LE ROBOT HUMANOIDE LOLA. Corrigé.

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1 LE ROBO HUMANOIDE LOLA Corrigé tabilité du robot Question Montrer que {sol } est un glisseur On herhe P tel que oit M ( P, sol PO dy p z dy O M p z PO pdy pdy O M d'où O glisseur O M pdy P don P existe et sol pdy est un Ou plus simplement : un glisseur a sa résultante non nulle R et orthogonale au moment ( P, R M ( P Or P, R P, sol M ( P, sol F z PM p z dy don sol est un glisseur Question Montrer que H [O ;C ], 'est-à-dire qu'il est situé sous le du robot D'après on a : O H pydy y pdy de même C H Don H O, C CM pdy pydy y pdy pdy Question 3 Donner la forme du torseur { sol } dans le as d'un ontat ave frottement dans le plan sagittal ('est-à-dire que la densité d'efforts de ontat est p(m z +t(m y Montrer que les résultats des questions et sont inhangés sol sol O b b p z t y dy ar O M p z dy b p z dy b O M p z dy O glisseur en Hs trouvéen O M// à y b t y dy O glisseur suivant (O, y est un glisseur en H Question 4 En appliquant le théorème du moment dynamique, puis le théorème de la résultante dynamique au système {+}, montrer que la ondition de stabilité (non zg d yg basulement s'érit : yh yg g dt Moment dynamique en H :, sol x M ( H, pes x ( H, / M ( H x /3

2 M ( H, pes x ( HG m g z x (( yg y zg z yh y m g z x ( yg yh m g d yg d yg ( H, / x ( HG m y x m zg dt dt d yg zg d y Finalement : ( yg yh m g m z G d'où la ondition de stabilité : y H y dt G g dt G Question 5 ahant que la longueur de la semelle du robot [O ;C ] est L=3 mm, déterminez la longueur maximale de la première foulée du robot qui garantit la ondition de non- basulement Est-e ompatible ave le ahier des harges? Le as limite est pour y H L zg d yg,5 yg yh,3, 39,449 m g dt 9,8 Foulée = 4y G =,795 m >,5 m don le CdCf n est pas respeté Question 6 Dans le as d'un sol relativement glissant, ave un fateur de frottement du ontat d y G sol / semelle μ=, quelle aélération maximale le robot peut-il avoir? Est-e dt MAX ompatible ave le ahier des harges pour la phase de démarrage? On isole et on applique le théorème de la résultante en projetion sur y puis sur z : R( sol sol y R( pes y Rd ( / y m R( sol z R( pes z Rd ( / z N sol m g d y dt Condition d'adhérene d y sol Nsol soit : G g =,98 ms - <,39 ms - dt Le ahier des harges n est pas satisfait G /3

3 Déterminer la position du Zero Moment Point Question 7 Pour les as i-dessous, indiquer la forme des torseurs des efforts mesurés dans les 3 liaisons sphère-ylindre en suivant l'exemple de la dernière olonne Indiquer les omposantes non nulles ainsi que leurs signes par un + ou un - Indiquer par un les omposantes nulles Les torseurs seront exprimés dans les bases loales Les omposantes des torseurs seront indiées par A, A ou A sol heville Ation méanique du sol sur le Ation méanique de la heville sur le dans la liaison Les termes du tableau sont des intensités as n N P X O P, B A A, B Ation méanique de la heville sur le dans la liaison X A A, B Ation méanique de la heville sur le dans la liaison X A A, B as n XP X X X O A A A P, B, B, B, B as n 3 YP X X A O P, B, B A A, B, B + Condition sur Question 8 Déterminer l'absisse y ZMP du point H en fontion de L P, Y P, Z P et h Vérifier que le ritère de stabilité du robot sur ses deux s est assuré M(H,s p M(OP,s p HP R(s p LP x (hz yzmp y (YP y ZP z don soit y LP x hyp x yzmp ZP x L hy P P P P ZMP AN : y ZP ZP 4 don la ondition de stabilité est respetée L hy 35,53 ZMP,5 m = 5 mm < 3/ 3/3

4 Question 9 On herhe à relier l'effort du sol ( sur le (P en fontion des omposantes mesurées dans le module de mesure d'efforts Déterminer à l'équilibre les omposantes d'efforts dans les 3 apteurs X, X, X, Z, Z et Z en fontion de r, L P, Y P et Z P a On isole le b Bilan des ations extérieures : sol heville on érit les équations du PFD : sol heville X X X 3 3 YP X X ZP Z Z Z Z Z LP rz r r 3 3 Z Z rx rx rx d où : X YP X 3 Y P X 3 LP rz Z 3r LP rzp Z 3r LP rzp Z 3r P Question Vérifier que le module de mesure d'effort permet de déterminer la position du "Zero Moment Point" ZMP en restant dans le domaine de linéarité préonisé par le onstruteur X 3 X 73 N 3 3 X 73 N 3 35,4 4 Z 76 N 3,4 35,4 4 Z Z 58N 3,4 Z est légèrement en dehors de l intervalle de linéarité 68 N ; 68 N 4/3

