de x est l'ordonnée de M. sin x O x M cos x Les valeurs importantes : x 0 π 6 π 4 π 3 π π cos(x) 3 0 sin(x) Propriétés : Pour tout réel x : cos x sin x cos x + sin x = sin Pour tout réel x : { cos( x) = cos x sin( x) = sin x { cos(π + x) = cos x sin(π + x) = sin x { cos(π x) = cos x sin(π x) = sin x π x π + x O x x cos Exercice 3 Placer les angles suivants sur un cercle trigonométrique puis en donner le cosinus et le sinus. 3π 4 ; 5π 4 ; π 4 ; 5π 3 ; 7π 3 ; π 3 ; 5π 6 ; 5π 6 ; 7π ; 5π 3

13 Exercice 4 Donner les solutions des équations suivantes : cos x = 0 cos x = cos x = cos x = 3 cos x = cos x = sin x = 0 sin x = sin x = sin x = 3 sin x = sin x = 3

14 .3 Lignes trigonométriques 3π 4 π π 4 5π 6 π π 6 π 3 π 3 π π 4 π 4 5π 6 π 6 3 π 3 π 3 3π = π 6 4π 6 = π 3 3 π 6 = π 3 5π 6 π 6 6π 6 = π π 6 π 6 8π 6 = 4π 3 3 0π 6 = 5π 3 9π 6 = 3π 4

15 3π 4 π 3 3 π π 3 π 4 5π 6 π 6 π π 6 3π 4 3 π 4 π 6 π 3 π 3 π x 0 π 6 π 4 π 3 π π cos(x) 3 0 sin(x)

16 3 Rappels sur la dérivation 3. Tangente- variations La trajectoire d'un mobile M se déplaçant sur l'axe (Ox) est donnée par x = d(t), d(t) étant la distance parcourue à l'instant t. La vitesse moyenne de M entre les instants t 0 et t 0 + h est d(t 0 + h) d(t 0 ). h d(t La vitesse instantanée à l'instant t 0 est 0 + h) d(t 0 ) lim. h 0 h f(a + h) f(a) Dénition : Soit f une fonction dénie sur l'intervalle I et a I ; si tend h vers un réel L lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. L est alors appelé le nombre dérivé de f en a ; on le note f (a) = L. Si f admet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I et on dénit alors la fonction dérivée f qui à tout a I fait correspondre le nombre dérivé de f en a. Tangente Le nombre f (a) est le coecient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation : y = f (a)(x a) + f(a) f(a) f (a) > 0 f(a) f (a) = 0 f(a) f (a) < 0 f (a) f (a) a a a Sens de variations L'étude du signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation d'une fonction. Si pour tout x I, f (x) = 0 alors f est constante sur I. Si pour tout x I, f (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout x I, f (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I. 6

17 3. Formulaire de dérivation Les fonctions puissance Fonction constante x x x 3 x x x Dérivée 0 x 3x x x 3 x Toutes ces formules se réduisent à une seule : (x α ) = α x α et x = x. Par exemple, pour calculer la dérivée de x 3 dérivée est : 3 x 3 = 3x 4 = 3 x 4 Les fonctions classiques Fonction e x ln x sin x cos x tan x Dérivée e x x cos x sin x + tan x = cos x Opérations En se rappelant que x n = x n on remarque que x 3 = x 3 donc la u et v sont deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; a est une constante réelle. ( ) ( (u + v) = u + v (a u) = a u (u v) = u v + u v = u u ) u v uv = u u v v f(x) = (3x + )e x est de la forme u v avec u(x) = 3x + et v(x) = e x u (x) = 3 et v (x) = e x donc f (x) = 3e x + (3x + )e x f (x) = (3x + 4)e x Composition f(x) = x + 3x est de la forme u v avec u(x) = x + et v(x) = 3x u (x) = x et v (x) = 3 donc f (x) = x(3x ) (x + )3 (3x ) f (x) = 3x 4x 3 (3x ) (e u ) = u e u (ln u) = u u avec u > 0 (un ) = n u n u (sin(u)) = u cos(u) (cos(u)) = u sin(u) f(x) = ln(x x) sur ], + [ de la forme ln u avec u(x) = x x u (x) = x d'où : f (x) = x x + x f(x) = e x sur R de la forme e u avec u(x) = x u (x) = d'où : f (x) = e x f(x) = cos(3x ) sur R de la forme cos u avec u(x) = 3x u (x) = 3 d'où : f (x) = 3 sin(3x ) 7

18 3.3 Exercices corrigés Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f(x) = 4x 3x + ) f(x) = x 3 + x 3) f(x) = x 3 x 4 4) f(x) = x x 5) f(x) = x + x [Correction] 6) f(x) = x + 3 7) f(x) = 3 x 5x 8) f(x) = (x + 3)(3x 7) 9) f(x) = (5x 3 x)(x 9) 0) f(x) = (3x ) 5 ) f(x) = 5 x ) f(x) = x + 3x 3) f(x) = x 5x + 3 x 3 4) f(x) = x + 4 x + Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f(x) = x 8x 5 ) f(x) = x 4 3x + 3) f(x) = x + x x 3 4) f(x) = (x + ) (3x ) 5) f(x) = (x + ) 3 6) f(x) = (x ) 5 7) f(x) = x + x + 8) f(x) = x x [Correction] 9) f(x) = x + 3x 0) f(x) = e x + x + ) f(x) = (x + ) (e x + ) ) f(x) = e 3x + e x + 3) f(x) = ex e x + 4) f(x) = ln x + e x + x 5) f(x) = ln (x + ) 6) f(x) = x ln x x 7) f(x) = e x+ + ln x 8) f(x) = (ln x) 3 + x 9) f(x) = ln x ln x + 0) f(x) = sin x + cos x ) f(x) = x cos x ( ) f(x) = 3 sin x + π ) 4 ( 3) f(x) = tan 3x π ) 4) f(x) = e x cos x Exercice 3 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f(x) = 3x 3 4x ) f(x) = x 6 3x 3) f(x) = x x 4) f(x) = (x + ) (5 x) 5) f(x) = (x x) (x 3) 6) f(x) = (3x ) 5 7) f(x) = (x 3x) 4 8) f(x) = x 3x 4 [Correction] 9) f(x) = x x + 0) f(x) = x + x ) f(x) = e 3x ) f(x) = e 3x + e x + 3) f(x) = e x x 4) f(x) = 3e x 3x 5) f(x) = (x 3) e x 6) f(x) = (3x ) e x 7) f(x) = ex + e x 8) f(x) = ln(x ) 9) f(x) = ln (3x x) 0) f(x) = x ln x + x ) f(x) = ln(3x) + e x + 3x ) f(x) = (ln x) 3) f(x) = sin(3x) + cos(x) 4) f(x) = x sin x ( 5) f(x) = 3 cos x + π ) 4 8

19 Exercice 4 Soit la fonction f dénie sur R par f(x) = x + x 3. On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormé ( O; i, ) j. y ) Tracer sur le graphique les tangentes à C aux points d'abscisses 3, et 0. Puis lire graphiquement leurs coecients directeurs. ) Déterminer la fonction dérivée f de f. 3) Déterminer par calcul les équations des tangentes à C aux points d'abscisses 3, et 0. [Correction] j O i x Exercice 5 Soit la fonction f dénie sur R par f(x) = ax + bx + c. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( O; i, ) j. Déterminer a, b et c en sachant que : C passe par l'origine du repère. C passe par le point A(, 3) et a en ce point une tangente de coecient directeur. [Correction] Exercice 6 Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [, ] par : f(x) = x 3 + 3x. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O; i, ) j. ) Calculer la dérivée de f et étudier son signe. ) Dresser le tableau des variations de f. 3) On note D la droite d'équation y = 4x. (a) Déterminer les points d'intersection de D et C. (b) Étudier la position de C par rapport à D. (c) Existe t'il des points de C où la tangente est parallèle à D? [Correction] Exercice 7 Soit f la fonction dénie sur [0; 4] par : f(x) = x 3 6x + 9x On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormé ( O; i, ) j. (unité graphique cm) ) Déterminer la dérivée de f et étudier son signe. ) Dresser le tableau des variations de f. 3) Déterminer une équation de la tangente T à C au point de C d'abscisse. 4) Compléter le tableau suivant : x f(x) f (x) 9

20 5) Tracer C dans le repère ( O; i, ) j, après avoir tracer les points de C d'abscisses 0,,, 3 et 4 ainsi que les tangentes en ces points. [Correction] Exercice 8 Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [, ] par : f(x) = 4x x + On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O; i, j On prendra comme unité grahique : cm. ) Vérier que la dérivée de f est f (x) = 4 4x (x + ) ) Etudier le signe de f (x) et en déduire le tableau des variations de f. 3) Déterminer une équation de la tangente T à C au point O. 4) Etudier la position de C par rapport à T. 5) Tracer C et T. [Correction] ). Exercice Correction des exercices ) f (x) = 8x 3 (x n ) = nx n ) f (x) = 6x + x 3) f (x) = x + x 5 ( ) = n x n x n+ 4) f (x) = 3 x 5) f (x) = + x ( x) = x 6) f (x) = (x + 3) 7) f (x) = 3(x 5) (x 5x) ( ) = u u u 8) f (x) = (3x 7) + 3(x + 3) = x 5 (uv) = u v + uv 9) f (x) = (5x )(x 9) + (5x 3 x) = 0x 3 35x 4x + 8 0) f (x) = 5(3x ) 4 (u n ) = nu n u ) f(x) = 5 x = g(5 x) avec g(x) = x Donc f (x) = g (5 x) = 5 x = 5 x ) f (3x ) 3(x + ) 5 ( u ) u v uv (x) = = = (3x ) (3x ) v v 3) f (x) = (4x 5)(x 3) (x 5x + 3) = x x + (x 3) (x 3) 0

21 4) f (x) = x(x + ) x(x + 4) (x + ) = 6x (x + ) Exercice ) f (x) = 4x 8 ) f (x) = 4x 3 6x (x n ) = nx n 3) f (x) = x x x 4 ( x n ) = n x n+ 4) f (x) = x(3x ) + (x + )(3) = 9x 4x + 3 (uv) = u v + uv 5) f (x) = 6(x + ) 6) f (x) = 0x(x ) 4 (u n ) = nu n u 7) f (x) = (x + ) x(x + ) = x x + ( u ) u v uv = (x + ) (x + ) v v 8) f (x) = ( x) = x x 9) f(x) = { u : x x x + 3x = u v(x) avec v : x x + 3x f (x) = x + 3 (x + 3) = x + 3x x + 3x 0) f (x) = e x + (e x ) = e x ) f (x) = (e x + ) + (x + )(e x ) = xe x + 3e x + ) f (x) = 3e 3x 4e x (e u ) = u e u 3) f (x) = ex (e x + ) (e x )e x (e x + ) = e x (e x + ) u : x x v : x x + 3 (u v) = u v v 4) f (x) = x + ex + (ln x) = x 5) f (x) = x x + (ln u) = u u 6) f (x) = ln x + x x = ln x 7) f (x) = e x+ + x 8) f (x) = 6 (ln x) x + = 6 (ln x) x + 9) f x (x) = (ln x + ) (ln x ) x = (ln x + ) x(ln x + ) 0) f (x) = cos x sin x ) f (x) = cos x x sin x (sin x) = cos x et (cos x) = sin x ( ) f (x) = 6 cos x + π ) 4 ( ( + tan 3x π 4) f (x) = e x cos x e x sin x 3)f (x) = 3 [f(ax + b)] = af (ax + b) ))

22 Exercice 3 ) f (x) = 9x 4 ) f (x) = 6x 5 6x 3) f (x) = x + 4 x 3 4) f (x) = (5 x) + (x + ) ( ) = 4 x 5) f (x) = (x )(x 3) + (x x) = 6x 0x + 3 6) f (x) = 5(3x ) 4 3 = 5(3x ) 4 7) f (x) = 4(4x 3)(x 3x) 3 8) f (x) = (3x 4) (x ) 3 (3x 4) = 5 (3x 4) 9) f (x) = x(x + ) (x ) = x + x + 4 (x + ) (x + ) 0) f (x) = x + x ) f (x) = 3e 3x ) f (x) = 3e 3x 4e x 3) f (x) = (x )e x x 4) f (x) = 6e x 3 5) f (x) = e x + (x 3)e x = (x )e x 6) f (x) = 3e x + (3x )( e x ) = ( 6x + 7)e x 7) f (x) = ex (e x ) (e x + )e x (e x ) = 4ex (e x ) 8) f (x) = x 9) f (x) = 6x 3x x 0) f (x) = x ln x + x + = x ln x + x + x ) f (x) = 3 3x + ex + 3 = x + ex + 3 ) f (x) = ln x x = ln x x 3) f (x) = 3 cos(3x) sin(x) 4) f (x) = sin x + x cos x 5) f (x) = 3 ( sin ( x + π 4 )) ( = 6 sin x + π ) 4

23 Exercice 4 ) Graphiquement les coecients directeurs sont : ; 0 et ) Pour tout réel x : f (x) = x + 3) La tangente au point d'abscisse 3 a pour équation : y = f ( 3)(x + 3) + f( 3) f( 3) = 0 et f ( 3) = donc l'équation est : y = (x + 3) y La tangente au point d'abscisse a pour équation : y = f ( )(x + ) + f( ) f( ) = et f ( ) = 0 donc l'équation est : y = j O i x La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation : y = f (0)(x) + f(0) f(0) = 3 et f (0) = donc l'équation est : y = x 3 Exercice 5 C passe par l'origine donc f(0) = 0, d'où c = 0. Donc f(x) = ax + bx. C passe par A(, 3) donc f() = 3, c'est à dire a + b = 3 La tangente en A a pour coecient directeur donc f () =. f (x) = ax + b donc a + b =. Il faut donc résoudre { a + b = 3 a + b = ; On en tire a = et b = 5. Conclusion : f(x) = x 5x Exercice 6 ) Pour tout x de [, ], f(x) = x 3 + 3x donc f (x) = 3x + 3 f (x) > 0 quel que soit x réel donc f est strictement croissante. ) x f (x) + 4 f(x) 4 3) (a) Soit M (x, f(x)) un point de C. M appartient à D si et seulement si f(x) = 4x. f(x) = 4x x 3 +3x = 4x x 3 x = 0 x(x ) = 0 x(x )(x+) = 0 3

24 Il y a donc trois points d'intersections d'abscisses : 0, et. Les points d'intersection de C et D sont :A(, 4), B(, 4) et O(0, 0). (b) La position de C par rapport à D est donnée par le signe de f(x) 4x. f(x) 4x = x 3 x = x(x ), on en déduit le tableau : x 0 x 0 + x 0 0 f(x) 4x Conclusion : Sur l'intervalle ], 0[, f(x) 4x > 0 donc f(x) > 4x ce qui prouve que C est au dessus de D. Sur l'intervalle ]0, [, f(x) 4x < 0 donc f(x) < 4x ce qui prouve que C est en dessous de D. C et D se coupent en :A(, 4), B(, 4) et O(0, 0). (c) Soit T la tangente à C au point d'abscisse x. Le coecient directeur de D est 4 et le coecient directeur de T est f (x). T et D sont parallèles si et seulement si f (x) = 4. f (x) = 4 3x + 3 = 4 x = 3 x = ou x =. 3 3 Les tangentes aux points de C d'abscisses et sont parallèles à D D C 3 j O 3 i 4 4

25 Exercice 7 Soit f la fonction dénie sur [0; 4] par : f(x) = x 3 6x + 9x ) Pour tout x de [0; 4] : f (x) = 3x x + 9 C'est un polynôme du second degré ; = 36. > 0 donc il y a deux racines réelles x = + 6 = 3 et x = 6 = 6 6 Le coecient de x est 3 qui est positif donc f (x) est positive à l'extérieur des racines. On en déduis le tableau de signe de f x (x) : f (x) ) Tableau des variations de f : x f (x) f(x) 3) La tangente T à C au point de C d'abscisse a pour équation : y = f ()(x ) + f() f() = et f () = 3 donc T a pour équation : y = 3(x ) + T a pour équation : y = 3x + 7 4) x f(x) 3 3 f (x) ) y 3 T C j O i 3 4 x 5

26 Exercice 8 ) f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 4x et v(x) = x + donc f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) [v(x)] f (x) = 4(x + ) (4x) (x) (x + ) = 4x + 4 8x (x + ) On a bien : f (x) = 4 4x (x + ) ) Pour tout x de [, ], f (x) est du signe de 4 4x car (x + ) > x = 4( x ) = 4( x)( + x) ; c'est un polynôme du second degré s'annulant en et en, le coecient de x est négatif, donc 4 4x est positif entre et et négatif ailleurs. x f (x) Tableau des variations de f : f(x) 8 5 3) La tangente T à C au point d'abscisse 0 a pour équation : y = f (0)(x 0) + f(0) f(0) = 0 et f (0) = 4 donc : La tangente T a pour équation y = 4x. 4) La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) 4x. f(x) 4x = 4x x + 4x = 4x 4x(x + ) = 4x3 x + x + Donc f(x) 4x est du signe de 4x 3. ˆ Si x < 0 alors 4x 3 > 0, d'où f(x) 4x > 0 c'est à dire f(x) > 4x. Donc sur [, 0[ C est au dessus de T. ˆ Si x > 0 alors 4x 3 < 0, d'où f(x) 4x < 0 c'est à dire f(x) < 4x. Donc sur [0, [ C est au dessous de T. ˆ C et T se coupent au point O. T 8 5 j O i 6

27 4 Généralités sur les fonctions 4. Fonctions de référence 4.. Les fonctions en escalier Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. 0 si x < 0 Exemple : f(x) = si 0 x < 3 si x Les fonctions anes Une fonction ane est une fonction dénie sur R par f(x) = ax + b ; où a et b sont des constantes réelles. a est le coecient directeur et b est l'ordonnée à l'origine. a > 0 a < 0 a b b a O O b a x + + f(x) b a x + + f(x) Remarques : Si a = 0 alors f(x) = b ; f est dite constante. Si b = 0 alors f(x) = ax ; f est dite linéaire. La droite représentative passe alors par l'origine du repère. Exercice Représenter les fonctions suivantes : f(x) = x 3 ; g(x) = 3 x + ; h(x) = 4 3 x ; l(x) = 4 5 x + 3 7

28 4..3 La fonction carré C'est la fonction f dénie sur R par f(x) = x. La courbe est une parabole x f(x) 0 O Pour tout réel x, f( x) = f(x), on dit alors que f est une fonction paire. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées La fonction inverse C'est la fonction f dénie sur R par f(x) = x. La courbe est une hyperbole x f(x) 0 O Pour tout réel x 0, f( x) = f(x), on dit alors que f est une fonction impaire. Dans un repère orthogonal, la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère La fonction racine carrée C'est la fonction dénie sur [0, + [ par f(x) = x. Remarque : y = x x = y et y 0. Donc la courbe est une demi-parabole dirigée selon l'axe des abscisses. O 8

29 4. Notions de limites 4.. Exemples : Soit f la fonction dénie sur R par :f(x) = x. a) Regardons ce qui se passe quand x se rapproche de 0. x 0, 0, 0 0, f(x) Plus x est proche de 0 plus f(x) est grand et on peut ainsi rendre f(x) aussi grand que l'on veut. Le phénomène est le même que x soit positif ou négatif. On dit que la limite de f en 0 est +. On écrit : lim x 0 x = + b) Regardons ce qui se passe quand x tend vers +. f(x) x 0, 0 0, Plus x est grand plus f(x) se rapproche de 0 et on peut rendre ainsi f(x) aussi proche de 0 que l'on veut. On dit que la limite de f en + est 0 et on écrit Remarque : Si f(x) =,quand x tend vers 0, il faut x faire deux cas selon que x > 0 ou x < 0. Quand x tend vers 0 en restant positif tend vers +. x On écrit : lim x 0 + x = + Quand x tend vers 0 en restant négatif tend vers. x On écrit : lim x 0 x = 4.. Les limites à connaître lim x + x = 0 lim x + x = + lim x x3 = lim x 0 x = lim x x = + lim x + lim x 0 x = 0 x = + lim x = + x + lim x lim x + x = 0 x = 0 lim x + x3 = + lim x 0 + x = + lim x x = 0 lim x ex = 0 lim x + ex = + lim ln x = lim x 0 + ln x = + x + 9

30 4..3 Opérations sur les limites a est soit un nombre réel, soit +, soit. Somme Si f a pour limite en a l l l + + Si g a pour limite en a l + + Alors f + g a pour limite en a l + l + + FI FI : forme indéterminée, il n'y a pas de cas général, il faut étudier au cas par cas. Exemples de formes indéterminées : Si f(x) = x et g(x) = x + alors, en +, f(x) tend vers + et g(x) vers. f(x) + g(x) = a pour limite en +. Si f(x) = x et g(x) = x + x alors, en +, f(x) tend vers + et g(x) vers. f(x) + g(x) = x a pour limite + en +. Produit Exemples de formes indéterminées : Si f a pour limite en a l l 0 0 Si g a pour limite en a l Alors f g a pour limite en a l l FI ^ ^ Règle des signes Si f(x) = x et g(x) = alors, en +, f(x) tend vers + et g(x) tend vers 0. x f(x)g(x) = x a pour limite + en +. Si f(x) = x et g(x) = alors, en +, f(x) tend vers + et g(x) tend vers 0. x3 f(x)g(x) = x Quotient a pour limite 0 en +. Si f a pour limite en a l l l 0 0 Si g a pour limite en a l Alors f g a pour limite en a l l 0 FI FI ^ ^ Règle des signes 4..4 Limites de polynômes et de fonctions rationnelles Polynômes Soit a un réel et f une fonction polynôme. lim f(x) = f(a) x a 30

31 Exemple : Calculons la limite en de f(x) = x 3 x +. C'est une fonction polynôme donc : lim x f(x) = 3 + = 7 En un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré. Exemple : Calculons les limites en + et en de f(x) = x 3 x +. lim f(x) = lim x + x + x3 = + lim f(x) = lim x x x3 = Exercice Calculer les limites en, + et des fonctions suivantes : f(x) = x 4 x + ; g(x) = x 3 + x x + 3 ; h(x) = 4x + x Fonctions rationnelles Une fonction rationnelle est une fonction de la forme f = P Q où P et Q sont des polynômes. En une fonction rationnelle a même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemple : Calculons la limite en + de f(x) = 4x + x x + lim f(x) = lim 4x x + x + x = lim 4x = + x + Soit f une fonction rationnelle f = P Q. Si Q(a) 0 alors lim x a f(x) = f(a) Exemple : Calculons la limite en de f(x) = 4x + x x + lim f(x) = 4 + = 9 x + 3 Le problème est donc quand f n'est pas dénie en a, c'est à dire quand Q(a) = 0. Exemple : Calculons la limite en de f(x) = 4x + x. x + lim x 4x + x = x + x donc Conclusion : lim f(x) = + et lim f(x) = x + x lim x + = 0+ et lim x + = 0 x + x 3

