Daniel Abécassis. Année universitaire 2010/2011

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Anne-Claire Champagne
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1 Dnl bécsss. nné unrsr / L UE hpr V. L cnéqu chmqu. VI. Inroducon. Dns l chpr précédn, un modèl mhémqu prmn d préor d çon plus ou mons rgourus, l éoluon sponné d un récon chmqu. modèl rpos sur l scond prncp d hrmodynmqu. Nous llons nous nérssr dns c chpr à l éud d l ss d un récon chmqu, d s modélson mhémqu, ns q u dérns curs qu pun nlur drcmn sur un cnéqu réconnll. Nous rppllrons, à c r, qu ls ros prncpu curs cnéqus son : ls concnrons nls ds récs ; L mpérur ; L présnc d un clysur. L éud d l cnéqu d un récon ssnllmn pour bu d sor qu lls son ls condons pérmnls opmls dns lsqulls do s r l récon. Un scond nérê mjur s l dérmnon d un modèl mhémqu prmn d ccédr, lors ds chprs suns u mécnsms réconnls. V. Dénon. n monr qu l ss olumqu d un récon chmqu à pour prsson générl : υ V d V s l olum d l soluon. Il s prm n d s l déré d pr rppor u mps. Ell s prm n mol/s υ s l ss olumqu. Ell s prm n 3 m mol. m 3. s Rppl mhémqu : n dr qu un oncon dén n un pon d bscss s dérbl n S Sulmn S l s un unqu rél l l qu : lm l lm sr d l nombr déré d n sr noé : l. Noon dérnll :

Nous rppllrons, à c r, qu ls ros prncpu curs cnéqus son : ls concnrons nls ds récs ; L mpérur ; L présnc d un clysur.

2 y dy lm lm d Rmrqu mporn : / pour ls récs, l dénon précédn monr qu : d d n υ V V V ν ν d Schn qu dmnu c l mps. ugmn lors c l mps. Il s clr qu l ss olumqu d l récon dmnu. / Pour ls produs, l dénon précédn monr qu : d d V υ V V ν ν Schn qu ugmn c l mps, précédn. d dmnu c l mps. n rrou bn l résul Fnlmn, pour un récon qu pu s écrr n ou générlé : E nl E nrmédr E nl ν + ν... ν + ν... n n n ν ν ν n ν ν F n ν F ν F ν F n

/ Pour ls produs, l dénon précédn monr qu : d d V υ V V ν ν Schn qu ugmn c l mps, précédn.

3 ν ν ν ν ss s d l ss globl d l récon chmqu. Nénmons, nous pouons dénr sss d dspron d un réc ou ds sss d ppron d un produ. Pour un réc : Pour un produ : s l ss d dspron du corps. + s l ss d ppron du cops. L ss globl d un récon chmqu sr lors ll qu : + ν ν V. 3 rdr d un récon chmqu. Lo d Vn Ho onrrmn à un cours d Trmnl, nous llons mr n plc ds modèls mhémqus qu rndn comp d çon plus ou mons rgourus d un cnéqu réconnll. Pour cl, l s nécssr d nrodur c qu l on nomm un ordr prl d un récon pr rppor à un spèc chmqu donné. L ordr globl d un récon chmqu. En consdérn un récon chmqu d équon ν + ν... ν + ν... n monr qu l ss globl pour prsson u, n ou générlé : ν ν ν Lo d n Ho. s un consn. s l consn d ss. Ls cocns ν son ls cocns sochomérqus rls à l spèc chmqu. rlon rnd comp d l gon moléculr. Pour qu un récon s ss, l s nécssr qu l y rnconr nr ls drs récs du mlu réconnl. L récon s r d un mu qu l nombr d chocs nr ls récs s mporn. s l rson pour lqull, n prmèr ppromon, on pu décrr c compormn pr l rlon précédn. rlon, ns qu j l soun rmé, n s qu un modèl. c r, l s nscr dns l cdr d un cours cdémqu qu n rlè qu rès rrmn ls obsrons pérmnls. n pu, n ou générlé, s rpprochr d l lo d Vn Ho précédn n monrn l snc d réls p ls qu : p L rél L rél p s d l ordr prl d l récon pr rppor à l spèc chmqu p p s d l ordr globl d l cnéqu réconnl.

Lo d Vn Ho onrrmn à un cours d Trmnl, nous llons mr n plc ds modèls mhémqus qu rndn comp d çon plus ou mons rgourus d un cnéqu réconnll.

4 Donnons ls mpls suns : + l l S S + I 8 + I 4 l / S I 8 V. 4 Eud héorqu.. néqu d ordr Prnons l mpl sun : n ur lors, d çon smpl : I : o L concnron d l spèc éolur n oncon du mps d çon n : Rmrqu : Il s rès pu d récon chmqu qu son d ordr globl égl à. ons, pour mémor : N 5 g N +. néqu d ordr Prnons, là ncor l modèl smplé :. Schn qu l cnéqu s d ordr globl égl à un, on pu écrr l modèl dérnl sun : + n obn un équon dérnll don l résoluon s rl : d où

n : Rmrqu : Il s rès pu d récon chmqu qu son d ordr globl égl à. ons, pour mémor : N 5 g N +.