5 Contrôle de la posture de LOLA Question Proposer une démarhe de résolution afin d'obtenir l'équation différentielle du mouvement reliant α et ses dérivées suessives aux données du problème Effetuer un bilan des ations méaniques extérieures au système matériel isolé a ystème isolé : tron b Bilan des ations extérieures : Pesanteur Réduteur Jambes On applique le prinipe fondamental de la dynamique, limité au théorème du moment dynamique au tron dans le repère galiléen lié au sol ( en O en projetion sur x (Afin d éliminer les inonnues de liaison pivot équivalente ave les jambes : x M ( O, hd x M ( O, x ( O,/ M ( O, pes x CR Cette équation n introduit pas d inonnues de liaison ; on obtient bien l équation de mouvement Question Développer l'ensemble des aluls pour déterminer l'équation différentielle reliant α et ses dérivées suessives aux données du problème M ( O, pes x ( O G m g z x m go G y m g zgsin( d ( O,/ x ( ( O,/ x ( V ( O / m V ( G,/ x dt ( O,/ x ( I( O, (/ x ( O G m V( O,/ x A m zg vos( ( V( O / m V( G,/ x m v z V( G,/ m v z zg y m zg v sin( ( G oit O,/ x A m z vos( G R G D où : m g z sin( C A m z v os( 5/3

6 EXE : Question 3 Indiquer les fontions de transfert des blos B, B, B 3, B 4, B 5, B 6 et B 7 ainsi que l'expression de la fontion de transfert H (p Les équations données sont : oit : B m z G B m gz G B 3 /r B 4 /r B 5 B 6 B 7 H (p k k e /J eq R L p 6/3

7 Question 4 Déterminer la fontion de transfert de la boule dynamique supposant la perturbation nulle i ( p H dyn ( p ( p en C ( p m Par le alul diret : D où la FBO reherhée : 7/3

8 Question 5 Déterminer la fontion de transfert en boule ouverte non orrigée de (p l'asservissement F(p Indiquer son ordre, sa lasse et donner son gain statique UC(p en fontion des données Par le alul diret : D où la FBO reherhée : oit sous forme anonique : Gain statique : k r R m g z Ordre : 3 Classe : G 8/3

9 Question 6 En analysant les diagrammes de Bode i-après, déterminer les valeurs de τ, τ et Justifier en omplétant les diagrammes i-après par les diagrammes asymptotiques de gain et de phase -37,5 G log( log( log( Ar tan( Ar tan( Ar tan( log( = -37,5 db soit s et s 3 37, 5,3 radv - (pas d'unité si BO ; F(p FBO Question 7 Justifier le hoix de ette simplifiation don l effet de p est négligeable sur la réponse La forme simplifiée est justifiée ur le Bode on remarque que le modèle simplifié est satisfaisant jusqu à rad/s > 5rad/s (bande passante visée en BO Question 8 Expliquer pourquoi le ritère du revers ne peut être appliqué pour étudier la stabilité en boule fermée La fontion de transfert en BO a un pôle à partie réelle positive Le système est don instable en BO Le ritère du Revers stipule que le système en BO ne doit pas omporter de pôle à partie réelle stritement positive pour qu il ait un sens Ce ritère n est don pas adapté pour vérifier la stabilité du système en BF 9/3

10 Question 9 Déterminer deux onditions sur pour que la nouvelle fontion de transfert en ( p boule ouverte non-orrigée soit stable En déduire la valeur minimale de U ( p On pose ( p ( p ave = s H i Par le alul diret : Ou sous forme anonique : Pour que tous les termes du dénominateur soient positifs il faut et don ar AN : > 75 V/rad /3

11 /3 Question Déterminer pour que la fontion de transfert ( ( p U p ait un fateur d'amortissement ξ=,7 Vérifier que ette valeur est ompatible ave les onditions obtenues préédemment En déduire les valeurs de la pulsation propre ω et du gain statique de la boule ouverte BO et soit d où l équation 4 4 ( 6 et 4 4 i i AN : = 83 V/rad ou = 784 V/rad Les valeurs vérifient la ondition de la question 9 BO et (V/rad BO (rad/s 784,,4 3,7 8,9,6,33 Question Nommer e orreteur Correteur proportionnel et à avane de phase (à ation dérivée

12 Question Déterminer la valeur du paramètre a pour que le orreteur permette d'assurer la marge de phase du ahier des harges En déduire la valeur de d Cahier des harges : ( Artan -68,43 m MP ( 8 ( 5 (8 68,43 38,43 sin( m a =4,8 d = 9,6-3 s sin( a m = /3

13 d Question 3 Déterminer le gain p pour que le ritère de bande passante du ahier des harges soit bien vérifié G log( oit : p BO log BO 4 a 4 log( a log(,4 5 (unité inverse de elle de BO : V/rad Remarque : pour une erreur de,7-3 rad on a une tension de 335 V ertainement trop grande pour le moteur Question 4 Justifier l'allure de la réponse temporelle Déterminer graphiquement sur le traé i-dessous le temps de réponse à 5%, le dépassement maximal et l'erreur statique Conlure sur la apaité du orreteur à vérifier l'ensemble des ritères du ahier des harges Il y a un problème de orrespondane entre l évolution de la vitesse (figure 9 ave une aélération onstante pendant s et la réponse i-dessous En supposant que le passage d aélération onstante à vitesse onstante se fait pour,3s on distingue : ère phase (aélération onstante entre et 3 ms : l angle est perturbé mais maintenu prohe de par l asservissement ème phase (vitesse onstante à partir de 3 ms : l angle est ramené à par l asservissement p t R5% emps de réponse : t R5% = 35 ms < ms Erreur statique due à la perturbation :,4-3 < Dépassement de la valeur finale : 4-4 <,5 (dépassement de la valeur visée :,8-3 Le ahier des harges est respeté 3/3

Stabilité du robot. Question 1. Montrer que {T sol pied } est un glisseur. [ O S ;C S. ], c'est à-dire qu'il est situé sous le pied du robot.

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