32 Exercice 3 Calculer les limites suivantes : lim x + lim x lim x + x x x x x + 3x x + lim x 3x x 3 x lim x + lim x x 3 + x 3 x x 3 + lim x x x + x 3 lim x + x 6x + 8 x 3 lim x 4 x 6x Asymptotes ) Horizontale O y = b C Si lim f(x) = b alors la droite d'équation x + y = b est asymptote à C en +. On dénit de même une asymptote horizontale en. Par exemple, la courbe de la fonction inverse, f(x) =, admet une asymptote horizontale x en + et en d'équation y = 0. ) Verticale x = a C Si lim x a f(x) = + alors la droite d'équation x = a est asymptote à C. O On dénit de même une asymptote verticale avec lim x a f(x) = Par exemple, la courbe de la fonction inverse, f(x) =, admet une asymptote verticale x d'équation y = 0. 3) Oblique C O y = ax + b Si lim [f(x) (ax + b)] = 0 alors la droite x + d'équation y = ax + b est asymptote à C. On dénit de même une asymptote oblique en. 4) Généralisation Si lim [f(x) g(x)] = 0 alors la courbe de f est asymptote à celle de g en +. x + Exercice 4 Soit f la fonction dénie sur ]; + [ par f(x) = 3x + ; on note C sa courbe x représentative dans un repère orthonormé ( O; i, ) j. Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de dénition et en déduire des asymptotes à C. 3

33 Exercice 5 Soit f la fonction dénie sur ]; + [ par f(x) = x + x + ; on note C sa x courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i, ) j.. Étudier les variations de f.. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dénition. 3. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de ]; + [ : f(x) = ax + b + c x 4. Montrer que la droite D d'équation y = ax + b est asymptote à C en Étudier la position de C par rapport à D. 6. Tracer C et D. 33

34 5 Logarithme népérien et exponentielle 5. la fonction ln 5.. Dénition La fonction x x est dérivable sur ]0; + [, elle admet donc des primitives sur cet intervalle. Dénition. La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive de x x qui prend la valeur 0 pour x =. sur ]0, + [ 5.. Propriétés immédiates De la dénition de la fonction ln on tire : ln est dénie sur ]0; + [ ln = 0 ln est dérivable sur ]0; + [ et ln x = x 5..3 Variations de ln La fonction ln est dérivable sur ]0; + [ et sa dérivée est x x. Sur ]0; + [, > 0 donc la fonction ln est strictement croissante, on en tire : x Pour tous réels x > 0 et y > 0 on a : Pour tous réels x > 0 : ln x = ln y x = y et comme ln = 0 on a : ln x > 0 x > ln x > ln y x > y ln x < 0 x ]0; [ 5..4 Propriétés du logarithme Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b Exemple : ln 6 = ln( 3) = ln + ln 3 Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln Exemples : ln ( ) ( ) 7 = ln et ln = ln 7 ln 5 5 ( ) ( a ) = ln a et ln = ln a ln b a b 34

35 Pour tous réels a > 0 et tout entier relatif n : ln (a n ) = n ln a. et ln( a) = ln a Exemples : ln 64 = ln ( 6 ) = 6 ln ; ( ) ln = ln (3 4 ) = 4 ln 3 ; ln( ) = 8 ln 5..5 Étude de la fonction ln Limites On admet les résultats suivants : lim x + ln x = + et lim ln x = x 0 + Variations La fonction ln est dérivable sur ]0; + [ et ln x = x > 0 donc : La fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [ x 0 + ln x = x ln x Courbe y j y = ln x O i e x 5..7 le nombre e La fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [ ; de plus lim ln x = et lim ln x = x 0 + x + +. L'équation ln x = admet donc une unique solution, c'est le nombre e ; cette lettre a été choisie en hommage au mathématicien suisse Léonhard Euler ( ). e, 78 ln x = x = e Pour tout nombre réel x : ln(e x ) = x 5..8 Des limites à connaître Pour tout entier naturel n non nul : lim x 0 xn ln x = 0 et ln x lim x + x = 0 n Pour n = on obtient : 35 ln x lim x ln x = 0 et lim x 0 x + x = 0

36 5..9 Fonctions du type x ln(u(x)) Limites u est une fonction strictement positive sur l'intervalle I ; a et c étant des réels ou + ou ; b étant un réel ou + Si lim x a u(x) = b et lim X b ln(x) = c alors lim x a ln(u(x)) = c Exemple : Soit f la fonction dénie sur ], + [ par f(x) = ln(x ). On vérie que sur l'intervalle ], + [ : x > 0 lim x = 0 + et lim ln(x) = donc lim f(x) = x + X 0 + x + Dérivée u étant une fonction dérivable et strictement positive sur l'intervalle I : La fonction f : x ln(u(x)) est dérivable sur I et f (x) = u (x) u(x) Exemple : Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = ln(x + ). Pour tout x de R, f(x) = ln(u(x)) avec u(x) = x + > 0 u est dérivable sur R et u (x) = x Donc pour tout x de R, f (x) = u (x) u(x) = x x + 5. La fonction exponentielle 5.. Dénition Dénition. La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui à tout réel x associe l'unique réel y tel que x = ln y. exp : R ]0, + [ x y = exp(x) tel que x = ln y Exemples : ln e = donc exp() = e. ln = 0 donc exp(0) =. Soit n un entier naturel, ln y = n ln y = n ln e ln y = ln(e n ) y = e n Notation : Pour tout réel x, on note exp(x) = e x 36

37 5.. Propriétés Conséquences de la dénition Pour tout x R et y ]0, + [, y = e x x = ln y On en tire : Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout réel x strictement positif, e ln x = x. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. e 0 = et e = e Relations fonctionnelles Pour tous réels x et y : e x e y = e x+y (e x ) y = e xy e x = e x e x e = y ex y 5..3 Étude de la fonction exponentielle Par dénition la fonction exponentielle est dénie sur R. Limites On sait que lim ln x = et lim ln x = + x 0 x + On en déduit : Dérivée Variations lim x ex = 0 et lim x + ex = + La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée : (e x ) = e x Pour tout réel x, (e x ) = e x > 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante. D'où le tableau de variations : x + f (x) = e x + + f(x) = e x 0 37

38 Conséquence : La fonction exponentielle étant strictement positive et strictement croissante on a : ˆ Si a > 0, alors ˆ Si a < 0, alors e x = a x = ln a e x > a x > ln a e x < a x < ln a e x = a n'a pas de solution réelle. e x > a est vrai pour tout réel x. e x < a n'a pas de solution réelle. Courbe y = e x x = ln y donc, dans un repère orthonormal ( O; i, ) j, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x. La courbe de la fonction exp admet l'axe des abscisses comme asymptote car lim x ex = 0. y = x e y = exp x j y = ln x O i e Comparaison en + des fonctions exponentielle et puissance e x lim x + x = + e n N, x lim x + x = + n Exemple : Calculons la( limite en ) + de la fonction f dénie sur R par f(x) = x e x. On écrit que f(x) = x ex e x lim x + lim x + x = + donc lim x ex x + f(x) = 5..4 Fonctions du type e u Limites = et lim x x + x = + d'où par produit : Si lim u(x) x a = b et lim e x x b = c alors lim x a eu(x) = c 38

39 Exemple : Calculons la limite en + de la fonction f dénie sur R par f(x) = e x+. f(x) = e u(x) avec u(x) = x +. lim u(x) = lim x = et lim x + x + x ex = 0 donc lim f(x) = 0 x + Dérivation Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u Exemples Soit f dénie sur R par f(x) = e x, f est dérivable sur R et f (x) = xe x Soit g dénie sur R par g(x) = e x, g est dérivable sur R et g (x) = e x 5.3 Exercices corrigés Exercice Résoudre dans R : a) ln x = b) ln x 3 c) ln x d) ln(x + 3) = 0 ln(x + 3) Exercice Exprimer en fonction de ln et ln 3 : a) ln b) ln 8 c) ln Exercice 3 Simplier : a) ln e b) ln c) ln ( ) 8 43 ( ) e Exercice 4 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a)f(x) = 3 ln x + x b) f(x) = ln(x + ) c) f(x) = ln( x) d) f(x) = ln(x + 3x + 4) e) f(x) = x ln x f) f(x) = ln x g) f(x) = (ln x) x Exercice 5 Calculer les limites aux bornes de l'intervalle I des fonctions suivantes : a) f(x) = 3 ln x ; I =]0; + b) f(x) = ln( x + ) ; I = c) f(x) = 3 ; ln x I =]; + [ ( x + 3 d) f(x) = ln x e) f(x) = ln x ; x I =]0; + [ Exercice 6 Simplier : ] ; [ ) ; I =]0; + [ a) e 3 ln x b) ln e x c) e ln x d) e ln x ln(3e x ) Exercice 7 Résoudre dans R : a) e x = 3 b) e x = e 5 c) e 3x = d) e x = e) 3e x > 0 f) e x = Exercice 8 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) f(x) = 3e x + x b) f(x) = ln(e x + ) c) f(x) = e 3x d) f(x) = xe x e) f(x) = (x + x)e x f) f(x) = (x + )e x Exercice 9 Calculer les limites aux bornes de l'intervalle I des fonctions suivantes : a) f(x) = e x 3 ; I = R b) f(c) = e x + x ; I = R c) f(x) = (x + )e x ; I = R 39

40 Correction des exercices Exercice ln x = a x = e a ln x a x e a ln x a 0 < x e a a) ln x = x = e b) ln x 3 x e 3 c) ln x ln x 0 < x e d) ln(x + 3) = 0 x + 3 = x = e) ln(x+3) x + 3 e x e 3 Exercice ln(ab) = ln a + ln b ln a b = ln a ln b ln an = n ln a ( ) a) ln = ln(3 ) b) ln 8 = ln( 3 ) 8 c) ln = ln 8 = ln 3 + ln = ln + ln 3 43 ln 43 = ln 7 ln 3 5 = 7 ln 5 ln 3 Exercice 3 ln e = ln a = ln a a) ln e = ln e = b) ln = ( ) ln c) ln = ln ln e = e Exercice 4 (ln x) = x (ln u) = u u a)f(x) = 3 ln x + x donc f (x) = 3 x + b) f(x) = ln(x + ) = ln u avec u = x + f (x) = u u = x + c) f(x) = ln( x) = ln u avec u = x f (x) = u u = x d) f(x) = ln(x + 3x + 4) = ln u avec u = x + 3x + 4 f (x) = u u = x + 3 x + 3x + 4 Exercice 5 lim ln x = x 0 a) f(x) = 3 ln x ; I =]0; + [ lim f(x) = + et lim f(x) = x 0 x + b) f(x) = ln( x + ) ; I = ˆ lim x + = + et lim x Donc f(x) = + ˆ lim x lim x ] ; [ ln X = + X + x + = 0 et lim X 0 ln X = Donc lim f(x) = x ( u ) (uv) = u v + uv u v uv = (u n ) = nu n u v v e) f(x) = x ln x = uv avec u = x et v = ln x f (x) = u v + uv = ln x + x x = ln x + f) f(x) = ln x x lim ln x = + lim x + 40 = u v avec u = ln x et v = x x x ln x x = f (x) = u v uv = v ln x x g) f(x) = (ln x) = u n avec u = ln x et n = f (x) = nu n u = ln x x = ln x x x + ln x = 0 (n > 0) xn c) f(x) = 3 ln x ; I =]; + [ ˆlim f(x) = 0 car lim ln x = x 0 x 0 f(x) = 0 car lim ( x + 3 d) f(x) = ln x ˆ lim x + x + 3 ˆ lim x 0 + x Donc lim f(x) = + x 0 + ln x = + x + ) ; I =]0; + [ = + et lim ln X = + X +

41 x + 3 ˆ lim = donc lim f(x) = ln = 0 x + x x + e) f(x) = ln x ; I =]0; + [ x ˆ lim f(x) = 0 x + ˆ lim = + et lim ln x = x x 0 Donc lim f(x) = x 0 + x 0 + Exercice 6 e ln x = x (x > 0) ln(e x ) = x a) e 3 ln x = e ln x3 = x 3 b) ln e x = ln(e x ) = x ln x c) e = e ln(x ) = x = x d) e ln x = e ln x = x e) ln(3e x ) = ln 3 + ln(e x ) = ln 3 + x Exercice 7 e x = a x = ln a e x > a x > ln a a) e x = 3 x = ln 3 b) e x = e 5 x = 5 x = 5 c) e 3x = 3x = ln x = ln 3 d) e x = x = ln = 0 e) 3e x > 0 e x > 3 x > ln 3 x > ln 3 f) e x = N'a pas de solution car pour tout réel x, e x > 0 Exercice 8 (e x ) = e x (e u ) = u e u a) f(x) = 3e x + x f (x) = 3e x + b) f(x) = ln(e x + ) = ln u avec u = e x + f (x) = u u = ex e x + c) f(x) = e 3x = e u avec u = 3x f (x) = u e u = 3e 3x d) f(x) = xe x f(x) = uv avec u = x et v = e x f (x) = u v + uv = e x + xe x f (x) = ( + x)e x Exercice 9 lim x + ex = + a) f(x) = e x 3 ; I = R ˆ lim f(x) = + car lim x + x + ex = + ˆ lim f(x) = 3 car lim x x ex = 0 b) f(x) = e x + x ; I = R ˆ lim x + e x = 0 et lim x + x = + Donc f(x) = + lim x + ˆ lim x e x = + et lim x x = + Donc f(x) = + lim x e) f(x) = (x + x)e x f(x) = uv avec u = x + x et v = e x f (x) = u v + uv = (4x + )e x + (x + x)e x f (x) = (x + 5x + )e x f) f(x) = (x + )e x f(x) = uv avec u = x + et v = e x f (x) = u v + uv = e x + (x + )(e x ) f (x) = (4x + 4)e x lim x ex = 0 lim x xn e x = 0 c) f(x) = (x + )e x ; I = R ˆ lim x e x = + et lim (x + ) = x Donc f(x) = lim x + ˆf(x) = xe x + e x lim x + xe x = 0 et lim x + e x = 0 Donc lim f(x) = 0 x + 4

42 6 Primitives 6. Dénition Soit la fonction, dénie sur R, F : x x. Sa dérivée est la fonction f : x x. On dit que F est une primitive de f sur R. Dénition. Soit une fonction f dénie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si F (x) = f(x). Remarque : Soit f dénie sur R par : f(x) = x +. Les fonctions x x + x, x x + x + et x x + x 3 sont des primitives de f sur R. Théorème. Si une fonction f dénie sur un intervalle I admet une primitive F alors f admet une innité de primitives qui sont toutes de la forme G : x F (x) + k, k étant un réel. 6. Primitives usuelles Fonction : f(x) = Primitive : F (x) = Sur l'intervalle : a, a R ax + k R x x n ;(n N) x x ; (n N {0; }) xn x x n+ n + + k ln x R R ]0, + [ ], 0[ ou ]0, + [ x + k ], 0[ ou ]0, + [ (n ) xn x x + k ]0, + [ e x e x R sin x cos x + k R cos x sin x + k R + x Arctan x R 4

43 6.3 Propriétés 6.3. Linéarité Soient F et G des primitives des fonctions f et g sur l'intervalle I. Soit a un nombre réel. a F est une primitive de a f sur I. F + G est une primitive de f + g sur I. Exercice Calculer les primitives de f sur l'intervalle I : ) f(x) = 4x 3 x + 6x 0 ; I = R ) f(x) = x 4 3x + x 3 ; I = R 3) f(x) = x x 3 4) f(x) = 3x ; I =]0; + [ x 5) f(x) = + x + ; I =]0; + [ 3 x4 6) f(x) = x + x + 3 ; I =]0; + [ x 7) f(x) = 3e x + 5 ; I =]0; + [ x 8) f(x) = x + + cos x ; I = R 9) f(x) = cos x + 3 sin x ; I = R 0) f(x) = x + ; I =]0; + [ x Exercice Déterminer la primitive F de f : x 3x + qui vérie F () = 0. Théorème. Soit une fonction f admettant des primitives sur l'intervalle I. Soit x 0 I et y 0 un réel quelconque. Il existe une unique primitive F de f telle que F (x 0 ) = y Conséquences de la dérivation des fonctions composées Théorème 3. La fonction f dénie sur un intervalle I par f(x) = g (u (x)) u (x), où g est une fonction dérivable sur u(i), a pour primitives les fonctions F dénies sur I par : F (x) = G (u (x)) + k, avec : G primitive de g et k constante réelle. On en déduit les formules suivantes : a et b étant des constantes réelles et u une fonction admettant des primitives sur l'intervalle I. 43

44 Fonction Primitive Conditions u (ax + b) u u n u u n N u(ax + b) a u n+ n + ln u (ax + b) I u(x) > 0 sur I u u n N {} u(x) 0 pour tout x de I n (n )u n u e u e u u + u Arctan u Exercice 3 Calculer les primitives de f sur l'intervalle I : ) f(x) = e x ; I = R ) f(x) = e x ; I = R 3) f(x) = x + 4e 3x ; I = R 4) f(x) = e 3x+ ; I = R 5) f(x) = xe x + ; I = R 6) f(x) = (3x ) ; I = R e 7) x f(x) = (e x + ) ; I = R 8) f(x) = (x + 7) 4 ; I = R 9) f(x) = ; I =]; + [ x ] 5 0) f(x) = (6x ) ; I = ) f(x) = x ; I = ) f(x) = x (x + 4) ; I = R [ 6 ; + [ ] ; + 3) f(x) = ; I =]; + [ x 4) f(x) = ln x x ; I =]0; + [ 5) f(x) = x (x 3) 3 ; I = R 6) f(x) = x x + ; I = R ( 7) f(x) = sin 3x π ) ; I = R 6 8) f(x) = ex e x + ; I = R ( 9) f(x) = cos 4x + π ) ; I = R 3 0) f(x) = x + ; I = R ) f(x) = cos x sin x ; I = R ) f(x) = (x + ) + 4 ; I = R 6.4 Décomposition des fonctions rationnelles Exercice 4 Soit la fonction f dénie sur ]3; + [ par f(x) = ) Vérier que x x 6 = (x + )(x 3). ) Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a 3) En déduire une primitive de f. 3x 4 x x 6. x + + b x 3. 44

45 Exercice 5 Soit la fonction f dénie sur ]; + [ par f(x) = x + x x. ) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = a + b x + + c x. ) En déduire une primitive de f. Exercice 6 Soit la fonction f dénie sur ]; + [ par f(x) = x + x +. x ) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = ax + b + c x. ) En déduire une primitive de f. 45

46 Deuxième partie Le cours de première année 46

47 7 Probabilités Simples De tous temps les mathématiciens se sont intéressés aux probabilités : étude des jeux de hasard, notions de risque dans les contrats. Mais on peut considérer que les probabilités naissent vraiment vers 654 avec les échanges de correspondance entre Fermat et Pascal. Les probabilités sont utilisées dans des domaines très variés, physique, biologie, imagerie médicale, assurance, gestion de stock, ltrage anti-spam, indexation de sites internet (google) Vocabulaire On lance un dé à six faces. ˆLes résultats possibles sont les événements élémentaires, qui sont donc : {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}. ˆL'ensemble des résultats possibles est l'univers : Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. ˆUn événement est une réunion d'événements élémentaires. L'événement : Obtenir un résultat pair est : {, 4, 6}. ˆL'événement contraire de l'événement A se note A. Si Ω = {,, 3, 4, 5, 6} et A = {, 4, 6} alors A = {, 3, 5} Deux événements contraires n'ont pas d'éléments commun et forment à eux deux la totalité des résultats possibles. ˆLa réunion de A et B est A B, c'est l'événement composé des événements élémentaires appartenant à A ou à B. Si Ω = {,, 3, 4, 5, 6}, A = {,, 3} et B = {, 4, 6} alors A B = {,, 3, 4, 6}. ˆL'intersection de A et B est A B, c'est l'événement composé des événements élémentaires appartenant à A et à B. Si Ω = {,, 3, 4, 5, 6}, A = {,, 3} et B = {, 4, 6} alors A B = {}. A A A Ω A B A B A B B ˆDeux événements sont disjoints ou incompatibles si leur intersection est vide, c'est à dire qu'ils n'ont aucun événement élémentaire en commun. A et B sont disjoints si et seulement si A B =. 47

48 7. Probabilité Dénition. Soit un univers ni Ω. On note P(Ω) l'ensemble des parties de Ω. Une probabilité sur Ω est une application P de P(Ω) dans [0; ] telle que : ˆ P (Ω) = ˆ Si A et B sont deux événements incompatibles (A B = ) alors. P (A B) = P (A) + P (B) Remarque : Multiplié par 00, P (A) donne le pourcentage de chance d'obtenir A. 7.. Propriétés Quel que soit l'événement A : 0 P (A) Quel que soit l'événement A : P (A) = P (A) Ω est l'événement certain : P (Ω) = est l'événement impossible : P ( ) = 0 Quels que soient les événements A et B : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A. Si A = {a, b, c} avec P (a) = 0, ; P (b) = 0, et P (c) = 0, 4 alors P (A) = 0, +0, +0, 4 = 0, Équiprobabilité Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité. Exemples : Pile ou face, le loto... Dans un cas d'équiprobabilité, où il y a n événements élémentaires, la probabilité de chacun est n. La probabilité d'un événement A est : P (A) = nombre d'éléments de A nombre d'éléments de Ω = nombre de cas favorables nombre de cas total 7..3 Exercices Exercice On lance deux dés équilibrés et on considère la somme des deux chires obtenus. Donner l'ensemble des résultats possibles et la probabilité de chacun. Exercice On lance un dé pipé numéroté de à 6. La probabilités de chaque face est proportionnelle à son numéro. Déterminer la probabilité de chaque numéro. Exercice 3 On donne deux événements A et B tels que P (A) = 0, 7 et P (B) = 0, 8. Calculer P (A B) dans chacun des cas suivants : 48

49 . P (A B) = 0, 0.. A et B sont incompatibles. Exercice 4 Dans un atelier, deux machines M et M produisent des pièces de même type. La machine M fournit les 4 5 de la production et la machine M en fournit 5. Parmi ces pièces certaines sont défectueuses, c'est le cas pour 5 % des pièces produites par M et pour 4 % des pièces produites par M.. Compléter le tableau suivant : Nombre de pièces Nombre de pièces Total produites par M produites par M Nombre de pièces défectueuses Nombre de pièces non défectueuses Total 000. Un jour donné, on tire au hasard une pièce parmi la production des deux machines. On considère les événements suivants : A : La pièce est produite par M ; B : La pièce est produite par M ; C : La pièce est défectueuse. Déterminer les probabilités suivantes : P (A), P (B), P (C), P (C), P (A C), P (A C). Exercice 5 Une usine produit chaque jour 000 pièces du même modèle. Chacune des pièces peut présenter un défaut d'épaisseur noté e, un défaut de longueur noté l. 6 % des pièces présentent le défaut e ; 5 % présentent le défaut l ; et parmi les pièces présentant le défaut e, 5 % ont aussi le défaut l. On tire au hasard une pièce dans la production journalière. Calculer la probabilité des événements suivants : A : La pièce présente les deux défauts. B : La pièce présente uniquement le défaut l. C : La pièce présente uniquement le défaut e. D : La pièce présente au moins un défaut. E : La pièce présente un défaut et un seul. 7.3 Probabilités conditionnelles 7.3. Dénition On s'intéresse à la réalisation d'un événement B, tout en sachant qu'un événement A est réalisé. Si A et B sont incompatibles alors B ne se réalisera pas. Si A B, il est possible que B se réalise mais l'univers n'est plus Ω tout entier, il se restreint à A. On recherche donc la probabilité d'avoir A B dans l'univers A. 49

