Les fonctions exponentielles et logarithmiques

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1 Les fonctions exponentielles et logarithmiques MAT 1739 X Été 2010 Département e mathématiques et e statistique Université Ottawa

2 Plan Revue 1 Revue 2 3 4

3 Revue Definition La fonction y = a x, où a > 0 et a 1, est appelée une fonction exponentielle avec base a. Definition Le nombre e est le nombre réel tel que la pente e la tangente au graphe e la fonction exponentielle ( y ) = f (x) = e x à x = 0 est 1, à savoir, f (0) = lim e (0+h) e 0 h 0 h = 1.

4 Revue La valeur e e peut être estimée par e = lim n ( n) n. Une valeur approximative e e est 2, L importance e e peut être vue à partir u théorème suivant. Théorème x [ex ] = e x.

5 Revue Afin e trouver les érivées es fonctions exponentielles générales y = a x avec une base arbitraire a, nous introuisons es fonctions logarithmiques. Definition La fonction inverse e y = a x, où a > 0 an a 1, est appelée une fonction logarithmique isposant une base a et qui est ésignée par y = log a x. Quan a = e, log e x est simplement noté par ln x, appelé la fonction logarithmique naturelle.

6 Revue Il y a quelques propriétés importantes es fonctions logarithmiques, par exemple : log a (x 1 x 2 = log a x 1 + log a x 2, ( ) x1 log a = log x a x 1 log a x 2 2 log a (b c ) = c log a b log a x = ln x ln a

7 Revue Le fait que y = a x et y = log a x sont es fonctions réciproques l une e l autre nous onne un aperçu e comprenre les propriétés es eux fonctions. y = a x passe par le point (0, 1) et y = log a x passe par le point (1, 0). a log a x = x, log a a x = x. l ensemble e épart e y = a x est l ensemble es nombres réels et son ensemble arrivée est l ensemble es nombres réels positifs. l ensemble e épart e y = log a x est l ensemble es nombres réels positifs et son ensemble arrivée est l ensemble es nombres réels.

8 Revue Le graphique e y = log a x et le graphique e y = a x sont symétriques par rapport à la roite y = x.

9 Le fait que y = a x et y = log a x sont es fonctions réciproques l une e l autre fournit un outil puissant étuier les érivées e ces eux fonctions. Le théorème suivant inique les relations entre les érivées es fonctions réciproques. Théorème Si f (x) et g(x) sont es fonctions réciproques l une e l autre, alors g 1 (x) = f (g(x)).

10 Preuve. Par la éfinition es fonctions réciproques, nous avons f (g(x)) = x, onc par la règle e érivation en chaîne nous avons f (g(x)) g (x) = 1. D où g (x) = 1 f (g(x)).

11 Théorème Preuve. x [ln x] = 1 x. Puisque g(x) = ln x est la fonction réciproque e f (x) = e x, nous avons 1 [ln x] = x e ln x = 1 x.

12 Théorème Preuve. x [log a x] = 1 (ln a)x. Par les propriétés es fonctions logarithmiques, nous avons log a x = ln x ln a. Donc x [log a x] = x [ ] ln x = 1 ln a ln a x [ln x] = 1 (ln a)x.

13 Théorème x [ln u(x)] = u (x) u(x) Théorème x [log a u(x)] = u (x) (ln a)u(x)

14 Nous sommes maintenant prêts à écrire les érivées e fonctions exponentielles générales y = a x. Théorème x [ax ] = (ln a)a x Preuve. Puisque g(x) = a x est la fonction réciproque e f (x) = log a x, on a x [ax ] = 1 1 (ln a)a x = (ln a)a x.

15 Théorème x [au(x) ] = (ln a)a u(x) u (x) En autres mots : puisque x = log a (a x ) ou x [x] = 1 (ln a)a x x [ax ] x [ax ] = (ln a)a x

16 Il y a quelques notes importantes sur une fonction exponentielle : Une relation entre n importe quelle base b et e : b x = (e ln b ) x = e x ln b Puisque x (bx ) = x (ex ln b ) = e x ln b ln b = b x ln b, la érivée une fonction exponentielle est aussi exponentielle x (bx ) = b x ln b

17 Exemple Soit y = 3 x (cos x + x 10 ). Alors Exemple y = x [3x ](cos x + x 10 ) + 3 x x [cos x + x 10 ] Soit y = 5 sin 2x+cos 6x. Alors = (ln 3)3 x (cos x + x 10 ) + 3 x ( sin x + 10x 9 ). y = (ln 5)5 sin 2x+cos 6x (2 cos 2x 6 sin 6x).

18 Exemple Soit y = x 3 2x. Alors e sin x y = x [x 3 2x]e sin x (x 3 2x) x [esin x ] (e sin x ) 2 = (3x 2 2)e sin x (x 3 2x)(e sin x cos x) (e sin x ) 2.

19 Exemple Trouver les points e maximum local et les points e minimum local e f (x) = x 2 e x. Déterminer les intervalles où f (x) est concave vers le haut, concave vers le bas.

20 Solution : L ensemble e épart e f (x) = x 2 e x est l ensemble es nombres réels. On calcule f (x) = x [x 2 ]e x + x 2 x [ex ] = 2xe x + x 2 e x = e x (x 2 + 2x). On trouve les valeurs e x où f (x) = 0 ou f (x) n existe pas. }{{} impossible

21 Puisque e x > 0, on a x 2 + 2x = x(x + 2) = 0. D où x = 0 ou x = 2. intervalles x < 2 x = 2 2 < x < 0 x = 0 x > 0 x testés x = 3 x = 2 x = 1 x = 0 x = 1 f (x) f (x) Dans le tableau ci-essus, nous voyons que ( 2, f ( 2)) = ( 2, 4e 2 ) est le point e maximum local et (0, f (0)) = (0, 0) est le point e minimum local.

22 Calculons f (x) = x [ e x (x 2 + 2x) ] = x [ex ](x 2 + 2x) + e x x [x 2 + 2x] = e x (x 2 + 2x) + e x (2x + 2) = e x (x 2 + 4x + 2). On trouve les valeurs e x où f (x) = 0 ou f (x) n existe pas. }{{} impossible

23 Puisque e x > 0, on obtient x 2 + 4x + 2 = 0. D où x = 4 ± = 4 ± 8 2 = 2 ± 2. intervalles x < ( 2 2) ( 2 2) < x < ( 2 + 2) x > ( 2 + 2) x testés x = 4 x = 2 x = 0 f (x) + + f (x) Dans le tableau ci-essus, nous voyons que f (x) est concave vers le haut lorsque x < 2 2 ou x > et f (x) est concave vers le bas lorsque 2 2 < x <

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