CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

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1 CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. PLAN D ÉTUDE D UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE On considère un repère orthogonal ( Oi,, j). Déterminer le domaine de déinition D de la onction.. Recherche d une éventuelle période T (T> le plus petit possible). On étudie la onction x E = α, α+ T D, avec α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de pour [ ] la onction. 3. Parité ou imparité Si la onction est paire ou impaire, on prend en général T T T E =, D et l on réduit l étude à l intervalle E = D T α= et donc l intervalle Remarque On peut aussi prendre α= et dans certains cas d autres valeurs de α sont préérables. 4. Centre de symétrie. Axe de symétrie On peut aussi réduire l intervalle d étude dans le cas où la onction admet un centre de symétrie I ( ab, ) (autre que l origine) ou un axe de symétrie x = a (autre que x = ) 5. Etude de la onction dérivée. Limites aux bornes du domaine de déinition. Tableau de variation. 6. Représentation graphique de la onction. Gérard Hirsch Maths54

2 Remarque Certaines étapes comme le (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire. Etude de la onction sinus Soit la onction : x sinx La onction sinus est déinie sur D = La onction sinus est périodique de période T = En eet x D, x+ D et sin( x+ ) = sinx Il suit donc d étudier la onction sur E = [, ] La onction sinus est impaire En eet x D, x D et sin( x) = sinx On réduit l étude de la onction à E = [ ] La courbe représentative de la onction sinus admet la droite d équation symétrie En eet + x D x D et sin( + x) = sin( x) x D On réduit (encore) l étude de la onction à E3 = x = pour axe de La onction sinus est dérivable sur D = et (sin x) ' = cos x avec cos x pour x E 3 = Tableau de variation : x + Gérard Hirsch Maths54

3 Courbe représentative : Pour x E3 = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de Pour x E = [ ] : on passe de l arc générateur obtenu pour x E3 = x E = [ ] en eectuant la symétrie par rapport à la droite d équation à l arc obtenu pour x = 3 Pour x E = [, ] : on passe de l arc obtenu pour x E = [ ] à l arc obtenu pour x E [, ] eectuant la symétrie par rapport à l origine O du repère = en Gérard Hirsch Maths54 3

4 Pour x D = R : on passe de l arc obtenu pour x E = [, ] à l arc obtenu pour x D = R en eectuant les translations ki, k Z Etude de la onction cosinus Soit la onction : x cosx La onction cosinus est déinie sur D = La onction cosinus est périodique de période T = En eet x D, x+ D et cos( x+ ) = cos x Il suit donc d étudier la onction sur E = [, ] La onction cosinus est paire Gérard Hirsch Maths54 4

5 En eet x D, x D et cos( x) = cosx On réduit l étude de la onction à E = [ ] La courbe représentative de la onction cosinus admet le point I = (, ) pour centre de symétrie En eet + x D x D et cos( + x) + cos( x) = sin x+ sin x= x D On réduit (encore) l étude de la onction à E3 = La onction cossinus est dérivable sur D = et (cos x)' = sin x avec sin x pour x E3 = Tableau de variation : x - Courbe représentative : Pour x E3 = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de Pour x E = [ ] : Gérard Hirsch Maths54 5

6 on passe de l arc générateur obtenu pour x E3 = = en eectuant la symétrie par rapport au point I = (, ) x E [ ] à l arc obtenu pour 3 - Pour x E = [, ] : on passe de l arc obtenu pour x E = [ ] à l arc obtenu pour x E [, ] eectuant la symétrie par rapport à l axe Oy = en Pour x D = R : on passe de l arc obtenu pour x E = [, ] à l arc obtenu pour x D = R en eectuant les translations ki, k Z Gérard Hirsch Maths54 6

7 Etude de la onction tangente Soit la onction : x tanx sin x La onction tangente est déinie par tan x = sur cos x La onction tangente est périodique de période T = D = + k k Z k Z En eet sin( x+) sinx x D, x+ D et tan( x+ ) = = = tanx cos( x+) cos x Il suit donc d étudier la onction sur E =, La onction tangente est impaire sin( x) sin x En eet x D, x D et tan( x) = = = tanx cos( x) cos x On réduit l étude de la onction à E = La onction tangente est dérivable sur D = + k k Z k Z et avec sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)' cos x+ sin x (tan x)' = = = = + tan cos x cos x cos x ' = = + > pour x E = cos x (tan x)' tan x Limite aux bornes du domaine de déinition : x Gérard Hirsch Maths54 7

8 Puisque limsin x= sin( ) = et lim cos x= lim cos( ) = x x x x< x< x< + alors lim tan x =+ x x< La droite d équation x = est asymptote à la courbe Tableau de variation : x + + Courbe représentative : Pour x E = la onction., on obtient l arc générateur de la courbe représentant les variations de 3 Pour x E =, : Gérard Hirsch Maths54 8

9 on passe de l arc générateur obtenu pour x E = à l arc obtenu pour x E =, en eectuant la symétrie par rapport au l origine O du repère Pour x D = + k k Z k Z : on passe de l arc obtenu pour x E =, à l arc obtenu pour D = + k k Z k Z en eectuant les translations Gérard Hirsch Maths54 9