50 Dénition. A et B sont deux événements avec P (A) 0. On appelle probabilité de B sachant A le réel : Ω A B P (B/A) = P A (B) = P (A B) P (A) P (B/A) est la probabilité d'obtenir B sachant que A est réalisé. Exemple : On jette un dé. A = Le résultat est pair ; A = {, 4, 6}. B = Le résultat est inférieur ou égal à 4 ; B = {,, 3, 4, }. La probabilité de B sachant A est la probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à 4 sachant qu'il est pair. P (A) = 3 6 ; et A B = {, 4} donc P (A B) = P (A B) donc P (B/A) = = 6 P (A) Propriété Soient deux événements A et B tels que P (A) 0 et P (B) 0. P (A B) = P (B/A)P (A) = P (A/B)P (B) Événements indépendants B est indépendants de A si la connaissance de A ne change pas les chances de réalisation de B ; c'est à dire si P (B/A) = P (B). P (A B) On a alors P (B) = P (B/A) = d'où on tire P (A B) = P (A)P (B). P (A) Les événements A et B sont indépendants si et seulement si. Dénition 3. P (A B) = P (A)P (B) On a alors P (B/A) = P (B) et P (A/B) = P (A). Attention : il ne faut pas confondre indépendants et incompatibles. Exemple : On tire une carte dans un jeu de 3 cartes. A = la carte est un c ur. ; B = La carte est un as. ; C = La carte est rouge. On a : P (A) = 8 3 = 4 ; P (B) = 4 3 = 8 et P (C) =. ˆP (A B) = P (la carte est l'as de c ur) = 3 Or P (A)P (B) = 4 8 = 3 indépendants. donc P (A B) = P (A)P (B), ce qui prouve que A et B sont ˆP (A C) = P (la carte est un c ur) = 4 50

51 Or P (A)P (C) = 4 = donc P (A C) P (A)P (C), donc A et C ne sont pas indépendants Exercices Exercice 6 On dispose de pièces provenant de deux séries de fabrication : Série A : 000 pièces ; rebut : % Série B : 800 pièces ; rebut 3 %. On choisit, au hasard, une des 800 pièces. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit défectueuse?. On choisit, au hasard une des 800 pièces : elle est défectueuse. Quelle est la probabilité pour qu'elle provienne de la série A? Exercice 7 Dans une production, 4 % des pièces étant défectueuses, on décide de les contrôler à l'aide d'une machine. Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 0,98. Si la pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de 0,99.. Calculer la probabilité de : ˆ A : La pièce est défectueuse et elle est acceptée. ˆ B : La pièce est bonne et elle est refusée.. Calculer P (A B). Interpréter ce résultat. 3. Calculer la probabilité que la pièce soit bonne sachant qu'elle a été refusée. Exercice 8 Une société de produits pharmaceutiques fabrique en très grande quantité un type de comprimé. Un comprimé est conforme si sa masse, en grammes, appartient à l'intervalle [, ;, 3]. La probabilité qu'un comprimé soit conforme est de 0,98. On choisit un comprimé au hasard. On considère les événements : A : Le comprimé est conforme. B : Le comprimé est refusé. On eectue un contrôle tel que : Un comprimé conforme est accepté avec une probabilité de 0,98. Un comprimé non conforme est refusé avec une probabilité de 0,99. Déterminer : P (B/A) ; P (B A) ; P (A B) ; P (B) ; P (A/B). Exercice 9 Soient deux urnes contenant chacune 5 boules numérotées :,, 3, 4 et 5. On tire au hasard une boule de chaque urne. Calculer la probabilité de : A : Le numéro 5 sort dans le tirage. B : Le plus grand numéro tiré est 4. C : Les deux numéros tirés sont inférieurs ou égaux à 3. Exercice 0 On s'intéresse aux allergies déclenchées par deux médicaments A et B. On a observé que 5 % des individus sont allergiques à A, et 40 % sont allergiques à B. On suppose que les allergies à A et à B sont indépendantes. Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard soit : a) Allergique à A? b) Allergique à B? c) Allergique à A et à B? d) Allergique à A ou à B? 5

52 7.4 Permutations - Combinaisons 7.4. Permutations Exemple Soit un ensemble à 3 éléments E = {a, b, c}. Les éléments de E peuvent être rangés de 6 façons diérentes : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) ; ce sont les permutations de E. Théorème. Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n! = 3 n n! se lit factorielle n.! = ;! = ; 3! = 6 ; 4! = 4 Par convention : 0! = Par exemple, le nombre de façons de ranger 5 personnes est de 5! = Combinaisons Soit E un ensemble à n éléments. Une combinaison de p éléments de E (p n) est une liste non ordonnée de p éléments distincts de E. Exemple : E = {a, b, c, d}. Combinaison à 0 élément : Combinaisons à élément : {a} ; {b} ; {c} ; {d}. Combinaisons à éléments : {a, b} ; {a, c} ; {a, d} ; {b, c} ; {b, d} ; {c, d}. Combinaisons à 3 éléments : {a, b, c} ; {a, b, d} ; {a, c, d} ;{b, c, d}. Combinaison à 4 éléments : {a, b, c, d}. Théorème. Le nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble à n éléments est : ( ) n n! = p p! (n p)! = n p n p n p + La notation C p n toujours en vigueur en BTS devrait être remplacée par la notation ( n p) Quelques formules Soit p n : ( n ) ( 0 = ; n ) ( = n ; n ) ( n = ; n ( p) = n ( n p) ; n ) ( p = n ) ( p + n ) p 5

53 7.4.4 Le triangle de Pascal n p ( 0 0) ( ) ( 0 ( ) ) ( ) ( 0 ( ) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 ( 3) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) Exercices Exercice Calculer ( 3 ) ; ( 5 ) ; ( 5 3) ; ( 6 6). On commence par mettre la colonne et la diagonale de ( n 0) = et n ( n) = ) On complète en utilisant : n ( p) = n ) ( p + n ) p p ( n ) ( n ) n 0 p p ( n p) Exercice Quel est le nombre de combinaisons de 6 chires pris parmi 49 (loto)? Exercice 3 Quelle est la probabilité de gagner le tiercé dans l'ordre pour une course de 0 chevaux? Dans le désordre? Exercice 4 On choisit au hasard 4 étudiants dans un groupe de 4 dont 8 sont internes. Calculer la probabilité d'avoir choisi : a) 4 internes. b) Exactement internes. c) Plus de deux internes. Exercice 5 Parmi les 5 conseillers municipaux d'une ville sont élus : un maire, un premier adjoint, un deuxième adjoint et un troisième adjoint. Combien y a t'il de résultats possibles? Exercice 6 Dans un lot de 0 pièces on en prélève simultanément 4.. Combien de prélèvements diérents peut on obtenir?. Parmi les 0 pièces, 4 sont mauvaises. Quel est le nombre de prélèvements où : a) Les 4 pièces sont bonnes? b) Au moins une pièce est mauvaise? c) Une pièce et une seule est mauvaise? d) Deux pièces au moins sont mauvaises? Exercice 7 Dans un jeu de 3 cartes, on tire au hasard simultanément 4 cartes.on obtient alors une main. On admet que toutes les mains sont équiprobables. Calculer la probabilité d'obtenir dans une main : ) 4 cartes de même couleur. (C'est à dire 4 c urs ou 4 carreaux ou 4 trèes ou 4 piques). ) Une carte de chaque couleur. 3) Exactement un as. 4) Exactement deux as. 5) Aucun as. 6) Au moins un as. 7) Deux c urs et deux piques. 8) Deux c urs, un pique et un trèe. 9) Un carré, soit quatre cartes de même valeur. 0) Exactement un as et exactement deux c urs. 53

54 Exercice 8 Une maladie touche, dans la population, une personne sur mille. Cette maladie est mortelle mais on peut sauver le patient par une opération très risquée. Cette opération tue la moitié des personnes opérées. Il existe un test de dépistage de la maladie. Ce test n'est pas able à cent pour cent : 90 % des malades donnent un test positif, et 90 % des non-malades donnent un test négatif. Une personne a un résultat positif au test, faut il l'opérer? 54

55 8 Séries statistiques à une variable Une histoire de pourcentages : le tableau suivant donne les résultats au bac d'une classe de terminale présentés reçus présentés reçus non-redoublants 5 8 redoublants total Quel est le pourcentage de reçus en 000? en 00? Le proviseur arme que les résultats sont meilleurs en 00 qu'en 000. Quel est votre avis?. a. Quel est le pourcentage de reçus parmi les non-redoublants en 000? en 00? b. Quel est le pourcentage de reçus parmi les redoublants en 000? en 00? c. Les parents d'élèves arment que les résultats sont moins bons en 00 qu'en 000. Quel est votre avis? 3. Conclusion? 8. Vocabulaire La population est l'ensemble que l'on observe, chaque élément est appelé individu statistique ou unité statistique. Généralement la population est impossible à étudier dans son ensemble, on étudie alors un échantillon (ou un lot). C'est le cas par exemple pour un sondage d'opinion. La propriété que l'on étudie sur la population est appelée le caractère. Exemple : population : les élèves du lycée ; caractère : la taille des élèves. Caractère qualitatif : qu'on ne peut mesurer ; la couleur des yeux, le sport préféré... Caractère quantitatif : qu'on peut mesurer. Caractère quantitatif discret : qui ne prend que des valeurs isolées, en général des valeurs entières, le nombre de frères et soeurs par exemple. Caractère quantitatif continu : peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, par exemple la taille d'un élève, la longueur d'une vis. 8. Tableaux-Graphiques Pour pouvoir être étudiées les données doivent être triées et regroupées en classes. On note généralement X le caractère étudié, x i (c'est à dire x, x, x 3,... ) les valeurs prises par X et n i les eectifs correspondant à chaque x i. Tableau Les notes d'une classe de 30 élèves. note x i eectif n i fréquence f i 0,03 0,07 0,03 0, 0,07 0,7 0, 0,3 0,07 0,07 0,03 0,03 Représentation par un diagramme en bâtons 55

56 Il peut être intéressant de regrouper les valeurs en classes : Tableau notes [0; 4[ [4; 8[ [8; [ [; 6[ [6; 0[ eectif fréquence 0,03 0,0 0,57 0,7 0,03 Représentation par un histogramme. On trace pour chaque classe un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'eectif de la classe. 6 5 Si les classes ont la même largeur, la hauteur est proportionnelle à l'eectif, sinon ce n'est pas le cas. [0; 4[ [4; 8[ [8; [ [; 6[ [6; 0[ Remarque : En regroupant les valeurs en classes on rend les calculs plus aisés mais on perd en précision. Exercice Tracer l'histogramme donnant la répartition des notes en utilisant les intervalles : [0; 6[; [6; 8[; [8; 0[; [0; [; [; 4[; [4; 0[ Eectifs cumulés-fréquences cumulées Dénition. L'eectif cumulé croissant (respectivement décroissant) d'une classe est la somme des eectifs de cette classe et de toutes celles qui précèdent (resp qui suivent). On dénit de même les fréquences cumulées. Reprenons le tableau : notes [0; 4[ [4; 8[ [8; [ [; 6[ [6; 0[ eectif e cum croissants e cum décroissants La valeur des eectifs cumulés croissants correspond à la borne de droite de l'intervalle, celle des eectifs cumulés décroissants à la borne de gauche. Dans l'exemple ci-dessus il y a 9 élèves à avoir au moins 4, et 7 élèves à avoir au plus 8. 56

57 Si on considère que la répartition dans chaque classe est homogène on peut représenter graphiquement ces données par le polygone des eectifs cumulés L'abscisse du point de concours des deux polygones est la médiane elle correspond à 50% de l'eectif. Exercice Lors d'un contrôle d'usinage, les masses exprimées en grammes de 40 exemplaires d'une série de pièces sont données par le tableau : masse [94; 96[ [96; 98[ [98; 00[ [00; 0[ [0; 04[ eectif Dans chaque classe les éléments sont répartis de façon uniforme.construire le polygone des eectifs cumulés croissants. Donner une valeur approchée du nombre de pièces dont la masse est inférieure ou égale à 0 grammes. 8.4 Caractéristiques de position 8.4. La moyenne Dénition. ˆLa moyenne arithmétique de n nombres x, x, x n est : x = n i=n x i = x + x + + x n n i= ˆSi les valeurs ont déja été classées : Alors la moyenne arithmétique est : valeur x i x x x p eectif n i n n n p x = n i=p n i x i = n x + n x + + n p x p n i= i=p n étant l'eectif total : n = i= n i Exemples 57

58 En reprenant les valeurs du tableau on obtient : x = , Si les valeurs sont données par des intervalles on calcule la moyenne en prenant pour chaque classe le centre de l'intervalle. Reprenons le tableau : x = 9, Remarque : Le fait de regrouper les valeurs en classe fait perdre de la précision sur la moyenne car on ne sait pas comment sont regroupées les valeurs dans la classe Mode-classe modale C'est la valeur (ou classe) ayant le plus grand eectif. Tableau : le mode est 0 Tableau : la classe modale est [8; [. Il est évident qu'il peut y avoir plusieurs modes Médiane Dénition 3. La médiane (Me) est la valeur du caractère qui sépare l'eectif en deux parties égales. Par exemple le salaire médian d'une entreprise : 50% des employés ont un salaire inférieur ou égal. 50% des employés ont un salaire supérieur ou égal. Attention : Il ne faut pas confondre salaire médian et salaire moyen. Technique de calcul : Cas d'une série discrète ˆ S'il y a un eectif impair (p + ), la médiane est la p + ième valeur. Exemple :, 3, 7, 9, ; la médiane est 7. ˆ S'il y a un eectif pair (p), la médiane est la moyenne entre la pième et la (p+)ième valeur. Exemple :, 3, 7, 9, 0, ; la médiane est 8. Cas d'une série continue. Reprenons le tableau. L'eectif total est de 30, la médiane correspond donc à un eectif de 5. Graphiquement, la médiane se lit à l'intersection des polygones des eectifs cumulés croissants et décroissants. D'après le tableau des eectifs cumulés croissants, la médiane appartient à la classe [8; [. On la trouve par interpolation linéaire, en considérant que la répartition est uniforme dans la classe [8; [ Me 8 8 = d'où Me 9, 88 8 Me 58

59 8.4.4 Quartiles Dénition 4. Au lieu de diviser en deux partie égales, comme pour la médiane, on divise en quatre parties égales. Il y a donc trois quartiles Q, Q = Me et Q 3. Q Q Q 3 5% 5% 5% 5% Me Si on divise en dix parties, on parle de déciles.en cent parties on parle de centiles. Exercice 3 linéaire. En reprenant les données de l'exercice calculer les quartiles par interpolation 8.5 Caractéristiques de dispersion 8.5. Intervalle interquartile On appelle interquartile la diérence Q 3 Q. C'est un indicateur de dispersion, 50% des valeurs se trouvent dans l'intervalle [Q Q 3 ] Variance-Écart type Dénition 5. ˆLa variance est la moyenne des carrés des écarts entres les valeurs et la moyenne. Elle mesure la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. La variance de X se note V (X) La variance de n nombres x, x, x n est : V = n i=n (x i x) = (x x) + (x x) + + (x n x) n i= Si les valeurs ont déja été classées : Alors la variance est : valeur x i x x x p eectif n i n n n p V = n i=p n i (x i x) = n (x x) + n (x x) + + n p (x p x) n i= i=p n étant l'eectif total :n = i= ˆL'écart type est la racine carrée de V : σ = V n i 59

60 Remarque : l'écart type est le caractère de dispersion le plus utilisé. Une formule utile : V est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : V = n i=p n i x i x = n x + n x + + n p x p n i= x Exercice 4 À la calculatrice, calculer l'écart type pour les données des tableaux et. Exercice 5 On a prélevé un échantillon de 500 pièces pour un contrôle de qualité. Les diamètres, en mm, des pièces se répartissent de la façon suivante : diamètre [4, 90; 4, 9[ [4, 9; 4, 94[ [4, 94; 4, 96[ [4, 96; 4, 98[ [4, 98; 5[ eectif diamètre [5; 5, 0[ [5, 0; 5, 04[ [5, 04; 5, 06[ [5, 06; 5, 08[ [5, 08; 5, 0[ eectif On suppose que la répartition dans chaque classe est uniforme.. Calculer la moyenne et l'écart type de cette série.. Tracer le polygone des eectifs cumulés croissants (unité graphique : 0 cm pour 0, en abscisses et cm pour 50 pièces en ordonnées). 3. Déterminer la médiane et les quartiles par interpolation linéaire. 4. Déterminer graphiquement le pourcentage des pièces dans l'intervalle [x σ; x + σ]. Exercice 6 Une machine automatique remplit des paquets dont la masse théorique doit être de 50g. Les masses observées pour un échantillon de 00 paquets, pris au hasard à la sortie de la machine, ont donné les résultats suivants : masse [5; 5[ [5; 35[ [35; 45[ [45; 55[ [55; 65[ [65; 75[ [75; 85[ eectif Déterminer la masse moyenne et l'écart type.. Quel est le nombre de paquets, à une unité près, dans l'intervalle [x σ; x + σ]. Correction de l'exercice 5 ) La calculatrice donne : x 4, 9865 et σ 0, 037 ) diamètre [4, 90; 4, 9[ [4, 9; 4, 94[ [4, 94; 4, 96[ [4, 96; 4, 98[ [4, 98; 5[ e cum diamètre [5; 5, 0[ [5, 0; 5, 04[ [5, 04; 5, 06[ [5, 06; 5, 08[ [5, 08; 5, 0[ e cum

61 eectif , 90 4, 9 4, 94 4, 96 4, , 854 5, 09 diamètre 6

62 3) Pour déterminer les quartiles on coupe l'eectif en quatre parties égales. Q correspond à l'eectif 5. Par interpolation ane : = 5 Q 4, 96 4, 98 4, , 0 9 d'où : Q 4, 96 = on a donc Q 4, 964 4, 96 Q 4, 98 M e correspond à l'eectif 50. Par interpolation ane : = Me 4, , , 0 46 d'où : Me 4, 98 = 04 5 on a donc Me 4, 987 4, 98 Me 5 Q 3 correspond à l'eectif 375. Par interpolation ane : = Q 3 5 5, , 0 46 d'où : Q 3 5 = 39 0 on a donc Q 3 5, Q 3 5, 0 4) [x σ, x + σ] [4, 954; 5, 09] Graphiquement, 4, 954 correspond à l'eectif cumulé 87 et 5, 09 correspond à l'eectif cumulé 45. Il y a donc = 338 pièces dans l'intervalle , Il y a 68 % des pièces dans l'intervalle [x σ, x + σ]

63 9 Séries statistiques à deux variables On désire étudier simultanément deux caractères X et Y d'une même population an de savoir s'il existe un lien entre eux. On peut aussi étudier l'évolution d'un caractère dans le temps, X sera alors une série de dates. 9. Exemples 9.. Tableaux de données Exemple Une entreprise fabrique des lots de circuits électroniques. x i est le nombre de semestres d'utilisation et y i est le pourcentage de circuits ayant une panne au cours des X semestres. x i y i Exemple Un mobile est propulsé à grande vitesse puis freiné. On s'intéresse à sa vitesse durant le freinage. Le temps est exprimé en seconde et la vitesse en mètres par secondes. 9.. Nuages de points Temps t i Vitesse v i On muni le plan d'un repère orthogonal ( O; i, ) j. On associe à chaque couple de données (x i, y i ) le point M i (x i, y i ). L'ensemble des points M i est le nuage de points représentant la série statistique. Exemple Exemple y v x 5 t 63

64 9..3 Ajustement Faire un ajustement c'est trouver une fonction f telle que la courbe d'équation y = f(x) passe le plus près possible des points du nuage. Ajustement ane : On cherche une droite passant le plus près possible des points du nuage. Dans l'exemple un ajustement ane semble possible, mais pas dans l'exemple. Lorsque un ajustement est possible on dit qu'il y a corrélation entre les deux séries Point moyen Dénition. Le point moyen d'un nuage de n points M i (x i, y i ) est le point G de coordonnées ; x G = x = i=n x i et y G = y = i=n n n i= i= y i Exercice Rentrer les valeurs des exemples et dans la calculatrice et en donner les points moyens. 9. Ajustement ane 9.. Ajustement à la règle On trace au jugé une droite passant le plus près possible des points du nuage, en essayant d'harmoniser leur répartition de chaque côté de la droite. 9.. Méthode des moindres carrés Principe : Soit un nuage de n points M i (x i, y i ). On désire faire un ajustement à l'aide d'une droite D d'équation y = f(x). Cette droite sera utilisée pour faire des estimations de y connaissant x, il faut donc que les valeurs calculées f(x i ) approchent le mieux possibles les valeurs réelles y i. Notons P i les points de D de coordonnées (x i, f(x i )). L'erreur commise pour chaque x i est la distance M i P i. i=n On va chercher la droite D telle que i= M i P i y M P P M soit minimale. Cette droite s'appelle la droite de régression de y en x et se note D y/x. i=n Soit donc D y/x d'équation y = ax+b, le problème est de déterminer a et b pour que [y i (ax i + b)] soit minimale. i= M 3 P 3 x 64

65 i=n Étude de [y i (ax i + b)] i= Cette quantité est une fonction des deux variables a et b (les x i et y i étant connus). On admettra (Hors programme ) qu'une condition nécessaire pour qu'une fonction de ce type admette un minimum en un point est que les dérivées en ce point, par rapport à chacune des variables, soit nulles. La dérivée par rapport à b de (y i ax i b) est (y i ax i b). i=n i=n i=n Il faut donc que (y i ax i b) = 0 c'est à dire b = (y i ax i ). i= i= i= i=n i=n i=n Mais b = n b donc nb = (y i ax i ) c'est à dire b = y i a i=n n n i= i= i= i= Conclusion : b = y ax ; le point moyen doit appartenir à la droite. En reportant b = y ax dans notre expression de départ on obtient i=n i=n [y i (ax i + b)] = [y i (ax i + y ax)]. i= i= i=n i=n i=n i=n On peut l'écrire [y i y a(x i x)] = (y i y) a (y i y)(x i x)+a (x i x) i= C'est un polynôme du second degré en a. Rappel sur le second degré : Si a > 0, ax + bx + c admet un minimum pour x = b a i=n (y i y)(x i x) i= Notre expression admet donc un minimum pour a = Dénition. La covariance de la série de (x i, y i ) est On montre que i= i=n i= (x i x) i= σ xy = cov(x, y) = i=n (x i x)(y i y) n i= σ xy = i=n x i y i x y n C'est la moyenne des produits moins le produit des moyennes. i= x i i= y Remarque : Appelons Q i les points de D d'ordonnée y i. Si on désire faire une estimation de x connaissant y il est logique de minimiser plutôt la quantité M i Q i. On obtient alors i=n la i= droite de régression de x en y : D x/y M Q Q 3 Q M M 3 x 65

