Étude de fonctions I) Fonctions de référence :

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1 Étude de fonctions I) Fonctions de référence : a) fonctions affines, fonction carré, fonction inverse (rappels) : fonctions affines : de formule algébrique () = a + b avec a et b Elles sont définies sur et représentées par une droite. Si a > la fonction est strictement croissante. Si a < la fonction est strictement décroissante. Si a = la fonction est constante. g() = La fonction h est appelée aussi fonction linéaire! Dans sa formule algébrique, a =. La droite passe par l'origine du repère! h() = 2 u() = 3 fonction carré : de formule algébrique () = 2 Elle est définie sur et représentée par une parabole. la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ] ; ] la fonction est strictement croissante sur l'intervalle [ ; +[ tableau de variations : + () fonction inverse : de formule algébrique () = Elle est définie sur * et représentée par une hperbole. la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ] ; [ la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle ] ; +[ tableau de variations : + () définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite monotone sur I si elle est croissante sur I ou alors si elle est décroissante sur I Eemples : une fonction affine non constante est monotone sur! la fonction carré est monotone sur [ ; +[ ou ] ; ] mais elle n'est pas monotone sur la fonction inverse n'est pas monotone sur (elle n'est pas définie sur tout l'ensemble des réels!) Par contre, elle est monotone sur ] ; +[ ou ] ; [

2 b) fonction racine carrée : étude de la fonction : Soit un nombre réel positif a, la racine carrée de a, notée dont le carré vaut a. a est l'unique réel positif b = a revient à écrire que b et b 2 = a! E : 3 est l'unique réel positif dont le carré est 3. ( 3) 2 = 3 Le seul réel positif dont le carré est 36 est 6 donc 36 = 6 définition : la fonction racine carrée est la fonction définie sur [ ; +[ par : propriété : la fonction racine carrée est strictement croissante sur [ ; +[ Démontrer que la fonction racine carrée est strictement croissante c'est montrer que, quels que soient les réels a et b tels que a < b, alors a < b. méthode : Soient deu réels a et b tels que a < b. Montrons que a < b : Les deu nombres positifs a et b sont rangés dans le même ordre que leurs carrés respectifs a et b (la fonction carré est strictement croissante sur [ ; +[). Donc, a < b méthode 2 : Soient deu réels a et b tels que a < b. Montrons que a < b : Pour cela, comparons a et b en déterminant le signe de leur différence. ( ) b a = b - a ( b + a) ( b + a) = b a b + a On a par hpothèse a < b donc b a > D'autre part, a et b donc b + a > b + a est appelée la quantité conjuguée de a b Par suite, b a est positif donc b a > donc a < b b + a tableau de variations : + 2

3 représentation graphique : = sur beaucoup de logiciels comme geogebra par eemple, on obtient par sqrt() (square (carrée) root (racine)) positions relatives des courbes représentatives de, et 2 sur [ ; +[: les trois courbes sont concourantes en deu points O(;) et A(;) 3 = 2 = 2 dans un repère orthonormé les courbes 3 et sont smétriques par rapport à 2 = A O Si ];[, la courbe est au-dessus de 2, elle même au-dessus de 3. justification : On a << donc < < ( est positif) donc < 2 < ( 2 au-dessus de 3 ) donc < 2 < ( croissante) donc < < ( au-dessus de 2) Si >, la courbe 3 est au-dessus de 2, elle même au-dessus de. justification : On a > donc > ( est positif) donc 2 > ( 3 au-dessus de 2 ) donc 2 > ( croissante) donc > ( 2 au-dessus de ) 3

4 c) fonction valeur absolue : définition : Soit une droite graduée d'origine O. Si M est le point d'abscisse, alors la valeur absolue de notée est la distance OM OM = = = O M OM = = = M O E : 4,2 = 4,2 67 = = 7 2 propriété : Pour tout réel, = Une distance est positive donc, par définition, Soient M d'abscisse et M' d'abscisse sur une droite graduée d'origine O. M et M' sont smétriques par rapport à O donc OM = OM'. Par suite, = définition : la fonction valeur absolue est la fonction définie sur par : propriété : la fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ; ] et strictement croissante sur [ ; +[ Si, () = = donc est croissante fonction affine de tpe a + b avec a > Si, () = = donc est décroissante représentation graphique : fonction affine de tpe a + b avec a < La courbe représentative de la fonction est la réunion des demi-droites d' équations : = sur [ ; +[ et = sur ] ; [ 4

5 de la fonction va- propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative leur absolue est smétrique par rapport à l'ae des ordonnées. Soit M(,) un point de la courbe, montrons que son smétrique M' par rapport à l'ae des ordonnées appartient à. M' M M' a pour coordonnées (,) Or, M donc = = donc le point M'(,) appartient à la courbe. Par suite, la courbe est smétrique par rapport à l'ae des ordonnées. II) Opérations sur une fonction et sens de variation : a) somme d'une fonction et d'un nombre constant : définition : Soit une fonction u définie sur un intervalle I, soit k un nombre réel fié. La fonction u + k est la fonction v définie sur I par v() = u() + k E : Soit la fonction u définie sur par u() = 2 La fonction u + 3 est la fonction v telle que v() = v() = u() + 3 Dans un repère (O,I,J) du plan, la courbe représentative de v se déduit de celle de u par une translation de vecteur 3 OJ. Plus généralement, la fonction u + k se déduit de celle de u par une translation de vecteur k OJ. 3 OJ J u() = 2 O I 5