5 ln ln : Pour c qu concrn l produ, on pu églmn mr n édnc l équon dérnull sun : d Pr négron, on obn lors : I : IN FINE :. récon. Tmps d dm

6 ns qu nous l sons déjà, on dén l mps d dm récon / pr l duréé u bou d lqull l concnron nl du réc s dsé pr du /, lors D près l éud héorqu précédn, on obn d çon rl, l rlon / L démonsron s lssé u lcur. ln. néqu d ordr. onsdérons l récon sun + + D b - b- b son ls concnrons nls ds récs. s l concnron, à un nsn d ou d D. S l on consdèr, pr mpl, l ss d ppron d, on : r Il s clr qu : d d b b b b b n obn l équon dérnll sun : d b b ln + ln b b b ln b b b ln ln b IN FINE, on obn l rlon sun : b ln b b Rmrqu : L démonsron précédn n s plus lbl s b. D où Dns c cs plus smpl, l équon dérnll dn d d d IN FINE :

7 Rmrqu : c rlon rdu un cnéqu du scond ordr qu pourr s écrr + D Tmps d dm-récon :.Dns l cs générl, l mps d dm récon s l duré u bou d lqull. Dns l cs smplé précédn L mps d dm récon sr l duré u bou d lqull / I / m / /. c m n édnc : 3. Récons sns ordr smpls. Dns ls cs précédns, on modélsé ls cnéqus réconnlls dns ls cs d ordrs smpls. Il s d urs cs, nommn cu qu concrnn ls récons rérsbls, pour lsquls l éoluon d un sysèm chmqu s crcérsé pr plusurs récons.. s ds récons rérsbls.. Nous pouons c consdérr qu l on du récons du prmr ordr chcun. L prsson d l ss réconnll s lors ll qu : En consdérn l blu d ncmn sun n ur lors : - d Pour résoudr c équon dérnll, l chms odnsn ém l prncp d d l é sonnr Prncp d odnsn : u bou d un mps nn, l sysèm ndr un é d équlbr, pour lqul ls concnrons n rron plus u cours du mps. d n obndr lors d Lorsqu c é sr n, rlon prm d dérmnr un prsson d l consn

Il s d urs cs, nommn cu qu concrnn ls récons rérsbls, pour lsquls l éoluon d un sysèm chmqu s crcérsé pr plusurs récons.. s ds récons rérsbls.

8 n obn d + oncluson : En posn n obn n rrou l modèl d un cnéqu ormll du prmr ordr lors qu l récon éudé n ps d ordr. Empl d un ll cnéqu : n monr qu l récon sun su un ll cnéqu : H H H H H b. D + + onsdérons pour éudr c cnéqu, l blu d ncmn sun : + + D - - En consdérn l ss d ppron du produ, on obn: d D d En ulsn l mêm prncp qu précédmmn : l équlbr : d D où d près clcul on monr qu l on pu écrr b d équon s ormllmn équln à cll crcérsn un cnéqu du scond ordr.. s ds récons succsss. Ls récons succsss nrn dns l cdr ds cnéqus sns ordrs smpls. Pour llusrr cl, on pu consdérr du orms smpls :. s d du récons d ordr un.

D + + onsdérons pour éudr c cnéqu, l blu d ncmn sun : + + D - - En consdérn l ss d ppron du produ, on obn: d D d En ulsn l mêm prncp qu précédmmn : l

9 onsdérons l modèl sun E nl n lors - -y y Pour c qu concrn l ss d dspron d : L soluon d un ll équon s lors : Pour c qu concrn ls pprons d d, on églmn : équon dérnll pu ncor s écrr + Rppl mhémqu. L nsmbl ds soluons d l équon dérnll E y + by g s l nsmbl ds oncons y déns, connus dérbls sur un nrll I lls qu : c : y y y + y y, soluon, d, H, soluon, prculèr, d, E H s l équon homogèn : y + by L soluon prculèr y s, n ou générlé d l mêm orm qu l scond ordr g. n pu églmn dérmnr l nsmbl ds soluons d l équon dérnll nl, n résoln l équon homogèn n sn rr l consn K qu n s lors plus un consn. L équon homogèn sns scond mmbr s sé à dérmnr + K d Ulsons l méhod d l ron d l consn K dk K + négron, on obn IN FINE K dk p p p p K p + p + p Pr

L nsmbl ds soluons d l équon dérnll E y + by g s l nsmbl ds oncons y déns, connus dérbls sur un nrll I lls qu : c : y y y + y y, soluon, d, H, soluon, prculèr, d, E H s l équon

10 l nsn nl l concnron d s null D où p p I rlon prm, d çon clr, d dérmnr à ou nsn l concnron du produ. En : En consdérn un nsn qulconqu, on y y D où n obn, IN FINE + L rprésnon grphqu d cc s lors : Empls d lls récons ls récons nuclérs n chîn ls désnégrons rdocs. Prncp d odnsn. Nous ons déjà ms n édnc un ormulon smpl d c prncp. Dns l cdr ds récons succsss, clu-c prnd un orm rès mporn. En, on consé qu d

d lls récons ls récons nuclérs n chîn ls désnégrons rdocs. Prncp d odnsn.

11 S un lur rès mporn pr rppor à, l récon lmn d l cnéqu réconnll. Dns ls rlons précédns, l rm s d çon clr l ép s nmn néglgbl. n monr qu, IN FINE prncp n s pplqur qu s s rès réc. sr l cs pour ls nrmédrs réconnls, pr mpl. V. 5. Inlunc d l mpérur. Lo D rrhénus. Nous sons dpus l clss d Trmnl, qu l mpérur s un prmèr cnéqu. n monr qu l nlunc d l mpérur s pr l nrmédr d l consn d l récon. En 889, l chms rrhénus m n édnc l rlon mhémqu rln l mpérur. rlon pour modèl : d E ln RT E s un énrg : L énrg d con. s un consn pos pour un récon donné, don l lur pu êr d l ordr d qulqus J à plusurs dzns d J.

Nous sons dpus l clss d Trmnl, qu l mpérur s un prmèr cnéqu. n monr qu l nlunc d l mpérur s pr l nrmédr d l consn d l récon.

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