66 Théorème. ˆ La droite de régression de y en x, D y/x, a pour équation : y = ax + b avec : a = σ xy σ x = σ xy V (x) et b = y ax ˆ La droite de régression de x en y, D x/y, a pour équation : x = a y + b avec : a = σ xy σ y = σ xy V (y) et b = x a y Si, connaissant x, on recherche une estimation de y on utilise la droite de régression D y/x. Si, connaissant y, on recherche une estimation de x on utilise la droite de régression D x/y. En général D x/y et D y/x sont distinctes. Exercice Déterminer, à la calculatrice, les droites de régression pour l'exemple. 9.3 Coecient de corrélation linéaire 9.3. Dénition Si les points sont presque alignés alors les deux droites de régression seront presque confondues. Les deux droites se coupent en G elles seront donc confondues si elles ont le même coecient directeur. D y/x a pour équation y = ax + b, son coecient directeur est donc a. D x/y a pour équation x = a y + b c'est à dire y = a x b, son coecient directeur est donc a a. Les deux droites seront presque confondues si a c'est à dire si aa. a Or aa = σ xy σ x σ xy σ y = [ σxy σ x σ y ], les deux droites seront presque confondues si σ xy σ x σ y ±. Dénition 3. Le coecient de corrélation linéaire de la série statistique (x i, y i ) est le réel : r = σ xy σ x σ y Quelle que soit la série statistique (x i, y i ) le coecient de corrélation linéaire vérie : 9.3. Interprétation r Il existe une forte corrélation entre x et y lorsque r est proche de ou de. Mais r proche de 0 ne veut pas dire qu'il n'y a pas de corrélation, juste que s'il y en a une elle n'est pas linéaire. 66

67 Dans chaque secteur, technologique, économique ou autre, on choisit pour quelle valeur de r la corrélation est jugée susante. Dans le bâtiment on se contente par fois de r > 0, 5. Dans la maintenance on peut demander r > 0, 999. Attention : r est très sensible aux valeurs extrèmes. Exemple On rajoute un point : y x i 3 3 y i 3 3 D x/y x i y i D x/y D y/x Dy/x y O r = 0 x O x r 0, 93 Exercice 3 Calculer le coecient de corrélation linéaire de l'exemple. Exercice 4 Une entreprise agro-alimentaire a été créée en 990. On étudie l'évolution du pourcentage des salariés à temps partiel par rapport au nombre total de salariés de cette entreprise. Le tableau suivant donne, le nombre d'années x écoulées depuis 990 et le pourcentage y de salariés à temps partiel correspondant. Année x y 9,, 5, 7, 3 3 4, 4 5, 5. Dans un repère orthonormal d'unité graphique cm, représenter le nuage de points M(x, y).. Déterminer le point moyen G et le placer sur le graphique. 3. a) Calculer le coecient de corrélation linéaire de cette série. b) Déterminer la droite de régression de y en x : D y/x ; puis la tracer. c) Déterminer la droite de régression de x en y : D x/y ; puis la tracer. 4. Donner une estimation du pourcentage de salariés à temps partiel en En quelle année le pourcentage de salariés atteindrait-il 7 %? Exercice 5 Des tôles sont soumises à un traitement protecteur par galvanisation. Il est impératif de contrôler régulièrement l'épaisseur du revêtement protecteur. On dispose de deux procédés : Le procédé A est peu coûteux, mais peu précis. Le procédé B est plus able mais couteux car il nécessite la destruction d'une partie du revêtement. 67

68 On a comparé les deux procédés sur 0 tôles ; les épaisseurs sont données en microns. Tôle Épaisseur A Épaisseur B Calculer les coordonnées du point moyen.. Déterminer le coecient de corrélation linéaire. 3. Déterminer la droite de régression de y en x : D y/x. 4. Lors d'un contrôle, le procédé A indique une épaisseur de 65 µ. Donner une estimation du résultat que donnerait le procédé B. Exercice 6 Reprenons l'exemple. Le graphique montre qu'un ajustement linéaire ne semble pas adéquat.. On pose y i = ln(v i 5). Dresser le tableau de la série (t i, y i ). Arrondir à 0.. Donner, à la calculatrice, le coecient de corrélation linéaire et la droite de régression de y en t. Arrondir à En déduire la vitesse en fonction du temps sous la forme : v = α e βt + γ, où α, β, γ sont des réels arrondis à Estimer la vitesse du mobile à t = 8. Exercice 7 On a étudié la durée de vie d'un certain nombre d'équipements mécaniques identiques. La durée de vie t est exprimée en heures. R(t) est le pourcentage d'équipements encore en service à la date t. x = t i y = R(t i ) z = ln[r(t i )] 4, 38 4, 6 3, 95 3, 69 3, 47 3, 33 3, 48, 39. Calculer le coecient de corrélation linéaire de la série statistique (x, y). Calculer le coecient de corrélation linéaire de la série statistique (x, z) 3. Déterminer la droite de régression de z en x : D z/x. 4. Déterminer les nombres réels k et λ, tels que pour tout élément de [00, 500] : R(t) = k e λt 5. Donner une estimation du pourcentage d'équipements encore en service au bout de 900 heures. 68

69 0 Calcul vectoriel 0. Rappels Dénition. Le vecteur u = AB dénit trois paramètres : Sa longueur, appelée norme et notée u = AB Sa direction, celle de la droite (AB) Son sens, de A vers B. Deux vecteurs non nuls sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme. B Addition : Pour additionner u et v on trace le parallélogramme OACB où OA = u et OB = v. Le vecteur somme u + v est alors égal au vecteur OC O v u + v C u A Relation de Chasles : A, B et C étant trois points quelconques : AB + BC = AC Multiplication par un réel : Soit u = AB et k un réel non nul. On note k u le vecteur tel que : k u et u ont même direction. k u et u ont même sens si k > 0, sens contraire si k < 0. k u = k u u u, 5 u Propriétés : Soient les vecteurs u, v, w et les nombres réels a et b. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w u + v = v + u a(b u ) = (ab) u BA = AB (a + b) u = a u + b u a( u + v ) = a u + a v 69

70 0. Rappels de géométrie analytique 0.. Repères orthonormaux Dans le plan, un repère (O; i, j ) est orthonormal si : j i j et i = j =. O i Dans l'espace, un repère (O; i, j, k ) est orthonormal si i j, i k, j k et k i = j = k =. O j i 0.. Coordonnées Dans l'espace muni d'u repère (O; i, j, k ). Dire que le vecteur u a pour coordonnées (x, y, z) revient à dire que u = x i + y j + z k. Soient les points et vecteurs de l'espace : A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ), u (x, y, z) et v (x, y, z ) Le vecteur AB a pour coordonnées : (x B x A, y B y A, z B z A ). u + v a pour coordonnées (x + x, y + y, z + z ). Pour tout réel k, le vecteur k u a pour coordonnées (kx, ky, kz) ( xa + x Le milieu de [AB] a pour coordonnées : B, y A + y B, z ) A + z B 0..3 NormeDistance Dans l'espace muni d'un repère orthonormé. La norme de u (x, y, z) est u = x + y + z La distance entre A(x A, y A, z A ) et B(x B, y B, z B ) est AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ) Exercice On considère les points (A(,, ), B(,, 0), C(, 3, ) et D(, 4, 3). Calculer les coordonnées des milieux de [AC] et [BD]. Que peut on en déduire pour le quadrilatère ABCD? Exercice On considère les points (A(,, ), B(,, 0), C(,, ) et D(,, 3). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC. Que peut on en déduire pour le quadrilatère ABCD? Exercice 3 On considère les points (A( 3,, ), B(,, 0), C(,, 3) et D(, 4, ). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD et montrer que les quatre points A, B, C et D sont coplanaires. Exercice 4 On considère les points A(, 0, ), B(,, 0) et C(,, 4). Calculer les distances AB, AC et BC et en déduire la nature du triangle ABC. 70

71 Applications en mécanique En mécanique on représente une force par un vecteur F. y Exercice 5 L'échelle utilisée pour représenter les forces est de mm pour 0 N. Déterminer les modules des forces dessinées ci-contre : F F F3 Exercice 6 On considère un repère orthonormé du plan, dans lequel on dénit les échelles suivantes : Longueur : : cm représente cm. Force : cm représente dan Soient les vecteurs-forces : ( ) ( ) ( ), 5 F 6 F3, 5 F ) On cherche à déterminer le vecteur-force F 4 tel que le vecteur-force somme S = F + F + F 3 + F 4 soit nul. a) Déterminer graphiquement F 4 b) Déterminer F 4 par calcul. ) Représenter les vecteurs-forces R = F + F et R = F 3 + F 4 a) Déterminer les composantes de R et R. b) Que remarques t-on? 0.3 Barycentre 0.3. Points pondérés On appelle point pondéré un couple (A, a) où : A est un point de l'espace. a est un nombre réel appelé poids de A Barycentre de deux points pondérés x A G B Sur la balance, il y a une masse a en A et une masse b en B. Où doit se situer le point G pour que la balance soit en équilibre? La physique nous dit que (en considérant que la balance a un poids négligeable) G doit vérier l'égalité vectorielle : a GA + b GB = 0 Si a + b 0, on appelle barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b) l'unique point G tel que : a GA + b GB = 0 7

72 Les points A, B et G sont alignés. Si a = b 0, le point G est le milieu de [AB]. Propriété : Si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors pour tout point M : (a + b) MG = a MA + b MB En prenant M = O, origine du repère, on obtient OG = On en tire : Le barycentre G de (A, a) et (B, b) a pour coordonnées : a OA + b OB a + b a + b x G = ax A + bx B a + b y G = ay A + by B a + b z G = az A + bz B a + b Exercice 7 Soient deux points du plan : A(0; ) et B(5; ). Déterminer le barycentre de (A, ) et (B, 3) Barycentre de n points pondérés Le barycentre de n points pondérés (A, a ), (A, a ),, (A n, a n ) tels que a + a + + a n 0 est l'unique point G tel que : a GA + a GA + + a n GAn = 0 Si tous les coecients sont égaux on parle d'isobarycentre. En mécanique on parle de points matériels aectés chacun d'une masse. Le barycentre d'un système de points matériels s'appelle le centre d'inertie ou centre de gravité. Si on veut par exemple trouver le centre d'inertie d'un solide formé de plusieurs solides, on peut remplacer chacun d'eux par son centre de gravité aecté de la masse de ce solide ; le barycentre des points matériels obtenus est le centre d'inertie du solide. Propriété : Soit G le barycentre de (A, a ), (A, a ),, (A n, a n ) Pour tout point M on a : (a + a + + a n ) MG = a MA + a MA + + a n MA n x G = a x + + a n x n a + + a n y G = a y + + a n y n a + + a n z G = a z + + a n z n a + + a n Associativité Dans la recherche d'un barycentre on peut remplacer des points A,, A p par leur barycentre aecté de la somme de leurs coecients. Exemple : Soit G le barycentre de (A, ), (B, ), (C, ) et (D, 3). Si on note G le barycentre de (A, ), (B, ) et G le barycentre de (C, ), (D, 3). Alors G est le barycentre de (G, 3) et (G, 5). 7

73 Exercice 8 Soit A(,, ), B(,, ) et C(,, ). Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC. Exercice 9 Soit A( 3,, ), B(,, 0), C(,, 3) et D(, 4, ). Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre des points A, B, C et D. Exercice 0 Les plaques suivantes sont homogènes, déterminer le centre de gravité de chaque plaque Problèmes de composantes En mécanique on a souvent besoin de décomposer une force selon des axes perpendiculaires. Exercice Exprimer les coordonnées X F et Y F des forces F indiquées, sachant que F = 000N. y y 50 y 45 F F x 30 F 80 x x 0.5 Le produit scalaire 0.5. Dénitions Soient u et v deux vecteurs de l'espace. On considère les points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC). On appelle produit scalaire de u et v le réel u. v tel que : Si AH et AC sont de même sens alors u. v = AB. AC = AH AC Si AH et AC sont de sens opposés alors u. v = AB. AC = AH AC A H B H B A C C En mécanique : Soit un mobile se déplaçant de A à B sous l'action d'une force F constante. Le travail de la force F est W ( F ) = F. A AB. F B F 73

74 Autre expression du produit scalaire : u. v = AB AC cos( AB, AC) = u v cos( u, v ) 0.5. Propriétés u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v = 0 u = u. u = u Si u, v et w sont trois vecteurs et λ un réel. u. v = v. u u.( v + w ) = u. v + u. w u.(λ v ) = (λ u ). v = λ( u. v ) u. 0 = Produit scalaire et coordonnées Dans l'espace muni d'un repère orthonormal, soient u (x, y, z) et v (x, y, z ). u. v = xx + yy + zz Exercice Soient les vecteurs u (; 0; 6) et v (3; ; 4). Quelle est la longueur du projeté de u sur v? Exercice 3 Le plan est muni d'un repère orthonormal. Soient les points A(; ), B(3; ) et C(4; 8). ) Donner les coordonnées des vecteurs AB et AC. ) Calculer le produit scalaire AB. AC. 3) Calculer les distance AB et AC. 4) Calculer une valeur approchée en degrés, à 0 près, de la mesure de l'angle BAC. Exercice 4 L'espace est muni d'un repère orthonormal. Soient les points A( ; 0; 0), B( ; ; ) et C( 4; 0; ). En s'aidant de l'exercice précédent calculer une valeur approchée en degrés, à 0 près, de la mesure de l'angle BAC. Exercice 5 Déterminer l'angle θ entre les deux barres [OA] et [OB]. 74

75 Exercice 6 L'espace est muni d'un repère orthonormal. Soient les points A(; 3; 0), B(4; ; ) et C(; 0; ). Montrer que le triangle ABC est rectangle Rappels sur les droites du plan Toute droite D du plan a une équation cartésienne de la forme : ax+by+c = 0. Le vecteur u ( b, a) est un vecteur directeur de D. Le vecteur n (a, b) est un vecteur normal de D. Exercice 7 Le plan est muni d'un repère orthonormal. Soient les points A(; ), B(5; 3) et C(0; 5, 5). ) Déterminer une équation de la droite (AB). ) Déterminer une équation de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C. 3) Déterminer le point H intersection de (AB) avec. 4) Déterminer la distance de C à (AB). 0.6 Le produit vectoriel 0.6. Dénition Soient u et v deux vecteurs de l'espace. On appelle produit vectoriel de u et v, le vecteur noté u v tel que : si u et v sont colinéaires alors u v = 0 si u et v ne sont pas colinéaires alors : u v est orthogonal à u et à v. u v = u v sin( u, v ) La base ( u, v, u v ) est de sens direct. u v u v v u u v 0.6. Propriétés Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Si u, v et w sont trois vecteurs et λ un réel. u v = ( v u ) u ( v + w ) = u v + u w u (λ v ) = (λ u ) v = λ( u v ) u 0 = 0 75

76 0.6.3 Produit vectoriel et coordonnées Dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct. x u y et x yz zy v y alors u v zx xz z z xy yx x x Technique de calcul : On rappelle le calcul d'un déterminant a b c d = ad bc. Le calcul du produit vectoriel revient au calcul des trois déterminants ci-contre. Exercice 8 Calculer u v avec u (; ; 0) et v ( ; 3; ) Applications du produit vectoriel y y z z x x y y yz zy zx xz xy yx Exercice 9 Calcul du sinus d'un angle Soient A(; ; ) et B(; 3; ). Calculer OA OB, OA et OB. En déduire le sinus de ÂOB L'aire du triangle ABC est AB AC L'aire du parallélogramme ABDC est AB AC A C B D Exercice 0 A(; ; ), B(; 0; ) et C(0; ; 3). Calculer l'aire du triangle ABC. Le moment d'une force F s'exerçant au point A par rapport au point de pivot P est le vecteur : M F /P = P A F 76

77 Exercice Calculer le moment de la force de 0 N appliquée au point C par rapport au point O. Exercice. Calculer le moment M O de la force de 0 N appliquée au point B par rapport au point O.. Calculer la projection du vecteur M O sur (OA) ( c'est le moment par rapport à l'axe (OA)) 77

78 Logarithme et exponentielle. Cours Voir chapitre 5. Exercices Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f(x) = e x + x + ) f(x) = (x + ) (e x + ) 3) f(x) = e 3x + e x + 4) f(x) = ex e x + 5) f(x) = ln x + e x + x 6) f(x) = ln (x + ) 7) f(x) = x ln x x 8) f(x) = e x+ + ln x 9) f(x) = (ln x) 3 + x 0) f(x) = ln x ln x + ) f(x) = e x cos x Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ) f(x) = e 3x ) f(x) = e 3x + e x + 3) f(x) = e x x 4) f(x) = 3e x 3x 5) f(x) = (x 3) e x 6) f(x) = (3x ) e x 7) f(x) = ex + e x 8) f(x) = ln(x ) 9) f(x) = ln (3x x) 0) f(x) = x ln x + x ) f(x) = ln(3x) + e x + 3x ) f(x) = (ln x) Exercice 3 Résoudre dans R les équations suivantes : a) ln x = b) (ln x) 4 ln x + 3 = 0 c) ln( x) = ln(x + ) d) e x = e) e x + e x = 0 Exercice 4 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) f(x) = x + 3x + ln x b) f(x) = ln(x + x) c) f(x) = (x + ) ln(x ) ln(x + ) d) f(x) = e) f(x) = e 3x f) f(x) = e x + e x g) f(x) = ex x e x + h) f(x) = (3x + x)e x Exercice 5 Calculer les limites suivantes : ln x a) lim x + x + b) lim x + d) lim (x ln x) e) lim x + g) lim x 0 e x x ln(x + ) x 3 c) lim x 0 (x ln x) x + (x x ln x) f) lim h) lim x + (x3 e x ) x + Exercice 6 Soit f la fonction dénie sur ]; + [ par : f(x) = x ln x. Étudier la fonction f. (limites, variations, courbe) e x x 78

79 Exercice 7 Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (x )e x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i, ) j.. Déterminer les limites de f en + et. En déduire une asymptote horizontale D. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. 3. Dresser le tableau des variations de f. 4. Étudier la position de C par rapport à D. 5. Tracer C et D. Exercice 8 Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = ex 3 ex x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i, ) j.. Déterminer les limites de f en + et.. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. 3. Dresser le tableau des variations de f. 4. Déterminer la limite de f(x) + x en et interpréter graphiquement ce résultat. 5. Étudier la position de C par rapport à la droite D d'équation y = x. 6. Existe t-il des points de C où la tangente est parallèle à D? 7. Tracer C et D..3 Correction des exercices Exercice ) f (x) = e x + (e x ) = e x ) f (x) = (e x + ) + (x + )(e x ) = xe x + 3e x + 3) f (x) = 3e 3x 4e x (e u ) = u e u 4) f (x) = ex (e x + ) (e x )e x (e x + ) = 5) f (x) = x + ex + (ln x) = x 6) f (x) = x x + (ln u) = u u 7) f (x) = ln x + x x = ln x 8) f (x) = e x+ + x 9) f (x) = 6 (ln x) x 0) f (x) = + = 6 (ln x) x e x (e x + ) + x (ln x + ) (ln x ) x (ln x + ) = ) f (x) = e x cos x e x sin x Exercice ) f (x) = 3e 3x x(ln x + ) 79

80 ) f (x) = 3e 3x 4e x 3) f (x) = (x )e x x 4) f (x) = 6e x 3 5) f (x) = e x + (x 3)e x = (x )e x 6) f (x) = 3e x + (3x )( e x ) = ( 6x + 7)e x 7) f (x) = ex (e x ) (e x + )e x (e x ) = 4ex (e x ) 8) f (x) = x 9) f (x) = 6x 3x x 0) f (x) = x ln x + x + = x ln x + x + x ) f (x) = 3 3x + ex + 3 = x + ex + 3 ) f (x) = ln x x = ln x x Exercice 3 Équations et inéquations a) ln x = x = e x = e ln x = a x = e a Il y a une seule solution e b) (ln x) 4 ln x + 3 = 0 X 4X + 3 = 0 avec X = ln x On résout l'équation du second degré : X 4X + 3 = 0 = 4 donc il y a deux solutions réelles X = 4 + = 3 et X = 4 D'où ln x = 3 x = e 3 ou ln x = x = e = e. Il y a donc deux solutions e 3 et e. c) ln( x) = ln(x + ). Condition nécessaire : il faut x > 0 et x + > 0. =. ln( x) = ln(x + ) = ln( x) = ln(x + ) car, pour a > 0, n ln a = ln(a n ) On en tire ( x) = x + x + x = x + x 3x = 0 x(x 3) = 0. D'où x = 0 ou x = 3. Mais il faut x > 0 et x + > 0 donc seul x = 0 est solution. d) Si a > 0 : e x = a x = ln a Si a 0 : e x = a n'a pas de solution e x = x = ln x = 0 d'où il y a une seule solution e) e x + e x = 0 (e x ) + e x = 0 X + X = 0 avec X = e x On résout l'équation du second degré : X + X = 0 80

81 = 9 donc il y a deux solutions réelles X = + 3 = et X = 3 D'où e x = x = ln = 0 ou e x = qui n'a pas de solution. Il y a donc une seule solution x = 0. =. Exercice 4 Dérivées a) f(x) = x + 3x + ln x donc f (x) = x x (ln x) = x b) f(x) = ln(x + x) donc f (x) = x + x + x (ln u) = u u c) f(x) = (x + ) ln(x ) (uv) = u v + uv f(x) = uv avec { u = x + v = ln(x ) On en tire : f (x) = ln(x ) + (x + ) d) f(x) = ln(x + ) x f(x) = u v avec { u = ln(x + ) v = x On en tire f (x) = Donc f (x) = et ( u v ) = u v uv v et { u = v = x x C'est à dire f (x) = ln(x ) + x + x { x ln(x + ) x + = x x (x + ) ln(x + ) x (x + ) e) f(x) = e 3x donc f (x) = 3e 3x car (e u ) = u e u u = x + v = x ln(x + ) x + x f) f(x) = e x + e x donc f (x) = xe x + e x g) f(x) = ex e x + ; f(x) = u { { v avec u = e x u et = e x v = e x + v = e x On en tire f (x) = u v uv = ex (e x + ) (e x )e x = e3x + e x e 3x + e x v (e x + ) (e x + ) C'est à dire f (x) = e3x + e x + e x (e x + ) h) f(x) = (3x + x)e { x { u = 3x f(x) = uv avec + x u et = 6x + v = e x v = e x On en tire f (x) = u v + uv = (6x + )e x + (3x + x) ( e x ) = (6x + 6x x)e x C'est à dire f (x) = ( 6x + 4x + )e x 8

