Circulation et flux du champ électrique MPSI

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1 Circulation et flux du champ électrique MPSI 19 juin 2008

2 Table des matières 1 Définitions Circulation d un champ de vecteurs Flux d un champ de vecteur Circulation du champs électrostatique : Potentiel electrostatique D une particule ponctuelle Potentiel électrostatique Relation entre le champs et le potentiel Théorème de l énergie cinétique Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss Relation de continuité Conditions d application du théorème de Gauss Principe de Curie Application à la gravitation Généralisation

3 Chapitre 1 Définitions 1.1 Circulation d un champ de vecteurs Définition 1 Soit A (M) un champ de vecteur au point M. On appele circulation de A (M) entre deux point M 1 et M 2, le scalaire défini par : M2 C = M 1 dc(m) = M2 A (M). dl M 1 Sur un contour fermé, la circulation est notée : C = A (M). dl Définition 2 A (M) est en circulation conservative si sa circulation ne dépend pas du chemin suvit, mais uniquement du point de départ et du point d arrivé. Propriété 1 Sur un contour fermé, si la force est conservative : A (M). dl = Flux d un champ de vecteur Définition 3 Par définition, le flux du champs de vecteur A (M), à travers la surface S orienté est donnée par : φ = A (M).d S (M) S 2

4 Avec d S (M) surface orienté définie au voisinage du point M. Définition 4 Si la surface est fermé, le flux devient : φ = A (M).d S (M) S La surface fermé délimite un volume. On peut donc distinguer un milieu interieur d un milieu exterieur. Il est d usage d orienter dans ce cas d S (M) vers l exterieur. 3

5 Chapitre 2 Circulation du champs électrostatique : Potentiel electrostatique 2.1 D une particule ponctuelle Soit O(q) une charge ponctuelle placé à l origine d un repère R. La circulation du champs E (M) entre deux point quelconque M 1 (r 1 ) et M 2 (r 2 ) est : M2 C = E (M). dl En explicitant dl en coordonnée cylindrique, on obtient : q C = 4πε 0 r ( 1 1 ) 2 r 1 r 2 E (M) est donc à circulation conservative M Potentiel électrostatique Définition 5 Par analogie avec la définition des fonctions énergie potentielle E p, on appele potentiel electrostatique en M, notée V(M), la fonction définie par : C = V = (V (M 2 ) V (M 1 )) D ou dans le cas d un champs électrostatique crée par une charge ponctuelle en M : V (M) = q 4πε 0.r En posant qu a l infini, V(M) = 0 4

6 2.3 Relation entre le champs et le potentiel D après la définition de la circulation, on obtient : Et comme, par définition : On obtient la relation suivante : dv (M) = E (M). dl dv (M) = grad(v ). dl E (M) = grad(v ) Par analogie avec la statique des fluides, on obtient : Propriété 2 Les surfaces équipotentielle sont à E (M) Propriété 3 E (M) descent les potentielles. Il est orienté des hauts potentiels vers les bas potentiels. Propriété 4 On obtient la formulation intégrale associés : M2 V 2 V 1 = E (M). dl M 1 Par application du principe de superposition, toutes les relations établies précédements sont vérifié quelque soit la distribution de charge. 2.4 Théorème de l énergie cinétique Propriété 5 Par application du théorème de l énergie cinétique, on obtient : E c (M) = q. V On en déduit l expression de l énergie potentielle d une charge ponctuelle dans un potentiel V(M) : E p (M) = q.v (M) 5

7 Chapitre 3 Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss Théorème 1 Le flux du champ electrostatique E (M) à travers une surface de Gauss S g fermé est égale à la charge interieure à cette surface, notée Q int, sur la permitivité du vide ε 0. Q int φ = E (M).d S (M) = M S g ε Relation de continuité E (M) est continue à la traversé d une distribution volumique de charge, mais discontinue à la traversé d une distribution surfacique. V(M) est continue à la traversé d une distribution volumique ou surfacique de charge, mais discontinue à la traversé d une distribution linéique. Ces relations de continuité nous permette de determiner V par integration, et de vérifier la pertinance de nos calculs pour le champs. 3.2 Conditions d application du théorème de Gauss Considérons une charge ponctuelle q situé en O. Soit S g1 Gauss centré sur O 1. une surface de 6

8 Par application du théorème de Gauss, on obtient : E Q int φ = (M). ds = = 0 ε 0 La nulité du flux n implique pas la nulité du champs. Une bonne utilisation du théorème de Gauss passe par l étude de la topographie du champs Principe de Curie Théorème 2 La symétrie de la cause se retrouve dans les effets Appliqué à l électrostatique, ceci implique que tout élements de symétrie pour la charge est un élement de symétrie pour le champs. Donc, si la distribution de charge admet un plan de symétrie de translation ou de rotation, alors E est porté par ce champs. 7

9 Chapitre 4 Application à la gravitation Tous les résultats établies en électrostatique sont généralisable à la gravitation. On passe donc de l électrostatique à la gravitation en effectuant les changements suivants : q m E (M) g (M) 1 4π.G ε Généralisation Définition 6 Par analogie, le potentiel gravitationnelle est donnée par : g (M) = grad(v (M)) Avec V(M) le potentiel gravitationnelle. On obtient donc le potentiel gravitationnelle crée par une masse ponctuelle M à une distance r : V (M) = G.m r Définition 7 Si on place une masse m en M, l énergie potentielle d interaction entre m et m est donnée par : E p = m.v (M) = G.m.m r Propriété 6 Le théorème de Gauss appliqué à la gravitaton devient : φ = g (M). ds = 4π.G.Masse interieur 8