6 propriété : Soit une fonction u définie sur un intervalle I, soit k un nombre réel fié. Les fonctions u et u + k ont les mêmes variations sur I. er cas : u est une fonction croissante Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I si a < b alors u(a) u(b), par suite u(a) + k u(b) + k donc u + k est croissante 2ème cas : u est une fonction décroissante Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I si a < b alors u(a) u(b), par suite u(a) + k u(b) + k donc u + k est décroissante E : Reprenons l'eemple précédent. Soit la fonction u définie sur par u() = 2 La fonction u + 3 est la fonction v telle que v() = La fonction u : 2 est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; +[ donc la fonction v : est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; +[ b) multiplication d'une fonction par un nombre constant : définition : Soit une fonction u définie sur un intervalle I, soit k un nombre réel fié. La fonction ku est la fonction v définie sur I par v() = ku() propriété : Soit une fonction u définie sur un intervalle I, soit k un nombre réel fié. si k >, Les fonctions u et ku ont les mêmes variations sur I. si k <, Les fonctions u et ku ont des variations opposées sur I Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I tels que a < b er cas : k > si u est croissante, alors u(a) u(b), par suite ku(a) ku(b) donc ku est croissante sur I si u est décroissante, alors u(a) u(b), par suite ku(a) ku(b) donc ku est décroissante sur I 2ème cas : k < si u est croissante, alors u(a) u(b), par suite ku(a) ku(b) donc ku est décroissante sur I si u est décroissante, alors u(a) u(b), par suite ku(a) ku(b) donc ku est croissante sur I 6

7 E : Soit la fonction u définie sur par u() = 2 La fonction 2u est la fonction v telle que v() = 2 2 La fonction u : 2 est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; +[ donc la fonction v : 2 2 est croissante sur ] ; ] et décroissante sur [ ; +[ = 2 tableau de variations : + u() 2u() = 2 2 attention! Il n' eiste pas de propriété générale permettant de connaître le sens de variation de la somme ou du produit de deu fonctions! Les tableau de variations de u et v ne permettent pas de déduire ceu de u + v ou uv!! c) racine carrée d'une fonction : définition : Soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre de I, u() est positif. La fonction u est la fonction v définie sur I par v() = propriété : Soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre de I, u() est positif. Les fonctions u et u ont les mêmes variations sur I Supposons que la fonction u est croissante sur I Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I tels que a < b On a u(a) u(b) (u est croissante sur I) donc u(a) u(b) (u(a) et u(b) et la fonction racine carrée est croissante sur [; +[) La fonction u est donc croissante sur I Supposons que la fonction u est décroissante sur I Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I tels que a < b On a u(a) u(b) (u est décroissante sur I) donc u(a) u(b) (u(a) et u(b) et la fonction racine carrée est croissante sur [; +[) La fonction u est donc décroissante sur I u() 7

8 E : Soit la fonction u définie sur par u() = 2 4. Etudions les variations de u. u est croissante sur [ ; +[ et décroissante sur ] ; ] u n'est définie que pour appartenant à ] ; 2] [2 ; +[ Donc, u est décroissante sur ] ; 2] et croissante sur [2 ; +[ pensez à une des propriétés précédentes! u et u + k varient de la même façon! il faut que u() soit positif pour que u() soit défini! tableau de variations : = 2 4 u() 4 u() = 2 4 d) inverse d'une fonction : définition : Soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre de I, u(). La fonction u est la fonction v définie sur I par v() = u() propriété : Soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre de I, u(). Les fonctions u et ont des variations opposées sur I. u Supposons que la fonction u est décroissante sur I Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I tels que a < b On a u(a) u(b) (u est décroissante sur I) Or, u ne s'annule pas sur I donc u(a) > et u(b) > ou u(a) < et u(b) < si u(a) > et u(b) > alors u(a) (la fonction inverse est décroissante sur [; +[) u(b) si u(a) < et u(b) < alors u(a) (la fonction inverse est décroissante sur ] ; ]) u(b) La fonction u est donc croissante sur I 8

9 Supposons que la fonction u est croissante sur I Soient a et b deu nombres réels de l'intervalle I tels que a < b On a u(a) u(b) (u est croissante sur I) Or, u ne s'annule pas sur I donc u(a) > et u(b) > ou u(a) < et u(b) < si u(a) > et u(b) > alors u(a) (la fonction inverse est décroissante sur [; +[) u(b) si u(a) < et u(b) < alors u(a) (la fonction inverse est décroissante sur ] ; ]) u(b) La fonction u est donc décroissante sur I E : Reprenons l'eemple précédent. Soit la fonction u définie sur par u() = 2 4. Etudions les variations de u. u est croissante sur [ ; +[ et décroissante sur ] ; ] La fonction est définie sur { 2; 2} u tableau de variations : = u() 4 u() 4 = 2 4 9