82 Exercice 5 Calculs de limites ln x Croissance comparée à l'inni : Si α > 0, lim x + x α ln x a) lim x + x + Ce qu'on devrait faire : ln x On écrit x + = ln x x x x +. ln x On sait que : lim x + x Plus intuitif : En + : x + x donc ln(x b) + ) lim ; x + x 3 = 0 et lim x + ln x x + ln x x En + : x + x donc ln(x + ) x comparée. 3 Donc c) lim x 0 (x ln x) ln(x + ) lim = 0 x + x 3 x x + = e = 0 et x lim x + x = + α lim x x + x = donc lim x + ln x x + = 0 qui tend vers 0 par croissance comparée. ln x x 3 = ln x x 3 x 0 donc ln x, on en tire lim x 0 (x ln x) = + qui tend vers 0 par croissance d) lim (x ln x) x + x + donc ln x + on est donc en présence d'une forme indéterminée (+ (+ )), pour la lever on met le terme le "plus fort" en facteur, ici c'est x. x ln x = x ( ln x x x + donc ln x x ) ln x 0 d'où x e) lim x + (x x ln x) ; même technique que le d) ( x x ln x = x x ln x ) x x + d'où ln x 0 et x x 0 donc x ln x, x on en déduit e f) x lim x + x En + : x x donc Donc lim x + lim x + (x x ln x) = + e x x = + e g) x lim x 0 x = car ex e 0 = et x e x, on en déduit lim (x ln x) = + x + x ex qui tend vers + par croissance comparée. x 8

83 h) lim x + (x3 e x ) ; on met le terme le " plus fort " en facteur, ici c'est e x. ( ) x 3 x 3 e x = e x e x x + donc x3 0 par croissance comparée. ex D'où x3, on en déduit que e lim x x + (x3 e x ) = Exercice 6 f est la fonction dénie sur ], + [ par f(x) = x ln x. ) Limite en : x + donc ln x 0 +, on en tire lim x f(x) = + La droite d'équation x = est donc asymptote à la courbe de f. Limite en + : Les théorèmes de croissance comparée nous donnent : ) Dérivée et variations : f(x) = u v avec { u = x v = ln x et { u = v = x lim f(x) = + x + ln x x On en tire f (x) = x d'où f (x) = ln x (ln x) (ln x) { ln x = 0 ln x = x = e f (x) est du signe de ln x : ln x > 0 ln x > x > e On en tire le tableau des variations de f : 3) Courbe x e + f (x) f(x) e e C D j O i e 83

84 Exercice 7 f est la fonction dénie sur R par f(x) = (x )e x. ) Limite en + : x + donc (x ) + et e x +. On en tire Limite en : f(x) = xe x e x x donc xe x 0 et e x 0. On en tire lim f(x) = x La droite D d'équation y = est donc asymptote à C en. lim f(x) = + x + ) f(x) = (x )e x donc en utilisant la formule (uv) = u v + uv (x )e x = uv avec { u = x v = e x D'où f (x) = e x + (x )e x = ( + x )e x et { u = v = e x f (x) = (x )e x Pour tout réel x, e x > 0 donc f (x) est du signe de x : 3) Tableau des variations de f : x + f (x) 0 + x + f (x) f(x) e 4) C est au dessus de D lorsque f(x) >, on étudie donc le signe de f(x) +. f(x) + = (x )e x est du signe de x car, pour tout réel x, e x > 0. On en déduit : ˆ Sur ], [, x < 0 donc f(x) ( ) < 0, ce qui prouve que C est en dessous de D. ˆ Sur ], +, [, x > 0 donc f(x) ( ) > 0, ce qui prouve que C est au dessus de D. ˆ Pour x =, C et D se coupent au point A(, ). 5) Courbe C j O i D e 84

85 Exercice 8. Limite en + f est la fonction dénie sur R par f(x) = ex 3 ex x Forme indéterminée (+ ) (+ ) ; on met en facteur le terme le plus fort ( f(x) = e x 3 e x x e x lim x + = 0 et lim ex x + ) x = 0 d'où : lim ex x + 3 e x x e = x De plus lim x + ex = + donc lim f(x) = + x + Limite en lim x ex = 0 ; lim x ex = 0 et lim x = + d'où : lim x. Dérivée (e x ) = e x et (e u ) = u e u f(x) = + x Pour tout x de R : f (x) = e x 3 ex Pour étudier le signe de f (x) on pose X = e x et on factorise le polynôme X 3 X Soit P (x) = ax + b x + c ; a,b et c étant des nombres réels, a 0 Le discriminant est = b 4ac ˆ Si < 0 alors P (x) = 0 n'a pas de solution réelle et P (x) est de signe constant, du signe de a. ˆ Si = 0 alors P (x) = 0 a une seule solution réelle x 0 = b et P (x) = a a (x x 0 ). x x 0 + P (x) signe de a 0 signe de a ˆ Si > 0 alors P (x) = 0 a deux solutions réelles x = b + et x = a b et P (x) = a(x x )(x x ). a P (x) est du signe de a sauf à l'intérieur des racines. En appelant α la plus petite des racines et α la plus grande on a : x α α + P (x) signe de a 0 signe de a 0 signe de a X 3 5 X est un polynôme du second degré, = 4. 3 > 0 donc il y a deux racines réelles X = + 5 = et X = On en déduit que X 3 ( ) X = (X ) f (x) = (e x ) 3 5 = X + ( e x + ) qui est du signe de e x car pour tout réel x, e x > 0 e x = 0 e x = x = ln. 85

86 La fonction exponentielle est strictement croissante sur R On en déduit le tableau de signe de f (x) : 3. Tableau des variations de f x ln + f (x) 0 + f(ln ) = e ln 3 eln ln = ln car e ln = et e ln = e ln( ) = 4 4. Asymptote x ln + f (x) f(x) ln Pour montrer que la droite d'équation y = ax + b est asymptote à C en + on montre que lim [f(x) ax b] = 0 x + lim f(x) + x = lim x x ex 3 ex = 0 car lim x ex = 0 Ce qui prouve que la droite D d'équation y = x est asymptote à C en 5. Position relative de la courbe par rapport à l'asymptote Pour étudier la positon de C par rapport à la droite D d'équation y = ax+b on étudie le signe de f(x) ax b. ˆ Si f(x) ax b > 0 alors f(x) > ax + b ce qui prouve que C est au dessus de D. ˆ Si f(x) ax b < 0 alors f(x) < ax + b ce qui prouve que C est au dessous de D. ˆ Si en x 0, f(x 0 ) ax 0 b = 0 alors f(x 0 ) = ax 0 + b ce qui prouve que C et D se coupent au point d'abscisse x 0 f(x) + x = ex 3 ex = ex (e x 3) est du signe de e x 3 car pour tout réel x, e x > 0 e x 3 = 0 x = ln 3 et la fonction exponentielle est strictement croissante donc : ˆ Sur ] ln 3; + [, e x 3 > 0 donc f(x) > x ce qui prouve que C est au dessus de D. ˆ Sur ] ; ln 3[, e x 3 < 0 donc f(x) < x ce qui prouve que C est au dessous de D. ˆ C et D se coupent au point A d'abscisse ln 3. Son ordonnée est ln 3 puisqu'il appartient à D d'équation y = x 6. Tangente La tangente à C au point d'abscisse x 0 a pour équation y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) ; son coecient directeur est f (x 0 ) Le coecient directeur de la tangente à C au point d'abscisse x est f (x). Le coecient directeur de D est. Ces deux droites sont parallèles si elles ont le même coecient directeur. Il faut donc résoudre l'équation f (x) = f (x) = e x 3 ( ex = 0 e x e x 3 ) = 0 x = ln 3 Conclusion : Il existe un seul point de C où la tangente T est parallèle à D c'est le point de C d'abscisse ln 3. 86

87 7. Courbe ln 0, 7 ln 3, ln, 7 et ln 3 0, 4 C D j O i T 87

88 XCAS. Le logiciel Xcas À l'ouverture le logiciel Xcas se présente comme ceci : Les calculs se notent dans la ligne blanche numérotée. Il sut de passer la souris sur la barre d'outils pour se rendre compte des possibilités de Xcas.. Les opérations Opération Exemple Résultat Remarques Multiplication *3 6 Division /3 8/0 Puissance ^ La fraction a été automatiquement simpliée Racine carrée sqrt() sqrt() 3 La racine a été simpliée Valeur approx(sqrt()) approx peut être remplacé par evalf approchée approx(pi,3) 3.4 Valeur approchée à 3 chires signicatifs.3 Nommer les calculs On a souvent besoin de réutiliser un calcul déjà fait, il est alors intéressant de le nommer. 88

89 Exemple Pour donner un nom à une expression on utilise := Ne pas oublier les deux points devant le signe égal. A:=/3 B:=/3+/5 La commande A*B donnera le produit de A par B, c'est à dire La commande : simplier Parfois xcas donne un résultat sous une forme compliquée, on peut alors utiliser : Exemple C:=sqrt()+ D:=sqrt() C*D donne ( + ) ( ) On peut simplier : simplifier( C*D) donne + simplifier.5 Calcul formel Développer et factoriser : Résoudre des équations, des inéquations : On utilise resoudre ou solve ( csolve dans C ) Exercice Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : x 3x + = 0 x x + = 0 x 3 x x + > 0.6 Les fonctions La fonction f se dénit par : f(x):=... 89

90 Pour tracer, en rouge, la courbe de f pour x dans l'intervalle [-,3] on écrit : graphe(f(x),x=-..,couleur=rouge) Pour tracer deux courbes, celle de f en bleu et celle de g en rouge : graphe([f(x),g(x)],x=-..,couleur=[bleu,rouge]) pour avoir la courbe dans une autre fenêtre on sélectionne DispG (voir ci contre) Pour résoudre l'équation f(x) = g(x) : resoudre(f(x)=g(x),x) Pour calculer la dérivée de f, si on l'appelle g : g:=derive(f) Pour calculer une primitive de f : int(f(x)) Pour calculer b a f(x) dx : int(f(x),x,a,b) Pour calculer la limite de f en + : limite(f(x),x,+inf) Pour calculer la limite de f en a + : limite(f(x),x,a,) Pour calculer la limite de f en a : limite(f(x),x,a,-) Pour développer une fonction rationnelle en éléments simples : partfrac(f(x)) Exercice Calculs de limites a) Soit f dénie par f(x) = x + x. Déterminer les limites de f en + et en, en + et en. b) Soit f dénie par f(x) = x e x +. Déterminer les limites de f en + et en. Exercice 3 Fonction rationnelle Soit f la fonction dénie sur ], + [ par f(x) = x + x a) Écrire f(x) sous la forme ax + b + c x b) Déterminer une primitive de f. c) Calculer : 3 f(x)dx Exercice 4 Étude d'une fonction Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (x )e x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i, ) j.. Déterminer les limites de f en + et. En déduire une asymptote horizontale D. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. 3. Dresser le tableau des variations de f. 4. Étudier la position de C par rapport à D. 90

91 5. Tracer C et D. 6. Soit A la surface délimitée par C, D et l'axe des ordonnées. Calculer l'aire de A en unités d'aires..7 Correction Exercice On en tire : L'équation x 3x + = 0 a deux solutions dans R : 3 5 L'équation x x + = 0 n'a pas de solution dans R. et L'inéquation x 3 x x + > 0 a pour ensemble de solutions ], [ ], + [. Exercice a) On en tire : lim f(x) = x + lim f(x) = x lim f(x) = + lim x + f(x) = x 9

92 b) On en tire : lim f(x) = x + lim f(x) = + x Exercice 3 Exercice 4 On commence par dénir f dans Xcas : 9

93 . Calcul des limites : On a donc : lim f(x) = + et lim f(x) = x + x La courbe C admet donc une asymptote D d'équation y =.. Dénissons la fonction dérivée de f, on la notera g. Puis essayons de la simplier et de la factoriser. Ici le signe est évident puisque g(x) est du signe de x, mais demandons quand même à Xcas de nous donner le signe de g(x) : x + Nous pouvons donc donner le tableau de signe de la dérivée : f (x) Pour remplir le tableau des variations de f il nous reste juste à calculer la valeur de f() : On en tire le tableau des variations de f : x + f (x) 0 + f(x) + e 93

94 4. L'asymptote a pour équation y =, dénissons la fonction h : x qui nous servira pour toute la suite. Nous pouvons donc donner la position de C par rapport à D : Sur ], [, C est au dessous de D. Sur ], + [, C est au dessus de D. C et D se coupent au point A(, ). 5. Traçons C et D pour x variant de 3 à 3 : 6. C et D se coupent au point A d'abscisse, et sur l'intervalle [0, ] C est en dessous de D. Donc l'aire cherchée est 0 [ f(x)] dx L'aire mesure e 3 unités d'aire. 94

95 3 Calcul intégral Remarque préliminaire : Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I alors elle admet des primitives sur cet intervalle. Pour cette raison, toutes les fonctions utilisées dans ce chapitre sont dérivables sur l'intervalle considéré. 3. Dénition Dénition. Soit une fonction f dérivable sur l'intervalle I ; a I et b I. Le nombre F (b) F (a) est indépendant de la primitive F choisie, on l'appelle intégrale de f entre a et b et on le note : b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a) Remarque : Exemple : b a f(x) dx se lit somme de a à b de f(x) dx. [ t t dt = De la dénition on tire : a) b) c) b a b a a a f(x) dx = b f(x) dx = f(x) dx = 0 a a ] f(t) dt = b = = 3 f(x) dx b a f(u) du = Le dx permet d'identier la variable par rapport à laquelle on intègre. 3. Propriétés f et g sont des fonctions dérivables sur l'intervalle I ; a, b, c I. Relation de Chasles : Linéarité : b a [f(x) + g(x)] dx = Pour tout réel k : b a b a b a f(x) dx = f(x) dx + k f(x) dx = k b a b a c a g(x) dx f(x) dx Positivité : Si f est positive sur [a, b] alors 95 f(x) dx + b a b c f(x) dx 0 f(x) dx

96 On en tire : Si f g sur [a, b] alors b Exercice Calculer les intégrales suivantes : f(x) dx b a a g(x) dx A = B = C = D = E = x + x dx (t t + 4) dt ( 3x ) dx x (x 3) dx (3x + ) dx F = G = H = I = J = π (t + ) dt ( sin x + π ) dx 4 3 t + dx t t t + dt e t dt K = L = M = N = O = 0 π 4 π 4 e x e x dx ln x x dx e x e x + dx tan x dx x ln x dx 3.3 Intégrales et aires Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b], (a < b). ( On note C la courbe de f dans un repère orthogonal O; i, ) j. Soit E le domaine délimité par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b. j C E E = {M(x, y) / a x b et 0 y f(x)} b L'aire de E a pour mesure f(x) dx (en unités d'aires). a L'unité d'aire étant le rectangle formé sur ( O; i, ) j. O i a unité d'aire b Deux cas utiles : Si f est négative sur [a, b] : j a b Si f(x) g(x) sur [a, b] C f O i j a b O i aire : b a f(x) dx C g aire : b a (f(x) g(x)) dx Exercice Dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unité cm en abscisse et cm en ordonnée, calculer l'aire de E = {M(x, y)/ x et x y x } 96

97 Exercice 3 Soit f la fonction dénie sur [, 4] par f(x) = 4 x. On note C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O; i, ) j (unité graphique cm). On considère la plaque homogène dont la surface est délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = et x = 4. Déterminer le centre de gravité de cette plaque. Rappel : Les coordonnées du centre de gravité sont données par les formules : x G = b a b xf(x) dx a f(x) dx et y G = b f (x) dx a b f(x) dx a 3.4 Valeur moyenne 3.4. Inégalité de la moyenne Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I ; a, b I avec a < b. S'il existe deux réels m et M tels que, pour tout x de [a, b], m f(x) M alors : m(b a) b a f(x) dx M(b a) Illustration dans le cas où f > 0 : M j m j j O i a b O i a b O i a b m(b a) b a f(x) dx M(b a) 3.4. Valeur moyenne Dénition. Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I ; a, b I avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a, b] est : µ = b a b a f(x) dx 97

98 Illustration dans le cas où f > 0 : L'aire sous la courbe est égale à µ(b a) µ j j O i a b O i a b b a f(x) dx µ(b a) Exercice 4 sachant que l'intensité est dénie par i(t) = I m sin ωt. Correction : La période est T = π ω ; donc T = π ω I moy = T T 0 Calculer l'intensité moyenne d'un courant alternatif pendant une demi-période i(t) dt = T T I moy = I m π [cos π cos 0] = I m π 0 I m sin ωt dt = ω π 3.5 Intégration par parties π ω 0 I m sin ωt dt = ωi m π [ ] π cos ωt ω ω 0 On suppose que les fonctions utilisées sont dérivables sur l'intervalle [a, b]. Soient deux fonctions u et v, on sait que : (uv) = u v + uv On en tire uv = (uv) u v. b b b b D'où u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] dx u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b a a Théorème. a a a u (x)v(x) dx Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, si de plus u et v sont dérivables sur I, alors quels que soient les réels a et b de I : b a b u(t)v (t) dt = [u(t)v(t)] b a u (t)v(t) dt a On retiendra plus simplement l'écriture simpliée : uv = [uv] u v. Exemple I = xe x dx 0 u = x On pose v = e x u = d'où v = e x 98

99 Donc I = [xe x ] 0 e x dx = e 0 [e x ] 0 = e [e e 0 ] = e [e ] = Exemple (À savoir) J = ln x dx u = ln x On pose v = 0 u = d'où x v = x D'où J = [x ln x] x dx = ln ln dx = ln [x] = ln [ ] = ln x Remarque : On peut calculer de cette façon une primitive de ln : la primitive de ln qui s'annule en est x ln t dt, on trouve x ln x x Exercice 5 Calculer, par parties, les intégrales suivantes : A = 0 Correction ( t)e t dt B = A = ( t)e t dt 0 u = e t On pose v = t D'où : A = [ ( t)e t ] 0 e u = e t d'où v = 0 (x e) ln x dx C = e x ln x dx D = e t dt = [ e t] 0 = + e = + e 0 xe x dx e B = (x e) ln x dx u = x e On pose d'où v = ln x v = [( ) ] x x e e D'où : B = e.x ln x u = x e.x B = e e 4 + e + 4 e = 4 e + 4 e x e e dx = e Attention [ x 4 e.x ] e e.x e x e C = x ln x dx u = x On pose v = ln x [ x 3 D'où : C = 3 ln x u = x3 d'où 3 v = x e [ x 3 e3 x 3 dx = ] e ] e 99 = e3 3 e = 9 e3 + 9

100 D = xe x dx 0 u = e x On pose v = x D'où : D = [ xe x ] 0 u = e x d'où v = 0 e x dx = [ e x] = + e = e 4 0 Exercice 6 Calculer par parties les intégrales suivantes : A = D = e (x + ) ln x dx B = (x )e 3x dx E = π 0 0 t cos t dt C = π ln(t + ) dt F = π e 3.5. Intégration des fonctions rationnelles Exercice 7 3x 4 Soit la fonction f dénie sur ]3; + [ par f(x) = x x 6. ) Vérier que x x 6 = (x + )(x 3). ) Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a x + + b x 3. 3) En déduire Exercice 8 0 f(x) dx. x cos x dx t ln t dt Soit la fonction f dénie sur ]; + [ par f(x) = x + x x. ) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = a + b x + + c x. ) En déduire Exercice 9 3 f(x) dx. Soit la fonction f dénie sur ]; + [ par f(x) = x + x +. x ) Déterminer les réels a, b et c tels que f(x) = ax + b + c x. ) En déduire Exercice 0 A = B = f(x) dx. Calculer les intégrales suivantes en utilisant la forme de décomposition donnée. (x + )(x ) dx ; (x + )(x ) = a x + + t + t dt ; t + t = a t + b t + 00 b x

101 3 t + C = t dt ; t + t = a + b t + c t + Exercice 4 Soit f la fonction dénie sur ]3; + [ par : f(x) = x x 3.. Étudier les variations de f.. Tracer la courbe C représentant f dans un repère orthonormé d'unité cm. 3. Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a x 3 + b x Soit λ un réel strictement supérieur à 4. Déterminer l'aire A(λ), en cm, du domaine compris entre C l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 4 et x = λ. Cette aire admet elle une limite quand λ tend vers +? Exercice Soit f la fonction dénie sur R par : f(x) = (x + ) e x On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( O; i, ) j d'unités graphiques : cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.. Déterminer la limite de f en + et la limite de f en (on rappelle que, pour α > 0, lim x xα e x = 0). En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.. Montrer que f (x) = (x + )(x + 3)e x. 3. Étudier les variations de f sur R, puis dresser le tableau de variations de la fonction f. 4. Tracer la courbe C dans le plan repéré par ( O; i, ) j. 5. Calcul d'aire : (a) Vérier que F (x) = (x + )e x est une primitive de f sur R. (b) En déduire l'aire exacte A, en cm, de la partie du plan limitée par la courbe C, l'axe (Ox) et les droites d'équations respectives x = et x = 0. (c) Donner la valeur arrondie de A à 0 près. 0

102 4 Développements Limités On cherche à approximer une fonction par une fonction polynôme au voisinage de x = Exemple : la fonction exponentielle Soit C la courbe de la fonction exponentielle dans un repère ( O; i, ) j. Soit A le point de C d'abscisse 0, e 0 = donc : A(0, ). 4.. Approximation par la tangente y = e x La tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point A a pour équation y = x +. Quand x est proche de 0 y = x + est une bonne approximation de e x. Par exemple e 0,0, 0005 et + 0, 0 =, 0 A y = + x O 4.. Approximation par un polynôme du second degré On cherche une fonction polynôme du second degré P (x) = ax + bx + c qui soit une approximation de f(x) = e x quand x est proche de 0. Pour avoir une bonne approximation on désire que P (0) = f(0), P (0) = f (0) et P (0) = f (0). P (0) = c et f(0) = e 0 = donc c =. y = e x y = P (x) P (0) = b et f (0) = donc b =. P (0) = a et f (0) = donc a =. A Donc P (x) = x + x + O 0

103 4..3 Approximation par un polynôme du troisième degré On cherche une fonction polynôme du troisième degré P (x) = ax 3 + bx + cx + d qui soit une approximation de f(x) = e x quand x est proche de 0. Avec la même méthode que ci-dessus on trouve P (x) = 6 x3 + x + x + y = e x A y = P (x) O 4. Développement limité d'une fonction en Dénition Dénition. Soit f une fonction dénie en 0 et au voisinage de 0. On dit que f admet un développement limité d'ordre n en 0 s'il existe des nombres réels a 0, a,, a n et une fonction ε tels que, au voisinage de t = 0, f(t) peut s'écrire sous la forme : f(t) = a 0 + a t + + a n t n + t n ε(t) avec lim t 0 ε(t) = 0 a 0 + a t + + a n t n est la partie régulière du développement limité. t n ε(t) est le terme complémentaire. Exemple : Le développement limité d'ordre 3 de e x en 0 est : e x = + x + x + x3 6 + x3 ε(x) avec lim x 0 ε(x) = 0 Propriété : Si le développement limité existe, il est unique. En BTS on utilise un logiciel de calcul formel pour déterminer les développements limités. Par exemple pour obtenir le développement limité de e x en 0 à l'ordre 3 : Avec Xcas : 03

104 Avec Maxima : Exercice En utilisant un logiciel de calcul formel, donner les développements limités, à l'ordre n, en 0 de : ) f(t) = e t ; n = 4 ) f(t) = ln( + t) ; n = 3 3) f(t) = sin t ; n = 4 4) f(t) = cos t ; n = 4 5) f(x) = e x x ; n = 6) f(x) = ln( + x) + e x ; n = 3 7) f(x) = Les copies d'écrans de Xcas et Maxima sont page suivante ln( + x) + x ; n = 4.3 Exemple d'application : position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'abscisse nulle Soit la fonction f de DL en 0 : f(x) = a 0 + a x + a p x p + + a n x n + x n ε(x) avec a p 0. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a pour équation : y = a 0 +a x Notons C la courbe de f et T la tangente à C au point d'abscisse 0. La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) a 0 a x. On a alors f(x) a 0 a x = a p x p + + a n x n + x n ε(x) Au voisinage de 0, f(x) a 0 a x a p x p donc la position de C par rapport à T est donnée par le signe de a p x p. Au voisinage de 0 : Si a p x p > 0 alors C est au dessus de T. Si a p x p < 0 alors C est en dessous de T. Exercice On note C la courbe représentative de f dans le repère ( O; i, ) j. Donner le développement limité de f à l'ordre n puis en déduire une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0 et étudier la position de C par rapport à T au voisinage de ce point. a) f(x) = e x et n = b) f(x) = e x + x x 4 et n = 3 c) f(x) = ln( x) d) f(x) = ln(x + ) Exercice 3 On considère la fonction f dénie sur ], + [ par f(x) = x 4 + x ln(x+). On note C sa courbe représentative dans un repère ( O; i, ) j. Soit P la parabole d'équation : y = x.. Donner le développement limité de f en 0 à l'ordre 3.. Étudier la position relative de C et P au voisinage du point d'abscisse 0. 04

105 Exercice Avec Xcas series(exp(t),t,0,4) + t + t + t3 6 + t4 4 + t5 order_size (t) series(ln(+t),t,0,3) t t + t3 3 + t4 order_size (t) 3 series(sin(t),t,0,4) t t3 6 + t5 order_size (t) 4 series(cos(t),t,0,4) t + t4 4 + t5 order_size (t) 5 series(exp(x)-x,x,0,) x + x + x3 order_size (x) 6 series(ln(+x)+exp(x),x,0,3) + x + x3 + x4 order_size (x) 7 series((ln(+x))/(+x),x,0,) Avec Maxima (%i) taylor(%e^t,t,0,4); (%o)/t/ + t + t + t3 6 + t (%i) taylor(log(+t),t,0,3); (%o)/t/ t t + t (%i3) taylor(sin(t),t,0,4); (%o3)/t/ t t (%i4) taylor(cos(t),t,0,4); (%o4)/t/ t + t (%i5) taylor(%e^x-*x,x,0,); (%o5)/t/ x + x +... (%i6) taylor(log(+x)+%e^x,x,0,3); (%o6)/t/ + x + x (%i7) taylor((log(+x))/(+x),x,0,); x + 3 x + x 3 order_size (x) (%o7)/t/ x 3 x +... Exercice Avec Xcas series(exp(x),x,0,) + x + x + x3 order_size (x) series(exp(x)+sqrt(-x)-x^/4,x,0,3) 3 + x3 4 + x4 order_size (x) 3 series(ln(-x),x,0,) x x + x3 order_size (x) 4 series(ln(x+),x,0,) Avec Maxima (%i) (%o)/t/ (%i) (%o)/t/ (%i3) (%o3)/t/ (%i4) taylor(%e^x,x,0,); + x + x +... taylor(%e^x+*sqrt(-x)-x^/4,x,0,3); 3 + x taylor(log(-x),x,0,); x x +... taylor(log(x+),x,0,); ln () + x x 8 + x3 order_size (x) (%o4)/t/ log () + x x

106 Exercice 3 Avec Xcas series(x^/4+x/-/*ln(x+),x,0,3) Avec Maxima (%i)taylor(x^/4+x/-/*log(x+),x,0,3); x x3 6 + x4 order_size (x) (%o)/t/ x x

107 5 Fonctions circulaires 5. Généralités 5.. Parité Dénition. Un ensemble I de nombres réels est dit centré en 0 si pour tout élément x de I, x appartient aussi à I. Par exemple : [, ] et ], [ ], + [ sont centrés en 0. [, ] n'est pas centré en 0. Dénition. Soit f une fonction dénie sur un intervalle I centré en 0. f est paire si pour tout x de I, f( x) = f(x). f est impaire si pour tout x de I, f( x) = f(x). Propriété : Dans un repère orthogonal : La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Paire Impaire 5.. Périodicité Dénition 3. Une fonction f dénie sur un intervalle I est périodique de période T si pour tout x de I, x + T appartient à I et f(x + T ) = f(x). Par exemple, sinus et cosinus sont périodiques de période π. Exercice Étudier la parité des fonctions suivantes dénies sur R. a) f(x) = x 4 + x + b) f(x) = x 3 x c) f(x) = x 3x + 07

108 d) f(x) = x x + 4 e) f(x) = x + x + f) f(x) = x x 4 + Exercice Dans un repère orthonormal tracer la courbe représentative de la fonction f f est périodique de période dénie sur R par : f est paire si x [0, ], f(x) = x Exercice 3 Dans un repère orthonormal tracer la courbe représentative de la fonction f f est périodique de période 4 f est impaire dénie sur R par : si x [0, ], f(x) = x si x [, ], f(x) = x 5. Sinus et cosinus 5.. Dénitions Dénition 4. Le ( plan est muni d'un repère orthonormé O; i, ) j. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. À tout nombre réel x correspond un unique point M de C tel que l'angle ( i, OM) ait pour mesure x en radian. Le cosinus de x est l'abscisse de M. Le sinus de x est l'ordonnée de M. sin x O x M cos x D'après les dénitions précédentes on dénit les fonctions sin et cos sur R, à valeurs dans [, ]. x 0 π 6 π 4 π 3 π π Les valeurs importantes : cos(x) 3 0 sin(x) Périodicité Pour tout réel x et pour tout entier relatif k : cos(x + kπ) = cos x et sin(x + kπ) = sin x Donc : Les fonctions sin et cos sont périodiques de période π. En électricité on utilise les fonctions suivantes : t cos(ωt + ϕ) et t sin(ωt + ϕ) ont pour période T = π ω. 08

109 Exercice 4 Déterminer la période des fonctions suivantes : ( a) f(x) = cos 3x π ) ( π ) ( b) f(x) = sin 3 3 x c) f(x) = sin πx + π ) Parité On a vu que, pour tout réel x : cos( x) = cos x et sin( x) = sin(x). On a donc : La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire Dérivées La fonction cosinus est dérivable sur R et on a (cos x) = sin x La fonction sinus est dérivable sur R et on a (sin x) = cos x On en déduis par composition : La fonction t cos(ωt + ϕ) est dérivable sur R et on a [cos(ωt + ϕ)] = ω sin(ωt + ϕ) La fonction t sin(ωt + ϕ) est dérivable sur R et on a [sin(ωt + ϕ)] = ω cos(ωt + ϕ) 5..5 Variations On étudie les fonctions cosinus et sinus sur [0, π]. La parité nous permettra d'en déduire les courbes sur [ π, π], puis la périodicité nous donnera les courbes sur R. x 0 π cos x 5..6 Courbes x 0 π π sin x 0 0 cosinus π 3π π π O π π 3π π sinus π 3π π π O π π 3π π 09

110 Exercice 5 Tracer les courbes des fonctions suivantes : ( a) f(x) = sin t π ) ( b) f(x) = cos t + π 4 3 Exercice 6 Soit f la fonction dénie sur R par : ) c) f(x) = sin ( t π ) ( d) f(x) = cos 3t π ) f est périodique de période π si t [0, π], f(t) = sin t si t [π, π], f(t) = 0 ) Tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [ 3π, 3π]. ) Tracer la courbe représentative, sur l'intervalle [ 3π, 3π], des fonctions g, h, j dénies par : g(t) = f( t) ; h(t) = f(t) + f( t) ; j(t) = f(t) f( t) Exercice 7 Soit f la fonction dénie, sur [0, + [, par f(x) = x + sin x. On note C sa courbe dans un repère orthonormé ( O; i, ) j. ) Calculer la dérivée de f et en déduire ses variations. ) Encadrer f par deux fonctions anes, en déduire la limite de f en +. 3) Déterminer les points d'intersection de C avec les droites d'équations y = x + et y = x. 4) Tracer C. 5.3 Tangente 5.3. Dénition Dénition 5. La fonction tangente est dénie sur R { π + kπ, k Z } par : tan x = sin x cos x sin x M tan x O x cos x x 0 tan(x) 0 π π 4 π 3 3 0

111 5.3. Propriétés La fonction tan est impaire car pour tout x R { π + kπ, k Z } : tan( x) = sin( x) cos( x) = sin x = tan x. cos x Sa courbe, dans un repère orthogonal, est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction tan est périodique, de période π tan(x + π) = Limites lim x π tan x = + et lim tan x = x π + sin(x + π) cos(x + π) = sin x cos x = tan x Dérivée La fonction tan est dérivable sur son ensemble de dénition et : (tan x) = + tan x = cos x Preuve : ( ) sin x (tan x) (cos x)(cos x) ( sin x)(sin x) = = = cos x + sin x = cos x cos x cos x cos x cos x + sin x cos x = + tan x Que l'on peut aussi écrire cos x + sin x cos x = cos x Conséquence : tan est strictement croissante sur ] π, π [ Tableau des variations : x π tan x π Courbe π 3π π π O π π 3π π

112 5.4 L'arctangente 5.4. Dénition La fonction tangente est dérivable, strictement croissante sur ] π, π [ avec lim tan x = x π + et lim tan x = +. Elle admet donc une fonction réciproque dénie sur R. x π Dénition 6. La fonction arctangente est dénie sur R par : y = arctan x x = tan y et y ] π, π [ 5.4. Propriétés Des propriétés de la fonction tangente on tire : lim x arctan x = π et lim x + arctan x = π Tableau des variations : x + π arctan x π Quelques valeurs : x 0 3 arctan x 0 π 6 π 4 3 π 3 Dérivation La fonction arctangente est dérivable sur R et : arctan x = + x En tout point où la fonction u est dérivable on a : (arctan u) = u + u Preuve : On utilise la formule (u v) = u v v (arctan(tan t)) = arctan (tan t) ( + tan t) Mais arctan(tan t) = t donc (arctan(tan t)) =. On en tire arctan (tan t) ( + tan t) = d'où, en posant x = tan t, arctan x = + x

113 5.4.3 Courbe π y = tan x j y = arctan x π O i π π Exercice 8 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : ( a) f(x) = cos x π ) b) f(x) = cos x c) f(x) = arctan(x + ) d) f(x) = 3 arctan(x + ) Exercice 9 Calculer les limites suivantes : ( ) x lim arctan + lim arctan (ln(x)) x + x lim x 0 + ( ) arctan x e x ( ) x lim arctan + x + x + Exercice 0 Déterminer une primitive des fonctions suivantes : a) f(x) = 4x + b) f(x) = 9x + 4 3

114 6 Variable aléatoire discrète Loi binomiale 6. Variable aléatoire discrète - Fonction de répartition 6.. Variable aléatoire discrète Dans une urne il y a 3 boules, une Rouge, une Verte et une Bleue. On tire deux boules avec remise. pour une rouge on gagne 6 euros, pour une verte euro et on perd 4 euros si l'on tire une bleue. première boule R V B deuxième R boule V B L'univers est Ω = {(R, R) ; (R, V ) ; (R, B) ; (V, R) ; (V, V ) ; (V, B) ; (B, R) ; (B, V ) ; (B, B)} Soit X la fonction de Ω dans R qui à tout élement ω de Ω fait correspondre le gain obtenu. X ((R, R)) = ; X ((R, V )) = 7, etc... X est une variable aléatoire. L'ensemble des valeurs prises par X est : X (Ω) = { 8, 3,, 7, } Dénition. Soit un univers Ω, on appelle variable aléatoire toute application X de Ω dans R Si Ω est ni on dit que la variable aléatoire est discrète. A chaque valeur prise par X on peut associer une probabilité. On note P (X = k) la probabilité que X soit égal à k. P (X = 3) = 9 ; P (X = ) = 9. Dénition. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction : X (Ω) [0, ] k P (X = k) Tableau de la loi de probabilité de X x i P (X = x i ) Diagramme en bâtons

115 6.. Fonction de répartition Dénition 3. La fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction : F : R [0, ] x F (x) = P (X x) Reprenons notre exemple : si x < 8 alors F (x) = 0 si 8 x < 3 alors F (x) = 9 si 3 x < alors F (x) = 3 9 si x < 7 alors F (x) = 6 9 si 7 x < alors F (x) = 8 9 si x alors F (x) = Espérance-Variance-Ecart type Dénition 4. L'espérance de la variable aléatoire discrète X est : i=n E (X) = p i x i = p x + p x + + p n x n i= Dans notre exemple l'espérance est E (X) = 9 ( 8) + 9 ( 3) = C'est à dire que sur un très grand nombre de coups un joueur peut espérer un gain moyen de euros. Dénition 5. ˆ La variance de la variable aléatoire X est : V (X) = E [ (X E (X)) ] = E ( X ) [E (X)] ˆ L'écart type est : σ (X) = V (X) Formule facile à retenir : La variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne 5

116 Dans notre exemple : V (X) = 9 ( 8) + 9 ( 3) σ (X) = V (X) 5, 77 Théorème. Soit un réel a et une variable aléatoire X. E (X + a) = E (X) + a V (X + a) = V (X) σ (X + a) = σ (X) E (ax) = ae (X) V (ax) = a V (X) σ (ax) = a σ (X) C'est à dire qu'ajouter le même nombre à toutes les valeurs que prend X ne change pas l'écart type, par contre si on les multiplie par une constante positive l'écart type est aussi multiplié par cette constante Variable aléatoire centrée réduite Dénition 6. ˆ Une variable aléatoire est dite centrée si E (X) = 0. ˆ Une variable aléatoire est dite réduite si V (X) =. Théorème. Soit une variable aléatoire X. La variable aléatoire Y dénie par Y = X E(X) σ(x) est centrée, réduite. On l'appelle la variable aléatoire centrée réduite associée à X. 6. Lois usuelles discrètes 6.. Loi binomiale Épreuve de Bernoulli Exemple : Un jeu consiste à lancer un dé à six faces, on gagne si l'on fait un 6. Il y a donc deux résultats possibles : Le succès, le dé fait un 6, de probabilité S L'échec, le dé ne fait pas 6, de probabilité S

117 Dénition 7. On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles, le succès noté généralement S et l'échec noté S. On note p la probabilité de succès et q = p la probabilité de l'échec. On dit que p est le paramètre de cette épreuve de Bernoulli. ˆEspérance, variance X = si succès Considérons la variable aléatoire X telle que X = 0 si échec E(X) = p + ( p) 0 = p E(X) = p V (X) = E (X ) [E(X)] X prenant les valeurs 0 ou, on a donc X = X d'où E(X ) = E(X) = p On en tire V (X) = p p = p( p) et σ(x) = p( p) Schéma de Bernoulli Exemple : On lance trois fois un dé à six faces et on s'intéresse à la sortie du 6. Les trois lancers sont indépendants. Pour chaque lancer, la probabilité de succès (le dé fait 6) est 6. On obtient donc l'arbre pondéré ci-contre S S S S S S S S S S S S S S Dénition 8. Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre p. Loi binomiale Soit un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès. X est la somme de n variables de Bernoulli X,, X n prenant la valeur pour un succès et 0 pour un échec. 7

118 ˆEspérance,variance E(X) = E(X ) + E(X ) + + E(X n ) = np Les variables étant indépendantes on a : V (X) = V (X ) + V (X ) + + V (X n ) = np( p) ˆProbabilité (Hors programme) X prend la valeur k si k variables parmi les X,, X n prennent la valeur et les (n k) autres la valeur 0. P (X i = ) = p et P (X i = 0) = p. Il y a ( n k) façons de choisir les k variables ( ) prenant la valeur. n On en tire la probabilité P (X = k) = p k ( p) n k. k k=n La formule du binôme de Newton nous donne k= C'est de là que vient le nom Loi binomiale. La loi binomiale de paramètres n et p se note B(n; p). Théorème 3. ( ) n p k ( p) n k = (p + p) n =. k Soit une épreuve à deux résultats possibles (épreuve de Bernoulli) : succès (de probabilité p). échec (de probabilité p). On répète n fois cette épreuve de façons indépendantes. La variable aléatoire X mesurant le nombre de succès au cours des n épreuves suit une loi binomiale B (n, p). P (X = k) = C k n p k ( p) n k E(X) = np V (X) = npq = np( p) σ(x) = npq = np( p) La formule de calcul de la probabilité n'a pas à être connue en BTS, on utilise juste la fonction "loi binomiale" de la calculatrice pour obtenir les probabilités. Exemples ˆExemple Dans le stock d'une entreprise, % des ampoules sont décientes. On prélève, au hasard, 4 ampoules dans le stock. Le stock étant important, on considère que les 4 tirages sont indépendants. Notons B l'événement : l'ampoule tirée est bonne. La probabilité de B est p = 0, 98. La probabilité de B est q = p = 0, 0. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : les deux résultats possibles sont : Succès : l'ampoule est bonne, la probabilité est p = 0, 98. Echec : l'ampoule n'est pas bonne, la probabilité est p = 0, 0. Cette épreuve est répétée 4 fois de façons indépendantes, notons X le nombre de bonnes ampoules tirées. X suit la loi binomiale B (4; 0, 98). La calculatrice nous donne le tableau de la loi de probabilités de X. Les résultats étant arrondis à 0 5 près. x i P (X = x i ) 0 0, , , , 937 8

119 ˆExemple : Pile ou Face Les probabilités de piles sur une série de 60 lancers : 0, 0, 08 0, 06 0, 04 0, ( Loi binomiale B 60; ) ˆExemple 3 :Jeu de dés On lance 60 fois un dé, les probabilités de sorties du 6 : 0, 4 0, 0, 0, 08 0, 06 0, 04 0, 0 Probabilités de ne pas obtenir 6 : 0, 4 0, 0, 0, 08 0, 06 0, 04 0, ( Loi binomiale B 60; ) ( Loi binomiale B 60; 5 ) 6 9

120 Exercice Une machine fabrique des pièces pour automobiles. Sur un grand nombre de pièces fabriquées par cette machine, la proportion de pièces de première qualité est de 90 %. On considère des échantillons de 0 pièces, prises au hasard, dans un lot très important de pièces fabriquées. On appelle X la variable aléatoire qui,à tout échantillon de 0 pièces pris dans le lot, associe le nombre de pièces de première qualité contenue dans cet échantillon.. Dénir la loi de probabilité de X.. Quelle est la probabilité d'avoir au moins 9 pièces de première qualité dans un échantillon de 0 pièces? Exercice Dans un atelier, on fabrique des pièces métalliques. le pourcentage de pièces défectueuses sortant de l'atelier est de 3%. A la sortie de l'atelier, on prélève au hasard, avec remise 5 pièces dans la production toale.. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y qui à tout lot de 5 pièces prises au hasard associe le nombre de pièces défectueuses de ce lot?. Calculer la probabilité d'avoir au plus une pièce défectueuse. 6.. Loi de Poisson La loi de Poisson est attribuée `à Simeon Denis Poisson, mathématicien français (78-840). Cette loi fut proposée par Poisson dans un ouvrage qu'il publia en 837 sous le titre Recherche sur la probabilité de jugements en matière criminelle et en matière civile. Dénition Dénition 9. Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0), si et seulement si pour tout entier naturel k, On note P (λ) cette loi. P (X = k) = λk k! e λ X peut prendre toute valeur entière ; 0,,,... On utilise souvent la loi de Poisson pour des études sur les pannes, les standards téléphoniques, la mortalité, etc. La formule de calcul de la probabilité n'a pas à être connue en BTS, on utilise juste la fonction "loi de Poisson" de la calculatrice pour obtenir les probabilités. Exemples 0, 4 0, 3 0, 0, Représentation graphique de P () 0, 0, Représentation graphique de P (5) 0

121 0, Théorème Représentation graphique de P (0) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P (λ) : E (X) = λ, V (X) = λ, σ (X) = λ Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson On admet que si n est grand, p voisin de 0 et np pas trop grand, alors, en prenant λ = np la loi P (λ) est une bonne approximation de la loi B (n, p). Par exemple pour : n 30, p 0, et np < 5. Exercice 3 Le nombre X de clients présents à un guichet par intervalles de 0 minutes de 4h à 6h suit une loi de Poisson P (5).. Quel est, en moyenne, le nombre de clients par période de 0 minutes?. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 8 clients de 5h à 5h0? Exercice 4 Une usine fabrique en grande série des pièces métalliques. Certaines pièces présentent un défaut. Le contrôle de qualité relatif au défaut s'eectue par des prélèvements d'échantillons de 00 pièces, dans le stock. On considère la variable aléatoire X qui mesure le nombre de pièces de l'échantillon présentant le défaut. On admet qu'étant donné la taille de l'échantillon et la probabilité du défaut, la variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ = 3.. Calculer la probabilité qu'aucune pièce de l'échantillon ne présente le défaut.. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 3 pièces présentant le défaut. 3. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 3 pièces présentant le défaut. Exercice 5 Une machine fabrique des résistors. On admet que le pourcentage de résistors non conformes fabriqués par la machine est de 8 %. Un tirage au hasard de 50 résistors de cette fabrication est assimilé à un tirage avec remise. On appelle Y la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de résistors non conforme obtenus parmi les 50.. a) Indiquer quelle est la loi de probabilité suivie par Y. b) calculer la probabilité d'obtenir exactement deux résistors non conformes.. On admet qu'on peut approcher la loi de Y par une loi de Poisson de paramètre λ. a) Préciser λ.

122 b) En utilisant la loi approchée, calculer la probabilité d'obtenir au plus trois résistors non conformes. Exercice 6 Dans un service public, on s'intéresse à l'événement : une personne se présente au guichet au cours d'une minute, c'est à dire entre la minute t et la minute t +, t étant un nombre entier. On a observé que la probabilité de cet événement est de 0,, on admet que la probabilité que deux personnes se présentent au même guichet au cours d'une même minute est négligeable et que l'arrivée d'une personne est indépendante des arrivées des autres personnes. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui peuvent se présenter au guichet en une heure.. Quelle est la loi de probabilité de X?. Calculer l'espérance et l'écart type de X. 3. On admet qu'on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ. a) Déterminer λ. b) Déterminer P (X = 3). c) Déterminer P (X 6).

123 7 Suites numériques 7. Généralités 7.. dénition Dénition. On appelle suite toute fonction de N (ou d'une partie de N ) dans R. On la note (u n ) n N ou simplement (u n ), le réel u n étant le terme de rang n de la suite. Exemples : La suite des nombres pairs : 0,, 4, 6,...elle peut être dénie par la relation u n = n La suite des nombres impairs :, 3, 5, 7,...elle peut être dénie par la relation u n = n Génération d'une suite à l'aide d'une fonction Une suite peut être générée de diérentes façons, on peut par exemple utiliser une fonction : Par une relation fonctionnelle u n = f(n) Par exemple, soit f la fonction dénie sur [0; + [ par f(x) = x. Soit la suite (u n ) dénie par u n = f(n), on aura alors u 0 = 0, u =, u =, u 3 = 3, Par une récurrence u n+ = f(u n ) u 4 3 u u 3 4 y = 3 x + Par exemple soit f la fonction dénie sur R par f(x) = 3 x +. Soit la suite (u n ) dénie par u n+ = f(u n ) et u 0 =. On a u = f(u 0 ) = f() =, u = f(u ) = f() = 5 ( ), 5 u 3 = f(u ) = f = 7 4 Sur le graphique on utilise la droite d'équation y = x pour "ramener " les valeurs de u, u, sur l'axe des abscisses. u 3 u u y = x u 0 u u u 3 3

124 7. Suites arithmétiques On appelle suite arithmétique une suite dont chaque terme est obtenu en additionnant au précédent une constante réelle appelée raison de la suite. Exemple :, 5, 8,, 4,...est la suite arithmétique de premier terme et de raison 3. Dénition. La suite (u n ) est arithmétique de premier terme u 0 et de raison r si et seulement si pour tout entier n : u n+ = u n + r Caractérisation : Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si pour tout entier n : u n+ u n est constante, cette constante est alors la raison de la suite. Exemple : Soit (u n ) la suite dénie par : u n = 3n +. u n+ u n = 3(n + ) + (3n + ) = 3 donc la suite (u n ) est arithmétique de raison 3. En eet on a : u 0 =, u = 5, u = 8, u 3 =, etc... Exercice Les suites suivantes sont elles arithmétiques? a) u n = n + 3 b) u n = 3n c) u n = 0, 5 n + d) u n = n Expression du terme général : ˆPour une suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 et de raison r : u n = u 0 + nr En eet : u = u 0 + r, u = u + r = u 0 + r, u 3 = u + r = u 0 + 3r, etc... ˆPour une suite arithmétique (u n ) de premier terme u et de raison r : u n = u + (n )r En eet : u = u + r, u 3 = u + r = u + r, u 4 = u 3 + r = u + 3r, etc... Exercice Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. a) r = 4, u 0 =, u 8 =? b) r = 3, u = 6, u 5 =? c) u 6 = 8, u 0 = 50, r =? d) u 0 = 00, r = 3, u 0 =? e) u 0 = 4, r = 3, u n = 304, n =? Somme des termes : La somme des n premiers entiers non nuls est : n = Exemple : = 00 0 = 5050 n(n + ) Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 de raison r : u 0 + u + + u n = (n + )(u 0 + u n ) Exercice 3 On considère la suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 = 3 et de raison. Calculer la somme des 30 premiers termes. Exercice 4 (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. On note S n = u 0 + u + + u n r =, u = 7 et S n = 483. Calculer n. 4

125 7.3 Suites géométriques On appelle suite géométrique une suite dont chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante réelle non nulle appelée raison de la suite. Exemple :,, 4, 8, 6,...est une suite géométrique de premier terme et de raison. Dénition 3. La suite (u n ) est géométrique de premier terme u 0 et de raison q si et seulement si pour tout entier n : u n+ = u n q Caractérisation : Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si pour tout entier n : u n+ constante, cette constante est alors la raison de la suite. u n est Exemple : Soit (u n ) la suite dénie par u n = 3 n. u n+ = 3n+ u n 3 n = 3n 3 n = 3. Donc (u n) est une suite géométrique de raison 3. En eet : u 0 = 3, u =, u = 6, u 3 = 8, etc... Exercice 5 Les suites suivantes sont elles géométriques? a) u n = n b) u n = 3 n c) u n = n 3 n+ d) u n = n Expression du terme général : Pour une suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 et de raison q : u n = u 0 q n Pour une suite géométrique (u n ) de premier terme u et de raison q : u n = u q n Exercice 6 (u n ) est une suite géométrique de raison q. a) u 0 =, q = 3, u 5 =? b) u 0 = 5, u 3 = 40, q =? c) u = 3, u = 307, q =? d) u 3 = 4, r = 3, u 5 = 36, q =? Exercice 7 On place 000 eau taux annuel de 5 %. On note C 0 le capital de départ, C 0 = 000 et C n le capital le capital obtenu au bout de n années. ) Montrer que la suite C n est géométrique. ) Au bout de combien d'années le capital aura t-il doublé? Somme des termes : La somme des n+ premières puissances d'un nombre q est : Si q, + q + q + q q n = qn+ q Si q =, + q + q + q q n = n + Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 de raison q : u 0 + u + + u n = u 0 q n+ q Exercice 8 On considère la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 = 3 et de raison 4. Calculer la somme des 0 premiers termes. 5

126 7.4 Sens de variation 7.4. Dénition ˆUne suite (u n ) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n : u n+ u n. ˆUne suite (u n ) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n : u n+ u n. ˆUne suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante Exemples - croissante si r 0 ˆUne suite arithmétique de raison r est : - décroissante si r 0 - croissante si q ˆUne suite géométrique de raison q est : - décroissante si 0 < q ˆSoit f une fonction dénie sur [0, + [ et (u n ) la suite dénie pour tout entier naturel n par u n = f(n). Si f est croissante alors (u n ) est croissante. Si f est décroissante alors (u n ) est décroissante. Attention la réciproque est fausse, on peut avoir (u n ) croissante sans que f ne le soit. 7.5 Limite d'une suite géométrique Théorème. Soit (u n ) la suite géométrique dénie, pour tout entier naturel n, par u n = q n. ( q > 0) ˆSi q >, lim n + qn = + ˆSi 0 < q <, lim n + qn = 0 ˆSi q =, (u n ) est une suite constante égale à, lim n + qn = Exercice 9 Monsieur Dupont désire acheter une voiture qui, au premier juillet 03 coûte e. Il dispose de e mais ne veut pas prendre de crédit. Une banque lui propose de placer ses e à intérêts composés au taux annuel de 7%. Le prix de la voiture augmente de 3 % par an. Calculer à partir de quelle année monsieur Dupont pourra acheter la voiture. Exercice 0 Une source sonore émet un son d'intensité u 0 = 00 db. on appelle u n l'intensité du son mesurée après la traversée de n plaques d'isolation phonique, sachant que chaque plaque absorbe 0 % de l'intensité du son qui lui parvient. ) Montrer que u n est une suite géométrique. ) Quelle intensité sonore obtient-on avec dix plaques? 3) Combien de plaques faut-il pour obtenir une intensité sonore d' au plus 0 db? 6

127 8 Les nombres complexes 8. Introduction 8.. Un peu d'histoire En 537, l'italien Niccoló Fontana dit Tartaglia (le bègue) découvre une méthode de résolution d'équations du troisième degré. Il la dévoile à Cardan. Celui que les français appellent Cardan, de son vrai nom Gerolamo Cardano, publie cette méthode en 545. Cette méthode est ensuite développée par Bombelli (5-57). Le problème est qu'en généralisant sa méthode il est obligé d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs ce qui allait à l'encontre de tout ce qui était connu (beaucoup de mathématiciens n'acceptaient déjà pas l'existence de nombres négatifs). Il les utilise quand même et les appelle nombres impossibles. C'est René Descartes qui, en 637, leur donne le nom de nombres imaginaires. En 746, D'Alembert montre que tous ces nombres peuvent s'écrire sous la forme x + y. La notation fut très vite abandonnée car les formules classiques sur les racines donnaient une contradiction : ( a) = a donc ( ) = a b = ab donc ( ) = = ( )( ) = = C'est Euler qui, en 777, introduit la notation i plutôt que et Gauss qui utilise, en 83, le terme nombres complexes. Le norvégien Wessel, en 797, puis le Genevois Argand en 806, puis beaucoup d'autres, utilisent les points du plan pour représenter les nombres complexes. 8.. Les ensembles de nombres Nous connaissons déjà les ensembles de nombres : N Z Q R N : ensemble des entiers naturels : 0,,, 3, L'équation x + = 0 n'a pas de solution dans N. Z : ensemble des entiers relatifs :, 3,,, 0,,, 3, L'équation x = n'a pas de solution dans Z. Q : ensemble des nombres rationnels : ce sont les nombres qui s'écrivent sous la forme a b avec a Z et b Z L'équation x = n'a pas de solution dans Q. R : ensembles des nombres réels, ce sont tous les nombres que nous avons utilisés jusqu'à ce cours. (Une dénition précise est largement en dehors des programmes de lycée) L'équation x = n'a pas de solution dans R. 8. Forme algébrique 8.. L'ensemble C On admet qu'il existe un nombre noté i tel que i = 7

128 Dénition. On note C l'ensemble des nombres s'écrivant sous la forme a + b i, a et b étant des nombres réels. Exemples : + 3 i, 3 5 i, + i 3 sont des nombres complexes. Cet ensemble C est appelé ensemble des nombres complexes. Par construction R C. Dans C, l'équation x = a deux solutions : i et i L'écriture z = a + b i est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Le nombre réel a est la partie réelle du nombre complexe z, on la note Re(z). Le nombre réel b est la partie imaginaire du nombre complexe z, on la note Im(z). La partie imaginaire est un nombre réel, c'est b et non pas b i. Les nombres réels sont des nombres complexes puisqu'un nombre réel a peut s'écrire a + 0 i. Si a = 0 on dit que le nombre complexe z = b i est un imaginaire pur. 8.. Les techniques de calcul Pour calculer dans C on utilise les règles de calcul usuels dans R en y ajoutant i =. Égalité Les nombres complexes z = a + b i et z = a + b i sont égaux si et seulement : Addition - soustraction Soient z = + 5 i et z = i on a alors : z + z = ( + 4) + (5 + 3)i = i z z = ( 4) + (5 3)i = + i Produit a = a et b = b Soient z = + i et z = 3 4 i pour eectuer le produit z z on : développe z z = ( + i)(3 4i) = 6 8i + 3i 4i puis on simplie en utilisant i = z z = 6 8i + 3i + 4 = 0 5i Exercice Soit les nombres complexes z = 4 i et z = 5i. Calculer : z + z ; z 3z ; z z ; z ; z ; (z )(i 3z ) ; iz ; ( + i)z 8.3 Conjugué-quotient 8.3. Conjugaison Une identité remarquable importante : (a + bi)(a bi) = a + b Exemple : ( + 3i)( 3i) = + 3 = 3 8

129 Dénition. On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi, le nombre complexe z = a bi z z On a donc : Si z = a + b i alors zz = a + b Exemple : z = 3i ; z = + 3i. v O u z z 8.3. Quotient Pour simplier le quotient de deux nombres complexes z z on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur z, ce qui permet " d'éliminer " les i du dénominateur. Exemple : Soit z = + 3i + i On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de + i qui est i : z = ( + 3i)( i) ( + i)( i) Exercice Calculer : z ; z ; 4 i + 6i 3i = + = 4 + 4i + 3 = 7 + 4i 5 5 Soit les nombres complexes z = 3i et z = 4 i + z z ; z ; i z ; Exercice 3 Résoudre dans C : z i ; z ( + i)z i a) ( 4 i)z + 3 5i = 0 b) z + = (z )( + i) c) z + z = + i Exercice 4 Calculer : A = ( + 3i) + (4 5i) ; B = ( + i)(3 + 3i) ; C = i 993 ; D = + i ; E = 3i ; F = i ( ) 3 + i i i ; G = ; H = + i + 3i + i Propriétés Théorème. Pour tous nombres complexes z et z on a : z + z = z + z ; z z = z z ; ( z ) z = z ( ) z ; = z z z = z Z est réel si et seulement si z = z z est un imaginaire pur si et seulement si z = z 9

130 Si z = a + bi alors z + z = a z z = bi zz = a + b 8.4 Représentation graphique 8.4. Dénitions On ( muni le plan d'un repère orthonormé M(z)) O; i, ) y j. Au point M(x, y), ou au vecteur OM, on fait correspondre le nombre complexe z = x + y i v O u x L'axe (O; u ) est l'axe réel, il contient tous les nombres réels (z = a + 0 i). L'axe (O; v ) est l'axe imaginaire, il contient tous les nombres complexes de la forme z = b i. On dit que le point M est l'image du nombre z et que z est l'axe du point M, ou du vecteur OM Propriétés w + w Soient w et w deux vecteurs d'axes z et z. w + w a pour axe z + z. Si k est un nombre réel alors k w a pour axe kz. v w w O u Soient A et B deux points du plan d'axes z A et z B : Le vecteur AB a pour axe zb z A Le milieu de [AB] a pour axe z A + z B Exercice 5 Soient les points A( + i), B( 3 i) et C( 3i). Déterminer le quatrième sommet D du parallélogramme ABCD et son centre I. Correction : ABCD est un parallélogramme donc AB = DC d'où : z B z A = z C z D On en tire : z D = z C z B + z A = 3i i + + i = 4 Le centre I est le milieu de [AC], il a donc pour axe : z A + z C = i = i B v O u C I A D 30

131 Exercice 6 Soit les points A et B d'axes respectives + 3i et + i. Exercice 7 Soient mes points A( + i), B(4i), C(3, 5 + i) et D(, 5 i). Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? a) Déterminer l'axe du milieu I du segment [AB]. b) Déterminer l'axe du point C tel que B soit le milieu de [AC]. 8.5 Équation du second degré à coecients réels Une équation du second degré est une équation de la forme ax + bx + c = 0 où a 0. Elle est dite à coecients réels si a, b et c sont réels. On admet les résultats suivants : Soit P (x) = ax + bx + c, où a 0 = b 4ac est le discriminant de ax + bx + c. Solutions de P (x) = 0 Factorisation > 0 = 0 < 0 Deux solutions distinctes : x = b a et x = b + a Une solution double : x 0 = b a Deux solutions complexes conjuguées : x = b i a et x = b + i a P (x) = a(x x )(x x ) P (x) = a(x x 0 ) P (x) = a(x x )(x x ) Exercice 8 Résoudre dans C l'équation P (z) = 0 puis factoriser P (z) a) P (z) = 3z z 4 b) P (z) = 3z 7 z + 49 c) P (z) = z 3z d) P (z) = z + z + 3 e) P (z) = z + 8 z 3z Quelques exercices corrigés Exercice 9 Calculer : A = ( i) + ( i 3) B = ( + i) ( 3i) C = ( + i) ( + 3i) D = ( 3 + i)( i) E = ( 3 + i) F = 5 i G = i 3 i H = I = i ( i)( + i) 3 + i Exercice 0 Soient les points A( + i), B( 3 i) et C( 3i). Déterminer le quatrième sommet D du parallélogramme ABCD et son centre I. Exercice Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z = 5 ; z = 3i ; z 3 = + 3i ; z 4 = i ; z 5 = 3 3 3i ; z 6 = +i ; z 7 = 3 3i. 3

132 [ Exercice Donner la forme algébrique de : z =, π ] ; z = 3 z 3 = [ 4, 5π 6 Exercice 3 ] ; z 4 = [ 3, 3π 4 ] ; z 5 = [5, π] ; z 6 = [, 3π 4 ] [, π ] Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O; i, ) j on considère les points A, B, C et D d'axes z A = 4, z B = + i 3, z C = i 3 et z D =. ) Faire une gure. ) Calculer les distances DA, DB, et DC. Que peut on en déduire? 3) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. Exercice 9 A - B - C : Correction des exercices Il sut d'ajouter les parties réelles entre elles puis les parties imaginaires entre elles. A = ( i) + ( i 3) = + i i 3 = 3 i( + 3) B = ( + i) ( 3i) = + i + 3i = 3 + 4i C = ( + i) ( + 3i) = + i 3i = i D - E : On développe en utilisant la distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, puis on utilise i = D = ( 3 + i)( i) = 6 + 3i + 4i i = 6 + 3i + 4i + = 4 + 7i E = ( 3 + i) = ( 3 + i)( 3 + i) = 9 6i 6i + 4i = 9 i 4 = 5 i F - G - H - I : Pour simplier une fraction où le dénominateur est de la forme a + bi on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de a + bi qui est a bi. Pourquoi? : parce que cela fait disparaître le i du dénominateur car (a + bi)(a bi) = a + b F = 5 i = 5 i 5 + i 5 + i = 5 + i (5 i)(5 + i) = 5 + i 5 + = 5 + i 6 = i G = i ( i)(3 + i) 6 + i 3i i = = 3 i (3 i)(3 + i) 3 + = 6 i + = i ( i)( + i) H = = 3 + i I = i = i Exercice 0 + i i i 3 + i i i = i i = i = i = + i i = 3 + i 3 + i = ABCD est un parallélogramme donc AB = DC d'où : z B z A = z C z D On en tire : z D = z C z B + z A = 3i i + + i = 4 A Le centre I est le milieu de [AC], il a donc pour axe : z A + z C = i = i B v O u C I D 3

133 Exercice Juste les réponses : z = 5 et arg z = π ; z = 3 et arg z = π ; z 3 = et arg z 3 = π 3 ; z 4 = et arg z 4 = 3π 4 ; z 5 = 6 et arg z 5 = π 6 ; z 6 = et arg z 6 = π 4 ; z 7 = 3 et arg z 7 = π 3 Exercice z = z = z 3 = z 4 = [, π ] ( ( π ) ( π )) = cos + i sin = [, π ] ( ( = cos π ) ( + i sin π )) [ 4, 5π 6 [ 3, 3π 4 ] ] ( ( = 4 cos 5π 6 ( ( = 3 cos 3π 4 ) ( + i sin 5π 6 ) ( + i sin 3π 4 ( + i ) 3 = + i 3 = 0 + i( ) = i )) ( = 4 )) ( = 3 ( 3 + i ) ) = 3 i ( )) + i z 5 = [5, π] = 5 (cos π + i sin π) = 5( + 0i) = 5 [ ], 3π z 6 = = ( ( ) ( )) 3π 3π cos + i sin = ( ) i = + i = 3 3 i Exercice 3 ) DA = z A z D = 4 = DB = z B z D = + i 3 = + i 3 = + 3 = DC = z C z D = i 3 = i 3 = + 3 = DA = DB = DC donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre D de rayon. 3) AB = z B z A = + i 3 4 = 3 + i 3 = = = 3 AC = z C z A = i 3 4 = 3 i 3 = = = 3 BC = z C z B = i 3 i 3 = i 3 = 3 Conclusion : AB = AC = BC donc le triangle ABC est équilatéral. v O u B C D A 33

134 9 Les équations diérentielles 9. Généralités Une équation diérentielle est une équation, dans laquelle l'inconnue est une fonction, faisant intervenir la fonction inconnue f et éventuellement ses dérivées f, f,... Selon les cas la fonction inconnue se note souvent x ou x(t) ou bien y ou y(x). Exemple : Résoudre dans R, l'équation diérentielle y (x) = 3x + revient à chercher les primitives sur R de x 3x +. D'où les solutions : y(x) = 3 x + x + k ; k R. Exemple : Résoudre dans R, l'équation diérentielle y =. y = y = x + k, k R (9.) y = x + kx + m, k, m R (9.) Si on n'impose pas de contrainte, une équation diérentielle a une innité de solutions dépendant d'une ou plusieurs constantes. 9. Équation diérentielle du premier ordre à coecients constants Dans cette partie on s'intéresse aux équations diérentielles du type : (E) : a y (t) + b y(t) = c(t) a et b étant des constantes réelles (a 0) et c étant une fonction dérivable sur un intervalle I. L'équation diérentielle (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = 0 est appelée équation diérentielle homogène associée à (E). (On dit aussi équation sans second membre.) 9.. Résolution de (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = 0 a 0 donc (E 0 ) y (t) + b y(t) = 0. a Pour tout x de R, e b a t 0 donc : (E 0 ) e b a t y (t) + b a e b a t y(t) = 0 ( e b a y(t)) t = 0 e b a t y(t) = C, y(t) = Ce b a t, C R C R 34

135 Théorème. a et b étant des constantes réelles (a 0). La solution générale, sur R, de a y (t) + b y(t) = 0 est la fonction dénie sur R par : y(t) = Ce b a t, C R Exemple : Soit l'équation diérentielle y + y = 0. Les solutions sur R sont les fonctions dénies par y(t) = Ce t, C R 9.. Résolution de (E) : a y (t) + b y(t) = c(t) a et b étant des constantes réelles (a 0) et c étant une fonction dérivable sur un intervalle I Soit y 0 une solution de (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = 0 Soit y une solution de (E) : a y (t) + b y(t) = c(t) On a alors a y 0 + b y 0 = 0 et a y + b y = c Par addition on en tire a(y 0 + y ) + b(y 0 + y ) = c, ce qui prouve que y 0 + y est une solution de (E). Réciproquement : Soit y une solution de (E). Si y est une solution de (E) alors a y + b y = c et a y + b y = c On en tire par soustraction a(y y ) + b(y y ) = 0 donc y y est une solution de (E 0 ). Conclusion : Théorème. Soit l'équation diérentielle (E) a y (t) + b y(t) = c(t) a et b sont des constantes réelles (a 0) et c une fonction dérivable sur l'intervalle I. Soit (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = 0 La solution générale de (E) sur I est la fonction : y = y 0 + y où y 0 est la solution générale de (E 0 ) et y est une solution de (E) On sait résoudre (E 0 ), le problème est donc de trouver une solution particulière y de (E). En BTS on donne les indications nécessaires à la recherche de y. La méthode est donc simple : Pour résoudre l'équation diérentielle (E) a y (t) + b y(t) = c(t) Résoudre (E 0 ) : a y (t) + b y(t) = 0 Soit y 0 la solution générale trouvée. Trouver une solution particulière y de (E) en suivant les indications données. 3 La solution générale de (E) est y 0 + y Exercice On considère l'équation diérentielle : (E) : y + y = t ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y + y = 0. ) Déterminer les réels a et b pour que la fonction f : t at + b soit solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 35

136 Exercice On considère l'équation diérentielle : (E) : y 4y = sin t ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y 4y = 0. ) Déterminer les réels a et b pour que la fonction f : t a cos t + b sin t soit solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). Exercice 3 On considère l'équation diérentielle : (E) : y y = e x ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y = 0. ) Vérier que la fonction g dénie sur R par g(x) = xe x est solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). Principe de superposition : Si y est une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y(t) = c(t). Et si y une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y(t) = d(t) Alors y + y est une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y(t) = c(t) + d(t) 9..3 Équation avec condition initiale Théorème 3. Soit l'équation diérentielle (E) a y (t) + b y(t) = c(t) a et b sont des constantes réelles (a 0) et c une fonction dérivable sur l'intervalle I. Soit α I et β R. Il existe une unique solution de (E) vériant y(α) = β. Déterminer cette solution revient à déterminer la constante. Exercice 4 On considère l'équation diérentielle : (E) : y y = x ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y = 0. ) Vérier que la fonction g dénie sur R par g(x) = x est solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = Exercice 5 On considère l'équation diérentielle : (E) : y y = t + 5t ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y = 0. ) Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction h : t at + bt + c soit solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = 0. Exercice 6 On considère l'équation diérentielle : (E) : y y = 5 cos 3t 6 sin 3t ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y = 0. ) Vérier que la fonction g dénie sur R par g(x) = 3 cos 3t sin 3t est solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = 0. 36

137 9.3 Équation diérentielle du second ordre à coecients constants Dans cette partie on s'intéresse aux équations diérentielles du type : (E) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) a, b et c étant des constantes réelles (a 0) et d une fonction dérivable sur un intervalle I. L'équation diérentielle (E 0 ) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = 0 est appelée équation diérentielle homogène associée à (E). (On dit aussi équation sans second membre.) L'équation du second degré at + bt + c = 0 est appelée équation caractéristique de (E 0 ) 9.3. Résolution de (E 0 ) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = 0 Théorème 4. Soit l'équation diérentielle (E 0 ) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = 0. a, b et c étant des constantes réelles, a 0. Soit = b 4ac le discriminant de l'équation caractéristique at + bt + c = 0. Selon le signe de les solutions de (E 0 ) sont données par le tableau suivant : > 0 = 0 < 0 Solutions de at + bt + c = 0 Solutions de (E 0 ) Deux solutions réelles y 0 = Ae rt + Be r t r = b + et r = b A, B R a a Une solution réelle "double" y 0 = (At + B)e rt r = b a A, B R Deux solutions complexes conjuguées r = b + i et r = b i y 0 = (A cos(βt) + B sin(βt)) e αt a a On les note α + βi et α βi A, B R Exemple : Résoudre dans R : y + 3y + y = 0 C'est une équation diérentielle de la forme ay + by + cy = 0 avec a =, b = 3 et c =. L'équation caractéristique t + 3t + = 0 a pour discriminant = b 4ac =, elle a donc deux solutions réelles r = b + = et r = b =. a a La solution générale de l'équation diérentielle est donc y = Ae t + Be t avec A, B R. Exemple : Résoudre dans R : y + 6y + 9y = 0 C'est une équation diérentielle de la forme ay + by + cy = 0 avec a =, b = 6 et c = 9. L'équation caractéristique t + 6t + 9 = 0 a pour discriminant = b 4ac = 0, elle a donc une seule solution réelle r = b a = 3. La solution générale de l'équation diérentielle est donc y = (A + Bt)e 3t avec A, B R. Exemple 3 : Résoudre dans R : y + y + 5y = 0 C'est une équation diérentielle de la forme ay + by + cy = 0 avec a =, b = et c = 5. L'équation caractéristique t + t + 5 = 0 a pour discriminant = b 4ac = 6, elle a donc deux solutions complexes conjuguées r = b + i a = + i et r = b a 37 = i.

138 La solution générale de l'équation diérentielle est donc y = (A cos(t) + B sin(t)) e t avec A, B R. Exercice 7 Résoudre dans R les équations diérentielles suivantes : a) y 8y + 6y = 0 b) y y 3y = 0 c) y 4y + 3y = 0 d) y 4y = 0 e) y 4y = 0 f) y + 4y = Résolution de (E) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) Théorème 5. a, b et c étant des constantes réelles, a 0 et d étant une fonction dérivable sur un intervalle I. La solution générale de (E) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) est la somme de : La solution générale de (E 0 ) : a y (t) + b y (t) + c y(t) = 0. Une solution particulière de (E). Le problème est donc de trouver une solution particulière de (E) ; en BTS toutes les indications nécessaires sont données. Quelques cas classiques La fonction d est un polynôme Si d est un polynôme de degré n alors on cherche une solution sous la forme d'un polynôme de degré : n si c 0 n + si c = 0 et b 0 n + si b = c = 0 Si d est de la forme P (t)e mt où P est un polynôme et m une constante complexe Si d est de la forme P (t)e mt où P est un polynôme et m une constante complexe. On pose y(t) = z(t) e mt pour se ramener au cas des polynômes. On a alors y (t) = z (t)e mt + mz(t)e mt, on calcule de même y (t) et en remplaçant dans (E) on pourra simplier par e mt. On peut ainsi traiter le cas des fonctions trigonométriques en utilisant les formules d'euler. Principe de superposition : Si y est une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t). Et si y une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y (t) + c y(t) = e(t). Alors y + y est une solution de l'équation diérentielle a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) + e(t). 38

139 9.3.3 Équation avec condition initiale Théorème 6. Soit l'équation diérentielle (E) a y (t) + b y (t) + c y(t) = d(t) a, b et c sont des constantes réelles (a 0) et d une fonction dérivable sur l'intervalle I. Soit α I et β, γ R. Il existe une unique solution de (E) vériant y(α) = β et y (α) = γ. Déterminer cette solution revient à chercher les valeurs des constantes. Exercice 8 On considère l'équation diérentielle : (E) : y y 3y = 5 ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y 3y = 0. ) Déterminer le réels a pour que la fonction constante h : t a soit solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = et f (0) =. Exercice 9 On considère l'équation diérentielle : (E) : y 4y + 4y = x ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y 4y + 4y = 0. ) Vérier que la fonction g dénie sur R par g(x) = (x + ) est solution de (E). 4 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = et f (0) = 0. Exercice 0 On considère l'équation diérentielle : (E) : y + 4y + 5y = 0x ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : y + 4y + 5y = 0. ) Vérier que la fonction g dénie sur R par g(x) = x est solution de (E). 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) dont la courbe passe par le point A(0, ) et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses. Exercice On considère l'équation diérentielle : (E) : x + 4x = cos t ) Résoudre dans R l'équation diérentielle (E 0 ) : x + 4x = 0. ) Vérier que la fonction h dénie sur R par h(t) = t sin t est solution de (E). 4 3) En déduire les solutions de (E). 4) Déterminer la solution f de (E) qui vérie f(0) = 0 et f (0) = 0. Exercice Soit (E) l'équation diérentielle : x + x + x = 4e t. Résoudre l'équation homogène (E 0 ) : x + x + x = 0.. Vérier que la fonction g dénie sur R par : g(t) = t e t est une solution de (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de (E). 4. Déterminer la solution f de (E) vériant f(0) = 4 et f (0) =. Exercice 3 Soit (E) l'équation diérentielle : 4y + 5y + y = e x (7x ). Résoudre l'équation homogène (E 0 ) : 4y + 5y + y = 0.. Vérier que la fonction g dénie sur R par : g(x) = xe x est une solution de (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de (E). 39

140 4. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe passe par le point A(0, ) et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses. Exercice 4 EXERCICE BTS 00 ( points) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation diérentielle. On considère l'équation diérentielle (E) : y y = e x où y est une fonction de la variable réelle x, dénie et dérivable sur R et y sa fonction dérivée.. Résoudre sur R l'équation diérentielle (E 0 ) : y y = 0. Soit h la fonction dénie sur R par h(x) = xe x Démontrer que h est une solution particulière de l'équation diérentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle (E). 4. Déterminer la solution particulière f de l'équation (E) qui vérie la condition f(0) =. B. Etude d'une fonction Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (x )e x Sa courbe représentative C est donnée dans le repère de l'annexe ( à rendre avec la copie ).. a) Calculer lim f(x) x + b) On admet que lim x xex = 0. En déduire lim f(x). x c) Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b).. a) Démontrer que, pour tout x de R, f (x) = (x )e x b) Résoudre dans R l'inéquation f (x) 0. c) En déduire le sens de variation de f sur R. 3. a) A l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t e t, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction x e x. b) En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction f est : f(x) = x + 3 x3 + x 3 ε(x) avec lim x 0 ε(x) = 0 c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 et la position relative de C et de T au voisinage de ce point. d) Tracer T dans le repère de l'annexe. C. Calcul intégral. Soit α un réel strictement négatif ; On pose I(α) = 0 α f(x) dx Démontrer que I(α) = 3 4 ( α 3 4) e α On pourra eectuer une intégration par parties.. a) Calculer la limite de I(α) quand α tend vers. b) A l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat. 40

141 ANNEXE y O x Exercice 5 EXERCICE BTS 00 ( points ) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation diérentielle On considère l'équation diérentielle (E) : y y y = ( 6x 4)e x, où y est une fonction de la variable réelle x, dénie et deux fois dérivable sur R, y la fonction dérivée de y et y sa fonction dérivée seconde.. Résoudre sur R l'équation diérentielle : (E 0 ) : y y y = 0. Soit h la fonction dénie sur R par h(x) = (x + x)e x. Démontrer que h est une solution particulière de l'équation diérentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation diérentielle (E) qui vérie les conditions initiales f(0) = et f (0) =. B. Étude d'une fonction Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (x + ) e x Sa courbe représentative C dans un repère orthonormal est donnée sur la gure ci-après.. a) Calculer lim x f(x). b) Déterminer lim x + x e x et lim x x + e x. En déduire lim f(x). x + c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b). a) Démontrer que, pour tout x de R, f (x) = ( x )e x 4

142 b) Résoudre dans R l'inéquation f (x) 0. c) En déduire le sens de variation de f sur R. 3. a) A l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t e t donner le développement limité, à l'ordre, au voisinage de 0 de la fonction x e x. b) Démonterr que le développement limité à l'ordre, au voisinage de 0 de la fonction f est : f(x) = + x x + x ε(x) avec lim x 0 ε(x) = 0. c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de ce point. C. Calcul intégral. a) La fonction f dénie dans la partie B étant une solution de l'équation diérentielle (E) : y y y = ( 6x 4)e x Montrer que f vérie, pour tout x de R, f(x) = [f (x) f (x) + (6x + 4)e x ] b) Soit F la fonction dénie sur R par : F (x) = [f (x) f(x) (6x + 0)e x ]. Vérier que, pour tout x de R, F (x) = ( x 4x 5)e x.. Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire A de la partie du plan hachurée sur la gure est, en unités d'aire, A = e 5. y C O x 4

143 Troisième partie Le cours de deuxième année 43

144 0 Rappels de probabilité Exercice Dans une entreprise de vente par internet, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. Un jour de cette semaine, on tire au hasard le nom d'une personne dont la commande est parvenue ce jour-là. On admet que : la probabilité qu'elle achète le téléviseur est 0, 6 ; la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est 0, 7 ; la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle n'achète pas le téléviseur est 0, ; On désigne par T l'événement la personne achète le téléviseur et par L l'événement la personne achète le lecteur de DVD. ) Représenter les probabilités par un arbre pondéré. ) Déterminer les probabilités conditionnelles : P T (L), P T (L), P T (L) et P T (L) 3) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : A : la personne achète les deux appareils ; B : la personne n'achète aucun des deux appareils ; 4) Déterminer les probabilités P (T L) et P (T L). 5) Déterminer P (L). Exercice Une entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse. Dans ce lot, % des chaudières à cheminées sont défectueuses et 5 % des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les événements suivants : A : la chaudière est à cheminée ; B : la chaudière est à ventouse ; D : la chaudière présente un défaut. ) Déterminer P (A) et P (B). ) Calculer P (D A) et P (D B). 3) En remarquant que D = (D A) (D B) calculer P (D) et P (D). Exercice 3 Dans une usine, une machine produit des barres de métal pour la construction. Dans la production de la machine, 8 % des barres sont non conformes. On prélève un lot de 30 barres extraites au hasard dans la production de la machine. Le nombre de barres produites est susamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 barres. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 barres associe le nombre de barres de ce lot qui sont non conformes, donc mises au rebut. ) Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X. ) Calculer la probabilité qu'aucune barre de ce lot ne soit mise au rebut. 3) Calculer la probabilité que dans un tel lot, au moins 90 % des barres ne soient pas mises au rebut. 4) On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. a) Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson. b) Calculer alors la probabilité qu'au plus deux barres soient mises au rebut. 44

145 Lois à densité. Généralités.. Variable aléatoire continue Dénition Dénition. On dit qu'une variable aléatoire X est continue si l'ensemble des valeurs prises par X est un intervalle de R. Par exemple, la durée de vie d'une machine, la longueur d'une pièce. Exemple On choisit au hasard un nombre réel X entre 0 et 0. Soit a un réel entre 0 et 0. P (X = a) = 0 car il y a une innité de réels entre 0 et 0. La probabilité que X prenne une valeur précise est nulle, on se contente donc de la probabilité que X soit dans un intervalle. D'où l'intérêt de la fonction de répartition de X : F : R [0, ] si x 0 alors F (x) = 0. si 0 < x 0 alors F (x) = x 0. si x > 0 alors F (x) =. x F (x) = P (X x) F (x) = P (X x) F est dérivable sur R et on a : f(x) = F (x) = O x 0 0 si x 0 0 si 0 < x 0 0 si x > 0 En utilisant notre cours de calcul intégral, on peut considérer que F (a) est l'aire comprise, à gauche, entre l'axe des abscisses, la courbe de f et la droite d'équation x = a. 45

146 F (a) 0 O 0 a Cette fonction f est appelée fonction de densité de la loi de probabilité. Dans notre exemple f est constante, la répartition des valeurs est uniforme... Généralisation Ces dénitions ne sont pas à connaître en BTS. On appelle densité de probabilité, une fonction f dénie sur R telle que : Pour tout réel x :f(x) 0. f est continue (sauf éventuellement en un nombre ni de points). + f (x) dx =. La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction F dénie par F (a) = P (X a) On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi à densité f si sa fonction de répartition est dénie par : F (x) = x f(t) dt Ce qu'il faut comprendre : La fonction de densité f d'une variable aléatoire est une fonction telle que les probabilités correspondent à des aires sous la courbe de f. y = f(x) y = f(x) F (x) = O x x f (t) dt O a P (a < X < b) = b a b f (t) dt 46

147 . Loi uniforme sur [a, b].. Dénition Dénition. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a, b] si et seulement si, pour tout intervalle I inclus dans [a, b], la probabilité de l'événement x I est l'aire du domaine {M(x, y); x I et 0 y f(x)}. f étant la fonction de densité de la loi uniforme : f(x) = b a si x [a, b] f(x) = 0 si x / [a, b] b a O a b I.. Fonction de répartition Notons y = f(t) la densité de la loi uniforme. F (x) = P (X x) est l'aire délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses, à gauche de la droite d'équation t = x. b a y Si x < a alors l'aire est nulle. Si a x b alors l'aire est : (x a) b a = x a b a x O a b y b a t Si x > b alors l'aire du rectangle de largeur b a de hauteur elle vaut donc. b a t O a b x y b a t Conclusion : O a b x 47

148 Théorème. La fonction de répartition de la loi uniforme sur [a, b] est la fonction F dénie par : 0 si x < a x a F (x) = si a x b b a si x > b y O a b x..3 Espérance, variance et écart type TICE TP N et Nous avons vu dans le cas d'une variable aléatoire discrète que l'espérance est i=n E(X) = x i P (X = x i ). i= Dans le cas de variables aléatoires continues, x i peut prendre une innité de valeurs, on remplace donc notre formule par : E(X) = b a xf(x) dx la variance est V (X) = E ( X ) [E(X)], l'écart type est σ(x) = V (X). Vous pouvez vérier en calculant les intégrales que : Théorème. Si X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a, b] alors : Son espérance est E(X) = a + b Sa variance est V (X) = (b a) Exercice Antoine arrive à l'arrête de bus sans avoir consulté les horaires. Sur cette ligne, un bus passe toutes les huit minutes. Soit X la variable aléatoire donnant, en minutes, le temps d'attente d' Antoine. ) Quelle loi suit la variable aléatoire X? ) Calculer la probabilité des événements suivants : A : Antoine attend moins de deux minutes B : Antoine attend entre trois et six minutes C : Antoine attend plus de cinq minutes 3) Calculer l'espérance et la variance de X. 48

149 .3 Loi normale on dit aussi loi de Laplace-Gauss. C'est une des lois de probabilités les plus utilisées..3. Dénition Dénition 3. Une variable aléatoire X suit la loi normale, notée N (µ, σ), d'espérance µ et d'écart type σ, lorsque sa densité de probabilité est une fonction f dénie sur R par : f(x) = σ π e ( x µ σ ) Exemple : N (, ). 0. F (x) = x f (t) dt 0. F (x) = P (X x) = Remarques x O x f (t) dt est l'aire grisée sur le dessin. La courbe de la fonction de densité d'une loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation x = µ. L'aire délimitée par la courbe et l'axe des abscisses vaut. La loi N (0, ) est appelée loi normale centrée réduite. Deux gures à connaître : P (a X b) = F (b) F (a) P (X a) = F (a) a µ b µ a 49

150 .3. Espérance, variance, écart type Théorème 3. Si la variable aléatoire X suit une loi normale N (µ, σ) alors : E (X) = µ V (X) = σ σ (X) = σ.3.3 Calculs de probabilités Les valeurs des probabilités P (X a), P (a X b) et P (X a) s'obtiennent facilement à la calculatrice (voir la che calculatrices). Il en est de même pour déterminer un réel a tel que P (X a) = p, p étant connu. Exercice Soit T une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0, ). ) Calculer : P (T, 67), P (T, 5), P (T, 67), P ( T ), P (.6 T.6). ) Déterminer les réels a et b tels que P (X a) = 0.7 et P (X b) = 0.8 On a souvent besoin de déterminer un réel a tel que P (µ a X µ + a) = p, p étant connu. Certaines calculatrices ne font pas ce calcul ; un petit truc simple pour trouver a : α α Posons p = α Pour des raisons de symétrie de la courbe on a : P (µ a X µ + a) = α µ µ a µ + a P (µ a X µ + a) = α P (X µ + a) = α Connaissant α, la calculatrice nous donne µ + a µ a µ P (X µ + a) = α Exercice 3 Soit la variable aléatoire X suivant la loi normale N (37, 5). Déterminer le réel a tel que P (37 a X 37 + a) =

151 Quelques valeurs importantes à connaître : P (X [µ σ, µ + σ]) 0, 68 µ µ σ µ + σ P (X [µ σ, µ + σ]) 0, 95 µ µ σ µ + σ P (X [µ 3σ, µ + 3σ]) 0, 997 µ µ 3σ µ + 3σ.3.4 Approximation d'une loi binomiale par une loi normale On admet que sous certaines conditions ; n assez grand, p non voisin de 0 ou, np( p) assez grand, alors : la loi B(n, p) admet pour approximation N (m, σ) où m = np et σ = np( p). Exercice 4 Correction de continuité On lance 50 fois une pièce, ( la variable aléatoire X compte le nombre de pile. X suit une loi binomiale B 50, ).. Calculer P (4 X 6).. On approche la loi de X par une loi normale, déterminer cette loi puis calculer alors : P (4 X 6). 3. L'approximation précédente ( n'était pas très bonne. Entre 4 et 6 la loi B 50, ) ne prend en compte que 3 valeurs 4, 5 et 6. Pour améliorer l'approximation on peut considérer que : 4 est le centre de la classe [3, 5; 4, 5] 5 est le centre de la classe [4, 5; 5, 5] 6 est le centre de la classe [5, 5; 6, 5] C'est la correction de continuité, qui consiste à remplacer tout nombre entier k par l'intervalle [ k ; k + ]. 4 X 6 devient alors 3, 5 X 6, 5. Recalculer alors la probabilité. Exercice 5 Une machine fabrique des barres métalliques en acier. A chaque pièce tirée au hasard, on associe sa longueur exprimée en millimètres ; on dénit ainsi une variable aléatoire X. On suppose que X suit la loi normale de moyenne m = 500 d'écart type σ = 0,.. Quelle est la probabilité à 0,0 près, que la longueur d'une barre prise, au hasard, ne soit pas comprise entre 499,79 et 500,?. Déterminer le nombre a tel que la proportion de barres ayant une longueur comprise entre 500 a et a soit égale à 0,80. 5

152 Exercice 6 Le chire d'aaire mensuel X (en centaines d'euros ) d'une imprimerie suit la loi normale de moyenne 0 et d'écart type 0.. Déterminer les probabilités des événements suivants : a) {X < 00}, b) {X > 50}, c) {X 80}.. Le dirigeant de cette imprimerie, au regard de ses charges, estime qu'un mois est décitaire si le chire d'aaires mensuel n'excède pas 80 centaines d'euros. Calculer la probabilité qu'un mois ne soit pas décitaire. Exercice 7 Un atelier produit en une semaine un très grand nombre de pièces mécaniques parmi lesquelles % sont défectueuses et 0 % sont excellentes. Partie A On prélève successivement, au hasard, et avec remise, 50 pièces dans la production d'une semaine. On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.. Quelle est la loi de probabilité de X?. Calculer P (X ). 3. On approche la loi de X par une loi de Poisson. Quel est le paramètre de cette loi? En utilisant cette loi, calculer la probabilité que le pourcentage de pièces défectueuses dans cet échantillon soit supérieur ou égal à 4 %. Partie B Maintenant, on prélève successivement, au hasard, et avec remise, 00 pièces dans la production d'une semaine. On note Y la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de pièces excellentes dans ce lot.. Quelle est la loi de probabilité de Y?. On décide d'approcher la loi de Y par une loi normale de paramètres m = 40 et σ = 5, 66. a) Justier le choix de ces paramètres. b) Calculer la probabilité que le pourcentage de pièces excellentes dans le lot soit supérieur ou égal à 5 %. Exercice 8 Un atelier produit des composants optiques. La probabilité pour qu'un composant soit erroné est 4 %. On tire au hasard 800 composants. Le nombre de composants produits est susamment grand pour que ces tirages puissent être assimilés à des tirages indépendants. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 800 composants tirés, associe le nombre de composants présentant un défaut.. Quelle est la loi de probabilité suivie par X?. On décide d'approcher cette loi par la loi normale de paramètres : m = 3 et σ = 5, 54. Justier la valeur de ces paramètres. 3. On note T une variable aléatoire suivant la loi normale N (3; 5, 54). Calculer les probabilités suivantes : ˆ P (T < 30) ; ˆ P (0 < T < 40) ; ˆ P (T < 40 sachant que T > 0). 5

153 .4 TP TP Simulation d'une loi binomiale avec un tableur On va simuler 000 fois l'expérience :lancer 0 fois une pièce de monnaie et compter le nombre de pile. A) Création des données ) La fonction =ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;) renvoie de façon équiprobable les nombres 0 ou. On considère que le représente pile. Créer vingt lancers dans les cellules A à T ; puis mettre la somme de ces valeurs dans la cellule U. ) En tirant sur la plage A :U créer 000 lignes identiques. On peut masquer les colonnes A à T qui ne nous serviront plus. Pour simplier las suite nous allons donner un nom à la plage U :U000 ; notons la toto. B) Tableau des fréquences et histogramme ) Mettre les valeurs 0,,..., 0 dans les cellules W à W. ) =NB.SI(toto ;W) compte le nombre de cellules de la plage toto ayant la même valeur que W. La fréquence de 0 sera donc :=NB.SI(toto ;W)/000. Remplir les cellules W à W avec les fréquences. 3) Tracer l'histogramme des fréquences. C) Comparaison à une loi binomiale D'après notre cours, la variable aléatoire comptant le nombre de pile suit la loi binomiale B(0; 0, 5). ) Remplir les cellules Y à Y avec les probabilités P (X = k), X suivant la loi B(0; 0, 5), k variant de 0 à 0. (On pourra regarder l'assistant de fonctions pour utiliser la loi binomiale.) ) Tracer un histogramme double illustrant les fréquences trouvées et la loi binomiale associée. On pourra refaire plusieurs fois les calculs à l'aide de la touche F9. 53

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